D2913– Trois axes de symétrie [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Existe-t-il une fonction de dans dont le graphe en repère orthonormé possède exactement 3 axes de symétrie ?
Solution proposée par Marie Christine Piquet
Les équations de la forme :x(t) = a.cos t – b.cos nt et y(t) = a.sin t – b.sin nt de période 2π , possèdent (n - 1) axes de symétrie.
Avec n = 4 , elle en possède donc 3 axes de symétrie. Il s’agit alors d’une épitrochoïde à trois lobes . Quelques exemples avec a = 7, b = 1, a = 4, b = 1, a = 1, b = 4 et a = 1, b = 7
Les trois axes de symétrie ont pour équations y = 0, y = 3 x et y = – 3 x
On peut lire avec intérêt l’analyse détaillée de l’épitrochoïde et de ses caractéristiques faite par Robert Ferréol sur son site mathcurve.com.
Annexe
Dans ce même type de courbe , avec 2 axes de symétrie nous avons par exemple le stator du moteur à piston rotatif réalisé par Félix Wankel qui déposa son brevet en 1929 . Le stator est une épitrochoïde à deux lobes , le rotor est un triangle de Reuleaux .
