Fortement lié au calcul numérique, et fonctionnant bien entendu sur les mêmes règles, le calcul littéral nécessite lui aussi une pratique régulière. Sa bonne maîtrise et la mise en place par chacun de stratégies efficaces permet d'évoluer dans une démonstration en se concentrant sur le raisonnement sans être bloqué à chaque étape par des problèmes « techniques ».
Là aussi, il est nécessaire de travailler « à la main », puis il est utile de vérifier ses résultats à l'aide d'un logiciel de calcul formel. Xcas est un logiciel puissant qui sera utilisé souvent en première et terminale (et souvent au-delà) : c'est l'occasion de continuer à se familiariser avec son utilisation. GeoGebra possède aussi un module de calcul formel très ergonomique.
Exemple : Factoriser l'expression f (x )=2 x2
+x−1 . 1. « À la main »
On reconnaît ici un polynôme du second degré. Il n'y a ni facteur commun, ni identité remarquable.
Méthode 1 Méthode 2 Pour tout x ∈ ℝ, f (x )=2 x2 +x−1 f (x )=2
(
x2+1 2x− 1 2)
f (x )=2[
(
x +1 4)
2 −(
1 4)
2 −1 2]
f (x )=2[
(
x +1 4)
2 − 1 16− 1 2]
f (x )=2[
(
x +1 4)
2 − 9 16]
f (x )=2[
(
x +1 4)
2 −(
3 4)
2]
f (x )=2(
x +1 4− 3 4)(
x+ 1 4+ 3 4)
f (x )=2(
x−1 2)
(x +1)f est un polynôme du second degré. Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet S a pour abscisse, d'après le cours, xS= −1
2×2=− 1 4. yS=f ( xS)=2×
(
−14)
2 +(
−1 4)
−1=− 9 8 La forme canonique de f (x ) est donc : Pour tout x ∈ ℝ, f (x )=2[
x−(
−1 4)
]
2 +(
−9 8)
f (x )=2(
x +1 4)
2 −9 8 On a donc : Pour tout x ∈ ℝ, f (x )=2[
(
x +1 4)
2 − 9 16]
(c'est une étape intermédiaire de la méthode 1 : il suffit de la reprendre à partir de cette étape).
2. Vérification avec Xcas :
Dans Xcas, il suffit d'écrire les 3 premières lettres d'un mot :
Puis d'appuyer sur la touche de tabulation afin que le logiciel propose une liste de fonctions parmi lesquelles se trouve certainement celle qui
nous intéresse... Il suffit de la trouver. Une exlication est donnée pour chaque fonction, ainsi qu'un rappel de la syntaxe.
Petit à petit, avec une pratique régulière, on se rappelle la syntaxe et on peut utiliser l'util plus efficacement !
Exercice 1 : Développer les expressions suivantes : f (x )=(2 x−9)2−(3 x +7)(x +8) g ( x)=(−x +3)(−x+ 4)2 +(2 x−1)(−x+ 5) h( x)=
(
1 3 x− 1 2)(
1 3x+ 1 2)
−3(
7 2x−1)(
−x + 1 3)
Exercice 2 : Factoriser les expressions suivantes :f (x )=( x−4)2+(7 x +6)( x−4)−4+ x g ( x)=16 x2−49
h( x)=49−x2+(7− x)(5 x−6)+ x −7
k ( x)=9 x3+30 x2+25 x l (x )=8 x2−50
Exercice 3 : Écrire sous forme canonique les polynômes du second degré suivant, puis sous forme factorisée (si la forme factorisée existe...).
f (x )=−2 x2+12 x−14 g ( x)=1 2x 2 −x−3 2 h( x)=2 x2−x +1 k ( x)=2 x2−x −15
Exercice 4 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes, et écrire leur expression sous la forme la plus factorisée possible :
f (x )= 1 x−3+ 1 2 x +1 g ( x)= x+2 x2−1 h( x)= 2
√
1−2 x k ( x)= 2 x 3 x2+4−1 l (x )= 1 x−2 s( x)= x +2 x2−4Les fonctions l et s sont-elles égales ?
Exercice 5 : Quels sont les trois entiers impairs consécutifs dont la somme vaut 411 ?
Exercice 6 : Si on augmentait de 3 m le côté d'un carré, alors son aire augmenterait de 45 m². Quelle est le côté de ce carré ?
Exercice 7 : Lorsqu'on soustrait un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction 25 9 , alors on obtient une fraction égale au nombre soustrait. Quel est ce nombre ?
