Université Mohammed V 2019-2020
Faculté des Sciences Algèbre 2
Département de Mathématiques SMPC - S2
Fiche 2 – Applications linéaires
EXERCICE1.
On considère le sous-ensembleF deR3défini par F =
n
(x, y, z)∈R3/ x − z= 0 o.
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel deR3 et en donner une base.
2. On considère l’application linéaire f définie de F versR2 par
∀(x, y, z)∈ F , f(x, y, z) = (x+y, x − y).
(a) Déterminer Ker(f) et Im(f).
(b) L’applicationf est-il un isomorphisme deF dansR2? EXERCICE2.
Soitf l’application linéaire définie par
f:R3 → R2[X]
(a, b, c) 7→ (a+b+c)(1 +X+X2).
Dans la suite, on noteB={e1, e2, e3}la base canonique deR3etC={1, X , X2}la base canonique deR2[X].
1. Déterminer Im(f) et en donner une base.
2. Déterminer Ker(f) et en donner une base.
3. On considère le sous-espace vectoriel de R2[X] défini parF = Vect{P1, P2} oùP1= 1 +X etP2= 1 +X2.
(a) Déterminer une base deF. (b) Montrer que F ⊕Im(f) =R2[X].
EXERCICE3.
1. Montrer que la famille B={X , X2+ 1, X −1}est une base de R2[X].
2. SoitP=a+bX+cX2∈R2[X]. ÉcrireP dans la baseB. 3. On considère l’endomorphismef deR2[X] défini par
f(X) = 1, f(X2+ 1) =X , f(X −1) =X2+X+ 1.
(a) Éxprimerf(P) pour toutP ∈R2[X].
(b) Déterminer Ker(f) et Im(f).
(c) Montrer que f est un automorphisme.
EXERCICE4.
Soientm ∈Retf l’endomorphisme deR3défini par
∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z) = (x+y+z, x+my+z, mx+y+z).
1. Déterminer, suivant les valeurs du réelm, le rang de la familleC={v1, v2, v3}oùv1= (1,1, m), v2= (1, m,1) et v
3= (1,1,1). En déduire le rang def. 2. Déterminer une base de Im(f) et une base de Ker(f).
3. L’applicationf est-elle injective ? surjective ? bijective ?
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EXERCICE5.
Dans leR-espace vectoriel R4, on note B={e1, e2, e3, e4} la base canonique et on désigne par f l’unique endomorphisme deR4tel que
f(e1) = 3e3; f(e2) =−3e2+e4; f(e3) =−3e3; f(e4) = 0.
1. Siu= (x, y, z, t)∈R4, exprimerf(u) en fonction dex, t, z ett. 2. Déterminer une base de Im(f). Quel est le rang de f?
3. Donner la dimension de Ker(f) et en déterminer une base.
4. On pose
a= 3e
3, b=−3e
2+e
4, c=e
1+e
3, d=e
4.
Montrer que {a, b, c, d}est une base deR4. 5. Montrer que R4= Ker(f)⊕Im(f).
6. Pourn ∈N∗, on définitfnen posant
f1=f et pourn ≥2, fn=fofn−1. Siu= (x, y, z, t)∈R4, exprimerfn(u) en fonction dex, t, z ett.
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