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EM1 : Induction électromagnétique

Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l’induction s’opposent à la cause qui les a produits.

Loi de modération de Lenz

1 Circuit fixe dans un champ variable

1.1 fem induite

Partons de la loi de Maxwell-flux : Ð→rotÐ→

E = −∂Ð→ B

∂t et déterminons un flux au travers d’une surface S :

∬^SÐ→rotÐ→

E = −∬^S ∂Ð→ B

∂t

= ∮^ΓÐ→ E ⋅Ð→

dl Or la grandeur Ð→

E ⋅Ð→

dl est homogène à une tension. Il en résulte que sur un contour fermé dans une zone de champ magnétique variable apparaît une fem dite induite

Dans le cas d’un circuit fermé fixe de contour Γ orienté, placé dans un champ magnétique variable, la f.e.m induite e

est donnée par la loi de Faraday

e = − dΦ

dt = − d (∬

Ð → B . Ð →

dS ) dt

Σ s’appuyant sur le contour Γ, orienté selon la règle du tire bouchon Loi de Faraday

Le contour doit théoriquement être fermé afin d’appliquer la loi de Faraday.

En pratique, on pourra l’utiliser entre deux point A etB sur un contour quasiment refermé.

Pour une portion AB de circuit de résistance R pour lequel le phénomène d’induc- tion est traduit par la fem induite e

,

u

= R.i

− e

Loi d’Ohm généralisée

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1.2 Auto-induction

1.2.1 Inductance propre

Il existe un phénomène d’induction du à l’apparition d’un champ magnétique crée par le courant circulant dans le circuit lui-même. Ce phénomène est alors appelé auto-induction.

L’intensité parcourant un circuit créant un champ magnétique, celui-ci va avoir les mêmes conséquences sur le circuit qu’un champ extérieur.

On peut quantifier cet effet :

● Le courant i(t) traversant le circuit crée en tout pointM un champ Ð→ B(M, t)

● En orientant le contour selon le sens choisi pour i(t), on peut calculer le flux propre pour le circuit ΦP = ∬_SÐ→

B(M, t).dÐ→ SM

● Or les ligne de champ sont orientées de l’intérieur vers l’extérieur de la surface, donc Ð→

B(M, t).dÐ→ SM >

0 ∀ M ∈S

● D’autre part, en tout point M, le champ magnétique est proportionnel à l’intensité du courant i(t) traversant le circuit.

● Bilan : ΦP =L.i(t)

● On se situe ici dans le cas de Neumann : ep(t)=−dΦP

dt =−L.di(t) dt

Le flux du champ magnétique induit par le courant i ( t ) traversant le circuit, nommé flux propre, est proportionnel à i ( t ) . On définit l’inductance propre, L, exprimée en Henry (H) ce coefficient. Alors

Φ

= L.i ( t )

L’effet sur le circuit est alors caractérisé par une f.e.m induite : e

= − L di ( t )

dt i ( t ) R

e

= − L di ( t ) dt

Loi d’Ohm généralisée

V

− V

= R.i + L. di

dt − e

avec e

: fem induite par d’autres phénomènes que l’auto-induction

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1.2.2 Circuit R−L soumis à un échelon de tension

On alimente une bobine de résistance R et d’inductance L par un générateur fournissant un échelon de tension entre 0 et E. Il n’existe aucun champ magnétique extérieur.

● Loi d’Ohm généralisée : e(t)=R.i+L.di dt

● Pour t>0,e(t)=E ce qui donne avec les CI :

i(t)=E R

⎛⎜

⎝1−e⁻ t τ⎞

⎟⎠ τ = L R

● Le bilan de puissance nous donne

PJ oule=R.i² = E² R

⎛⎜

⎝1−e⁻ t τ⎞

⎟⎠

2

P^géné=E.i= E² R

⎛⎜

⎝1−e⁻ t τ⎞

⎟⎠

Pbob=Pgéné− PJ oule= E² R

⎛⎜

⎝1−e⁻ t τ⎞

⎟⎠.⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎣ 1−⎛

⎜⎝1−e⁻ t τ⎞

⎟⎠

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦ En réarrangeant l’expression, on obtient alors

P^bob=L.i.di dt = d

dt(1 2L.i²) 1.2.3 Energie électromagnétique

Une bobine crée en tout point M de l’espace un champ magnétique Ð→

B(M) auquel on associe une énergie magnétique volumique

um= 1 2µ0

.B²(M)

L’énergie totale associée au champ magnétique, et donc au phénomène d’auto-induction, correspond à E^m= ∭_espace 1

2µ0

.B²(M).dτ

Or on a vu dans l’étude précédente que l’énergie emmagasinée par un tel système s’exprime en fonction du coefficient L. On peut donc comparer les deux expressions

Une bobine d’inductance L emmagasine une énergie à un instant t telle que E

= 1

2 L.i

( t ) = ∭

1 2µ

.B

( M ) .dτ

Énergie emmagasinée par la bobine

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On peut considérer qu’il s’agit là d’une seconde définition du coefficient d’auto-induction.

1.3 Couplage magnétique de circuits

1.3.1 Inductance mutuelle

Considérons deux circuits fermés, chacun comportant une bobine. On note respectivement N1 et N2 leur nombre de spire et S1 et S2 leurs sections.

r1, L1

i1(t)

r2, L2

i2(t) u1(t) u2(t)

● La bobine (1) crée au niveau de la bobine (2) un champ magnétique Ð→

B1. Alors Φ¹→2= ∑

N₂∬ Ð→

B1(P, t) Ð→

dS2

● D’après la loi de Biot et Savart, L’intensité du champÐ→

B1sera proportionnel, en tout point de l’espace, à l’intensité i1 traversant la bobine créeant le champ.

● On peut donc définir une céractéristique M12 de la géométrie des circuits (1) et (2) et écrire ce flux sous la forme

Φ1→2 =M12.i1(t) De la même manière, on définit M21 tel que Φ2→1 =M21.i2(t).

Deux circuits couplés sont caractérisés par leur inductance mutuelle dépendant de la géométrie des circuits

M = M

= M

On admet l’égalité des deux grandeur (Théorème de Neumann) Alors

Φ

= M.i

( t ) Φ

= M.i

( t ) Inductance mutuelle

Le coefficient M est une grandeur algébrique. En effet, si l’on choisit d’inverser le sens de "rotation" de l’intensité dans l’une des bobines, le champ crée par cette bobine changera de sens et par conséquent l’effet sur la seconde sera inversé.

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1.3.2 Equations électriques

On a désormais pour chacune des bobines les effets cumulés de l’auto-induction et de la mutuelle induction.

Φi =Φp,i+Φj→i

Ce qui donne d’après la loi d’Ohm généralisée vu précédemment : u1(t)=r1i1+L1

di1

dt +Mdi2

dt De même pour le second circuit.

On peut donc retenir l’analogie suivante :

i1

L1, r1

u1

M

i2

L2, r2 u2

i1

e1=−L1

di1

dt −Mdi2

dt

r1

i2

e2=−L2

di2

dt −Mdi1

dt

r2

1.3.3 Aspect énergétique

Si l’on reprend l’exemple précédent, on aura P^sources=u1.i1+u2.i2=(r1+L1

di1

dt +Mdi2

dt)i1+ (r2+L2

di2

dt +Mdi1

dt)i2

Or le bilan peut également s’écrire

P^sources=P^joule+dE^m dt

Comme P^joule=r1.i²1+r2.i²2, on obtient par identification l’énergie magnétique d’un tel système

L’énergie magnétique d’un système de deux circuits couplés, en l’absence d’autres sources magnétiques, s’écrit

Em= 1

2L1i²1+1

2L2i²2+M i1i2

2 Circuit mobile dans un champ statique

On admettra que pour les circuits étudiés, la loi de Faraday et la loi d’Ohm géné- ralisée sont applicables.

fem induite

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2.1 Conversion électromécanique : le haut-parleur

2.1.1 Analyse de la réponse Schéma du haut-parleur¹

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

⊗

⊙

Ð→ ⊗ B Ð→ B

i x

Aimant

Bobine Membrane

Ressort

Coupe transversale de l’aimant

Ð→x i

Ð→ B

Aimant Bobine

Vue de face de l’aimant Modélisation :

L, r

x(t)

B A

b

Ð→ B

(k, l0) u(t)

l0

Bilan des forces pour le système barre AB :

● Poids et réactions se compensent

● Force de rappel du ressort (k, l0) (modélisant la membrane ainsi que la pression de l’air)

● Frottements fluides de coefficient f

● Forces de Laplace

2.1.2 Mise en équations

● Fem induite : e=−B.L.x˙

● Équation électrique : u(t)=B.L.x˙+r.i+L.di dt

● Équation mécanique : m.x¨=B.L.i−k.x−f.x˙

Fonction de transfert electro-mécanique :

˙ x

u = −L.B

L².B²+ (r+j.L.ω).(f+j.(m.ω− k ω))

2.1.3 Bilan de puissance

On exprime les puissances sous deux formes :

● Puissance électrique générée par la f.e.m induite

P^ind=e.i=−L.x.B.i˙

● Puissance des forces de Laplace

P^Lapl=Ð→

Flapl⋅Ð→v =+L.x.B.i˙

Le phénomène d’induction prélève l’énergie au circuit électrique pour la restituer sous forme mécanique.

Ce couplage est parfait Conversion d’énergie

1. Ce schéma est mis à disposition sur ce site. Merci à l’auteur !

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