L'analyse des correspondances sur juxtaposition de tableaux de contingence

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

A. L ECLERC

L’analyse des correspondances sur juxtaposition de tableaux de contingence

Revue de statistique appliquée, tome 23, n

^o

3 (1975), p. 5-16

<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1975__23_3_5_0>

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L’ANALYSE DES CORRESPONDANCES

SUR JUXTAPOSITION DE TABLEAUX DE CONTINGENCE(1)

A. LECLERC

INSERM, ^{Division de la} Recherche Médico-Sociale

On sait _que

l’analyse

^des

correspondances

^est

particulièrement adaptée

à l’étude des tableaux de

contingence ;

^elle

permet

^{alors d’étudier} les relations entre deux variables

qualitatives.

Si l’on cherche à étudier les relations entre deux _groupes de variables

qualitatives,

et que l’on

dispose

des valeurs

prises

par chacune de ces variables ^sur les mêmes

sujets,

^on

peut

^{former un tableau}

"juxtaposition

de tableaux de

contingence"

^croisant l’ensemble des modalités des variables du

premier

groupe ^avec l’ensemble des modalités des variables du second _groupe.

Nous nous demandons ici

quelles propriétés possède l’analyse

^{des corres-}

pondances

^{effectuée sur un} tableau de ^ce genre, et comment ^on peut

interpréter

au mieux ses résultats.

1 ^- ANALYSE D’UN TABLEAU DE CONTINGENCE

1 / Rappel

^sur

l’analyse

^des

correspondances

Pour un

exposé complet

^sur

l’analyse

^des

correspondances,

^{il faut se}

référer à

(1)

^ou

(2).

^{Mais on}

peut

^ici

rappeler

^les

grandes lignes

^{de la}

méthode,

en

adoptant

^une

présentation

^assez

simple.

Soit 1 x J un tableau _que l’on _suppose être ici un tableau de

contingence,

et que l’on cherche à

analyser.

^{On notera :}

*

nu

l’effectif de la case

(i , j)

* ni

^et

nj

les effectifs

marginaux :

^somme des éléments d’une

ligne

^ou

d’une colonne.

* n la somme des éléments du tableau : c’est ici le nombre de

sujets

*

fij = nij/n

^la

^fréquence

associée à la case

(i , j)

*

fi

^et

fj

^les

fréquences marginales : ni /n

^et

nj/n fi ⁼ fu/fi et f;

⁼

fu/fj

^les

fréquences

conditionnelles

Pour

simplifier,

^on

appellera

^{aussi 1 et J le nombre de}

lignes

^{et le nombre}

de colonnes.

(1) Article remis en Décembre 1973, ^{révisé en Octobre 1974.}

6

On

imagine

^{dans un} espace

RJ (espace

^{à J}

dimensions),

^{muni de la}

métrique

1/fj,

^{le nuage des}

^points

"i"

représentés

^{par des vecteurs de} coordonnées

fil 1

auxquels

^sont associés des masses

fi. ^L’analyse

^des

correspondances

^sera

l’analyse

^{de ce} nuage par

rapport

^{à son centre de}

gravité.

Il revient absolument ^au même de munir

RJ

^{de la}

métrique

euclidienne

classique

^et

d’analyser alors,

par rapport ^à leur centre de

gravité,

^des

points

"i" de coordonnées

fij/fifj, ^toujours

^{munis de masses}

f;, (analyse

^en compo- santes

principales classique).

L’analyse

fournira des fonctions

projection

^{sur les axes} factoriels d’inertie

(directions d’allongement

^du

nuage).

On réservera le nom de "facteurs" aux

fonctions

s’appliquant,

^non pas ^aux vecteurs de

composantes fii/fiv/’17

^{mais aux}

vecteurs

f1

^de

composantes fu/fi = fij, représentant

^{une loi de}

probabilité

^sur

J,

connaissant i. On

appellera ~Jq

^une fonction de ce

type, correspondant

qu

q-ème

axe

factoriel,

^et

~jq

^une

composante

^{de cette fonction :}

Une démarche

parallèle peut

^être

appliquée

^à

l’analyse

^de

points "j"

dans un espace

RI.

^On

appellera

^de

façon analogue ~Iq

^{une fonction}

s’appliquant

aux vecteurs

"j"

^de composantes

fij/fj,

^et

~iq

^une composante ^{de cette fonction.}

Les valeurs propres des deux

analyses

^sont les mêmes : on les notera

Xq

On

appellera Q

l’ensemble des indices _q caractérisant des

couples

de facteurs

(~Iq, ~Jq) correspondant

^{aux valeurs} propres

Àq ^rangées

^dans l’ordre décroissant.

2/ Quelques propriétés

^de

l’analyse

^des

correspondances

Les

caractéristiques

^{de la}

méthode, rappelées ici,

serviront de référence pour

l’analyse

^d’une

juxtaposition

de tableaux de

contingence.

Toutes les for- mules

présentées

^{sont vérifiées en effet}

quelque

^{soit la nature du tableau}

analysé.

^{Seule leur} utilisation en vue de

l’interprétation

peut ^différer.

Signification

^{de l’inertie totale}

Les deux _nuages de

points évoqués plus

^{haut ont même inertie} par rapport à leur centre de

gravité.

^{Pour les}

points

"i" de coordonnées

fij,

^{de masses}

^fi,

dans

l’espace R J

^{muni de la}

métrique 1/fp

cette inertie s’écrit :

(le

^{centre de}

gravité

^{est le}

point

de coordonnées

fj)

L’inertie s’écrit sous une forme

plus symétrique :

La

quantité

de droite

rappelle

^une

expression

^{connue. C’est ce} que l’on calcule habituellement ^{sur un} tableau de

contingence,

^et

qui

^{suit un Khi -}

2 sous certaines

hypothèses,

d’où le résultat :

Revue de Statistique Appliquée, 1975 vol. XXIII N° 3

Dans

l’analyse

^des

correspondances appliquée

^{à un} tableau de contin- gence, ⁿ fois l’inertie

suit,

^sous

l’hypothèse d’indépendance

^entre

lignes

^et

colonnes,

^{et à condition} que les effectifs ne soient _pas

trop petits,

^{un Khi -}

2 à

(I - 1) (J - 1) degrés

de liberté.

Propriétés

^des

facteurs

Ce

qui

peut s’écrire ^en notations condensées :

ou :

ou :

Ceci entraîne _que dans une

représentation graphique, l’origine

est centre de

gravité

^des

points représentant

les variables "i" affectés des masses

fi,

comme des

points représentant

les variables

"j"

affectés des masses

fj.

8

* La formule de

décomposition :

associée aux conditions

ci-dessus, permet

de démontrer facilement :

* que toute reconstitution du tableau _par un sous ensemble

Q’

de facteurs res-

pectera ^les marges et l’effectif total du tableau :

(on

caractérise ce sous

ensemble _par le sous ensemble

Q’

^{des indices}

correspondants)

en notant :

* que l’inertie du tableau

s’exprime

^{comme somme de termes}

dépendant

^chacun

d’un facteur :

ceci permettra ^{de tester}

l’hypothèse :

^{"un sous ensemble}

Q’

de facteurs est suffisant _pour

expliquer

le tableau de

départ".

* On _pourra étudier

l’apport

^d’une

variable j (ou

d’une variable

i)

^au

niveau’

de

l’explication

^{du tableau} par ^un facteur :

Puisque

cette

quantité

pourra être

comparée

^à

Xq ^(c’est

^{ce que l’on}

^{appelle parfois}

la contribution absolue d’une variable à ^un

facteur)

* D’autre

part,

^on peut démontrer facilement :

On _pourra donc comparer

l’apport

^d’une

variable j

^{au niveau} d’un facteur q à

l’apport

^{de cette} variable dans l’inertie du tableau

(contribution relative).

II - ANALYSE D’UNE JUXTAPOSITION DE TABLEAUX DE CONTINGENCE

Nous allons voir si les

propriétés précédentes

^de

l’analyse

^des correspon- dances sont

transposables

^à

l’analyse

^d’une

juxtaposition

de tableaux de contin- gence, et si certaines notions fructueuses _pour

l’interprétation (part

^d’inertie

Revue de Statistique Appliquée, 1975 vol. XXIII N° 3

expliquée,

contributions absolues et

relatives)

^{ont des}

équivalents

pour le

type

de tableau

qui

^{nous intéresse.}

1 /

^{Notation et}

exemple

I x J sera le tableau

global,

^{avec :}

1 x J sera

juxtaposition

de L. M tableaux de

contingence

^{sur les mêmes}

sujets.

^Nous

appellerons

^encore

nij

l’effectif ^en

(i , j) ;

ni ^et

nj

^seront

nous noterons K la somme des éléments du tableau.

Nous noterons :

Il faut remarquer que ^ces

quantités, qui

^{avaient un sens très}

simple quand

il

s’agissait

^d’un tableau de

contingence (effectifs, fréquences),

^n’ont

plus

^ici

une

signification

^évidente.

Pour

reprendre

les notations

habituelles,

^nous

parlerons

de variable i

ou j ;

un ensemble

Il

^ou

Jm

^sera

^appelé

^groupe de variables bien

qu’il représente

en fait l’ensemble des modalités d’une variable

qualitative

^{m ou 1.}

Exemple de tableau de ce type

Le tableau

précédent

^{est la}

juxtaposition

^de 6 tableaux de

contingence

réalisés ^sur le même échantillon de 1 558

ménages.

^{Ici L =}

2,

^{M = 3. L’inter-}

section d’une

ligne

^et d’une colonne

représente

^un effectif. Par

exemple,

^la

case

(3, 6)

contient le nombre de

ménages (262) qui

à la fois :

10

- ont un dentiste

habituel,

-

appartiennent

^{à la}

profession

²

(cadres supérieurs).

2/

Inertie du tableau

global

L’analyse

du tableau

global

^{sera basée sur la}

décomposition

^{d’une inertie}

calculée formellement comme si I x J était ^un tableau de

contingence,

^mais dont la

signification

^{ici reste à}

préciser.

L’inertie du tableau

global

^{s’écrit :}

On va montrer que la

quantité :

est

L - 1 M

fois l’inertie telle

qu’elle

^{serait calculée si on} considérait le tableau

Il

^x

Jm

^seul.

Il faut _pour cela

exprimer fi’

^;

f; ; f;j ; fréquences

^{calculées sur le tableau}

Il

^{1 x}

Jm ,

^et

K1 m ,

^{1 somme des termes de ce}

tableau,

^{en fonction des}

quantités

fi ’ fj , fij , K :

KIm

^est l’effectif du tableau

Il

^x

Jm.

^C’est le nombre de

sujets

^concernés.

Or ces

sujets

^{ont été}

comptés

L. M. fois dans le tableau 1 x

J,

^{d’où :}

donc

f’i est

^le

pourcentage

^de

sujets

^concernés par la modalité i.

Le nombre de

sujets

^concernés par la modalité i est

ni/M ;

^en effet dans la

ligne

^{i de 1 x}

J,

^{de somme} ni, ^ces personnes ont été

comptées

^{M fois. D’où :}

Revue.de Statistique Appliquée, 1975 vol. XXIII N° 3

De même

*

Il s’ensuit :

Soit le résultat :

L’inertie du tableau

global

^{est la} moyenne des inerties des tableaux de

contingence qui

^le composent.

Ce

premier point est

encourageant quant à ^l’étude par

l’analyse

des

correspondances

^d’une

juxtaposition

de tableaux de

contingence :

^la

quantité qui

^sera

décomposée

par les facteurs -l’inertie

globale-

^{a aussi une}

significa-

tion

précise

pour ^notre tableau.

3/

^{Test sur} la reconstitution du tableau

global

Non seulement l’inertie du tableau

global

^{est la moyenne des inerties}

des tableaux

qui

^le composent, ^mais encore, ^sous

l’hypothèse d’indépendance

entre les _groupes de variables

11

^et

Jm ,

^{K fois cette}

^quantité

^{suit une loi du}

khi-2 à

(I - L) (J - M) degrés

^{de liberté.}

K fois l’inertie

s’écrit, d’après

la formule

précédente :

Soit la somme de I.J termes de la forme : ,

(effectif

observé - effectif

théorique)2

effectif

théorique

les effectifs observés étant liés aux effectifs

théoriques

par ^un certain nombre de relation linéaires

indépendantes.

La

propriété (7)

des facteurs :

expression

^{de l’inertie} du tableau

global

comme somme des valeurs propres est ^encore valable ici. On _pourra donc tester,

comme on le fait

habituellement,

^{et avec} les mêmes

réserves, l’apport

^d’un

facteur dans

l’explication

du tableau

global :

^on pourra ^se demander

si, après explication

par ^{un ou}

plusieurs facteurs,

^K fois l’inertie restante

peut

^{être con-} sidérée comme la réalisation d’un Khi-2 à

(I - L) (J - M) degrés

^{de liberté.}

On

conçoit

que ^ce test n’est _pas

suffisant,

ⁿⁱ

toujours

^très intéressant : le choix des variables

qualitatives

introduites dans ^le tableau

peut

^{être assez}

arbitraire,

^{et on aimerait en savoir}

plus

^sur

l’explication

par les facteurs des relations

pouvant

^{exister au niveau de} groupes de

variables I1

^ou

Jm

prises séparément.

12

4/ Moyenne

des facteurs

sur I1

^ou

Jm

La

plupart

^des

propriétés

^{vérifiées sur 1 ou J} par les facteurs

cpâ ^ou

ne sont pas vérifiées

sur I1

^ou

Jm

^{par des}

.restrictions ~I1q

^ou

cpqm

^{des facteurs}

à Il

^ou

Jm .

^En

particulier,

^{les facteurs}

~’I1q

^{1 que l’on} obtiendrait _par

l’analyse des

^x

^{J ,}

^{ne sont pas} des restrictions

~I1q

^{1 des facteurs de}

^{l’analyse globale.}

Parmi les

propriétés (1)

^à

(4)

^des

facteurs,

seule la

propriété (3)

^{a un}

équivalent

pour les restrictions des facteurs :

Une

fonction ~I1q est de

^{moyenne nulle pour la}

métrique fi

Une

fonction ~Jmq

^{est de moyenne nulle pour la}

^métrique fJ

soit :

(on

aurait aussi bien _pu

remplacer fi

^et

fj par f’i

^et

f’ fréquences

^calculées

sur I1 x Jm ).

Démonstration

(Pour

^{une fonction}

’PlI)

Soit

RJ l’espace

^{des lois de}

probabilité

^sur J. Les éléments

rJ

^{sont des}

points

^de cet espace et

~Jq ,

facteur de

l’analyse

^des

fiJ

^{est un élément de}

^{R J.}

Comme élément de

RJ , ~Jq

^est combinaison linéaire des

03B4Jj,

^fonctions

qui

^{à un}

point

^de

RJ

^font

correspondre

la coordonnée d’ordre

j.

Pour toutes les fonctions

8/

^{on a :}

Cette

expression

^vaut en effet :

j appartient

^au groupe de variables

Jm

^et dans le tableau de

contingence

I1 x Jm , on a :

Ce

qui

^{s’écrit en}

exprimant û , ^{1 f , 1 ,} f’j

j ^en fonction de

fij , fi , fj :

Revue de Statistique Appliquée, 1975 vol. XXIII N° 3

On a donc :

qui

^{entraîne :}

Or

~Jq (f J )

^{= 0}

^d’après

^la

propriété (3)

des facteurs Donc

Ce

qui

^{s’écrit aussi :}

.

D’après

^la

propriété (2)

des facteurs

Conséquence

^{sur la}

représentation

^{des résultats}

Les variables sont ^en

général représentées

par des

points

de coordonnée

La

représentation

^{de résultats}

d’analyse

^des

correspondances

^{sur une}

juxtaposition

de tableaux de

contingence possède

^{donc la}

qualité

^{suivante :}

L’origine

^{est centre de}

gravité pondéré

^non seulement de

chaque

^en-

semble de

variables,

^{I ou}

J,

^{mais encore de}

chaque sous-ensemble Il

^ou

Jm .

Il revient au même de

pondérer

^{une variable} par ^son

poids

^{dans l’ensemble}

du

tableau,

^ou par ^son

poids

par

rapport

^{aux autres variables} du groupe

auquel

^elle

appartient.

51 Apport

^d’un groupe de

variables Il

^ou

Jm

On sait _que dans un tableau de

correspondances,

^on

peut

^isoler

l’apport

d’une

variable j (ou i)

^dans

l’explication

du tableau _par un facteur.

Ici on isolera la

quantité :

(ou

son

équivalent

pour

Il)

On pourra comparer cette

quantité

^à

Xq, ^puisque

^la

^{propriété (8)}

^est

vérifiée sur le tableau

global :

On

parlera

de contribution absolue d’un groupe de variables à un facteur.

14

On pourra aussi comparer

l’apport

^d’un groupe

Jm

de variables à

l’expres-

sion :

et l’on

parlera

^{alors de} contribution relative d’un facteur à un groupe de variables.

On ^{a en} effet

(propriété (9)

^des

facteurs)

Donc aussi :

La contribution relative

présente l’avantage

^de

pouvoir

^{donner lieu à un}

test : ^.

la

quantité

est en

effet,

^dans

l’hypothèse d’indépendance

^entre

Jm

^et

chaque

groupe de variables

I1,

^{une variable}

^qui

^{suit une} loi du Khi - 2 à

(I - L) (Jm - ¹⁾ degrés

de liberté. La démonstration est

analogue

^{à celle}

évoquée

^{en 11-3.}

On _pourra donc _comparer la

quantité :

(où Q’ représente

^un sous-ensemble de

facteurs)

à un Khi-2 à

(I - L) (Jm - 1 )

^{dd 1}

Ceci pourra permettre ^de

juger

^de

l’apport

d’un sous-ensemble

Q’

^de

facteurs à

l’explication

des relations entre

Jm

^{et tous les groupes} de variables

Il ^prises

dans leur ensemble.

Ce

procédé présente

des défauts

analogues

^{au test}

global

^{sur 1 x J : le}

choix arbitraire de _groupes de

variables I1 ^peut

enlever de la

signification

^à l’inertie de 1 x

Jm ;

^{le test ne}

renseigne

pas ^sur la

façon

^{dont un} sous-ensemble

Q’

^{de facteurs}

explique

chacun des

tableaux 1,

^{1 x}

Jm .

^De

^plus,

^{on sait}

^qu’en

analyse

^de

correspondances,

^la

comparaison

^de 1"‘inertie restante" à ^un Khi- - 2 dont le nombre de ddl est celui du tableau de

départ, prête

^{à la}

critique.

Néanmoins,

^{les tests au niveau de} groupes de

variables I1

^ou

Jm

^pourront

préciser

^{la structure} du tableau :

Des _groupes de variables

Jm

^et

Jm, ^expliqués

^{par des facteurs différents}

pourront être considérés comme dissemblables vis-à-vis des variables 1.

Revue de Statistique Appliquée, 1975 vol. XXIII N° 3

Un tableau I ^x

Jm

pourra rester

inexpliqué

par les

premiers facteurs,

^alors

même que ^ces facteurs

expliquent

bien le tableau 1 ^x J dans son ensemble.

61

Reconstitution d’un tableau

Il

^x

lm

^{par un ou}

^plusieurs

^facteurs

Venons-en maintenant à un tableau de

contingence Il

^x

Jm

^{et démontrons}

la

propriété

^{suivante :}

Toute reconstitution de I ^x J _par un sous-ensemble

Q’ de facteurs

^conserve

les _marges des tableaux

Il

^x

Jm

Démonstration

soit

et

(formule

^de

décomposition)

On aura :

car la sommation

sur Il

^{de termes de la forme :}

est nulle

puisque ~Iq

restreinte

à Il

^{est de moyenne nulle.}

On a évidemment un résultat

analogue

pour ^une sommation sur

Jm .

Ainsi la reconstitution _par un ou

plusieurs

facteurs redonne des tableaux

Il

^x

Jm ^qui

^{ne diffèrent des} tableaux de

départ

que parce

qu’ils ^expriment

des relations différentes

entre 1,

^{1 et}

J.,

^avec les mêmes effectifs

marginaux,

et en conservant évidemment le nombre de

sujets

^{’initial. Ceci nous} permet de _comparer un tableau reconstitué au tableau de

départ correspondant.

Nous _pouvons considérer le tableau de

départ (Il

^x

Jm )

^{comme notre}

hypothèse nulle,

tableau de référence

indiquant

^{un certain}

type

de relation

entre 1,

^{1 et}

Jm , ^éloigné

^de

l’indépendance :

^la reconstitution d’un tableau

qui n’exprimerait

pas de relation

entre Il

^et

Jm

^{ne nous intéresse pas.}

Nous calculerons alors :

gij

^{étant le} résultat de la reconstitution par ^{un sous} ensemble

Q’

de facteurs et comparerons cette

quantité

^{à un Khi-2 à}

(Il - 1) (Jm - 1)

^ddl

Ceci permet

d’apprécier,

pour

chaque

^tableau

(Il

^x

J m)’

^sa reconstitution par ^{un ou}

plusieurs

facteurs. On pourra baser

l’interprétation

des facteurs sur

16

les tableaux

qu’ils expliquent

^{le mieux. On} pourra

parler

^de tableaux "sem- bables" s’ils sont bien reconstitués _par les mêmes facteurs ou groupes ^de fac- teurs, ^et isoler les tableaux mal

expliqués

par les

premiers

facteurs de

l’analyse . (Le procédé

^{ne se}

justifie

pas si l’effectif est trop

faible,

^le

tableau Il

^x

Jm

pouvant être difficilement considéré comme tableau de

référence).

Il faut noter que, l’inertie de

(Il

^x

Jm )

^{n’étant pas}

décomposable

^{en une}

somme de termes

positifs dépendant

^{chacun d’un}

facteur,

^il peut ^{se faire} que l’introduction d’un facteur

supplémentaire

n’améloiore _pas la reconstitution du tableau.

Remarques

^{sur les tests}

proposés

Les tests visant à

juger

^de

l’apport

des facteurs à

l’explication

^{du tableau}

prètent

^{tous à la même}

critique : l’hypothèse

^nulle

qu’ils

^testent

s’exprime

en fonction des facteurs

(sous

^la forme : tel sous-ensemble de facteurs est suf- fisant _pour

expliquer

les relations

observées),

^{les facteurs} étant eux-mêmes directement construits à

partir

des observations. Or une

hypothèse

nulle devrait

toujours

^{être définie avant examen} des données.

Dans

l’explication

^d’un sous-ensemble du

tableau,

^du

type Il

^x

J,

^ou

Il

^{1 x}

Jm ,

^{on peut nuancer la}

critique :

^{les facteurs}

peuvent

^{être assez} peu

dépen-

dants du sous-ensemble

considéré ;

^il peut ^{se faire}

qu’une analyse

^{refaite en}

enlevant les

sous-ensemble Il

^ou

Jm

donnerait des facteurs

ayant

^à peu

près

même

signification.

^{C’est ce}

qui

^se passe

quand

^on

analyse

^un tableau de

grandes

dimensions avec des variables redondantes.

Dans tous les _cas, il convient de donner aux seuils de

signification

^observés

une valeur

plutôt

indicatrice de distance entre les données et certaines

hypothèses.

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l’analyse

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^{Thèse 3ème}

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^{de l’INSERM.}

1974

(exemple d’application)

Revue de Statistique Appliquée, ^{1975 vol.} XXIII N° 3