INTERFACIAL WAVES OF FINITE AMPLITUDE

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AOUT-SEPT. 19G1 - № 4 L A H O U I L L E B L A N C H E 5 1 5

Interfacial waves of finite amplitude

Les ondes interfaciales d'amplitude finie

J . N. H U N T

rJEPABTMENT OF M A T H E M A T I C S , I M P E R I A L C O X L E f l E , I . O N D O N

I. — P R O G R E S S I V E W A V E S I. — O N D E S P R O G R E S S I V E S .

Levi-Civita's method for progressive waves of finite amplitude is extended to the case of waves at a fluid interface, the wave profile and velocity being found to the third order. The principal effect of the upper fluid is to reduce

the velocity of propagation and the amplitude of the higher harmonics in the wave profile.

La méthode de Levi-Civita pour les ondes pro- gressives d'amplitude finie est étendue au cas des ondes présentes à l'interface séparant deux fluides, l'expression du profil et de la vitesse de l'onde étant du troisième ordre. Le rôle prin- cipal du fluide supérieur consiste ci diminuer la vitesse de propagation et l'amplitude des harmoniques supérieurs dans le profil d'onde.

1. I n t r o d u c t i o n .

L e v i - C i v i t a ' s p r o o f [ 1 ] , o f t h e e x i s t e n c e o f p r o - g r e s s i v e g r a v i t y w a v e s o f finite a m p l i t u d e is e x - t e n d e d t o t h e c a s e o f w a v e s at t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t w o s e m i - i n f i n i t e f l u i d s . T h e e q u a t i o n to t h e w a v e p r o f i l e a n d t h e v e l o c i t y o f p r o p a g a - t i o n a r e f o u n d t o t h e t h i r d o r d e r i n t h e r a t i o o f w a v e a m p l i t u d e t o w a v e l e n g t h . T h e s o l u t i o n f o r w a v e s at t h e i n t e r f a c e b e t w e e n f l u i d s o f finite d e p t h is a l s o g i v e n . T h e a m p l i t u d e s o f t h e s e c o n d a n d t h i r d h a r m o n i c s are r e d u c e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e u p p e r f l u i d s o t h a t t h e w a v e p r o f i l e is m o r e s i n u s o i d a l t h a n t h a t o f t h e p r o - g r e s s i v e w a v e at a f r e e s u r f a c e . T h e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n i s a l s o r e d u c e d .

S o m e m o d i f i c a t i o n o f t h e c o n v e r g e n c e p r o o f is f o u n d d e s i r a b l e a n d m a y b e u s e d t o e s t i m a t e t h e r a n g e o f w a v e a m p l i t u d e s w h o s e e x i s t e n c e lias b e e n r i g o r o u s l y e s t a b l i s h e d , as i n d i c a t e d e l s e w h e r e f o r w a v e s at a f r e e s u r f a c e , H u n t [ 2 ] . It is s h o w n h o w a n a l t e r a t i o n i n t h e t r a n s f o r - m a t i o n s u s e d b y L e v i - C i v i t a l e a d s t o a n e s t i m a t e o f t h e a m p l i t u d e o f t h e h i g h e s t w a v e , a l t h o u g h the r e s u l t is l e s s a c c u r a t e t h a n t h a t g i v e n b y Y a m a d a ' s m e t h o d [ 3 ] .

1. I n t r o d u c t i o n .

L a p r e u v e , a p p o r t é e p a r L e v i - C i v i t a [ 1 ] , d e l ' e x i s t e n c e d ' o n d e s d e g r a v i t é d ' a m p l i t u d e finie, est é t e n d u e au c a s d e s o n d e s à l ' i n t e r f a c e s é p a - r a n t d e u x f l u i d e s s e m i - i n f i n i s . L ' é q u a t i o n d u p r o - fil de l ' o n d e et d e la v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n est d u t r o i s i è m e o r d r e d a n s le r a p p o r t d e l ' a m p l i t u d e à la l o n g u e u r d ' o n d e . L a s o l u t i o n est é g a l e m e n t i n d i q u é e p o u r les o n d e s à l ' i n t e r f a c e d e d e u x f l u i d e s d e p r o f o n d e u r finie. P u i s q u e les a m p l i - t u d e s d e s d e u x i è m e s et t r o i s i è m e s h a r m o n i q u e s s o n t d i m i n u é e s p a r la p r é s e n c e d u f l u i d e s u p é - r i e u r , le p r o f i l d ' o n d e est p l u s s i n u s o ï d a l q u e c e - lui d e l ' o n d e p r o g r e s s i v e e n s u r f a c e l i b r e . L a v i - tesse d e p r o p a g a t i o n est é g a l e m e n t d i m i n u é e .

U n e c e r t a i n e m o d i f i c a t i o n d a n s la p r e u v e d e c o n v e r g e n c e se m o n t r e s o u h a i t a b l e , et p e u t être u t i l i s é e p o u r é v a l u e r la g a m m e d e s a m p l i t u d e s d ' o n d e s d o n t l ' e x i s t e n c e a été é t a b l i e r i g o u r e u s e - m e n t ( c o m m e d ' a i l l e u r s p o u r les o n d e s e n s u r - f a c e l i b r e — v o i r H u n t [ 2 ] ) . L ' a u t e u r m o n t r e c o m m e n t u n e m o d i f i c a t i o n d e s t r a n s f o r m a t i o n s u t i l i s é e s p a r L e v i - C i v i t a c o n d u i t à l ' é v a l u a t i o n d e l ' a m p l i t u d e d e l ' o n d e m a x i m a l e , b i e n q u e le r é - s u l t a t a i n s i o b t e n u s o i t m o i n s p r é c i s q u e c e l u i d o n n é p a r la m é t h o d e d e Y a m a d a [ 3 ] .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961042

(2)

5 1 6 L A H O U I L L E B L A N C H E AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - N " 4

2 . F o r m u l a t i o n of t h e p r o b l e m . 2 . F o r m u l a t i o n d u p r o b l è m e .

W e c o n s i d e r p r o g r e s s i v e w a v e s w h i c h h a v e b e e n r e d u c e d Lo rest in t h e u s u a l w a y b y i n - t r o d u c i n g a s t e a d y s t r e a m o f m a g n i t u d e e q u a l to the w a v e s p e e d a n d a c t i n g i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . T h e f l o w is t h e r e f o r e s t e a d y a n d t a k e s p l a c e i n t h e p l a n e z — x 4- iy. T h e r e g i o n o f the z - p l a n e o c c u p i e d b y t h e u p p e r fluid o f d e n - s i t y ?' is d e n o t e d b y II a n d t h e r e g i o n o c c u p i e d b y t h e l o w e r f l u i d o f d e n s i t y p b y L . It is suf- ficient t o c o n s i d e r a s i n g l e w a v e l e n g t h i n t h e .-^-direction, s o Ave d e n o t e t h a t p a r t o f U b e t w e e n the o r d i n a t e s x = ± X / 2 b y Ui a n d t h e c o r r e s - p o n d i n g p a r t o f L b e t w e e n x = ± X / 2 b y L i . T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n is a d o p t e d :

IV = 11

—

iv i \

do = udx 4- vdy in L , I

d'b = •— vdx + udv \

I

. (1)

u/ = ll' — iv' i I

dy' = u'dx 4- v'dy > i n Ui |

d$' = — v'dx 4- u'dy } I

w h e r e (u, v), (u't v') a r e c o m p o n e n t s o f fluid v e l o - c i t y a n d a c c e n t s d e n o t e v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e u p p e r fluid o f d e n s i t y p'. W e c h o o s e :

9 = 4, = ⁹ ' = <!/ = ()

at the o r i g i n , a n d ii — o n t h e i n t e r f a c e I. F u r - ther, in L^x :

N o u s c o n s i d é r o n s d e s o n d e s p r o g r e s s i v e s a y a n t été r e n d u e s s t a t i o n n a i r e s p a r la m é t h o d e c l a s s i - q u e , s u i v a n t l a q u e l l e o n i n t r o d u i t u n c o u r a n t u n i - f o r m e , d e g r a n d e u r é g a l e à la v i t e s s e d e l ' o n d e , et a g i s s a n t d a n s le s e n s o p p o s e à c e l l e - c i . L ' é c o u - l e m e n t est d o n c p e r m a n e n t et se p r o d u i t d a n s le p l a n z = x + iy. L a r é g i o n d u p l a n d e s z o c c u p é e p a r le f l u i d e s u p é r i e u r d e d e n s i t é p' est d é s i g n é e p a r U, et c e l l e o c c u p é e p a r le fluide i n f é r i e u r d e d e n s i t é ? est d é s i g n é e p a r L . Il suffit d e t e n i r c o m p t e d ' u n e s e u l e l o n g u e u r d ' o n d e s u i v a n t la d i r e c t i o n x, et n o u s d é s i g n o n s d o n c la p a r t i e d e la r é g i o n U l i m i t é e p a r les o r d o n n é e s x ± X / 2 p a r L¹!, et la p a r t i e c o r r e s p o n d a n t e d e la r é g i o n L , li- m i t é e p a r x = ± Ç/2, p a r L^t. N o u s a d o p t o n s e n - suite la n o t a t i o n :

w = 11

—

iv 1

do = udx -f- vdy en L , I d<h = — vdx 4- udv \

I

(1)

w' z= n' — iv' 1 1

do' = u'dx + v'dy e n U, '

dy = — v'dx + u'dy )

I

(u, v) et (u', v') é t a n t d e s c o m p o s a n t e s d e la v i - tesse d u fluide, et les s i g n e s « p r i m e » i n d i q u a n t d e s v a r i a b l e s c o r r e s p o n d a n t au fluide s u p é r i e u r d e d e n s i t é p'.

N o u s c h o i s i s s o n s 9 = 4< = 9' = 4/ = 0 à l ' o r i - g i n e , et A — 4/ à l ' i n t e r f a c e l. D e p l u s , e n L , :

/ = 9 + w = df/dz ( 2 ) and in U, et en U j :

/•' = ©' + i,y w' = df/dz ( 3 ) T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o b e satisfied o n t h e L e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d e v a n t être satis-

i n t e r f a c e I are firstly c o n t i n u i t y o f p r e s s u r e : faites à l ' i n t e r f a c e I s o n t , p r e m i è r e m e n t , la c o n - tinuité d e p r e s s i o n :

99Ui + \ P M 2 =

9'mii + y

^{P ' K I}² + C " ( 4 )

w h e r e yt i s t h e o r d i n a t e o f t h e i n t e r f a c e , a n d y, d é s i g n a n t l ' o r d o n n é e d e l ' i n t e r f a c e , et, d e u x i è - s e c o n d l y t h e k i n e m a t i c c o n d i t i o n : m e m e n t , la c o n d i t i o n c i n é m a t i q u e :

(v/u)l = {v'/n')l ( 5 )

T h e w a v e m o t i o n c o n s i d e r e d r e q u i r e s t h e r a t e o f flow a c r o s s a n e l e m e n t o f a v e r t i c a l p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e x - a x i s t o r e m a i n finite b o t h o v e r a n a r b i t r a r y i n t e r v a l o f t i m e a n d a l s o as e i t h e r x o r y t e n d t o i n f i n i t y . C o n s e q u e n t l y f — cz is b o u n d e d i n Lt

a n d f — cz is b o u n d e d i n U , . It f o l l o w s t h a t

<h < 0 in L , a n d <Y > 0 i n U, w i t h <{i = 4/ = 0 o n I.

L e m o u v e m e n t d ' o n d e c o n s i d é r é est tel q u e la v a l e u r d u d é b i t à t r a v e r s u n é l é m e n t d ' u n p l a n v e r t i c a l p e r p e n d i c u l a i r e à l ' a x e d e s x r e s t e finie, d ' u n e p a r t p e n d a n t u n i n t e r v a l l e d e t e m p s ar- b i t r a i r e , et d ' a u t r e p a r t , l o r s q u e les v a l e u r s d e x o u d e y t e n d e n t à d e v e n i r i n f i n i e s . Il s ' e n s u i t q u e f — cz est l i m i t é e n L j , et q u e f — cz est l i m i t é en U , , et d e là, q u e ip < 0 e n L , , et 4/ > 0 en U^u a v e c A- = 4/ = 0 s u r /.

(3)

3 . C h a n g e of v a r i a b l e s . 3 . C h a n g e m e n t des v a r i a b l e s .

T h e r e l a t i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) e n a b l e t h e r e g i o n s L j a n d Uj t o b e m a p p e d c o n f o r m a l l y o n t o t h e r e - g i o n s Lx* and Uj* of t h e (9, <j0 p l a n e i n w h i c h w' (/') a n d iv (/) a r e r e g u l a r , U,* l y i n g a b o v e t h e r e a l a x i s a n d L j * b e l o w t h e r e a l a x i s . D i f f e r e n - t i a t i n g ( 4 ) w i t h r e s p e c t t o 9 w e h a v e :

L e s r e l a t i o n s ( 2 ) e t ( 3 ) p e r m e t t e n t u n e r e p r é - s e n t a t i o n c o n f o r m e d e s r é g i o n s L , e t U] a u x ré- g i o n s L ] * e t Uj* du p l a n (9, ty), d a n s l e q u e l w' (/') e t w (/) s o n t r é g u l i e r s , L V é t a n t s i t u é e a u - d e s s u s d e l ' a x e r é e l , e t L j * a u - d e s s o u s d e c e m ê m e a x e . Si n o u s d i f f é r e n c i o n s ( 4 ) p a r r a p p o r t à 9, n o u s a v o n s :

o n 1, w h i l e f r o m ( 2 )

o n I, so t h a t

d9

s u r l, e t l ' é q u a t i o n ( 2 ) n o u s d o n n e :

V

\w\

2g(o — P0

s u r l, d e s o r t e q u e :

. d\w'\2 d\w\2

0

— —

⁰

w If w e n o w m a k e a c h a n g e of d e p e n d e n t v a - r i a b l e :

do " do

Si, m a i n t e n a n t , n o u s c h a n g e o n s la v a r i a b l e : (6)

a n d

w = ce-

IV' : ce~

w h e r e to = 8 -f- ix w h e r e w' — 8' + it'

( 7 ) et w = co- rn' = ce~

ou m = OÙ n>' =

IT

ZY

( 7 )

t h e n t h e c o n d i t i o n (6) at t h e i n t e r f a c e t a k e s t h e f o r m :

gc~³ (0 — 0 ' ) e Si!! 0 :

la c o n d i t i o n (6) à l ' i n t e r f a c e p r e n d la f o r m e :

aV dx

A s e c o n d t r a n s f o r m a t i o n

lo ' do

U n e d e u x i è m e t r a n s f o r m a t i o n : e x p . (— 2 xif/cl) = y e x p i<¡

( 8 )

(9) n o w m a p s t h e r e g i o n L^x* o n t o t h e i n t e r i o r D^: of

t h e c i r c l e I ? I = 1 i n t h e £ — p l a n e , a n d :

r e p r é s e n t e la r é g i o n Lt* s u r l ' i n t é r i e u r D1 d u c e r c l e |£| = 1 d a n s le p l a n Ç, e t :

Ç = e x p . (— 2 -xif'/cl) = y e x p its (10)

m a p s t h e r e g i o n Ux* o n t o t h e e x t e r i o r D2 of t h e c i r c l e . F r o m (9) :

r e p r é s e n t e la r é g i o n Ui* sur l ' e x t é r i e u r D² du c e r c l e . D ' a p r è s (9) :

dt 2 %if

cl

- F -

ⁱ da

s o t h a t o n | S | = 1 , 0*9 = — ( c X / 2 it) rfa,

a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 8 ) o n |£] = 1 n o w b e c o m e s :

d e s o r t e q u e , s u r |'(| = 1 , d9 = — (cl/2%) da, e t la c o n d i t i o n à la l i m i t e ( 8 ) s u r |Ç| = 1 d e v i e n t :

2 %c²

(0 — o') e~^T s i n 0 = pe^{2 r} — dx

da da ^{( 1 1 )}

T o o b t a i n t h e e q u a t i o n t o t h e i n t e r f a c e , w e h a v e f r o m ( 2 ) , ( 7 ) a n d ( 1 0 ) :

df

P o u r o b t e n i r l ' é q u a t i o n d e l ' i n t e r f a c e , n o u s ti- r o n s d e ( 2 ) , ( 7 ) e t ( 1 0 ) :

X di

AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4 - I M и TT лт т _{— 5 1 7}

(4)

5 1 8 L A H O U I L L E B L A N C H E AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4

a n d :

In p a r t i c u l a r , o n |Ç| = 1 ,

so t h a t :

•¡ = — / ß ~T c o s 6 da 2 тс У о

a n d y¡ = •— - — / е_т s i n 0 а<?

2 it

J

^о

(12) g i v i n g t h e i m p l i c i t f o r m o f t h e e q u a t i o n t o t h e w a v e p r o f i l e .

A p p l y i n g t h e c h a n g e o f v a r i a b l e (7) t o t h e s e c o n d b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 5 ) w e find that o n I,

d ' o ù :

X Г"

Xi — ¡ r — / e—г c o s Ods 2 тс у о

c e q u i n o u s d o n n e la f o r m e i m p l i c i t e d e l ' é q u a - t i o n d u p r o f i l d ' o n d e .

E n a p p l i q u a n t le c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e ( 7 ) à la d e u x i è m e c o n d i t i o n à la l i m i t e ( 5 ) , n o u s t r o u - v o n s q u e , s u r l :

tg 6 = tg G' In t h e r e g i o n s L^{l 5} Uj. t h e p r i n c i p a l v a l u e s m a y

be t a k e n s o that o n |Ç| = 1,

It w i l l b e s e e n t h a t it is a p p r o p r i a t e t o a s s u m e t h e e x p a n s i o n s :

W

CD = £ c oⁿu^{r e} 1

w h e r e u. is a n a r b i t r a r y s m a l l p a r a m e t e r . S i n c e co i s h o l o m o r p h i c i n Dx a n d co' is h o l o m o r p h i c i n D2

it f o l l o w s t h a t ci>„ a n d co'„ p o s s e s s t h e e x p a n s i o n s :

N o u s p o u v o n s p r e n d r e les v a l e u r s p r i n c i p a l e s d a n s les r é g i o n s L j , Uj. d e telle s o r t e q u e , s u r

|Ç| = 1 :

= 0' ( 1 3 )

N o u s v e r r o n s q u ' i l c o n v i e n t d ' a d m e t t r e les d é - v e l o p p e m e n t s :

i

(14)

d a n s l e s q u e l l e s u. est u n p a r a m è t r e c h o i s i a r b i - t r a i r e m e n t p e t i t . P u i s q u e cd est h o l o m o r p h e en Di, et cd' est h o l o m o r p h e e n D², il s ' e n s u i t les d é v e l o p p e m e n t s d e co„, et <o'w :

со \

ш» = в« + ' = E сд.у ç» 1

<» « = К + iV„ =

I

d , , , ç - »

i i w h e r e c „ , „ = — i t \ „ a n d dn,v = e,hl,—ihnv o ù clhv = aniV — ibM et da„ = e„,„

O n the c i r c l e [С| = 1, Ç =^ew a n d s o : Sur le c e r c l e \Ц = 1, 'С == e^{i o}, d ' o ù :

со со I

0 » = S (я*.,, c o s v<j-j- Zv„smv<j), т^а = £ (a„,„ sin ver — c o s ve) )

( 1 6 ) ö 'n = S (e« . *co s V < J — ЛЯ 1„ sin va), T'„ = ¿ ( — eí t„ s i n v i — / » „ „ c o s v e ) ]

j - i I

F r o m ( 1 3 ) it f o l l o w s t h a t bⁿ = Wⁿ f o r all о o n II d é c o u l e d e ( 1 3 ) q u e 6„ = 6'„ p o u r t o u s les о

Ç = e⁴" t h u s : e n Ç = e^{i 0}, d ' o ù :

а » . „ = еЯ 1„ b„, „ == — Лп > „ a n d t , = - т 'п aB i„ = e„„„ = — ЛИ,Р et т„ = — y „ a n d s o o n |Ç| = 1, et ainsi, s u r |Ç| = 1,

т = — т' П 71 ( 1 7 j

C L ;

E n p a r t i c u l i e r , sur |Ç| = 1 : z^t = — -75^-

f

ei^a da

¿Ti J Q

et uj = — —— / e^-'^r s i n 6 de 2 я

J о

( 1 2 )

(5)

A O U T - S E P T . 1 9 6 1 - № 4 .1. N . H U N T 5 1 5

S u b s t i t u t i n g f r o m ( 1 3 ) a n d ( 1 7 ) i n ( 1 1 ) , t h e E n f a i s a n t i n t e r v e n i r ( 1 3 ) et ( 1 7 ) e n ( 1 1 ) , la b o u n d a r y c o n d i t i o n b e c o m e s : c o n d i t i o n à la l i m i t e d e v i e n t :

(c — r/) e-T sin 0 = oc*? 41- + ? 'e_2r 4 ^ ( 1 8 )

2 %c² du da

4 . G e n e r a ! f o r m of solution.

If w e n e g l e c t t e r m s o f o r d e r h i g h e r t h a n t h e first i n 0, T , ( 1 8 ) t a k e s t h e f o r m :

4 . F o r m e d e solution g é n é r a l e .

Si n o u s n é g l i g e o n s les t e r m e s d ' u n o r d r e s u p é - r i e u r au p r e m i e r t e r m e e n 0,T ( 1 8 ) p r e n d la f o r m e :

C l e a r l y ,

S *

2 ire2

( p — p') o = (e + p') ~

(la

et, é v i d e m m e n t :

da ÖL ^dui ida

DIÙ

a n d 0 = <Jl ((D). S i n c e m ( 0 ) = 0,

„ dm^A, q\ f o — p " \

w h e r e q = ^ r — d , , I »

et 0 = d l ( t o ) . P u i s q u e 0) ( 0 ) = 0,

• qui = 0

r dm

~dï

ql

t h r o u g h o u t D j . T h e s o l u t i o n f o r w p o s s e s s i n g t h e r e q u i r e d p r o p e r t i e s i n D^x is w = — zV£^f/

w h e r e 7 = 1, s o t h a t t h e first o r d e r s o l u t i o n is g i v e n b y :

co = — IixÇ a n d c² (0 — - p'

2 * V e + ? '

019)

p a r t o u t e n D^t. L a s o l u t i o n p o u r co a y a n t les c a - r a c t é r i s t i q u e s d é s i r é e s e n T>¹ est co = = — iu.'Çi, o ù 9 = 1, et la s o l u t i o n au p r e m i e r o r d r e est d o n c d o n n é e p a r :

U) = iyX et c² = 9]l

p + p'

(19) w h i c h is t h e s o l u t i o n g i v e n b y L a m b [ 4 ] . F r o m

(9) w e h a v e :

SIN a a n d T7X = — c o s I (20)

l a q u e l l e est la s o l u t i o n d o n n é e p a r L a m b [ 4 ] . N o u s a v o n s , à p a r t i r d e ( 9 ) :

8, = sin a et T^x = •— c o s a (20) T h e f u n c t i o n s w„ m u s t b e h o l o m o r p h i c i n D^x

a n d w e m a y a s s e r t t h a t <o — ua^ c o n t a i n s 'C² as a f a c t o r b y s u i t a b l e c h o i c e o f t h e p a r a m e t e r \>..

T h e r e a r e s e v e r a l f o r m s i n w h i c h ( 1 8 ) m a y b e s o l v e d b y s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n , b u t t h a t w h i c h s h o w s t h e s i m i l a r i t y w i t h L e v i - C i v i t a ' s e q u a t i o n is o b t a i n e d b y w r i t i n g :

da

L e s f o n c t i o n s coH d o i v e n t être h o l o m o r p h e s e n D^{1 (} et n o u s p o u v o n s a f f i r m e r q u e co — c o n - tient Ç² c o m m e f a c t e u r , e n c h o i s i s s a n t u n e v a l e u r c o n v e n a b l e d u p a r a m è t r e u.. ( 1 8 ) p e u t ê t r e r é s o - l u e s o u s p l u s i e u r s f o r m e s p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s , m a i s c e l l e q u i d é m o n t r e l ' a n a l o g i e a v e c l ' é q u a t i o n d e L e v i - C i v i t a s ' o b t i e n t e n p o - s a n t :

= (1 — / , • ) P (8, T) — 7c0 + w h e r e P (8, T ) = = e~^ST sin 8 — 8,

R W = — e 1 — K

p -f- p' DA

R ( T ) (21)

R ( T )

o ù P ( 0 , T )

1 ir 4 -

; - 3 r sin Q — 0,

q = 1 K

W i t h P o u r

0 = S O r f i » ,

1 1

a n d K = £ A > « , 0 = I 0„a«.

L = 1

1

et A- = X KJL«, 1

(6)

520 L A H O U I L L E B L A N C H E A O U T - S E P T . 1 9 6 1 - № 4

it is c l e a r t h a t t h e c o e f f i c i e n t o f \j.n i n t h e f u n c t i o n :

(1 — A-) ( e - ^ s i n O — 6)

d e p e n d s o n l y o n the f u n c t i o n s :

0 ] . . . . ! ) „ _ ! , . . . . t „ _ - | , kx. . . . kn_2.

W e n o w a s s u m e t h a t t h e s e f u n c t i o n s are k n o w n a n d h a v e t h e p r o p e r t i e s :

(i) A*i == A³. . . . = 0 u p t o A „ _².

(ii) co„ is a p o l y n o m i a l o f d e g r e e v d i v i s i b l e b y

£2 s u c h t h a t

(а) it is p u r e l y i m a g i n a r y w h e n £ i s real,

( б ) {/."co,, is u n c h a n g e d w h e n w r i t i n g — £ a n d u. f o r X,, Li-

l t t h e n f o l l o w s t h a t o n \l\ = 1, 8^ . . 6 „ _ , are o d d f u n c t i o n s o f o-, T ] . . . . -{ are e v e n f u n c t i o n s o f <j, a n d ilj."6,,, u.'\^y a r e u n a l t e r e d o n c h a n g i n g a t o i + i a n d to — it. T h u s u p t o t h e o r d e r u.,, i n c l u s i v e (1 — k) P (6, t ) is an o d d f u n c t i o n o f 8 t h e r e f o r e o f a,

a n d :

il est é v i d e n t q u e le c o e f f i c i e n t d e u.« d a n s la f o n c t i o n :

P + p' da

d é p e n d u n i q u e m e n t d e s f o n c t i o n s 8} . . . . 8 „ _ i , . . . . TB- D • • • • ^ * » - 2 - N o u s a d m e t t o n s q u e c e s f o n c t i o n s s o n t c o n n u e s , et q u ' e l l e s p o s s è d e n t les c a r a c t é r i s t i q u e s :

(i) A / = A³ . . . . = 0 j u s q u ' à A „ _².

(ii) o)„ est u n p o l y n ô m e d e d e g r é v, d i v i s i b l e p a r Ç², d e telle m a n i è r e q u e :

a) Sa v a l e u r est p u r e m e n t i m a g i n a i r e l o r s q u e Ç est réel,

b) y.^ru>^v n e v a r i e p a s l o r s q u ' o n p o s e — Ç et — j/.

au l i e u d e Ç, [/..

Il s ' e n s u i t a l o r s q u e s u r |Ç| = 1, G . . . . Qⁿ_¹ s o n t d e s f o n c t i o n s i m p a i r e s d e cr, q u e . . . . T „ _ _a

s o n t d e s f o n c t i o n s p a i r e s d e^cr, et q u e \û'%^v, ll"i:„

s o n t i n c h a n g é s l o r s q u ' o n fait v a r i e r a j u s q u ' à 7 + ic, et ij. j u s q u ' à — « j . . A i n s i , j u s q u ' à et y c o m - p r i s l ' o r d r e ( 1 — 7 c ) P (8, t ) est u n e f o n c t i o n i m p a i r e d e 8, et d o n c é g a l e m e n t d e a,

et : (1 — k) P d u . »

is a l s o a n o d d f u n c t i o n o f a. S i n c e k b y h y p o - t h e s i s c o n t a i n s o n l y e v e n p o w e r s o f u., t h e n (1 — A) P is u n a l t e r e d o n w r i t i n g <j 4- % a n d — ¡1 f o r ts a n d | i . T h u s ,

Q » ( — « ) = a n d Q „ + ( — 1V» QM (<r).

est é g a l e m e n t u n e f o n c t i o n i m p a i r e d e <j. P u i s - q u e , d ' a p r è s l ' h y p o t h è s e , A n e c o n t i e n t q u e d e s p u i s s a n c e s p a i r e s d e ji, i l s ' e n s u i t q u e (1 •— A ) P n e v a r i e p a s l o r s q u ' o n p o s e <r 4- % et — ^ au l i e u d e a et u.. A i n s i ,

— Q » ( « ) .

et Q„, (u 4- 7ï) = ( — 1 ) " Q „ ( o ) . S i n c e t h e f u n c t i o n s 6,,, t „ , v = 1, 2, . . . n — 1, P u i s q u e les f o n c t i o n s :

w h i c h f o r m P (8, t ) m a y b e r e g a r d e d as p o l y n o - 6„, t „ , v = 1,2, — 1,

m i a l s i n c o s 0 a n d sin cr o n |£j = 1, w e m a y w r i t e : c o n s t i t u a n t P (8, t ) p e u v e n t ê t r e c o n s i d é r é e s c o m m e é t a n t d e s p o l y n ô m e s en c o s 0- et s i n cr s u r

|Ç| = 1, n o u s p o u v o n s é c r i r e : [N/2]

Q „ = I ? » . „ _ 2 , * sin (n — 2 v) 5 ( 2 2 )

B y s i m i l a r a r g u m e n t s w e f i n d : N o u s t r o u v o n s , p a r d e s c o n s i d é r a t i o n s a n a l o - g u e s :

R»/2)

R« = S q'n,^{» - 2 „} c o s⁽⁷¹ — 2 v) cr 4- 1 ( 2 3 )

T h e c o e f f i c i e n t o f u.ⁿ i n A6 is : L e c o e f f i c i e n t d e JJ." e n A8 e s t :

+ + — K-ih * A - i + ^2eⁿ- 2 + * » - A

(7)

AOTJT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4 J . N . H U N T 5 2 1

a n d w r i t i n g : e t e n p o s a n t :

»1—2

X , W = Q , W — E * A _ „

w h i c h is c l e a r l y o f the s a m e f o r m as Q „ ( a ) , w e d o n t l a f o r m e est m a n i f e s t e m e n t a n a l o g u e à

h a v e : Q^B ( a ) , n o u s a v o n s :

IN, ¿1

X„ = £ qn, ^N- 2 „ s i n (n — 2 v) CT ( 2 4 )

¡ / = 0

E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f u." i n (21) a n d s u b - L a m i s e e n é q u a t i o n d e s c o e f f i c i e n s d e u."

s t i t u t i n g t h e e x p a n s i o n s ( 2 3 ) , (24), w e h a v e : d a n s (21), e t l ' i n t r o d u c t i o n d e s d é v e l o p p e m e n t s (23), (24), n o u s d o n n e n t :

j TLI ) •IN.N—ZV I , 7 N,N—-AV i (7 l 2 v ) CT —j— (Çn, 1 ' ,

a o „=o ( 9 + P ! I f t P

— — K = £ 9». — i -, I n , n-2. S i n (il 2 v) CT —j— Ç„_ ! — J_ i_ J U i _ . _ s m

(25)

F u r t h e r , f r o m ( 1 6 ) , E n o u t r e , n o u s t i r o n s d e (16) :

^T¹ — 9t t = £ ! (v — 1) an, „ c o s va + (v — 1) &„_ „ sin v<r '

UCT 2 ( )

s o t h a t s u b s t i t u t i n g i n (25) a n d e q u a t i n g l i a r - d e s o r t e q u e , e n s u b s t i t u a n t e n (25), et e n é g a - m o n i c s i n s, l i s a n t les h a r m o n i q u e s e n a :

p - j - p p - ) - p

f o r ail v p o u r t o u s les v u _ g n . « - 2 „ . p' ( " — 2 ,

u » . ' - ⁿ _ 2 ^V ^ _ L (^P _L_ ç/) (n — 2 v - — 1 )^y" ' " -^{2 i}' f o r v ^ [ n / 2 ] — 1 p o u r v «S [ n / 2 ] — 1

026) ( 2 6 ) f r o m w h i c h , u s i n g (15), (23) a n d (24), w e d e d u c e d ' o ù , e n u t i l i s a n t (15), (23) et ( 2 4 ) , n o u s d é d u i -

t h a t : s o n s q u e :

» . c o = f £ ^ ^ t ; ; ; ^ ² ; ! ^ ' - ² ' f - " ( 2 7 )

„=o (? + ? ) ( • " — 2 v — 1) a n d : et :

= — / " * j X „ (a) ^— - f R „ (a) | S i n «da ( 2 8 )

15 V _ „ / p + p' rf(T I n s p e c t i o n o f t h e e x p a n s i o n s (23), (24) s h o w

t h a t t h e s e f u n c t i o n s p o s s e s s t h e p r o p e r t i e s a s c r i b e d t o co² ( 0 w „ _ i ( 0 a n d kⁿ_². S i n c e t h e s e p r o p e r t i e s a r e e a s i l y v e r i f i e d f o r co² ( 0 a n d k², t h e g e n e r a l r e s u l t f o l l o w s b y i n d u c t i o n .

5 . C o n v e r g e n c e .

A s i n L e v i - C i v i t a ' s m e t h o d w e d e f i n e t h e a u x i - l i a r y f u n c t i o n :

L ' e x a m e n d e s d é v e l o p p e m e n t s (23) (24) m o n - tre q u e c e s f o n c t i o n s p o s s è d e n t les c a r a c t é r i s t i - q u e s a s s i g n é e s à o>² ( O • • • • w „ . - i ( O e t kⁿ_² E t a n t d o n n é q u e c e s c a r a c t é r i s t i q u e s s o n t a i s é - m e n t v é r i f i é e s p o u r co2 (Ç) et k2, le r é s u l t a t g é n é - r a l s u i t p a r i n d u c t i o n .

5 . C o n v e r g e n c e .

D e m ê m e q u e d a n s la m é t h o d e d e L e v i - C i v i t a , n o u s d é f i n i s s o n s l a f o n c t i o n a u x i l i a i r e :

N ( 0 Ç l o g (1

(8)

522 L A H O U I L L E B L A N C H E AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4

t h e n it m a y b e s h o w n t h a t if :

t h e n

a n d

do dX.

1

AI,

o n p e u t a l o r s m o n t r e r q u e , si : rl

S„ (OR) uc

a l o r s :

f ^K N « e- * " i ) | X » ^ ) F ^ Sⁿ( a ! ) I d^{0 l} - * ( P + ? )

et :

f " N (Ce-*».) | X ' „ S '^B ( « , ) I d » ! . / - * P + P

C o n s e q u e n t l y u p p e r b o u n d s m a y b e a s s i g n e d o f t h e f o r m :

P a r c o n s é q u e n t , n o u s p o u v o n s fixer d e s l i m i - tes s u p é r i e u r e s , d e la f o r m e :

< J M „ a n d \d«>Jd'Ç\ < J M ' „ ( 2 9 ) K l < J M „ et LDCO„/DU < J M ' „ ( 2 9 ) w h e r e M „ a n d M ' „ are t h e m a x i m u m a b s o l u t e

v a l u e s o n \l\ = 1 o f :

M „ M 'a é t a n t les v a l e u r s a b s o l u e s m a x i m a l e s , s u r |Ç| = 1 , d e :

X „ — a n d X ' , X „

? + p '

et d e X ' , a n d J is a c o n s t a n t w h i c h is n o t less t h a n t h e

m a x i m u m v a l u e w i t h i n a n d on |Ç] = 1 o f t h e i n t e g r a l :

et ,1 é t a n t u n e c o n s t a n t e , d o n t la v a l e u r n ' e s t p a s i n f é r i e u r e à la v a l e u r n o m i n a l e d a n s et s u r

\V\ = 1 , d e l ' i n t é g r a l e :

^~ P [log (1 — C c - * » I ) - i | DA

^ / — 3t

L e v i - C i v i t a f o u n d t h a t J < 2 . 6 4 4 9 , b u t r e f i n e d i n e q u a l i t i e s a n d a m o d i f i c a t i o n o f N [Ç| l e a d t o t h e i m p r o v e d e s t i m a t e J < 1 . 2 8 2 5 . It is n o t c o n - v e n i e n t t o a p p l y " S t o k e s m a j o r a n t f u n c t i o n s "

t o t h i s p r o b l e m t o e s t a b l i s h c o n v e r g e n c e , b u t t o u s e a s i m p l e r m a j o r a n t f u n c t i o n u s e d b y L e v i - Civita i n a n e a r l i e r p a p e r [ 5 ] . W e s u p p o s e t h a t

|8„|, | T „ | , | d e „ / d c r | a n d | d f „ / d o j a r e b o u n d e d b y Q „

a n d k b y K, w h e r e :

L e v i - C i v i t a a t r o u v é J < 2 , 6 4 4 9 ; t o u t e f o i s , e n raf- f i n a n t les i n é g a l i t é s , et e n m o d i f i a n t N ( ¡ 0 , o n p a r v i e n t à u n e m e i l l e u r e é v a l u a t i o n , s o i t :

J sï 1 , 2 8 2 5 .

L e s « f o n c t i o n s m a j o r a n t e s » d e S t o k e s n e c o n v i e n n e n t p a s p o u r d é m o n t r e r l a c o n v e r g e n c e d a n s c e p r o b l è m e ; o n a p p l i q u e p l u s a v a n t a g e u - s e m e n t u n e f o n c t i o n m a j o r a n t e p l u s s i m p l e , u t i - l i s é e p a r L e v i - C i v i t a d a n s u n m é m o i r e a n t é r i e u r

[ 5 ] . N o u s s u p p o s o n s q u e | 8 j , | T „ | , | d O „ / d c | et

| d T „ / d a | s o n t d é l i m i t é s p a r Û „ , et q u e k est d é l i - m i t é p a r K, a v e c :

K = S K„a", Q (Ç) = S Q„ ( 0 (*", Q ( l ) = H

T h e f u n c t i o n s :

X„, (o) — / c , , ^ ! sin a- a n d <s'$ⁿ ( < r ) / ( p + p') a r e b o u n d e d b y :

ni a n d

" d » du.''

{ ( 1 + K ) G ( Q ) + K Q }

/1 = 0 1 " d " J Q (e4 S _ l ) j.

L e s f o n c t i o n s :

X „ (o-) — / c „ _ ! s i n o- et p'S„ ( t r ) / ( p + ?') s o n t d é l i m i t é e s p a r :

n ! du. ^{- K l} + K ) G ( Û ) 4 - K Q }

d "

¡¡.=0

(9)

AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4 J . N . H U N T 523

w h e r e G (Û) = e3ît s i n h O f r o m t h e first o f ('29) :

O. It f o l l o w s t h a t o ù G (Q) = e'^iQ s i n h Q — Q. Il s ' e n s u i t q u ' à p a r - tir d u p r e m i e r t e r m e d e ( 2 9 ) :

Q „ ( 0 =

71 ! dv.n

(1 + K ) G ( Û ) + K O +

P + P'

Q ( e^{4 £ î} — 1)

M u l t i p l y i n g b y [i.n a n d s u m m i n g o v e r n, u s i n g the e x p a n s i o n f o r û a n d p u t t i n g Ç = 1, w e h a v e :

E n m u l t i p l i a n t p a r u" et e n o p é r a n t la s o m - m a t i o n s u r n, e n u t i l i s a n t le d é v e l o p p e m e n t d e û , et e n p o s a n t Ç = 1, n o u s o b t e n o n s :

H = + J ( 1 + K ) G ( H ) + K H + • H ( e^{4 H} — 1) ( 3 0 )

S i m i l a r l y f r o m ( 2 8 )

K =

D e m ê m e , n o u s o b t e n o n s , à p a r t i r d e ( 2 8 ) (1 + K ) G ( H ) -I f— H ( e^{4 n} — 1)

9 + 9

( 3 1 )

E q u a t i o n s ( 3 0 ) a n d ( 3 1 ) define H a n d K as h o l o - m o r p h i c f u n c t i o n s o f |x f o r s o m e finite r a n g e i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f \i. = 0. T h e series ( 1 4 ) a r e t h e n u n i f o r m l y c o n v e r g e n t t o g e t h e r w i t h du>/dZ„

da>'/dZ, i n t h i s r a n g e . T h e r a n g e o f p e r m i t t e d w a v e a m p l i t u d e s g i v e n b y ( 3 0 ) ( 3 1 ) is a f u n c t i o n of t h e p a r a m e t e r g'/g, b u t as i n t h e c a s e o f w a v e s at a free s u r f a c e [ 2 ] , t h e a p p a r e n t m a x i m u m a m p l i t u d e g i v e n b y t h i s c o n v e r g e n c e p r o o f is far s m a l l e r t h a n t h a t k n o w n t o e x i s t i n r e a l i t y .

A n o t h e r m e t h o d o f e s t i m a t i n g t h e h i g h e s t w a v e a m p l i t u d e is t o u s e a n a l t e r n a t i v e c h a n g e o f d e - p e n d e n t v a r i a b l e . It is e v i d e n t f r o m ( 7 ) t h a t at a w a v e c r e s t w h e r e iv = 0, T m u s t d i v e r g e . W e t h e r e f o r e c h o o s e a f o r m i n w h i c h a k n o w n finite v a l u e g i v e s w — 0, f o r e x a m p l e :

L e s é q u a t i o n s ( 3 0 ) et ( 3 1 ) d é f i n i s s e n t H et K c o m m e é t a n t d e s f o n c t i o n s h o l o m o r p h e s d e \i.

p o u r u n e z o n e finie q u e l c o n q u e a u t o u r d e \>. = 0.

L e s séries ( 1 4 ) s o n t a l o r s u n i f o r m é m e n t c o n v e r - g e n t e s , a i n s i q u e da/dt, du'/dZ, d a n s c e t t e z o n e . L a g a m m e d e s a m p l i t u d e s d ' o n d e a d m i s e s d o n - n é e p a r ( 3 0 ) , ( 3 1 ) est u n e f o n c t i o n d u p a r a m è t r e g'/g, m a i s , d e m ê m e q u e d a n s le c a s d e s o n d e s e n s u r f a c e l i b r e [ 2 ] , l ' a m p l i t u d e m a x i m a l e a p - p a r e n t e d o n n é e p a r c e t t e p r e u v e d e c o n v e r g e n c e est b e a u c o u p p l u s f a i b l e q u e c e l l e q u e l ' o n sait e x i s t e r d a n s la r é a l i t é .

U n e a u t r e m é t h o d e p o u r é v a l u e r l ' a m p l i t u d e d ' o n d e m a x i m a l e c o n s i s t e à c h o i s i r u n a u t r e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e . Il est é v i d e n t d ' a p r è s ( 7 ) q u e T d o i t ê t r e d i v e r g e n t , p o u r u n e c r ê t e d ' o n d e c o r r e s p o n d a n t à w — 0. N o u s c h o i s i r o n s d o n c u n e f o r m e d a n s l a q u e l l e u n e v a l e u r finie c o n n u e d o n n e w = 0, p a r e x e m p l e :

iv = c ( c o s o)W •— sin <uW) ( 3 2 ) so t h a t n = v = 0 w h e n 8 W == rc/4, T W = 0 . T o

t h e f o u r t h o r d e r , w h e n o' = 0 ,

=vx, + 4 - № + 1- №

d e s o r t e q u e u = v = 0, l o r s q u e G'¹' = it/4,

T( ! ) = 0. A u q u a t r i è m e o r d r e , l o r s q u e g' = 0 :

a n d f o r t h e h i g h e s t c r e s t (Ç = 1 ) ,

6(5) = - ^ = ¡ , . +

4

et, p o u r la c r ê t e d ' o n d e m a x i m a l e (Ç = 1 ) ,

f r o m w h i c h : d ' o ù :

( ñ / X )^{m a x} < 1 / 5 . 3 6 . № A ) m » * < 1 / 5 , 3 6 . V a r i o u s o t h e r t r a n s f o r m a t i o n s s i m i l a r t o ( 3 2 )

h a v e f a i l e d t o i m p r o v e s u b s t a n t i a l l y o n t h i s e s t i m a t e w h i c h e x c e e d s M i c h e l l ' s r a t i o 1/7 w h i c h h a s b e e n c o n f i r m e d b y Y a m a d a [ 3 ] . T h e s u p e r i o r i t y o f Y a m a d a ' s m e t h o d is n o t s u r p r i s i n g i n

Il n ' a g u è r e été p o s s i b l e , a u m o y e n d ' a u t r e s t r a n s f o r m a t i o n s a n a l o g u e s à ( 3 2 ) , d ' a m é l i o r e r d ' u n e m a n i è r e a p p r é c i a b l e q u e l c o n q u e c e t t e é v a - l u a t i o n , l a q u e l l e d é p a s s e le r a p p o r t 1/7 é n o n c é p a r M i l c h e l l et c o n f i r m é p a r Y a m a d a [ 3 ] . L a

(10)

5 2 4 L A H O U I L L E B L A N C H E A O U T - S E P T . 1 9 6 1 - № 4

v i e w o f t h e n a t u r e o f t h e s i n g u l a r i t y at the w a v e c r e s t .

s u p é r i o r i t é d e la m é t h o d e d e Y a m a d a n e s u r - p r e n d g u è r e , é t a n t d o n n é la n a t u r e d e la s i n g u - larité à la c r ê t e d ' o n d e .

6. T h i r d o r d e r solution.

R e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f ( 2 7 ) a n d ( 2 8 ) l e a d t o the f o l l o w i n g r e s u l t s u p t o t h e t h i r d o r d e r .

6 . Solution a u t r o i s i è m e o r d r e .

L ' a p p l i c a t i o n r é p é t é e d e ( 2 7 ) et ( 2 8 ) c o n d u i t a u x r é s u l t a t s s u i v a n t s , j u s q u ' a u t r o i s i è m e o r d r e :

«H = i'C,

co» = •— l . 1.7 p (p — ?') 4 - 2 p'² 6 (o + o ' )2

K³,

2 (^P^{+ o')} ^Ç^>

o2 — 3 Où'

( 9 + 9 ' )2

( 3 3 )

O n e v a l u a t i n g e'""> a n d u s i n g ( 1 2 ) w e h a v e p a r a - E n é v a l u a n t e^ia et e n u t i l i s a n t ( 1 2 ) , n o u s o b - m e t r i c f o r m s o f t h e w a v e p r o f i l e e q u a t i o n , w h i c h , t e n o n s d e s f o r m e s p a r a m é t r i q u e s d e l ' é q u a t i o n d u o n e l i m i n a t i o n o f t h e p a r a m e t e r a, l e a d t o t h e p r o f i l d ' o n d e , l e s q u e l l e s , u n e f o i s é l i m i n é le p a r a - r e s u l t : m è t r e a, c o n d u i s e n t a u r é s u l t a t s u i v a n t :

2 7C et c o s mx 1 2 /

a² Vp + y ) c o s 2 mx 4 - a^:3 10 3^{? / ;} c o s 3 mx..

w h e r e

m = 2

U s i n g q = 1 — k, t h e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n is g i v e n t o t h e t h i r d o r d e r b y :

o u :

3 fi.»

8 (P + 9 ' )

( 3 4 )

A v e c 7 = 1 — k, la v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n e s t d o n n é e , au t r o i s i è m e o r d r e , p a r :

c = ⁹

m V 9 + p'

p² + p'² (Ç + P ' )2

m ci ²^N² ( 3 5 )

It is e v i d e n t t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a n d t h i r d h a r m o n i c s a r e r e d u c e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e u p p e r f l u i d o f d e n s i t y p'.

W h e n t h e t w o f l u i d s a r e c o n t a i n e d b e t w e e n r i g i d h o r i z o n t a l p l a n e s y = h', y = — h, it is s i m p l e r t o s o l v e f o r t h e w a v e p r o f i l e b y a p o w e r series e x p a n s i o n o f the S t o k e s - R a y l e i g h tj^pe.

W i t h t h e n o t a t i o n :

S„ = s i n h nmh, S'„ = s i n h nmh', C„ = c o s h nmh, C'„ = c o s h nmh' t h e w a v e p r o f i l e t o t h i s o r d e r is :

Il est é v i d e n t q u e les a m p l i t u d e s d e s d e u x i è m e et t r o i s i è m e h a r m o n i q u e s s o n t r é d u i t e s p a r la p r é s e n c e d u f l u i d e s u p é r i e u r d e d e n s i t é p'

L o r s q u e les d e u x f l u i d e s s o n t c o n t e n u s e n t r e d e s p l a n s h o r i z o n t a u x r i g i d e s ij = h', y — — h, la s o l u t i o n p o u r le p r o f i l d ' o n d e s ' o b t i e n t p l u s a i s é m e n t p a r le d é v e l o p p e m e n t e n série, d u t y p e S t o k e s - R a y l e i g h . A v e c les n o t a t i o n s :

Sⁿ = s i n h nmh, S', C„ = c o s h nmh, C,

• s i n h nmh', c o s h nmh', le p r o f i l d ' o n d e , à c e t o r d r e , est :

y = rt^t c o s mx + a² c o s 2 mx 4 - a³ c o s 3 mx,

w h e r e a v e c :

9 cT

S ' \ p' -îî -1- « 2

~ 2 + 9'

ma.

? CT ( C2 + 2 ) SISO

S '⁹ , 16

9'C'i ( C^{r 2} + 2) S'iS'a

P ( 2 C⁴ + 3 C²4 - 4 ) p' (2 C\ + 3 C ² + 4 ) ' S^{x 2} (2^C²⁺ 1) S'!² (2 C² + 1)

16

9 C1 a( C 2 + 2 ) p ' C V ( C '2 + 2 ) ' . S18 ( 2 C2 + 1) ^ S V ( 2 G '2 + 1)_

(11)

A O U T - S E P T . 1 9 6 1 - № 4 J . N . H U N T 5 2 5

T h e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n i s g i v e n b y t h e r e l a t i o n :

9 (^P _?')

X

m²cii²

X 1 + S i⁸

L a v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n e s t d o n n é e p a r la r e l a t i o n :

o d ( C i2 —- 2 ) p'C'i ( C ' i2 — 2 )

ma⁹ ^{( 2} C ? + 1 ) S ,²

2 ( o - ^

9 S'!

?' ( 2 C'-j2 + 1 ) \ \

s v ; (

T h e s e r e s u l t s r e a d i l y r e d u c e t o ( 3 4 ) , ( 3 5 ) as ft, ft' —» oo, o r , i f w e p u t / = 0, t o t h e S t o k e s - S t r u i k s o l u t i o n f o r p r o g r e s s i v e w a v e s i n a fluid o f finite d e p t h ft.

Ces r é s u l t a t s se r é d u i s e n t f a c i l e m e n t à ( 3 4 ) et (35) l o r s q u e ft, ft'—» c o , o u b i e n , si n o u s p o s o n s o' = 0, à la s o l u t i o n S t o k e s - S t r u i k p o u r l e s o n d e s p r o g r e s s i v e s d a n s u n f l u i d e d e p r o f o n d e u r finie ft.

B i b l i o g r a p h i e

[ 1 ] LEVI-CIVITA, T . ( 1 9 2 5 ) . — La détermination rigou

reuse des ondes permanentes d'ampleur finie.

Math. Ann., 9 3 , 2 6 4 - 3 1 4 .

[ 2 ] H U N T , J . N . ( 1 9 5 3 ) . — A note on gravity -waves of finite amplitude. Q. J. Mech. and Appt. Math., 6 , 3 3 6 - 3 4 3 .

[ 3 ] YAMADA, H. ( 1 9 5 7 ) . — Highest waves of permanent

type on the surface of deep water. Rep. Res. Inst, for App. Mech., 5, 37-52.

[ 4 ] LAMB, H . — Hydrodynamics, (1932), C.U.P., 370.

[5] LEVI-CIVITA, T. (1921). — Rizolizione dell'equazione funzionale che caratterizza le onde periodiche in un canale molto profondo. Math. Ann., 85, 256-278.

(12)

5 2 6 L A H O U I L L E B L A N C H E AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4

II. — S T A T I O N A R Y O S C I L L A T I O N S II. — O S C I L L A T I O N S S T A T I O N N A I R E S .

Stationary oscillations at a fluid interface are examined, the frequency of oscillation and the equation to the wane profile being found to the fourth order. The method is that used by Penney and Price for oscillations at a free surface. As in the case of progressive waves, the amplitudes of the higher order harmonics are reduced by the presence of the upper fluid giving a more sinusoidal profile, and the period of oscillation is increased. It is pointed out that indeterminate harmonics arise in the profile equation.

Cette deuxième partie comporte l'examen des oscillations stationnaires à l'interface entre deux fluides; la fréquence de l'oscillation et l'équation dit profil d'onde sont déterminées au

¥ ordre. La méthode est celle utilisée par Penney et Price pour les oscillations en surface libre. Comme dans le cas des ondes progressives, les amplitudes des harmoniques d'ordre supé- rieur sont réduites par la présence du fluide supérieur, c'est-à-dire que le profil de ces har- moniques devient plus sinusoïdal et que la période de l'oscillation est augmentée. L'atten- tion est également attirée sur l'intervention d'harmoniques indéterminés dans l'équation du profil d'onde.

1. F o r m u l a t i o n of the p r o b l e m . 1. F o r m u l a t i o n d u p r o b l è m e .

W e c h o o s e an o r i g i n o f c o o r d i n a t e s 0 at t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t w o s e m i - i n f i n i t e f l u i d s , t h e u p p e r o f d e n s i t y p', t h e l o w e r o f d e n s i t y p, w i t h t h e a x i s Oy v e r t i c a l l y u p w a r d s . T h e m o t i o n is d e t e r m i n e d b y v e l o c i t y p o t e n t i a l s ©, to' w h e r e :

V2o =

V V =

⁰ (1) a n d

3» 3cp'

ⁿ

— — 0 a s x

ox ox

9?

3?/

0, f o r a l l t, -> 0 as y —• co, f o r all x, t,

—» 0 as y —» -(- co, f o r all x, t,

A p p r o p r i a t e s o l u t i o n s w h i c h s a t i s f y t h e s e c o n - d i t i o n s are o f t h e f o r m :

N o u s c h o i s i s s o n s u n e o r i g i n e d e c o o r d o n n é e s 0, s i t u é e à l ' i n t e r f a c e s é p a r a n t d e u x f l u i d e s s e m i - infinis, l a d e n s i t é d u f l u i d e s u p é r i e u r é t a n t d é s i - g n é e p a r p', et c e l l e d u f l u i d e i n f é r i e u r p a r p, l ' a x e Oy é t a n t d i r i g é v e r t i c a l e m e n t v e r s le h a u t . L e m o u v e m e n t est d é t e r m i n é p a r l e s p o t e n t i e l s d e v i t e s s e o, o', a v e c :

V²9

= V V

^: ⁰ ( 1 ) et

3cp

do'

= ~ — = 0 l o r s q u e x = 0, p o u r t o u s les t

C/ ti.- C/iX-

9=p_

3?/

do' dy

—> 0 l o r s q u e y —> — co, p o u r t o u s les x, t,

—» 0 l o r s q u e y —> + oo, p o u r t o u s les x, t,

L e s s o l u t i o n s a p p r o p r i é e s s a t i s f a i s a n t à c e s c o n d i t i o n s s o n t d e la f o r m e :

o' = £ v.,fi-nv c o s rix 9 = X ß „ en» cos nx

(2)

T h e i n t e r f a c e m a y b e r e p r e s e n t e d b y the e q u a - t i o n :

L ' i n t e r f a c e p e u t ê t r e r e p r é s e n t é e p a r l ' é q u a - t i o n :

f(x,y,t)— — y - f jr a„ c o s nx = 0 ( 3 )

(13)

AOUT-SEPT. 1 9 6 1 - № 4 J. N . H U N T 527

so t h a t t h e p r e s s u r e a n d k i n e m a t i c c o n d i t i o n s d e s o r t e q u e les c o n d i t i o n s d e p r e s s i o n et c i n é -

o n /' = 0 a r e : m a t i q u e s p o u r f — 0 s o n t :

3£_

dj_

J V .

df do' dt

3 i 3 i

dy dy

df ^ df_ do , df do dt dx dx dy dy

(4)

( 5 )

(6)

w h e r e a v e c

p/o =

—

y + do

~dt

w i t h a s i m i l a r e x p r e s s i o n f o r / / , all v a r i a b l e s b e i n g m e a s u r e d i n n o n - d i m e n s i o n a l u n i t s . S u b - s t i t u t i n g t h e e x p a n s i o n s ( 2 ) a n d ( 3 ) i n ( 4 ) , ( 5 ) a n d ( 6 ) , a n d u s i n g t h e n o t a t i o n o f P e n n e y a n d P r i c e ( 1 9 5 2 ) ,

Y ( ? / + 9 ,²) + F (F)

et, a v e c u n e e x p r e s s i o n a n a l o g u e p o u r p', t o u - tes les v a r i a b l e s é t a n t m e s u r é e s e n u n i t é s s a n s d i m e n s i o n s . E n f a i s a n t i n t e r v e n i r les d é v e l o p - p e m e n t s ( 2 ) et ( 3 ) e n ( 4 ) , ( 5 ) et ( 6 ) , et e n a d o p - t a n t la n o t a t i o n d e P e n n e y et P r i c e ( 1 9 5 2 ) :

e^xv c o s U.X = E (X, u.) - f - £ c o s s x [ E (X, s — u.) - f E (X, s + u.)]

s = l

w h e r e a v e c

co y 11

E ( X , ^S ) = E ( X , -^S ) = X S^;

n Z II!

U )

S» (s) = £ a^mS „ _ ! (s — n i ) , a n d et :

S„ ( s ) = S„ ( — s), S⁰ ( 0 ) = 1, S⁰ ( s ) = 0, S^x ( s ) = a „

t h e t h r e e b o u n d a r y c o n d i t i o n s b e c o m e : les t r o i s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d e v i e n n e n t

CO co f~ CO I

(? — f') S «n c o s n x = p £ ^ ( E ( 7 7 , n ) + S c o s sx \ E ( n , s — n) + E ( n , s + n ) }•

î » = i L s= i J

eo [— ce

+ pf}0 — ?' à0 — p' £ a j E ( — n, n) + X c o s s x •{ E ( — TZ, s — n ) + E ( — n, s -{- n)j-

11=1 L 8 = 1

^ i l l ™ ™

4 - i r ? ' S £ N M * A

•« î î

E ( m + in, m — n ) 4 £ c o s s x { E (m 4 7 7 , s — m + n ) + E ( m 4 - n, s -f- m — 7 7 ) }

î

X | ~ E ( — m — 7 z , m — n ) 4- J] c o s s x -j E ( — ni — n, s — m 4- n ) 4- E ( — m — n, s 4- m — (7)

£ àⁿ c o s / i x = — X n ß^B

i î

E ( n , n ) + I c o s s x -j E (n, s — 7 7 ) 4- E ( n , s + n) \

CO 00

4 - S Sm j ! f l.

E ( n , m — n ) — E ( n , m^{4 -} n )⁴ È^c ^o ^ss x \ E ( n , s — m^{4 -} n ) _ 4 - E ( 7 7 , s 4 - «"Î — - •") — E ( n , s — m —^{7 7 )} — E ( 7 7 , s 4 m + ⁿ) K

(8)