Chapitre 7 - LE RUISSELLEMENT

Chapitre 7 - LE RUISSELLEMENT

Introduction

7.1 Le ruissellement sur un bassin versant naturel

7.1.1 Définition des différents types d'écoulement 7.1.2 Les facteurs qui influencent le ruissellement 7.2 La relation pluie-débit et le ruissellement

7.2.1 Généralités

7.2.2 Relations préliminaires 7.3 L'hydrogramme

7.3.1 Rappel

7.3.2 Techniques de séparation de l'hydrogramme

7.4 Modélisation de l'hydrogramme de ruissellement

7.4.1 L'hydrogramme unitaire 7.4.2 Méthodes empiriques

7.5 La modélisation du processus de ruissellement

7.5.1 Approche empirique 7.5.2 Approche conceptuelle Conclusion

Bibliographie

Introduction

L'étude de l'hydrologie vise à mieux comprendre les différents phénomènes physiques agissant à l'échelle du bassin versant qui transforment une impulsion (précipitation et/ou fonte) en un débit mesuré en rivière. L'examen du cycle hydrologique (figure 7.1) nous montre les principaux phénomènes connus. Parmi ceux-ci, le ruissellement ou écoulement de surface survient lorsque l'intensité de la précipitation ou de la fonte est supérieure à la capacité d'infiltration du sol. On entend par ruissellement, l'écoulement par gravité, à la surface du terrain des eaux de pluies ou de fonte qui ont échappé à l'infiltration, à l'évaporation et au stockage superficiel (Réméniéras, 1965).

L'apparente simplicité du ruissellement naturel ne résiste cependant pas à l'étude en

1 Malheureusement, et nous l’espérons provisoirement, ce chapitre est présenté sans ses figures.

profondeur de ce phénomène hydrologique. L'analyse systématique de ce phénomène permet à l'hydrologue de dégager deux constatations :

a) La réelle complexité du phénomène (tant spatial que temporel) ; b) L'extrême difficulté de mesurer le ruissellement directement.

Il s'ensuit plusieurs problèmes face au désir de modéliser l'écoulement superficiel.

Encore aujourd'hui, le manque de mesures directes incite au développement de techniques d'estimation du phénomène (ex : séparation de l'hydrogramme mesuré en rivi ère) et l'effort de modélisation du ruissellement passe par une approche simplificatrice (modèle global , linéarisation du processus, etc..) où l'écoulement superficiel fait partie intégrante du processus plus global de la relation pluie-débit.

Le but de ce chapitre est de cerner le phénomène de l'écoulement superficiel, de décrire les techniques d'estimation du phénomène et de présenter les différentes approches de modélisation du ruissellement.

7.1 Le ruissellement sur un bassin versant naturel

Suite à une précipitation sur un bassin versant, on observe plusieurs phénomènes distincts mais inter-reliés dont la résultante globale est l'augmentation du débit à l'exutoire de celui-ci. Dans un premier temps, les premières gouttes de pluie sont interceptées par la végétation; cette eau sera généralement évaporée à la fin de l'averse (Chapitre 4 : L'évapotranspiration). L'eau qui atteint le sol directement ou qui n'est pas interceptée participe à la saturation progressive du terrain. Cette saturation est très variable dans l'espace et dépend surtout du type de sol présent en surface. Il ne se produit pas de ruissellement tant que l'intensité de la précipitation ou de la fonte (taux) ne dépasse pas la capacité d'infiltration du sol (Chapitre 6 : L'infiltration). Si l'intensité de la pluie excède cette capacité, un mince film d'eau se forme et s'écoule par gravité le long des pentes où son mouvement est plus ou moins freiné par les irrégularités du terrain et sa couverture végétale.

Une partie de l'eau qui ruisselle s'accumule d'abord dans les dépressions de la surface, cette eau sera par la suite évaporée ou infiltrée. Les dépressions remplies, le surplus d'eau disponible continue sa course en empruntant des micro-canaux dont la réunion forme des rigoles plus importantes qui se déversent finalement dans le réseau hydrographique du bassin.

Ce réseau de canaux peut s'observer à la surface du terrain ou se développe sous la surface en empruntant des voies tracées par des racines pourries, des petits rongeurs ou autres. Cette circulation rapide sous la surface s'apparente souvent à la définition de l'écoulement hypodermique ou retardé. Par ailleurs, on remarque souvent une résurgence de l'écoulement hypodermique à la surface, à la faveur d'une particularité topographique du sol (talus, brusque changement de pente, falaise, etc … ). Ces phénomènes expliquent en partie la difficulté de bien séparer le ruissellement de l'écoulement hypodermique comme on le verra plus loin.

La dernière phase du ruissellement est constituée par l'écoulement de l'eau dans le réseau hydrographique qui évacue vers l'exutoire l'eau ruisselée qui se trouve alors mélangée avec les autres composantes du débit global.

7.1.1 Définition des différents types d'écoulement

Avant de modéliser le ruissellement, il est essentiel de bien définir le phénomène, ses

composantes et ses caractéristiques. Cette définition étant posée, on s'attardera à la mesure du phénomène directement (in situ) ou, plus généralement, de façon indirecte, à partir du débit total en rivière.

Ainsi, l'estimation du phénomène se fait indirectement par l'hydrogramme observé Q(t) en un point donné du cours d'eau (l'hydrogramme étant la courbe des débits Q en fonction du temps t). Cet hydrogramme est en fait la mesure de la résultante globale en rivière des événements hydrométéorologiques affectant le bassin versant dans son ensemble (en tout ou en partie). La complexité des processus impliqués amène l'hydrologue à identifier les principales composantes de l'écoulement global issu du bassin versant. Cette étape consiste à identifier un certain nombre de processus distincts qui, regroupés, permettent de reproduire le débit à l'exutoire à partir des phénomènes météorologiques affectant le bassin versant. Ainsi, pour expliquer l'écoulement latéral de l'eau dans le bassin, on peut associer le ruissellement et l'écoulement hypodermique à un même processus ou, inversement, distinguer le ruissellement, l'écoulement hypodermique rapide et l'écoulement hypodermique retardé. De même, on considère la présence d'une nappe profonde unique ou de plusieurs nappes superposées , etc . De façon générale, la schématisation d'un bassin versant, illustrée à la figure 7.2, représente l'approche systématique la plus courante et acceptée de l'ensemble des hydrologues.

L'ensemble du processus étant soumis aux lois physiques de continuité et de conservation de la masse, on peut le représenter schématiquement par l'équation de bilan suivante :

𝑃 = 𝑄₁+ 𝑄₂+ 𝑄₃− 𝐸 + ∆𝑅 (7.1) où :

P : la précipitation affectant le bassin versant ; Q1 : le ruissellement ou écoulement de surface;

Q2 : l'écoulement intermédiaire ou hypodermique ; Q3 : l'écoulement de base ou souterrain ;

E : l'évapotranspiration ;

ΔR : la variation de l'eau contenue dans ies réserves souterraines , le sol et/ou les échanges in ter-bassins, s'il y en a.

L'élément qui nous intéresse ici est le ruissellement Q1; on se reportera aux autres chapitres pour une analyse plus précise des autres éléments de l'équation 7.1. Il est important de bien distinguer l'écoulement de surface des autres composantes du bilan hydrologique.

Pour de plus amples détails sur la définition et la classification de ces composantes, on se référera aux nombreux ouvrages déjà existants (Chow, 1964; Réménieras, 1965; Hewlett, 1969; Gray, 1970 ; Viessman et al., 1973; Raudkivi, 1979 et Llamas, 1985) et plus particulièrement aux chapitres 3 (Précipitation), 4 (Evaporation), 5 (Neige), 6 (Infiltration), 11 (Souterrain) et 12 (Karst) du présent ouvrage.

Il existe plusieurs méthodes pour mesurer (ou estimer) la valeur de Q1. On notera, en particulier, certaines méthodes approchées ou graphiques (section 7.3) et !a méthode par différence qui, connaissant les autres éléments de l'équation 7.1, permet de déduire la valeur de Q1.

Certains essais ont déjà été tentés pour mesurer directement le ruissellement in situ.

Ainsi, Dunne T. et Black R.D. (1971), de même que Kalinin G.P. (1971), ont réussi à mesurer le ruissellement en continu suite à une fonte printanière et les résultats obtenus, bien que très intéressants, l'ont été grâce à une installation complexe et très coûteuse qui ne peut s'utiliser qu'à très petite échelle. Plus récemment, plusieurs chercheurs se sont intéressés au partage entre eaux de ruissellement et eaux souterraines dans le débit des rivières en se basant sur la mesure des teneurs de certains éléments traces (ou ions-majeurs) présents dans les précipitations, la rivière et les eaux souterraines (¹⁸O, deuterium, tritium). Ces travaux (Pinder et Jones , 1969; Crouzet et al., 1970; Martinec et al., 1974; Fritz et al., 1976 ; Nook et al., 1979; Mérot et al., 1981; Rodhe, 1983) ont donné de très intéressants résultats qui permettent une nette amélioration des connaissances sur le ruissellement. La complexité et le coût élevé de telles mesures rendent difficile leur utilisation à grande échelle ou sur une base continue.

En réalité, l'hydrologue ne dispose généralement que de la mesure du débit total à l'exutoire et la mesure du ruissellement demeure encore approximative.

7.1.2 Les facteurs qui influencent le ruissellement

Comme on l'a souligné plus haut, l'écoulement superficiel intervient au moment où l'intensité de précipitation est supérieure au taux d'infiltration du sol et/ou lorsque le sol est saturé. De plus, l'écoulement observable ne débute que lorsque l'ensemble des petites dépressions de surface est plein et qu'il existe une pente suffisante pour amorcer le phénomène. Enfin, à l'échelle d'un bassin versant, il existe différents types de sol, de pentes et d'obstacles naturels qui influencent le régime de l'écoulement de surface.

L'écoulement superficiel ou le ruissellement est donc la résultante d'un ensemble de phénomènes hydrogéologiques et hydrométéorologiques à l'échelle d'un bassin versant dont la variabilité et les inter-relations confèrent au ruissellement un caractère complexe et difficilement mesurable. On associera souvent au ruissellement une partie (plus ou moins importante) de l'écoulement hypodermique devant l'impossibilité de les séparer clairement (ces deux types d'écoulement sont directement liés au transfert latéral de l'eau vers la rivière et sont caractérisés par un temps de réponse relativement court par rapport à la progression verticale de l'eau dans le sol).

La modélisation repose avant tout sur l'observation du phénomène et sa compréhension. Les principaux facteurs qui influencent le ruissellement sont de deux ordres : les facteurs climatiques et les facteurs physiographiques. La liste qui suit comprend les principaux d'entre eux.

A. Les facteurs climatiques

- La précipitation : type (pluie, neige), intensité, durée, distribution spatiale et temporelle, fréquence, direction (Cf Chapitre 3 : Précipitations);

- l'évapotranspiration (Cf Chapitre 4);

- la présence de neige au sol (Cf Chapitre 5);

- les conditions météorologiques (température, vent, humidité, etc ... ).

Ces caractéristiques ont une grande influence sur le ruissellement. Une pluie trop faible ne donnera aucun ruissellement alors qu'une forte pluie de longue durée ruissellera en grande partie. De même, une averse isolée sur une partie du bassin versant ne peut se comparer à une pluie uniforme sur l'ensemble du bassin, la première ayant un effet local sur le ruissellement, la seconde pourra plus facilement se comparer à une lame d'eau ruisselant sur

l'ensemble du bassin. On sait que l'humidité, la température et le vent influencent directement l'évaporation (Chapitre 4) qui détermine en grande partie l'excès d'eau disponible au ruissellement et l'état initial du sol (degré de saturation) avant la pluie. Enfin, la présence de neige au sol est un obstacle supplémentaire au ruissellement et elle modifie la forme de l'écoulement.

B. Les facteurs physiographiques

- les caractéristiques de forme du bassin versant, superficie, topographie, altitude, pente, orientation;

- les caractéristiques .physiques du bassin versant, type de sol et utilisation du sol, couverture végétale, capacité d'infiltration, type de sous-sol , présence de lacs, marécages ou réservoirs (Cf Chapitres 1, 10, 11 et 12).

- les caractéristiques hydrauliques du réseau de drainage : la capacité de transport, section de rivière, pente, rugosité, longueur, densité du réseau; la capacité d'emmagasinement en rivière (Cf Chapitre 9).

Ces derniers facteurs, contrairement aux facteurs climatiques, varient peu au cours du le temps. Ils sont représentatifs de la structure du bassin versant, alors que les premiers identifient la source et la variabilité des entrées (ou stimuli). Ainsi, la superficie et la pente influenceront le volume et la vitesse de l'écoulement de surface. De même, la capacité d'infiltration détermine l'efficacité du bassin à ·produire un ruissellement et le réseau de drainage à transporter plus ou moins rapidement cette eau vers l'exutoire. La forme du bassin joue un rôle important sur le "temps de concentration" (temps pris par une goutte d'eau pour parcourir la distance entre le point le plus éloigné et l'exutoire) et sur l'allure de l'hydrogramme d'écoulement de surface (un bassin allongé répondra de façon moins concentrée qu'un bassin circulaire). L'altitude du bassin versant (en tout ou en partie) caractérise les conditions climatiques. Enfin, la couverture végétale conditionne l'évapotranspiration (Chapitre 4), l'interception, la rétention de l'eau dans le sol, la rapidité du ruissellement et la fonte (Chapitre 5).

On doit reconnaître que ces caractéristiques n'ont pas toutes la même influence sur le ruissellement. Il est nécessaire de bien les définir (dans la mesure du possible numériquement) dès le début de toute étude sur un bassin versant. Plusieurs auteurs se sont attachés à développer des indices numériques pour représenter les facteurs qui influencent l'hydrologie d'un bassin versant. On retrouvera une liste détaillée de ces indices dans Chow (1964) et Llamas (1985). L'identification de ces indices permet, entre autres, d'estimer certaines données manquantes ou simplement absentes (tel le débit moyen ou la pointe instantanée) par des relations simples de type empirique (Section 7.2). Enfin, la distribution entre un petit et un grand bassin versant repose en grande partie sur la classification de ces indices. Ainsi, Chow caractérise un petit bassin par sa sensibilité aux pluies de grande intensité et de courte durée.

D'après Chow, un petit bassin versant ne dépasse pas 250 à 300 km². Ces définitions facilitent le choix du pas de temps pour l'étude d'un bassin versant. Or, ceci peut devenir important lors de l'utilisation de certains modèles (comme la méthode rationnelle, Section 7.4) pour évaluer le débit d'un bassin versant. Certaines méthodes ne s'appliquent qu'à de petits bassins et d'autres sont conçues pour de grands ensembles hétérogènes.

Enfin, parmi toutes les caractéristiques qui influencent le ruissellement, l'état de saturation initial du bassin versant est, sans doute, l'un des plus important. Tous les modèles, quels qu'ils soient, devront tenir compte de cette réalité : la mémoire du temps passé. Comme

on le verra plus loin, il existe certaines techniques préliminaires qui n'en tiennent pas compte directement; ces techniques sont d'ailleurs généralement moins performantes (en simulation et en prévision). En fait, on s'en rend facilement compte, la modélisation du ruissellement repose avant tout sur la connaissance de l'état du sol au moment où débute la pluie (c'est-à-dire la capacité du sol à absorber de l'eau).

7.2 La relation pluie-débit et le ruissellement 7.2.1 Généralités

L'intérêt que l'hydrologue porte au développement d'une relation pluie-débit repose sur l'évidence de la causalité et sur le désir de modéliser le système à l'étude pour mieux connaître et prévoir sa réaction (débit) aux stimuli (précipitation). De façon générale, les approches proposées ne concernent que la précipitation totale (ou la fonte des neiges) et le débit mesuré en rivière. De la même façon, l'étude du ruissellement introduit la notion de "pluie efficace", c'est-à-dire la partie de la pluie qui participe directement au ruissellement. Cependant, la difficulté de mesurer ces deux quantités empêche le développement d'une relation directe entre elles. Les efforts de modélisation du ruissellement portent avant tout sur la simulation des processus de production de la lame d'eau efficace à partir des précipitations globales et de l'état du sol et sur l'étude des processus de transferts latéraux de cette lame vers l'exutoire.

La simulation des processus de transferts latéraux en direction aval peut se faire de deux façons. La première, explicite, est soumise à plusieurs processus de transport différents : ruissellement de surface, écoulement hypodermique, écoulement de la nappe, écoulement en cours d'eau et vidange des lacs. La somme de ces écoulements a pour effet final d'amener l'eau jusqu'au point de contrôle choisi sur la rivière étudiée. La seconde façon est une approche globale de tous ces processus, c'est-à- dire un modèle qui relie directement la pluie (ou la fonte) au débit mesuré en rivière sans chercher à expliquer ou distinguer les différentes formes d'écoulement du bassin versant. Entre ces deux extrêmes, il existe plusieurs approches qui regroupent les écoulements en deux ou trois classes, soit le ruissellement, les écoulements souterrains (Cf Chapitres 11 et 12) et les écoulements en réseaux (Cf Chapitre 9).

Le choix des techniques repose avant tout sur l'utilisation projetée. Les modèles plus globaux qui allient l'intensité de la réponse et sa répartition dans le temps permettent souvent une redécomposition de l'hydrogramme (techniques de séparation, Section 7.3) pour en identifier les différentes composantes.

En résumé, un modèle de ruissellement qui se veut représentatif du processus physique de l'écoulement superficiel sur un bassin versant simule la production et le transport d'une lame d'eau déterminée (pluie efficace ou eau de fonte efficace) sur la surface du bassin versant et ce jusqu'à l'exutoire choisi. Pour de très petits bassins versants dont le sol est saturé ou très peu perméable, l'approche préconisée s'apparente aux modèles de simulation du ruissellement urbain (Cf Chapitre 8).

7.2.2 Relations préliminaires

La réponse d'un bassin versant à un événement météorologique est un phénomène complexe. Malgré cette complexité évidente, plusieurs méthodes ont été développées pour reproduire le débit des cours d'eau. En raison de connaissances limitées et d'outils de calcul rudimentaires, les premières méthodes synthétisaient l'ensemble du processus en utilisant des

relations simplifiées pour reproduire les débits.

On doit remarquer que ces premiers efforts s'attardent surtout à la relation pluie totale - débit total qui sont souvent les seules données disponibles. Si on dispose de l'information nécessaire (pluie nette, débit ruisselé), on peut cependant utiliser les mêmes approches.

L'intérêt de ces relations vise avant tout à mieux comprendre le processus global pluie-débit.

On pourra ensuite mieux disséquer le phénomène (par certaines techniques de séparation telles que décrites à la Section 7.3) et ainsi modéliser le processus de ruissellement.

Une première approche consiste à tracer une droite (par régression) reliant la précipitation (moyenne mensuelle ou annuelle, par exemple) et le débit moyen correspondant de façon à estimer le pourcentage de pluie qui s'écoule. Cette approche est sujette à de grandes erreurs et ne donne qu'une tendance générale à long terme. On obtient ainsi une relation du type :

𝑄 = 1

𝑝_𝑒(𝑃 − 𝑃_𝑏) (7.2)

où :

pe : la pente de la droite (ΔP/ΔQ) ;

Pb : la précipitation de base en dessous de laquelle le débit Q est nul.

Cette relation peut être améliorée en diminuant le pas de temps (jour, semaine) et en tenant compte de certains facteurs importants tels que la durée et la fréquence de l'averse, l'époque de l'année ou les conditions d'humidité du sol au moment de l'averse (état initial).

Ainsi, pour pallier au manque de mesures directes de l'humidité du sol, on utilisera certains paramètres ou indices comme indicateurs de l'état initial du sol. L'indice des précipitations antérieures (Antecedent Precipitation Index, API) est probablement le plus utilisé en raison de la facilité de mesurer les précipitations et de la relation directe entre la précipitation et le taux d'humidité présent dans le sol. La forme classique de cet indice est :

𝐴𝑃𝐼 = 𝑎𝑃₀ + 𝑏𝑃₁+ 𝑐𝑃₂ (7.3) où

API : l'indice pour la période considérée (mn);

𝑃₀, 𝑃_1,, 𝑃₂ ∶ les montants de précipitations de la période étudiée P0, la période précédente P1 et la deuxième période précédente P2 ;

a, b, c : coefficients ajustés de façon à optimiser la relation avec a+b+c=l.

Plus précisément, Kohler et Linsley (1981) ont proposé l'utilisation de l’indice API pour une averse isolée :

𝐴𝑃𝐼 = 𝑏₁𝑃₁+ 𝑏₂𝑃₂+ ⋯ + 𝑏_𝑖𝑃_𝑖 (7.4)

où les bi sont les coefficients et les Pi les hauteurs de précipitations i jours avant l'averse. On peut estimer, pour un pas de temps journalier, une relation de type exponentiel entre bi et i par bi=kⁱ où k est une constante de récession dont la valeur varie de 0,85 à 0,98.

Ces relations simples donnent peu d'information sur le ruissellement réel consécutif à une averse. L'approche demeure globale et générale sur la réponse d'un bassin versant dans son ensemble. Le lecteur aura aussi noté le peu d'attention portée à la distribution temporelle de la lame d'eau écoulée. Cette dimension essentielle sera traitée par des modèles plus complexes dont le développement repose sur l'examen attentif de l'hydrogramme.

7.3 L'hydrogramme 7.3.1 Rappel

L'analyse de l'hydrogramme permet le développement de modèles plus représentatifs du ruissellement. Il convient, dans un premier temps, de bien définir le problème par un rappel des caractéristiques et des composantes de l’hydrogramme.

La figure 7.3 nous montre un hydrogramme type. Cette figure décrit l'évolution dans le temps de l'écoulement mesuré sur une section particulière d'une rivière à la suite d'une averse isolée.

On distingue quatre parties différentes :

1. le segment d'approche AB ;

2. la courbe de montée ou de concentration BC ; 3. la courbe de décrue ou de récession CD ; 4. la courbe de tarissement DE .

L'hydrogramme étant une représentation graphique de la réponse globale du bassin versant, il est pratiquement impossible d'y distinguer les divisions exactes entre les différentes composantes du débit (le ruissellement, l'écoulement hypodermique et l'écoulement de base).

Il existe, cependant, certaines techniques de séparation qui, suivant une approche empirique, identifient approximativement ces trois principales composantes.

7.3.2 Techniques de séparation de l'hydrogramme

Plusieurs méthodes permettent d'extraire l'hydrogramme de ruissellement de l'hydrogramme total observé. La plupart des méthodes sont de type graphique et consistent à tracer une droite entre les points B et D ou B et E (figure 7.3) avec ou sans inflection au niveau du point C (correspondant à la pointe de l'hydrogramme). Le tracé de ces lignes tel qu'illustré aux figures 7.4 et 7.5 repose en grande partie sur les hypothèses retenues dans la définition de l'hydrogramme (figure 7.3). Ainsi, le segment d'approche AB (figure 7.3) reflète l'écoulement de base avant la pluie et son allure est représentative du tarissement de la nappe (écoulement souterrain, Chapitres 11 et 12) en l'absence de ruissellement. La courbe de tarissement DE (figure 7.3) représente le même phénomène suite à une recharge causée par l'averse. Enfin, la courbe de montée BC et de décrue CD se rapproche plus du ruissellement et de l'écoulement hypodermique suite à une averse (le point D correspondant à la fin de l'écoulement rapide en surface).

Ainsi, la figure 7.4 illustre le tracé de trois lignes possible pour séparer l'écoulement retardé ou souterrain du ruissellement, la ligne AA' , AB ou ACB, le point B étant choisi N jours ou heures après la pointe de façon à ce que B corresponde à la fin du ruissellement.

Une approche un peu plus élaborée consiste à tracer l'hydrogramme sur une échelle logarithmique et, par l'examen des points d'inflexion, à soustraire successivement l'écoulement de base et l'écoulement hypodermique et à considérer le résidu comme le ruissellement.

Cette méthode, illustrée à la figure 7.5, est basée sur le fait qu'en coordonnées logarithmiques les courbes de décrues de chacune des composantes sont approximativement représentées par des droites de pente différente. On retrouvera dans Chow (1964), Réménéiras (1965) et Llamas (1985), une description très détaillée de ces méthodes par ailleurs approximatives et subjectives.

Il existe, comme on l'a vu à la section 7.1.2, d'autres méthodes pour analyser les différentes composantes de l'hydrogramme (mesures in situ, méthodes chimiques ou isotopiques) mais leur complexité et leur coût freinent leur utilisation bien que les résultats soient généralement plus précis que les méthodes graphiques.

Cependant, l'analyse des résultats de ces dernières méthodes révèle certains phénomènes intéressants. Ainsi, l'examen des figures 7.6 et 7.7 montre que la composante de l'écoulement sous-terrain est beaucoup plus importante que ne le laissent croire les méthodes graphiques classiques (figures 7.4 et 7.5). En fait, la majorité des auteurs cités plus haut a rencontré des résultats semblables où la part de l'écoulement de base varie de 30 à 80 % du volume total écoulé [on a même tenté, dans certains cas (Pinder et Jones, 1969) de modéliser le phénomène. On doit reconnaître que l'hypothèse (généralement retenue) d'une part plus importante de l'écoulement de surface repose sur une approche théorique qui n'est pas toujours vérifiée dans la nature. A ce sujet , Kemedy et al. (1986) font ressortir certaines imprécisions et ambiguïtés concernant la difficulté d'identification des composantes de l'hydrogramme. Ces problèmes sont directement liés à la variabilité spatio-temporelle de la précipitation et à l'hétérogénéité du terrain (topologie et composition). Dans ce contexte, on doit retenir que toute simplification et/ou généralisation du processus de l'écoulement demeure une conception théorique d'un phénomène naturel extrêmement complexe et sera toujours imprécise. La modélisation du phénomène demeure un outil pour le chercheur qui désire approfondir ses connaissances et mieux comprendre le processus.

L'identification de la relation pluie-ruissellement et l'analyse de cette relation aident à l'élaboration de modèles plus descriptifs du phénomène physique, ce qui facilite la détermination de la pluie efficace (ou la lame d'eau disponible au ruissellement) et l'analyse de l'hydrogramme résultant d'averses non uniformes dans le temps et l'espace (ce qui est généralement le cas en hydrologie).

Parmi les méthodes existantes (Chow, 1964; Réméniéras, 1965 et Linsley et al., 1975), l'utilisation d'un indice d'infiltration dynamique (indice Φ ou W) donne des résultats satisfaisants. Ces indices sont, en fait, des indicateurs d'état de saturation du sol et leur signification ressemble globalement à l'indice API tel que discutée à la section 7.2.2.

L'ensemble de ces techniques (identification de l'hydrogramme de ruissellement et mesure de la pluie efficace) donne des résultats approchés. On considère, cependant, que lors d'événements importants (pluie ou fonte), la part du ruissellement (contenant ou non une partie de l'écoulement hypodermique ou retardé par les dépressions naturelles du sol) est généralement (au Québec surtout) plus importante que le débit de base ou l'écoulement

souterrain. Ainsi, les erreurs d'approximation quant aux volumes de ruissellement et de base peuvent être négligeables d'autant plus qu'on ne peut mesurer exactement la vraie part entre les deux.

Le volume ruisselé étant connu, l'étude de la réponse en surface du bassin versant (ruissellement) permet le développement de modèles explicatifs et de techniques d'estimation plus précises.

7.4 Modélisation de l'hydrogramme de ruissellement

La modélisation de l'hydrogramme de ruissellement repose en grande partie sur les travaux de Sherman (1932) qui suggéra la théorie de l'hydrogramme unitaire. Comme on le verra (Section 7.4.1), cette approche repose sur une connaissance a priori du ruissellement qui n'est pas toujours disponible. Une autre approche consiste à estimer certaines caractéristiques importantes de l'hydrogramme (la pointe et le volume écoulé par exemple); cette approche est à la base de plusieurs méthodes empiriques dont la méthode rationnelle (Section 7.4.2).

7.4.1 L'hydrogramme unitaire

La recherche d'une méthode un peu plus représentative de la réalité amena l'hydrologue à l'étude détaillée de l'hydrogramme. L'application des techniques de séparation de l'hydrogramme global (Section 7.3.2) permet d'extraire l'hydrogramme de ruissellement et, de là, la théorie de l'hydrogramme unitaire (Sherman, 1932).

Il convient de souligner que les principes qui sont à la base de cette méthode s'appliquent exclusivement à la fraction du débit global à l'exutoire correspondant au ruissellement superficiel. En outre, les hyétogrammes d'averses considérées dans la théorie de l'hydrogramme unitaire sont ceux qui représentent les hauteurs de "pluie nette" ou "pluie efficace" telle que définie au paragraphe 7.2.1.

Dans un premier temps, on définit le concept d'averse unitaire. L'analyse de divers hydrogrammes de ruissellement suggère l'idée que si tr est la durée de l'averse nette, supposée uniforme dans le temps et dans l'espace, tombant sur un bassin dont le temps de concentration (Section 7.1.3) est tc le temps de base de T de l'hydrogramme sera (voir figure 7.3) :

T = tr + tc

On admet comme hypothèse de travail que :

1° sur un bassin donné, tous les hydrogrammes résultant d'averses uniformes de même durée auront le même temps de base ;

2° que les ordonnées (débit ruisselé) homologues des divers hydrogrammes afférents à des averses de même durée seront proportionnelles aux intensités des averses correspondantes .

L'expérience montre que ces hypothèses se vérifient sensiblement lorsque la durée tr

des averses est suffisamment inférieure au temps de concentration tc du bassin. De telles averses sont dites "averses unitaires". En pratique, on choisira des durées comprises entre 1/3 et 1/5 du temps de concentration du bassin. La justification de cette durée s'appuie

principalement sur la première hypothèse émise plus haut qui dit que la durée du ruissellement T est indépendante de l'intensité de la pluie nette; or, ceci n'est possible que si la durée t r de 1'averse est suffisamment inférieure au temps de concentration du bassin tc.

Si on choisit une averse unitaire dont l'intensité est prise comme unité (1 mm, par exemple), l'hydrogramme de ruissellement correspondant est appelé hydrogramme unitaire (figure 7. 8).

En résumé , pour une averse unitaire de durée tr l'hydrogramme unitaire aura un temps de base T = tr + tc où :

𝑡_𝑟≤ 𝑡_𝑐 3 à 5

Outre qu'il faille tenir compte de cette définition, il importe de noter que la théorie de l'hydrogramme unitaire repose sur les principes suivants :

a) pour un bassin versant, la durée du ruissellement demeure constante pour toute lame de ruissellement uniforme de durée tr donnée (invariabilité temporelle) ;

b) principe de proportionnalité : l'ordonnée de l'hydrogramme résultant d'une averse quelconque de durée tr est directement proportionnelle à la hauteur ruisselée (c'est-à-dire de pluie efficace) (figure 7.7) ;

c) principe de linéarité : l'hydrogramme résultant d'une averse quelconque peut être superposé à l'hydrogramme issu d'une averse précédente (figure 7.10).

Il est important de remarquer que ces principes signifient que l'on passe de la pluie nette au débit ruisselé par une transformation linéaire.

Ces hypothèses sont rarement vérifiées avec précision lors d'études de cas réels.

Cependant, dans plusieurs cas, l'expérience démontre que les résultats obtenus (en particulier, pour des averses dont la durée est d'environ 1/3 à 1/5 du temps de concentration du bassin) sont satisfaisants. L'hydrogramme unitaire étant dérivé de l'hydrogramme mesuré, il reflète globalement les caractéristiques du bassin versant. Cependant, les principes de linéarité et d'invariabilité temporelle sont assez restrictifs; les saisons, l'hétérogénéité des bassins versants, les conditions initiales et la variabilité spatio-temporelle des averses sont souvent en contradiction avec les hypothèses de base de la théorie de l'hydrogramme unitaire. Ces limitations restreignent l'emploi unique de cette approche. On aura tendance à l'utiliser en conjonction avec d'autres méthodes plus élaborées de façon à tenir compte des conditions spécifiques dans le temps et l'espace sur le bassin versant. Ainsi, on remarquera que la généralisation et le développement de la théorie de l'hydrogramme unitaire conduisent à l'utilisation de l'hydrogramme en S (la courbe de montée de l'hydrogramme qui correspond à une averse uniforme d'une durée au moins égale au temps de concentration du bassin (figure 7.

11) qui permet d'obtenir l'hydrogramme de ruissellement de toute durée de précipitation.

La figure 7.11 illustre la construction de l'hydrogramme en S suite à quatre averses unitaires de durée égale (tr=tc/3). L'addition des ordonnées des quatre hydrogrammes unitaires égaux dont les origines sont décalées de tr=tc/3 permet l'obtention de l'hydrogramme en S correspondant à une averse uniforme d' une durée égale au temps de concentration tc du bassin.

Ainsi, à partir de l'hydrogramme en S, on peut obtenir l'hydrogramme unitaire qui

correspond à une durée d'averse tr quelconque. La figure 7.12 illustre la construction d'un hydrogramme unitaire à partir de l'hydrogramme en S. On dispose de l'hydrogramme QA

résultant d' une averse quelconque. On décale cet hydrogramme dans le temps de tr (la durée de l'averse unitaire désirée), on obtient ainsi la courbe QB (c'est-à-dire l'hydrogramme en S d'une averse de même intensité que QA mais décalée de tr dans le temps). L'hydrogramme unitaire correspondant à 1'averse AB de durée tr s'en déduit immédiatement en soustrayant QB

de QA (principe de linéarité).

La généralisation de ce procédé permet de construire l'hydrogramme unitaire à partir des hydrogrammes observés à la suite d'averses isolées ou d'averses complexes de durée très supérieure à celle des averses unitaires. En effet, connaissant le temps de concentration tc du bassin et la durée limite des averses unitaires tr, on sélectionne une série d'averses unitaires isolées aussi homogènes que possible et on superpose les hydrogrammes correspondants (en faisant, par exemple, coïncider leurs pointes). La courbe moyenne ainsi obtenue peut être retenue comme l'hydrogramme unitaire cherché après soustraction du débit de· base de façon à ne conserver que le ruissellement (Cg Section 7.3.2). Les averses de durée plus longue que celles qui peuvent être considérées comme unitaires sont divisibles en plusieurs averses élémentaires aussi homogènes que possible et traitées comme l'illustration de la figure 7.12.

On pourra retrouver dans Chow (1964), Réméniéras (1965), Gray (1970), Viessman et al. (1977), Raudkivi (1979), Llamas (1985) des exemples numériques très détaillés sur le calcul d'un hydrogramme unitaire.

Enfin, en supposant que la durée de la pluie efficace est très petite (tr  0), l'hydrogramme unitaire résultant est appelé hydrogramme unitaire instantané. L'application de ce concept, selon le principe de superposition linéaire de l'hydrogramme unitaire, permet l'estimation de l'hydrogramme de ruissellement en tout temps pondéré par l'effet cumulatif des pluies antérieures. La résultante s'exprime sous la forme de l'intégrale de convolution suivante :

𝑄(𝑡) = ∫ 𝑃_𝑒(𝜏) 𝐻(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏

𝑡 0

(7.6)

où :

Q (t) : le ruissellement au temps t ;

Pe (τ) : l'intensité de la pluie efficace à l'instant τ ;

H(t- τ) : l'amplitude de l'hydrogramme unitaire instantané correspondant à la réponse au temps t (décalée de t - τ) de l'impulsion Pe (τ) à l'instant τ, c'est-à-dire le ruissellement au temps t causé par la pluie nette tombée au temps τ.

Lorsque le pas de temps choisi est discret , cette intégrale de convolution s'approxime par la somme de convolution suivante :

𝑄(𝑖) = ∑ 𝑃_𝑒(𝑗) 𝐻(𝑖 − 𝑗) (7.7)

𝑖

𝑗=0

qui permet le calcul du ruissellement Q(i) au temps i résultant de l'effet combiné des précipitations tombées depuis i - j jours (si le pas de temps choisi est la journée). Pour une

meilleure description concernant les techniques de convolution (et déconvolution), on se reportera à la fiche I du présent ouvrage.

En supposant que l'hydrogramme unitaire est représentatif des caractéristiques du bassin et que l'on connaisse la lame d'eau disponible à chaque pas de temps, le modèle (relation 7.7) donne des résultats satisfaisants mais s'appuie sur plusieurs hypothèses qui limitent le champs d'application; ces hypothèses sont :

a) l'homogénétié de la précipitation sur toute la surface du bassin versant ;

b) la linéarité du processus, moins évidente en présence de grands lacs ou réservoirs , par exemple ;

c) les difficultés d'application de cette méthode pour le ruissellement causé par la fonte des neiges.

Ces quelques éléments ajoutés à l'accroissement des connaissances sur les processus physiques en bassin versant naturel démontrent qu'il est préférable d'utiliser une technique plus élaborée en conjonction avec la méthode de l'hydrogramme unitaire pour reproduire et prévoir le ruissellement.

7.4.2 Méthodes empiriques

Il existe plusieurs méthodes empiriques ou semi-empiriques pour estimer la pointe de crue à partir de la précipitation. La méthode rationnelle est certes la plus représentative de ces techniques (voir aussi le Chapitre 8).

𝑄 = 𝐶 𝐼 𝐴 (7.8) où :

Q : le débit (m³/s ) ;

C : le coefficient de ruissellement ( 0 ≤ C ≤ 1) ; I : l'intensité de la pluie (mm/h ) ;

A : la surface du bassin versant (km²) .

On retrouvera au chapitre 8 un tableau indiquant les valeurs de C pour différents types de sol (Tableau 8.1).

Cette méthode suppose cependant l'uniformité de l'intensité de l'averse dans le temps et l'espace, la contribution de la superficie totale du bassin au moment de la pointe et l'uniformité ou la constance du coefficient de ruissellement dans le temps et l'espace pour toute la durée de l'averse. Ces hypothèses sont, en fait, rarement rencontrées en hydrologie, elles ne se vérifient que pour de très petits bassins versants dont l'état initial est plutôt saturé ou dont la capacité d'infiltration est négligeable. C'est pourquoi on applique cette formule surtout en hydrologie urbaine (Chapitre 8) et rarement sur un bassin versant naturel.

De façon à pallier aux difficultés d'application de ce modèle simpliste, plusieurs hydrologues ont développé des méthodes plus élaborées permettant de tenir compte de certaines caractéristiques propres à chaque bassin versant, ces méthodes empiriques demeurent grossières et ne s'appliquent qu'à certains types de bassins versants, ce qui limite leur intérêt et leur applicabilité. Parmi celles-ci, l'estimation du débit moyen Q a fait l'objet de

plusieurs études; Benson (1962) et Cole (1966) proposent un modèle simple : 𝑄 = 𝐶₁𝐴^0,85 (7.9)

où

Q : débit moyen (m³/s) (mensuel ou annuel) A : surface du bassin (km²)

C1 : coefficient d'ajustement propre aux caractéristiques du bassin étudié.

Nash et Shaw (1966) élaborent sur le même sujet :

𝑄 = 𝐶₂ 𝐴^0,85 𝑅^2,2 (7.10) où

R : total de la pluie (mensuelle ou annuelle) (mm) C2 : coefficient d'ajustement

D'autres auteurs font intervenir plusieurs caractéristiques du bassin versant ; on obtient des modèles du type suivant (NERC, 1975) :

𝑄 = 𝐶₃ 𝐴^0,99 𝑆^0,37 𝐺^0,98 𝑅^1,19 (7.11)

où

S : pente du cours d'eau principal 10- 85 % ; G : indice réflétant le type de sol ;

C3 : coefficient d'ajustement.

Les estimations de Q ainsi obtenues peuvent également servir à 1'estim tion d'un débit de période de retour T donnée par une relation du type (Wallis ,1980) :

𝑄_𝑇 = 𝑄 𝑥_𝑇 (7.12)

où

QT: débit de période de retour T ; Q : débit moyen annuel ;

xT : variate de la distribution de QT/Q

Ces quelques exemples se rattachent surtout à l'estimation de la pointe (du débit total ou du ruissellement de surface). D'autres exemples sont donnés par Chow (1964), Gray (1970), Viessman (1977) et Llamas (1985).

L'estimation du volume écoulé revêt aussi un intérêt particulier dans l'analyse du ruissellement. Une façon simple de l'estimer passe par l'utilisation d'un index d'infiltration (Section 7.3.2) qui permet l'évaluation la quantité de pluie efficace d'une averse, donc du volume de ruissellement dû à cette averse. Une méthode représentative de cette approche est

celle de Linsley (1967).

𝑄 = 𝐶

𝐴^𝑛 (7.13) où:

Q : débit en volume (HMC) ;

A : surface du bassin versant (km²) ;

C, n : coefficients reliés aux caractéristiques de la région étudiée (n ≥ 0).

Encore ici, l'approche est simpliste et ne donne souvent qu'une première approximation.

Ces différentes techniques d'estimation peuvent être utilisées pour pallier à un manque de données (ou d'informations pertinentes concernant la pointe et le volume écoulé.

Les résultats demeurent grossiers et leur interprétation doit être soumise au jugement subjectif de l'hydrologue.

A titre complémentaire, on peut signaler quelques méthodes qui permettent de synthétiser l'hydrogramme lorsque les données de pluies et de débits ne permettent pas, à elles seules, la construction de l'hydrogramme unitaire. Il s'agit de méthodes de dérivation de l'hydrogramme synthétique à partir de certaines caractéristiques du bassin versant.

Ces méthodes empiriques ne permettent cependant pas la construction complète de l'hydrogramme mais servent plutôt à estimer certaines caractéristiques de base grâce auxquelles on tracera l'hydrogramme cherché. Ces méthodes sont ici signalées à titre indicatif;

le lecteur se référera aux ouvrages cités pour plus de détails.

Par la méthode Snyder (Gray , 1970; Viessman et al., 1977; Llamas, 1985) on peut procéder à l'évaluation du temps de réponse tL (entre le centre de gravité de l'averse et la pointe de l'hydrogramme) :

𝑇_𝐿 = 𝐶_𝑡 (𝐿 − 𝐿_𝑒𝑎)^0,3 (7.14) où :

L : la longueur (mi) du cours d'eau principal ;

Lea : la distance (mi) entre l'exutoire et un point du cours d'eau qui est le plus près du centre de gravité du bassin ;

Ct : le coefficient qui tient compte des pentes et réserves du bassin (varie de 1,8 à 2.2).

et du débit de pointe de l'hydrogramme unitaire ( pi³/s) Qp :

𝑄_𝑝 = 640 𝐶_𝑝 𝐴

𝑡_𝐿 (7.15) où :

Cp : coefficient fonction des réserves (varie de 0,5 à 0,7) ;

A : surface du bassin versant (mi²) ; tL: temps de réponse (h).

et du temps de base de l'hydrogramme tb (en jours) :

𝑡_𝑏 = 3 + 3 (𝑡_𝐿) 24⁄ (7.16)

Ces estimations définissent les paramètres d'un hydrogramme unitaire produit par une précipitation de durée tr = tL/5,5. Pour des averses de durée différente (t), on calcule la correction suivante :

𝑡_𝐿𝑡 = 𝑡_𝐿+ (𝑡 − 𝑡_𝑟) 4⁄ (7.17)

L'approche préconisée par l e "Soil Conservation Service, Department of Agriculture"

(méthode SCS) est basée sur un hydrogramme sans dimension assimilée à un triangle. On estime donc deux paramètres :

𝑄_𝑝= 𝐴 𝑃_𝑒

5 𝑃_𝑟 (7.18) où :

Qp: la pointe de l'hydrogramme (m³/s) ; Pe : la hauteur de pluie efficace (mm) ; Pr : la période de montée en heures .

et

𝑃_𝑟 = 𝑡_𝑟⁄2 + 𝑇_𝐿 (7.19) où :

tr : la durée de l'averse (h) ; tL: le temps de réponse (h).

tL peut être estimé par la méthode de Snyder ou par d'autres expressions suggérées par le SCS (Gray, 1970; Viessman et al., 1977; Raudkivi, 1979; Llamas, 1985).

Il existe, d'autre part, un grand nombre de méthodes similaires qui ont toutes pour objectif de caractériser l'hydrogramme unitaire. On peut signaler la méthode de Mitchell (Raudkivi , 1979) qui est une extension de la méthode SCS, l'approche analytique suggérée par Roche, (Roche , 1967; Raudkivi, 1978), la méthode de Gray (Gray, 1970; Viessman et al., 1977) et enfin, une application spécifique au Québec de cette approche telle que développée par le Monfet (1981).

L'utilisation de toutes ces techniques basées sur l'étude de l'hydrogramme unitaire pose certains problèmes de précision et de représentativité. La recherche et le développement de la technologie ont amené les hydrologues à mieux comprendre les processus physiques qui caractérisent le cycle hydrologique sur un bassin versant. Ainsi, devant l'évidence de la grande complexité des phénomènes reliés au ruissellement et de l'inter-relation constante

entre l'eau de surface, l'air, l'eau souterraine et l'écoulement en rivière, on a développé des modèles hydrologiques constitués d'algorithmes plus élaborés et dont le but final est de reproduire les débits observés et, ultimement, de les prédire. Nous verrons, dans la prochaine section, les différentes approches existantes qui permettent la modélisation du ruissellement selon les processus de transport horizontal de la lame d'eau disponible au ruissellement.

7.5 La modélisation du processus de ruissellement

La représentation de l'écoulement d'une lame d'eau sur la surface d'un bassin versant varie énormément en fonction des objectifs visés par le modèle, de la précision désirée (dans l'espace et dans le temps) et du domaine d'intérêt des auteurs.

7.5.1 Approche empirique

La description mathématique de l'hydrogramme de ruissellement peut s'effectuer selon l'approche de la théorie de l'hydrogramme unitaire (relations 7.6 et 7.7, Section 7.4). Une approche différente consiste à décrire directement l'hydrogramme par une relation mathématique simple. Ainsi, sur la figure 7.3, on peut représenter le segment BD par l'équation suivante :

𝑄 = 𝑐 𝑡^𝑎 𝑒^−𝑏𝑡 (7.20)

où :

Q : le ruissellement ;

t :le temps (t = 0 au point B) ;

a b et c : paramètres à déterminer selon l'allure de la courbe .

Les paramètres a, b et c peuvent être déterminés par les relation suivantes : Le temps de la pointe de l'hydrogramme (point C) :

𝑡_𝑝= 𝑎 𝑏⁄ (7.21) et :

𝑐 = 𝑄_𝑝𝑒^𝑎⁄𝑡_𝑝^𝑎 (7.22) où :

Qp : la valeur du ruissellement au point C (pointe)

enfin, si V est l e volume ruissellé total, on peut montrer que (Raudkivi, 1979) :

𝑎 = 𝑙𝑛(𝑛𝑉 𝑘𝑄⁄ _𝑝)

𝑙𝑛(𝑡₀⁄ ) − 𝑡𝑡_{𝑝 0}⁄𝑡_𝑝+ 1 (7.23) où :

n = V/Vt ;

Vt : volume ruisselé sous la courbe de tarissement (DE).

La courbe de tarissement DE peut s'exprimer par : 𝑄 = 𝑄_𝐷 𝑒^{−(𝑡−𝑡𝐷) 𝑘⁄} (7.24) où :

QD: ruissellement au point D ; tD : temps au point D ;

k : constante de récession déterminée par la pente de la courbe de tarissement sur le graphique Log Q vs t.

L'utilisation de cette technique ne suppose aucune compréhension de la physique de l'écoulement et demeure très mathématique. On peut ainsi représenter assez fidèlement un hydrogramme donné et obtenir des résultats médiocres lors de simulations ultérieures.

Plusieurs autres représentations mathématiques sont possibles pour moduler la lame de ruissellement. Parmi celles-ci, on peut souligner les fonctions du type exponentielle décroissante qui sont très populaires (voir chapitre 13). On a, de façon générale, une fonction de ce type :

𝑄_𝑡,𝑡0 = 𝐿_𝑡0 𝑒^{−(𝑡−𝑡0) 𝑘⁄} (7.25)

où :

𝑄_𝑡,𝑡0 ∶ le ruissellement au temps t résultant de la modulation de la lame disponible en surface au temps t0 ;

𝐿_𝑡0 : la lame disponible en surface pour écoulement latéral au temps t0 ; k : constante de récession.

et, à l'exutoire du bassin, on aura :

𝑄_𝑡 = ∑𝑄_𝑡,𝑡0

𝑥

𝑇=𝑡

(7.26)

où :

Qt : ruissellement total du bassin au temps t ;

x : tel que (t - x) >> 0 de sorte que 𝑒^{−(𝑡−𝑥) 𝑘⁄} tend vers 0 . 7.5.2 Approche conceptuelle

Les caractéristiques du ruissellement sur un bassin versant peuvent être assimilées au comportement hydraulique d'un réservoir et d'un canal. Cette approche permet la construction d'un modèle conceptuel pour décrire la résultante de l'hydrogramme de surface. En fait, les concepts utilisés sont semblables à ceux qui sont reliés au comportement des lacs (Chapitre 10) et des écoulements en rivières (Chapitre 9).

Modèle non linéaire

Comme on a pu le constater à la Section 7. 4, les problèmes rencontrés lors de la modélisation de l'hydrogramme ne sont pas tant causés par le choix du modèle que par les hypothèses retenues pour déterminer ce choix. Ainsi, l'analyse systémique du ruissellement amène une première constatation : il n'y a pas de relation strictement linéaire entre la pluie et le ruissellement. En effet, les équations hydrauliques qui décrivent le comportement et la dynamique des écoulements sont toutes non linéaires. De plus, la variabilité spatiale et temporelle de la précipitation, les différents types de sols, végétations, pentes, etc …, et la variabilité temporelle de l'infiltration sont autant de sources de non -inéarité dans le système.

Cependant, plusieurs études démontrent que l'effet combiné des sources de non-linéarité est relativement faible. De plus, la nature même des données hydrométéorologiques disponibles (sujettes à de grandes erreurs) ne permet pas une réduction assurée des erreurs systématiques provenant de la non-linéarité par l'emploi de méthode non linéaires.

Cependant, l'approche non linéaire demeure un outil intéressant pour une meilleure compréhension du processus de ruissellement mais la complexité inhérente à cette approche en limite l'application opérationnelle.

De façon générale, l'approche non linéaire repose sur l'utilisation de relations fonctionnelles qui incorporent une "mémoire" du système. D'une part, l'aspect "réserve" ou

"retenue" de l'eau en surface est assimilée au comportement d'un réservoir non linéaire. Le modèle général d'un tel réservoir peut se résumer par :

𝑄 = 𝐾 𝑆 𝑋 (7.27) où :

Q : le débit de sortie ; S : le contenu du réservoir ;

K : un paramètre caractéristique (récession) ; X : un index de non-linéarité.

D'autre part, l'écoulement en surface est modulé par le modèle général suivant :

𝐼 = 𝑄 +𝑑𝑆

𝑑𝑡 (7.28) où :

I : l'entrée de l'élément considéré (débit) ; Q : la sortie de l’élément considéré (débit) ;

dS/dt : le taux de variation de la réserve dans l'élément.

En fait, cette approche consiste à représenter le ruissellement sur le bassin versant par un arrangement d'un ou de plusieurs éléments (ou réservoir) non linéaires en séries, en parallèles ou par une combinaison des deux. Les modèles généraux décrits ci-haut (7.27 et 7.28) sont issus des lois fondamentales de la physique. Ainsi, le ruissellement est un exemple d'écoulement à surface libre, variable, instable et non uniforme dans le temps et l'espace. Pour un élément unitaire, l'équation 7.28 exprime le principe de la conservation de la masse (équation de continuité).

De même, on peut prendre en considération la seconde loi de Newton sur le mouvement qui régit l'équilibre des forces sur un système. Ce sont, en fait, les fondements de la mécanique des fluides que l'on retrouve ici. La majorité des modèles non linéaires s'en inspire et, par un jeu de combinaisons et de dérivations, conduit à un système d'équations différentielles dont les solutions sont connues. Les modèles non linéaires se regroupent en deux classes : hydrodynamiques (Chow, 1964; Wooding, 1966; Smith et Woolhiser, 1971;

Eagleson, 1970; Singh, 1975) sont basés sur les lois de la physique et supposent un certain degré d'abstraction des phénomènes réels liés au ruissellement sur un bassin. Les modèles de type 7.27 et 7.28 en sont des exemples. D'autre part, les modèles opérationnels (Bidwell, 1970; Diskin et Boneh, 1972; Amorocho, 1973) tendent à développer des relations entre les entrées et les sorties d'un système en ajustant les données sans s'attarder de façon explicite aux hypothèses de fonctionnement interne au système.

Dooge (1967) suggère une approche qui permet de simplifier la complexité inhérente de l'approche hydrodynamique tout en tenant compte des non linéarités présentes dans le processus de ruissellement. Ce concept de non-linéarité uniforme a conduit au développement de modèles non linéaires simplifiés (Viessman et al., 1977; Singh, 1978a, 1978b). La formulation générale de cette approche peut se résumer ainsi :

 Si on combine les relations 7.27 et 7.28, on obtient une équation différentielle unique pour un élément du système qui relie la réserve, l'entrée et la sortie :

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝐼 − 𝐾𝑆^𝑋 (7.29)

 Si on considère une suite en cascades de n éléments de ce type ayant chacun son entrée propre comme l'illustre la figure 7.13, on obtient le système d'équations suivant :

𝑑𝑆₁

𝑑𝑡 = 𝐼₁− 𝐾𝑆₁^𝑋

𝑑𝑆₂

𝑑𝑡 = 𝐼₂ + 𝐾𝑆₁^𝑋− 𝐾𝑆₂^𝑋

………. (7.30)

𝑑𝑆_𝑛

𝑑𝑡 = 𝐼_𝑛 + 𝐾𝑆_𝑛−1^𝑋 − 𝐾𝑆_𝑛^𝑋

La résolution de ce système par voie matricielle est relativement simple et permet de mettre en évidence la relation entre les entrées (I1, …, In) et la sortie finale qn.

Un autre exemple type de cette approche est le modèle de Saint-Venant linéarisé (Singh, 1978a) que l'on retrouve au Chapitre 9. Ce dernier modèle apparaît plus complet car il identifie non seulement le transfert de masse, mais également le déplacement dynamique (énergie sans masse).

Modèle linéaire

L'hypothèse de linéarité pour le ruissellement est théoriquement non vérifiée mais elle

ne conduit pas à de mauvais résultats. En fait, c'est une approche qui se justifie très bien par sa simplicité, sa facilité d'application et sa souplesse d'utilisation. En général, les modèles de type linéaire donnent des résultats satisfaisants et sont, à peu de choses près, des représentations acceptables de la physique de l'écoulement de surface.

On peut distinguer trois types de modèles : le réservoir linéaire, la méthode Muskingum et la technique des isochrones (courbes surface-temps). Ces techniques sont complètes en soi mais elles sont généralement utilisées en complémentarité entre elles ou avec d'autres méthodes.

Le réservoir linéaire implique que la réserve S est directement proportionnelle à la sortie Q du réservoir :

S = K Q (7.31)

où K est le coefficient de réserve (la pente de la droite reliant S et Q sur un graphique). Cette relation permet un décalage temporel et une atténuation (laminage) de la forme d'eau à l'entrée.

Le modèle de type Nash (1958) consiste à représenter le ruissellement par une série de n réservoirs linéaires suivant la relation 7.31. L'hypothèse étant que la sortie d'un réservoir devient l'entrée du suivant. Pour le premier réservoir, l'entrée I correspond à la lame efficace au temps t = 0 et devient nulle pour t > 0.

Ainsi, en tenant compte de l'équation de continuité (7.28), on obtient la relation générale :

𝐼 − 𝑄 = 𝐾𝑑𝑄

𝑑𝑡 (7.32)

On suppose que le premier réservoir est plein à t = 0 et I = 0 pour t > 0 , on obtient alors la solution suivante :

𝑄₁ = 1

𝐾𝑒^−𝐾𝑡 (7.33)

où Q1 est la sortie du premier réservoir qui devient l'entrée du second, alors :

𝑄₁ − 𝑄₂ = 𝐾𝑑𝑄₂

𝑑𝑡 (7.34) et la solution devient :

𝑄₂ = 1 𝐾

𝑡

𝐾𝑒^−𝐾𝑡 (7.35) en généralisant, on obtient :

𝑄_𝑛 = 1 𝐾 𝛤(𝑛)(𝑡

𝐾)

𝑛−1

𝑒^−𝐾𝑡 (7.36)

où Γ(n) est la fonction gamma de n. L'équation 7.36 décrit la sortie (le ruissellement) via n réservoirs linéaires. Ce résultat est similaire à l'expression analytique de la fonction H(t) dans les équations 7.6 et 7.7 qui représente l'hydrogramme unitaire instantané (Section 7.4). Ce type de relation (étalement dans le temps du ruissellement causé par une impulsion unique, figure 7.8) s'exprime généralement sous la forme de l'équation 7.36.

L'estimation des paramètres K et n peut se faire par approximation. Ainsi, le produit Kn est estimé par le temps de réponse du bassin versant qui peut se calculer par plusieurs méthodes (Section 7.4). L'ajustement de la valeur de K et de n séparément peut ensuite se faire à l'aide d'une méthode d'optimisation simple où la fonction objective mesure l'adéquation entre les valeurs estimées et observées.

La méthode de Muskingum peut aussi être utilisée pour reproduire l'hydrogramme du ruissellement. L'utilisation de cette méthode (telle que décrite au Chapitre 9) implique la détermination de la constante de récession (temps) et du facteur de pondération. Ces paramètres doivent prendre des valeurs moyennes pour le bassin versant étudié. L'intérêt de cette méthode réside dans la souplesse de la détermination des entrées. Ainsi, on pourra coupler la technique de Muskingum à une autre permettant de définir une entrée variable dans le temps pour mieux représenter la réalité.

Zones isochrones

L'hydrogramme du ruissellement peut aussi être modélisé en utilisant l'approche basée sur la notion surface-temps. Cette méthode se base sur l'hypothèse que le ruissellement causé par une impulsion quelconque est caractérisé par l'effet combiné de plusieurs sous-bassins (ou sous-régions) qui possèdent leur propre temps de transfert vers l'embouchure et leur propre taux de rétention.

La méthode consiste à diviser le bassin en zones distinctes déterminées par le temps de transfert à l'exutoire. Les limites de ces zones sont appelées isochrones (lignes reliant les points dont le temps de transfert est égal). Les zones ainsi déterminées, on reporte sur graphique la surface de ces zones en fonction du temps de transfert (figure 7.14).

Ainsi , pour une lame d'eau disponible pour le ruissellement sur toute la surface du bassin versant, on obtient une distribution temporelle de l'arrivée (ou la disponibilité) de l'eau en surface à l'exutoire. À ce moment, on peut utiliser une technique quelconque (linéaire ou non linéaire) pour moduler la lame disponible à l'exutoire de façon à tenir compte de l'effet

"réservoir" des zones et des canaux d'écoulement (rivières).

Une variante de cette méthode consiste à évaluer les zones selon leurs caractéristiques physiographiques (sols, végétation, etc ... ) ou leur appartenance à une zone d'influence d'une station météorologique (découpage par la méthode de Thiessen, par exemple) et de déterminer par la suite, le temps de transfert à l'exutoire de chaque zone. Enfin, indépendamment des limites fixées, on peut transférer l'eau directement à l'exutoire, ou la transférer de zone en zone suivant le sens de l'écoulement naturel vers l'exutoire.

Selon la technique utilisée, on aura à déterminer le temps nécessaire à l'eau pour traverser une zone et/ou pour se rendre à l'embouchure du bassin.

Ainsi, parmi les formules existantes, on pourra utiliser, par exemple, celle de Kirpich :

𝑇_𝑇= (0,0078)𝐷^0,77𝑃_𝑛^−0,385 (7.37) où :

TT : l e temps de transfert (ou de concentration) (mn) ; D : la distance maximum franchie par l'eau (pi) ;

Pn : la pente moyenne du bassin considéré (hauteur/longueur).

Cette formule s'emploie généralement pour des bassins où l'eau doit circuler principalement sur le sol et en petites rigoles ou ruisseaux. Dans le cas où l'écoulement se concentre surtout en rivière ou sur des aires à réponse rapide (c'est-à-dire de petites surfaces adjacentes au cours d'eau, marécages, sols rocheux, etc ... ), on utilisera la formule de Manning ou de Chézy. Ce faisant, on associe le ruissellement à un écoulement uniforme dans un canal ouvert (Chapitre 9).

L'équation de Chézy :

𝑄 = 𝐹 𝐴 √𝑅_𝑎 𝑃_𝑛 (7.38) où :

Q : le débit ;

F : le facteur de résistance à l'écoulement de Chézy ; A : la surface de la section ;

Ra : le rayon hydraulique ;

Pn : la pente de la zone considérée.

L'équation de Manning :

𝑄 =1,486

𝑚 𝐴 𝑅_𝐴^{2 3⁄} √𝑃_𝑛 (7.39)

où m est le facteur de résistance de Manning . En fait, l'utilisation de ces équations est surtout utile pour déterminer la vitesse moyenne de transfert, et de là, le temps de transfert. En effet, on ne connaît pas A lsurface de la section, mais on peut approximer pour la zone considérée V = Q/A , donc :

𝑉 =1,49

𝑚 𝑅_𝐴^{2 3⁄} √𝑃_𝑛 (7.40)

De façon générale, le coefficient m varie d e 0,03 à 0,07 pour un écoulement uniforme sur un sol naturel en canal ouvert et de 0,03 à 0,15 pour un écoulement hors des canaux naturels (voir aussi le tableau 4.8 du Chapitre 8). Enfin, on doit trouver une valeur moyenne de Ra, le rayon hydraulique, pour chaque zone considérée sachant que, généralement, la vitesse d'écoulement en présence d'arbres est environ quatre fois plus faible que la vitesse d'écoulement en zone libre.

Conclusion