A504-La course de Marathon Solution
Dans les deux cas, puissance 4ème et cube, quand on étudie les suites d’entiers qui sont égaux à la somme des puissances 4 ou des cubes des chiffres des nombres qui les précédent, on finit toujours par obtenir :
- une suite cyclique (ex : 9219 dont la somme des puissances 4 des chiffres donne 13139 suivi de 6725 puis 4328, 4514, 1138 ,4179 et 9219 )
ou
- un nombre narcissique (ex :153 dont la somme des cubes des chiffres donne à nouveau 153).
Dans la course de Marathon, comme les numéros de dossards sont uniques, cela signifie qu’il faut identifier les suites d’entiers distincts avant d’arriver à un cycle ou à un nombre
narcissique.
S’agissant du premier groupe de tête, 59 est la longueur maximale de la suite d’entiers différents qui ont la propriété d’être égaux à la somme des puissances 4 des chiffres qui les précèdent.. Il y a logiquement plusieurs nombres initiaux possibles 2988, 5599, 8299, 8992,…,9559 mais dès le troisième rang, les nombres sont tous identiques quel que soit le nombre initial et l’on observe :
2998, 17234, 2755, 3667, 5074, 3282, 4209, 6833, 5554, 2131, 99, 13122, 115, 627, 3713, 2564, 2193, 6659, 9778, 15459, 8068, 9488, 15009, 7187, 8899, 21314, 355, 1331, 164, 1553, 1332, 179, 8963, 12034, 354, 962, 7873, 8979, 19619, 14420, 529, 7202, 2433, 434, 593, 7267, 6114, 1554, 1507, 3027, 2498, 10929, 13139, 6725, 4338, 4514, 1138, 4179 et 9219.
Dans le deuxième groupe de tête, avec la somme des cubes des chiffres, la séquence maximale est de longueur 14. Elle peut commencer par 177,717,771 ou 1077 mais dès le deuxième terme on retrouve toujours 687,1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153.
Le dossard n° 99 est le seul commun aux deux groupes.
