D1900. Un X fixe.
Soient un triangle ABC et un point P variable sur la droite BC de sorte que C est situé entre B et P et les cercles inscrits aux triangles ABP et ACP se rencontrent en deux points D et E.
Montrer que la droite DE passe par un point fixe X indépendant de la position de P.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Es evidente que si se aleja indefinidamente de , las rectas y se hacen para- lelas. Los centros de las circunferencias del problema están sobre la bisectriz de , que es la paralela media entre esas dos, es decir, la mediatriz de la altura desde . En este caso, las dos circunferencias son de igual radio, la semidistancia entre las paralelas. El eje radical de ellas es, por tanto, una recta vertical.
Supongamos unos ejes de coordenados centrados en , con en el eje de abscisas, El triángulo tiene lados , semiperímetro y el radio de la circunferen- cia inscrita. La circunferencia inscrita en tiene por centro el punto y como punto de contacto con el eje de abscisas. Análogamente para tenemos los puntos
y respectivamente.
Se tienen y , y de ahí Por tanto, .
está en la bisectriz de de , de ecuación,
; en la bisectriz exterior de de , de ecuación , por tanto, ,
.
El eje radical de nuestras circunferencias se obtiene igualando las ecuaciones de las mismas.
Estas son de la forma que, una vez desarrolladas son
.
De todo ello se sigue que el eje radical de las dos circunferencias inscritas tiene ecuación
;
Utilizando la fórmula , podemos simplificar la expresión anterior
Llevando estos cálculos a la ecuación del eje radical tenemos, después de simplificar el factor , obtenemos
Agrupando los términos que acompañan a , también podemos ponerla como
Para que los ejes radicales pasen por el mismo punto han de anularse las expresiones entre corchetes, es decir, el punto , si existe, es la solución del sistema de ecuaciones
De la primera ecuación se obtiene , que es la mediatriz de la altura desde .
Sustituyendo se obtiene quedando .
Nota.- se obtiene de la intersección de ese par de rectas; esto no quiere decir que esas rec- tas sean ejes radicales de circunferencias obtenidas al variar . De hecho, no hay ningún eje radical de ese haz que sea horizontal, pues la pendiente no es nula nunca.
