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Le transfert de chaleur et ses principes
Mme. F.Lemmini
II.3.3 cylindre solide avec génération de chaleur
Ce cas se rencontre dans des situations réelles par exemple :
- un fil électrique où de la chaleur est générée suite au courant électrique qui le traverse.
dr r dr r G
r
r dr
kA dT rdr
L dr q
kA dT
2
- un élément cylindrique utilisant l’uranium 235 comme combustible où la chaleur est générée par fission nucléaire.
L’équation de conservation de l’énergie pour un élément annulaire est :
rL
Ar 2 et
A
rdr 2 ( r dr ) L
T max
T
00
dr
r
rflux entrant +flux généré= flux sortant
q
k(r)r
q
k(r+dr)r+dr
3
r dr k T r
kr T dr
kdT r
q
r r r
G 2
2 2
2
On néglige le terme
r r
G r
kr T dr
kdT r
q 2
2
Équation générale de la conduction pour les coordonnées cylindriques:
Flux radial et régime permanent
Une première intégration donne : 1 2
)
2 ( C
dr r dT r k
qG
0
r 0
dr
dT r 0
à : le changement de température à est nul car T(r 0)Tmaxcste C1 0
2 2 2
) 4 (
) 2 2 (
r C k r q
T
k rdr dT q
dr r dT r k
q
G
G G
0 0 :T T r
r
La température maximale se trouvant au centre ( r 0 ) est :
k r T q
T G
max 4
2 0 0
2
0 0
0 1
max )
(
r r T
T
T r
On peut aussi écrire: T
Equation de la conduction en coordonnées cylindriques
) ( dr
r dT dr k d r
qG pour un cylindre avec génération de chaleur:
2 0 0
2 4 r
k T q
C G
0
2
0 2
0 1
) 4
( T
r r r
k r q
T G
à
Si le cylindre est immergé dans un fluide de température Tf et si le coefficient de convection de chaleur entre la surface du cylindre et le fluide est , la température de la surface T0 au point r=r0 est une inconnue.
La condition aux limites pour ce cas là indique que le flux par conduction à travers le cylindre est égal au flux par convection entre la surface et le fluide à Tf
) ( 0
0
0
0 r f
r r
r hc A T T
dr A dT
k
0 0 :T(r) T r
àr
T
0 est déterminée par la condition aux limites :k r T q
k T h dr
dT G
C f r
r 4
) 2
( 0 0
0
ou
hc
0 2
0 2
0 1
) 4
( T
r r r
k r q
T G
C f G
h r T q
T
2
0 0 f
c c
G T
r r k
r h h
r r q
T
2
0 0
0 2 1
) 4 (
2
0 0
0 2 1
4 )
(
r r k
r h T
h r q T
T r
T c
c f G f
f
) ( 0
0 r f r
T c T
dr h
kdT
Tmax
T
0r
0T f
La température maximale est obtenue pour r=0
Il apparaît dans les deux équations un terme important dans le domaine des transferts de chaleur par conduction.
k r i h
B
c 0 : nombre de Biot qui apparaît dans les problèmes où les transferts se font simultanément par conduction et par convection.k
Rk r0 : Résistance thermique à la conduction
c
c h
R 1
: Résistance à la convection c
k
R i R
B
Les limites de ce nombre sont :
k r ouRk
hc quandRc
Bi
c h k ouR
r quandRk
Bi
c 0 0
1 0
0 1 0
Le nombre de Biot tend vers zéro quand la conductivité du solide (ou la résistance à la convection) est si grande que sa température est pratiquement constante et le changement de température est plutôt dans le fluide à l’interface.
Le nombre de Biot tend vers l ’infini quand la résistance thermique du solide est dominante et quand le changement de température a lieu plutôt dans le solide.
k r h T
h r q T
T c
c f G f
0
0 2
4 max 1
