Classe de 1-S Polynômes de degré 2 1
Polynômes du second degré : Exercices corrigés.
Exercice 1 :
Factoriser le polynômeP(x) = 3x2+ 7x−5, et en déduire ses racines.
Solution 1 :
On passe par la forme canoniqueP(x) = 3 x2+73x−53
= 3
x+762
− 762
−53 = 3
x+762
−10936
. La factorisation est doncP(x) = 3
x+762
− √
109 6
2
= 3
x+76−
√109
6 x+76+√1096 . Et les racines de P sont donc −7+6√109 et −7−6√109.
Solution 2 :
On calcule le discriminant∆ = b2−4ac = 72−4×3×(−5) = 109. On a∆ >0 donc il existe deux racines distinctesx1= −b−2a√∆ = −7−6√109 etx2=−b+2a√∆= −7+6√109.
La factorisation deP est doncP(x) =a(x−x1) (x−x2) = 3
x−−7−
√109
6 x−−7+
√109 6
.
Exercice 2 :
Dresser le tableau de variations deP(x) = 3x2+ 7x−5.
Solution :
P est de la formeP(x) =ax2+bx+c, avec
a= 3 b= 7 c=−5
On a donc −2ab = −67, eta= 3>0donc on a le tableau de variations suivant :
x Var. de
P
−∞
+∞
−7 6
P −67
+∞
+∞
Un calcul donneP −67
=−12109.
Exercice 3 :
Dresser le tableau de signe deP(x) =x2+ 4x−5.
Solution :
P est de la formeP(x) =ax2+bx+c, avec
a= 1 b= 4 c=−5
On calcule le discriminant∆ =b2−4ac= 42−4×1×(−5) = 36 = 62. On a∆>0 donc il existe deux racines distinctesx1= −b−2a√∆ = −42−6 =−5etx2=−b+2a√∆ =−4+62 = 1.
Puisquea= 1>0,P est positif à l’extérieur des racines. D’où le tableau de signe :
x Signe de
P(x)
−∞ −5 0
1 0
+∞
+ − +
Exercice 4 :
Résoudre l’inéquation(x−1)(x+ 5)<0.
Solution :
SoitP le polynôme du second degré P(x) = (x−1)(x+ 5).
P admet pour racinesx= 1et x=−5, et puisque son coefficient dominant est a= 1, le tableau de signe deP est
x Signe de
P(x)
−∞ −5 0
1 0
+∞
+ − +
Les solutions de l’inéquation sont donc les réels x∈]−5,1[.
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Exercice 5 :
Résoudre l’inéquation2x2−5x≥0.
Solution :
On factorise2x2−5x=x(2x−5).
SoitP le polynôme du second degré P(x) =x(2x−5).
P admet pour racines x= 0 et x= 52, et puisque son coefficient dominant esta= 2, et 2>0, le tableau de signe deP est
x Signe de
P(x)
−∞ 0 0
5 2
0
+∞
+ − +
Les solutions de l’inéquation sont donc les réels x∈]−∞,0]∪5 2,+∞
.
Exercice 6 :
Résoudre l’inéquation(2x−1)(−x+ 3)<0.
Solution :
SoitP le polynôme du second degré P(x) = (2x−1)(−x+ 3) =−2x2+ 7x−3.
P admet pour racinesx= 12 etx= 3, et puisque son coefficient dominant esta=−2, et −2<0, le tableau de signe deP est
x Signe de
P(x)
−∞ 1
2
0
3 0
+∞
− + −
Les solutions de l’inéquation sont donc les réels x∈
−∞,12
∪]3,+∞[.
Exercice 7 :
On donne ci-dessous les représentations graphiques de quatre fonctions polynôme du second degré P définies parP(x) =ax2+bx+c.
Dans chacun des cas, indiquer le signe dea, le nombre de racines et le signe du discriminant du polynôme.
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Solution :
aest strictement positif
P possède une unique racine, ceci équivaut à∆ = 0.
aest strictement positif
P possède deux racines distinctes, ceci équivaut à
∆>0.
aest strictement négatif
P possède deux racines distinctes, ceci équivaut à
∆>0.
aest strictement négatif
P ne possède aucune racine, ceci équivaut à∆<0.
Rappel: le signe dea est déterminé par les variations de la courbe ou encore par la forme "en U" ou "en U inversé".
