N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Certificats d’études supérieures des
facultés des sciences. Session de novembre 1900. Compositions
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 1 (1901), p. 214-223
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CERTIFICATS D'ETUDES SUPÉRIEURES DES FACULTÉS DES SCIENCES.
SESSION DE NOVEMBRE 1900. — COMPOSITIONS.
Rennes.
ÀNALISI:.
EPREUVE ÉCHITE. — i° Ven fier que les tangentes à La courbe représentée par les équations
l œ = t*f"{t)—>itf'(t)-irif(t)%
0) <r =
/V),
f Z^tf'(t)~f\t),
oit t désigne un paramètre variable, sont parallèles aux génératrices d'un cône du second degré, et montrer que toute courbe dont les tangentes sont parallèles aux génératrices de ce cône peut être représentée par les équations (i).
2° Former V équation aux dérivées partielles du pre- mier ordre des sur/aces enveloppes des plans oscilla- teurs des courbes (i) quand on y regarde /(t) comme une fonction arbitraire.
3° Intégrer Véquation trouvée
—1 = o.
ÉPREUVE PRATIQUE. — Calculer Vintégrale double dx dy
lié
•+-J)3étendue à Vaire du triangle formé par les trois droites
x— 1 = 0, y— i — o , &-*-y—3 = o :
i° Par la méthode directe;
2° En effectuant d'abord le changement de va- riables défini par les formules
X , Y
x -+- y x -\-y MÉCANIQUE.
ÉPREUVE ÉCRITE. — On donne un centre d'action O, une droite AB et, dans le plan ABO, la famille de cir- conférences dont chacune a, avec O, la droite AB pour axe radical.
Montrer quil existe une force répulsive émanant de O et dépendant de la distance et de i'angle polaire qui peut, pour des conditions initiales convenables, faire mouvoir sur ces diverses circonférences des
mobiles de même masse.
Considérant celle de ces circonférences qui est vue de O sous l'angle droit, on peut donner à la force cor- respondante la forme -^> ou [x est une fonction de Vangle polaire 9; trouver les autres mouvements que cette force peut faire décrire et, en particulier, ceux qui sont circulaires.
Etudier dans les deux cas les mouvements qui se
produisent et en spécifier les conditions initiales, les mobiles étant supposés placés sur la droite qui pro- jette O sur AB.
La force considérée étant delà forme /'~2<p(Q) étudiée par Jaeobi, le problème peut se ramener à des quadra- tures.
EPREUVE PRATIQUE. — Le centre d'une boule homo- gène pesant /[oo8r est soutenu à im de distance au- dessous d'un point fixe O par un cordon en repos attaché en ce point. On imprime à cette boule, suivant une des horizontales de son centrey une percussion assez forte pour qu'elle s'élève au-dessus de O, et pas suffisante pour que le mouvement produit soit révolutif. Dans ces conditions, le cordon se repliera à partir d'une certaine époque tK et se retendra à une certaine époque postérieure t2- Que doit être l'impul- sion initiale pour que toute la force vive possédée par la boule à l'époque t2 soit dépensée uniquement pour tendre le coi don. Calculer les directions du coi don aux époques t^ t2, et dire en quoi consistera le mou- vement succédant à l'époque £2-
On reconnaît immédiatement que, d'après les con- ditions de l'énoncé, la tangente à la trajectoire para- bolique, à l'époque £2, doit passer par le point O. La solution du problème se déduit facilement de cette remarque.
ASTRONOMIE.
EPRELVE ÉCRITE. — La parallaxe annuelle des étoiles.
EPREUVE PRATIQUE. — La latitude géographique de Bennes (Tour Saint-Mélaine) est i8°6fôd". Trouver la
latitude géocentrique et la longueur du rayon terrestre en ce point.
On prendra pour valeur de l'aplatissement
et, pour le rayon équatorial,
Toulouse.
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL.
EPREUVE ÉCRITE. — I. Série de Laurent.
II. Les trois coordonnées cartésiennes rectangu- laires x, y, z d'un point d'une courbe C, exprimée en fonction d'un paramètre £, vérifient le système d} équations différentielles
dx
dt =' + *>
dy __
di - dz
i° Déterminer les expressions de ces trois coordon- nées en fonction de t;
CA° Montrer que toutes les courbes C satisfaisant à la question sont des courbes planes uiiicursales qui sont normales à une famille de surfaces dont on demande l'équation.
III. Intégrer l'équation aux dérivées partielles du premier ordre
2Z—px-hqy H- 22=o,
ou p et q désignent les dérivées partielles de la fonc-
( 2 . 8 )
tion inconnue z par rapport aux variables indépen- dantes x et y.
ÉPREUVE PRATIQUE. — On considère Vellipsoïde qui, rapporté à trois axes rectangulaires, a pour équa- tion
x2 y- z-
9 i i
et qui passe par le point P, aj ant pour coordonnées 6 6 6
— y y=-
7' * = y
On demande :
i° De calculer, en ce point P, les rayons de courbure principaux ;
2° De déterminer la courbe de l'ellipsoïde pour tous les points de laquelle le produit des rayons de courbure principaux a la même valeur qu au point P.
GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE.
EPREUVE ÉCRITE. — I. On construit une congruence de droites en menant des droites respectivement per- pendiculaires aux plans tangents d'une surface (S) et Von suppose que ces droites soient ent rainées dans la déformation de la surface (S) :
i° Démontrer que, pour chacune d'elles, le produit des distances de ses points focaux au plan tangent correspondant de (S) reste invariable ;
2° Indiquer comment on doit particulariser la sur- face (S) et la construction des droites pour que la con-
gruence de ces dernières soit toujours formée de nor- males à une même surface.
IL On considère une sphère variable S dépendant
de deux paramètres et dont le centre décrit une sur- face (S) ; démontrer les propositions suivantes :
i° Les droites qui joignent chaque point de Venve- loppe des sphères au point correspondant de (2) de- meurent invariablement liées à cette dernière surface quand on la .déforme de toutes les manières possibles, chaque point de (S) entraînant la sphère dont il est le centre ;
2° La droite joignant les deux points de contact de la sphère S avec son enveloppe engendre une con- gruence dont les développables correspondent à deux familles de courbes conjuguées tracées sur la sur- face (S), et les tangentes à ces courbes en un point de (2) sont perpendiculaires aux points focaux de la corde correspondante ;
3° Les deux plans tangents à la sphère S aux points où elle touche SOJI enveloppe se coupent suivant une droite située dans le plan tangent correspondant de (S).
Les développables de la congruence engendrée par cette droite correspondent à deux familles de courbes con- juguées tracées sur (2); et les tangentes à ses courbes
en un point de (2) vont couper la droite correspon- dante de la congruence en ses deux points f oc aux.
Indiquer la forme que prennent ces propositions lorsque la surface (2) est une sphère.
NOTA. — On rappelle les formules
dp dpi f}ç dtx
= ? ' " ' - ' " ? " T ~ = r r r r
ó v d t t t i i ^ dr dr\
dv du
l ox = dx -L- (J Ö?W 4- £1 ûfp) H- (</ ö?i« -f- ^ ! Ö?P)3 — ( /• du 4- /'! dv)yt
K » 8^ = dy -+- ( ïj <i« -4- r,t dp) 4- ( r du -\~ ri dv)x — (p du 4-p\dv)z^
' ïjz — dz •+• (p du -\- pi dv)y — ( q du 4- qi dv).r,
( 220 )
ainsi que celles (fui s'en déduisent, dans les cas d'un réseau («, v) orthogonal, en y faisant
S = A , È , = o , rt = o, TQi = C .
ÉPREUVE PRATIQUE. — On considère Vhélicoïde gauche à plan directeur H, lieu des points dont les coordonnées rectangulaires X, Y, Z sont définies par les éf/uations
X = u cose,
Y = u sinp, Z = at>,
dans lesquelles u et v désignent des variables indépen- dantes et a une constante.
Un trièclre rectangle Mxyz se meut de manière que, dans chacune de ses positions, l'arête Mz soit normale en M à la surface H et l'arête M^ tangente à la courbe (y) de H qui passe au sommet M.
Exprimer en fonction de u et v les différentes quan- t i t é s $, 7|, £ , , r i , , /;, <7, 7', /J>O <7,, r , <7*«' f i g u r e n t d a n s les formules relatives au trièdre mobile considéré.
Former pour la surface H et pour chacune des nappes de sa développée Véquation des lignes de courbure et celle qui détermine les rayons de courbure principaux.
MÉCANIQUE RATIONNELLE.
EPREUVE ÉCRITE. — Une tige homogène pesante, de longueur /, porte à ses extrémités deux petits anneaux polis qui glissent, l'un sur un axe vertical AB, Vautre sur une parabole verticale ayant pour axe AB.
Trouver la position d'équilibre de la barre.
L'équilibre est-il stable ou instable?
Examiner les deux cas où la parabole tourne sa concavité "vers le bas ou vers le haut,
Etudier le mouvement de cette barre.
Calculer les réactions de la parabole et de Vaxe.
Cas particulier ou 1 = p, p désignant le paramètre de la parabole.
EPREUVE PRATIQUE. — Soient trois axes rectangu- laires Ox, OJK, O z. On trace dans le plan za {fig. i)
Fis. ».
A jr
une droite AC et dans le plan xy une parallèle BD à Vaxe Ox.
Une droite QR glisse sur AC et sur BD en restant toujours parallèle au plan zy.
On demande de déterminer le centre de gravité du solide homogène compris entre les tiois plans xy, yz, zx, et la surface engendrée par la droite mobile QR.
On donne
MÉCANIQUE APPLIQUÉE.
ÉPREUVE ÉCRITE. — 1. Déformation du rhom- boïde articulé plan. Pivots à révolution complète.
Représentation analytique de la déformation. Cas particuliers.
NOTA. — On ri admettra aucun résultat relatif à la déformation du quadrilatère quelconque.
( 222 )
IL S<, S2, S8, S< sont quatre corps solides articulés comme il suit :
S\ a un axe fixe A< et est relié à S2 par un axe À2
perpendiculaire à S< et le rencontrant en O{.
S4 a un axe fixe A4 et est relié à S3 par un axe A3
perpendiculaire h S', et le rencontrant en O/4.
S2 tf£ S3 sont reliés par une articulation sphérique de centre O tel que OO, soit perpendiculaire à A2 et OO/, perpendiculaire à A3.
Chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu un mouvement de rotation de sens constant de Si autour de A1 produise un mouvement de rotation de sens cojistant de S* autour de A4.
Généraliser dans le cas ou Vorthogonalité de OOt
sur A2 et de OO,, sur A3 n'existerait plus.
EPREUVE PRATIQUE. — Une poutre articulée droite ABCD, formée de triangles rectangles isoscèles, a un point fixe en A ( fig. 2). Elle est articulée en C à
Fig. 2.
une tige CE, laquelle est articulée en un point fixe E choisi de façon' que la poutre soit inclinée à 45° et que la tige CE soit horizontale. Déterminer les réac- tions et tensions du système sous Vaction d^un poids de ioookg attaché en B en négligeant le poids propre des barres.
On construira l'épure à l échelle de i<m par iook ë.
ASTRONOMIE OU MÉCANIQUE CÉLESTE.
ÉPREUVE ÉCRITE. — Précession des équinoxes; nu- tation. Définitions; valeurs numériques des arcs et des angles qui interviennent dans la représentation de ces phénomènes.
Précession annuelle en ascension droite et en dé- clinaison ; formules qui la représentent.
Coordonnées moyennes d'un astre.
jl") ant les coordonnées moyennes d'un astre au commencement d'une certaine année, comment trouve- t-on les coordonnées vraies de cet astre à une date quelconque ?
EPREUVE PRATIQUE. — Une hauteur du bord infé- rieur du Soleil a été mesurée à Toulouse, dans la ma- tinée*, et trouvée égale à
48°53'55'/,
la température étant de 23° et la pression atmosphé- rique de y^2mm. On demande l'heure vraie.
Données :
Latitude du lieu, Â = 43°36'45".
Déclinaison du centre du Soleil tirée des èphémé- rides, 8 = i8°i6'36".
Demi-diamètre du Soleil = i 5' 5i", 5.
Formule de réfraction
R = 6o",6 —7- — — tang z7
a — o7oo366.
