Leçon 23 Équations et inéquations logathmes
1. Équations logarithmes Définition
Soit deux nombres positifs a, b et a1, b1.
Une équation logarithme est une équation de la forme : 1) loga f(x)=b
2) loga f(x)=logag(x)
3) loga f(x)=g(x)
4) loga f(x)=logbg(x)
Théorème
1)
=
= b
a f x a
x b f
x
f ( )
0 ) ) (
( log
2)
=
= ( ) ( )
0 ) ) (
( log ) (
log f x g x
x x f
g x
f a
a
3)
=
= ( )
) (
0 ) ) (
( ) (
loga g x
a x f
x x f
g x f
4) loga f(x)=logbg(x)
Si ab alors f(x)=g(x)=1
Exemple 1 : Résoudre 2 4
log log log 9, ( 0, 1)
ax− a x+ a x= 4 a a
Solution
= +
−
= +
−
9 log log
2 log 4
0 4
log 9 4 log 1 2 log 1
0
x x
x x x
x x
x
a a
a a a
a
3
3 log
0 9
log 3
0 x a
x x x
x
a a
=
=
=
On obtient S=
a3 ,a0 et a1
Exemple 2 : Résoudre log3
(
4 3− x−x2)
−log 13( −x)=0Solution
( )( )
−
=
−
−
+
−
=
− =
−
−
− +
− =
−
−
−
−
−
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
1 3
4 1
0 4 1
1 1 3
3 4
1
0 4 3
1 0 3 log 4
0 1
0 3
4
2 0
2 2
2 3
2
−
=
=
−
=
− +
−
3 ,
1 1
1 4
0 3 2 1
1 4
2 x x
x x
x x x
x
=1
x ne convient pas. Donc S =
−3Exemple 3 : Résoudre log6
(
x− +8)
log6(
x+ =8)
2Solution
=
−
=
−
=
−
−
= +
−
+
−
10 ,
10
8 8
6 64
8 8
2 ) 8 ( ) 8 ( log
0 8
0 8
2 2
6
x x
x ou x
x
x ou x
x x x x
−10
=
x ne convient pas. Donc S =
10 . 2. Inéquation logarithmeDéfinition
Soit deux nombres positifs a, b et a1, b1.
Une équation logarithme est une équation de la forme : 1) loga f(x)logag(x)
2) loga f(x)logag(x)
Théorème
➢ Cas 0a1
1)
( ) 0
) ( ) ) (
( log ) (
log f x
x g x x f
g x
f a
a
2)
( ) 0
) ( ) ) (
( log ) (
log g x
x g x x f
g x
f a
a
➢ Cas a1
1)
( ) 0
) ( ) ) (
( log ) (
log g x
x g x x f
g x
f a
a
2)
( ) 0
) ( ) ) (
( log ) (
log f x
x g x x f
g x
f a
a
Exemple 1 : Résoudre log5
(
2x+4)
log 55(
x+3)
3 1 5
1 5 1 3 1
5 1 1 3 0
3 5
3 5 4 2
1 5
−
−
−
+
+
+
=
x x
x x
x x
x x
a
On obtient donc =− 3 ,1 5 S 1
Exemple 2 : Résoudre log 24
(
x2−2x)
2Solution
( )
( )( )
+
−
−
−
−
−
−
−
=
0 4 6
0 ) 2 ( 0
24 2
0 ) 2 ( 24
2 0 2
1 24
2 2 2
2
x x
x x x
x x x x
x x x a
. x
(
x−2)
0 .(
x−6)(
x+4)
0
On obtient S=
−4,0
2,6
Exemple 3 : Résoudre 1 1 2
3 3
log xlog x
Solution
(
1)
00 0
3 1 1
2 2
−
−
=
x x x
x x
x x a
On obtient donc S =
0 ,1
.3. Système d’équations logarithmes Exemple 1 : Résoudre le système :
2 2
4 4
log log 1
log log 1
yx y
x y
− =
− =
Solution Condition :
1 0 0 y y x
2 2
2 2
2
2 2 2
4 4
4
log log
2 log 1 2 log 1
log log 1 log log
log log 1
log 1 4
y
x x
y y
x y y y
x x
x y
y y
− = − =
− =
− =
= =
2 2 2
2 2
2 2
log 4 log 4 log
2 log 1 2 log 1
log log
4 4
y y
y y
y y
x y x y
− = + − =
= =
(
2)
2(
2)
2 log2 12 2 log 0 log 1
4 4 4
y y y
x y
x y x y
− = = =
= = =
+
-4 0 2 6
log2 1
4 y
x y
=
= ou
=
−
= y x
y 4
1 log2
.
=
=
=
=
8 2 4
1 log2
x y y
x y
.
=
=
=
=
−
= −
2 2 2 1 4
1
log2 1
x y y
x y
On obtient donc S=
(
8, 2 , 2,)
12
Exemple 2 : a. Résoudre le système :
2
log log 2
20
yx x y
x y
+ =
− =
b. Calculer log5xy+2x+2y
Solution
a. Condition :
1 et 0
1 et 0
y y
x x
2
2 2
log 1
log 2
log 2
log log 2
log log
20 20 20
y y y
y x
y y
y x
x
x y
x x
x y
x y
x y
+ = + =
+ =
− =
− = − =
( )
2( )
22 2
log 1 2 log log 2 log 1 0
20 20
y x y x yx yx
x y x y
+ = − + =
− = − =
( )
22 2
2
log 1 0 log 1
log 1 0
20 20
20
y y
yx x x
x y x y
x y
− = − = =
− = − =
− =
( )( )
2 20 2 20 0 5 4 0
x y
x y x y
x x
x x x x
= = =
− = − − = − + =
=
−
=
=
5 , 4 x x
y
x , x=−4 ne convient pas On obtient donc S=
( )
5,5
.b. log5xy+2x+2y =log 5 55
(
+ +)
25 25 =log 25 32 325 + += +2 32 32+ =66
4. Système d’inéquations logarithmes
Exemple 1 : Résoudre le système :
( )
+
−
− +
+1) log 2 log ( 4) (
log
5 , 0 5
, 0 5
, 0
5 1 5
1 5
1
5 1 5
1
4 log log
3 log
x x
x x
Solution
Condition : 4
4 1 3
0 4
0 1
0 0 3
−
−
+
−
x x
x x
x x x x
( )
+
−
− +
+1) log 2 log ( 4) (
log
5 , 0 5
, 0 5
, 0
5 1 5
1 5
1
5 1 5
1
4 log log
3 log
x x
x x
( )
−
+
+
+
−
log ( 1) log 2 log ( 4) 4 log log
3 log
5 1 5
1 5
1
5 , 0 5
, 0 5
, 0
x x
x x
−
+
−
log 2( 1) log ( 4) 4 log 3 ( log
5 1 5
1
5 , 0 5
, 0
x x
x x
( )
( )
−
−
−
−
+
−
6
0 4 3 4
1 2
4
3 2
x x x x
x x
x
( )( )
−
−
+
6
0 4 1 x
x x
On obtient donc S=
4,+
-1 4
-6 -1 4
Exercices 1. Résoudre les équations suivantes :
a. log log log4 3 2
(
3x2−4)
=0 b.( ) ( )
( ) ( )
2 lg 10 2
lg 10 1
lg 1 lg 1
x x
x x
− − − + =
− −
c. xlnx+lnx+ + =x 1 0 d. log2x+4log 2x =5 e. log2
(
x2− −x 4)
2=log0.1(
0.01)
f.(
1 log+ x 27 log)
3x+ =1 0g. log2x+log3x=log2xlog3x h. log2
(
4x−1+2x−1+6)
= +2 log2(
2x−1+1)
i. 1 1 1 2
3 2 6
log log log 1 0
4
x x =
− +
j.
( )
( )
lg 35 3
lg 5 3 x x
− =
−
2. Déterminer la valeur de k telle que :
2 4
3 3 3
log x x +log x x +...+log kx x =1950 et x
1, +
Indication : utiliser 1 2 3 ... ( 1) 2 n n n+ + + + + =
3. Résoudre les inéquations suivantes : a.
( 2 ) ( )
2 2
log 2 log 4 1
1 1
5 5
x+ x−
b. lg 3
(
x+4)
lg(
x− +1)
1c. log log log4 3 2
(
x2+2x)
0 d. 2 log2(
x+ −2)
log2(
x− 1)
4e. log 32 x− +2 1 log2 x+1 f. ln
(
x2 −3)
0g. 1
(
2)
2
log x −5x+7 0 h. lg(x− 3) lg(x+ −6) 1 i. logx
(
x2+ − x 1)
logx(
x2+1)
j. 2lg (249 x+ − 1) 1 0 4. Soit S =
x, 2lg 1
lg 10
4 2 9 2 2 0
x x
+
− +
. a et b sont les éléments de S qui ont pour maximum et minimum respectivement. Calculer la valeur deb a . 5. Soit x et y deux réels positifs vérifiant logy
( )
x3 +logx( )
y3 =10 et xy=144.Calculer . 2 x+ y
6. Résoudre chacun des systèmes d’équations suivants : a.
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log log log 2
log log log 2
log log log 2
x y z
y z x
z x y
+ + =
+ + =
+ + =
b.
8
( )
8 88 8
8
log 3log .log 4 log log
log
xy x y
x x
y y
=
=
c.
( )
12 2 2
2 3 3
log 1 log log
log 2
log log 3log
x
x y x
x x y x
+ =
+ =
d. 4
log 5log 6
2 243
yx x y
y x y
+ =
+ =
e. log2 2 4 2 log2 3
16
x y
x y
+ =
+ =
f. 3 log 2 log1 10
81
y
x
x y
xy
− =
=
g. 2 32
2 2 2
log 8 log
5log log log 2
y x
x y
= −
= −
h. 3 3
3 3
2 log log 7 0 log 2 log 4 0
x y
x y
+ − =
− + =
7. Soit x et y deux réels positifs vérifiant
3 2
log log
3 1 3
3
9 4 16
log log 2 log 2
x y
x y
+ =
− = −
.
Calculer x2−y2 .
8. Résoudre chacun des systèmes d’inéquations suivants :
a. 2 5,5 15
25 27
2log 2 3log 4
ln ln( 4) ln 21
5 x 3 x
x x
−
+ −
b.
( )
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
lg 2 3 lg 1
log log 3 log 4 log 4
1 1
2 2
x x
x x
− −
− − +
c. 1
(
2)
2
1 1
lg lg 1 0
log 5 7 0
x x
x x
−
−
− +
d.
( )
( ) ( )
2 6
2 2
log 1
log 2 3 log 4
x x
x x
+
+ +
e.
4 2
log log 4 3 2
lg 3lg 3
lg 1 1 x x
x x
x
−
− +
−
f.
( )
( )
1 1 1
3 3 3
1 2
log log 1 log 12
log 4 5
1 1
5 5
5 1
x x
x
+ +
−
