DM n 3
ECE1 — 2011-2012 à rendre pour le lundi 3 octobre
Définitions et notations
On suppose connue la notion de fonction dérivable sur un intervalle. Soit alorsI un intervalle réel, etf :I →R. Sif est dérivable surI, et si sa dérivéef’ est également dérivable surI, on dit que f estdeux fois dérivablesurI. On note alorsf’’ ouf(2)la dérivée def’.
Soitk ∈ N∗. Similairement, on définit (par récurrence) la notion de fonction kfois dérivable sur I, et de dérivéek-ième (notéef(k)), quandf est (k−1)fois dérivable sur I et que f(k−1) est encore dérivable surI. Enfin, on définit la notion de fonctionindéfiniment dérivablesurI, pour les fonctions qui sontkfois dérivables surI pour toutk.
Toutes les fonctions étudiées dans ce problème sont indéfiniment dérivablessur leur intervalle de définition. C’est en particulier le cas de toutes les fonctions usuelles, ou fonctions définies à partir des fonctions usuelles, qu’on rencontrera : on ne demande pas de justifier ce fait. On pose f(0) =f etf(1)=f’.
Une fonctionf définie sur un intervalleI à valeurs dansRest diteabsolument monotone(en abrégé :AM) surI lorsquef et toutes ses dérivéesf(k)sont positives sur l’intervalleI.
Une fonctionf définie sur un intervalleI à valeurs dansRest ditecomplètement monotone(en abrégé :CM) surIlorsque pour toutk∈N, la fonction(−1)kf(k)est positive surI.
On dit quef estAM jusqu’au rangnsi les fonctionsf,f’,f’’,. . .,f(n)sont positives. On dit quef estCM jusqu’au rangnsi les fonctionsf,−f’,f’’,. . .,(−1)nf(n)sont positives.
L’objet de ce problème est d’étudier certaines propriétés des fonctions AM et CM. De nombreuses preuves (presque toutes) devront être faites par récurrence : l’énoncé ne le précise pas à chaque fois, l’initiative est donc laissée à l’étudiant. On apportera le plus grand soin possible à la rigueur des preuves et à la rédaction.
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Partie I. Quelques exemples.
1.
(a) Vérifier que la fonctionx7→exest AM surR. (b) Soitgla fonctionx7→ 1
x, définie surR∗+. Montrer que, pour toutn∈N, pour toutx,g(n)(x) = (−1)nn!
xn+1 . En déduire quegest CM surR∗+. 2.On posefα(x) =xα, définie surI =R∗+. (a) On supposeα∈N. Montrer que, sin≤α, on a :
fα(n)(x) = α!
(α−n)!xα−n=α(α−1)(α−2). . .(α−(n−1))x(α−n) En déduire quefα(α+1)est nulle, puis quefα est AM.
(b) On supposeα∈/N. Montrer que l’on a, pour toutn: fα(n+1)(x) = α−n
x fα(n)(x)
En déduire quefαne peut pas être AM. Déterminer les valeurs deαpour lesquellesfαest CM.
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3.Soitf :R→R.
(a) Montrer que, sif est paire, alorsf’ est impaire.
(b) Montrer que la seule fonction impaire de signe constant surRest la fonction nulle.
(c) En déduire sif est paire et AM, ou sif est paire et CM, alorsf est constante. Montrer récipro- quement que les fonctions constantes sont bien à la fois AM et CM.
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Partie II. Propriétés de stabilité.
1.Soitf définie surR. On définitg, également surR, parg(x) =f(−x). Montrer quef est AM si et seulement sigest CM.
2.Les fonctions considérées dans cette question sont toutes définies surR. Soitn∈N.
(a) Montrer que le produit de deux fonctions AM jusqu’au rangnest lui aussi AM jusqu’au rangn. (b) En déduire que le produit de deux fonctions CM jusqu’au rangnest lui aussi CM jusqu’au rang n.
(c) Qu’en est-il du produit de deux fonctions AM ? de deux fonctions CM ? 3. Soientf etgdéfinies surReth=f◦g.
(a) On suppose quef etgsont AM. Prouver quehest AM.
(b) En déduire que, sif est AM et sigest CM, alorshest CM.
(c) En considérant les exemples des fonctions f1 = g1 définies par x 7→ 1/x, puis des fonctions f2 =g2 définies parx 7→e−x, montrer qu’on ne peut rien conclure en général pourhsif etgsont CM.
4.Soitf etgdéfinies surI = [0,1[parf(x) = 1
√1−x2 etg(x) =lnf(x). (a) Trouver deux réelsaetbtels que l’on ait, pour toutx∈I:
f’(x) f(x) = a
1 +x + b 1−x (b) Exprimerg’ en fonction def etf’.
(c) En déduire quegest AM, puis quef est AM, à l’aide des questions précédentes.
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