A2834. Une limite singulière MB
Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points
A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points B0,B1,B2,B3,…Bn les uns à la suite des autres de sorte que la ligne brisée
B0A0B1A1B2A2B3A3….BnAn délimite les 2n + 1 triangles OA0B0, B0A0B1, A0B1A1, B1A1B2,…., An-1BnAn qui ont tous la même aire (voir figure ci-dessus pour n = 5)
Déterminer la limite de OBn /OAn quand n tend vers l’infini.
Supposons OB0 = OA0 = 1, OB1 = 2, Le rapport des surfaces des triangles OB1A1 et OB1A0 est 3/2, le rapport des surfaces des triangles OB2A1 et OB1A1 est 4/3, etc..
Pour n > 0 on a :
OBn = ((2n)(2n−2)(2n−4)...6.4.2)
((2n−1)(2n−3)(2n−5)...7.5.3.1) et OAn = ((2n+1)(2n−1)...7.5.3) ((2n)(2n−2)...6.4.2) Puis OBn
OAn = ((2n)(2n−2)(2n−4)...6.4.2)2
((2n−1)(2n−3)(2n−5)...7.5.3.1)2 * 1 (2n+1) On reconnaît une formule de Wallis :
La limite de ce rapport est Π/2.
