I) La tension superficielle1) a)

INSTABILITES STATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES INFLUENCE DE LA TENSION SUPERFICIELLE

Corrigé

I) La tension superficielle

1) a) Elle correspond à un excès d'énergie en surface .

Pour accroître de dS l'aire de l'interface entre les deux fluides, il faut fournir une énergie : δ W =γ dS où γ est la tension interfaciale entre les deux fluides .

b) γ s'exprime en N.m

ou J.m

c) pour l'eau: γ=70.10

N.m

pour l'huile : γ=30.10

N.m

2) a) La goutte prend la forme qui tend à minimiser l'aire de l'interface, pour un volume donné (on néglige toutes les autres forces, en particulier la pesanteur) : forme sphérique .

b) méthode des travaux virtuels : on imagine une variation de dR du rayon de la goutte sphérique. Variation d'énergie potentielle : dE

=δ W

+δ W

dE

=γ dS+( p

− p

) dV =8 π R γ dR+( p

− p

) 4 π R

dR A l'équilibre E

est minimale : ^dE

=0 ⇒ p

− p

= 2 γ

R

c) Pour une surface (Σ) donnée, l'intersection d'un plan orthogonal au plan tangent à (Σ) en M donne une famille de courbes. En M, on peut définir le rayon de courbure pour chaque courbe. Les rayons de courbure principaux R

et R

en M sont les valeurs minimale et maximale de ces rayons de courbure. La courbure C de la surface (Σ) en M est : C= 1

R

+ 1 R

d) Généralisation de la loi de Laplace : p

− p

=C γ

3) a) Pour R

: la courbe appartient au plan orthogonal à (xOz) et contenant MP.

Pour R

: il s'agit du plan de figure (xOz)

Vue la symétrie de révolution, R

est toujours positif. R

peut être de signe quelconque.

b) Par définition, ds

= dx

+dz

= dx

(1+ ˙ z

) . Comme s croît quand z croît, on a le résultat demandé.

D'autre part : tan θ= dz

dx = ˙ z d'où cos θ= 1

√ ¹ + ˙ z

c) ^R

=PM = z

cos θ d'où 1 R

= 1

z 1

√ ^{1+ ˙ z}

^{et ds=−R}

^{d θ d'où}

1

R

=− d θ

ds =− d θ dx

dx ds = d θ

dx 1

√ ^{1+ ˙ z}

^{. Comme tan θ= ˙ z , z ¨ =}

d (tan θ) dx = 1

cos

x d (θ)

dx , on en déduit . 1

R

=− ¨ z (1+ ˙ z

)

3 2

Compte tenu de la définition de la courbure, on a le résultat demandé.

II) Hydrodynamique en cellule de Hele-Shaw

1) R

= forces inertielles

forces de viscosité = ρ bV

η où b est une longueur caractéristique de l'écoulement.

• Si ^R

<1 : écoulement dominé par la viscosité, laminaire

• Si R

≫1 : écoulement dominé par la convection, turbulent

2) Ecoulement dû à un gradient de pression selon selon Ox uniquement, le champ des vitesses est parallèle à Ox.

3) Par l'équation de conservation de la masse, pour un écoulement incompressible :

⃗ ∇ . ⃗ v=0 soit ici ∂v

∂ x =0 .

4) Equation de Navier-Stokes en régime stationnaire, à faible R

: η Δ ⃗ v−⃗ ∇ p≈⃗ 0 En projection sur Ox : η( ∂

v

∂ y

+ ∂

v

∂ z

)= ∂ p

∂ x . Or ∂

v

∂ y

≈ V

w

et ∂

v

∂ z

≈ V

b

. Comme w>>b, il ne reste que la dérivée en z, d'où le résultat.

5) Par l'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire, à faible R

en projection sur Oy et Oz, sachant que v

=v

=0, on a ∂ p

∂ y ≈ ∂ p

∂ z ≈ 0 .

6) On intègre l'équation de Stokes par rapport à z, sachant que ∂ p

∂ x =−G constant : v

( z )= −G

2 η z

+α z+β . Avec les conditions aux limites (CL) : v

( b

2 )= v

( −b

2 )= 0 , il vient : v

( z )= G

2 η ( b

4 − z

)

(Poiseuille). Profil parabolique avec v

= Gb

8 η

7) Q= ∬ ^{⃗ v . ⃗ dS =w} ∫

−b 2 b 2

v

( z) dz = Gb

w

12 η =v

. bw d'où la loi de Darcy : v

= Gb

12 η

8) ⃗ v= v

⃗ u

uniforme est un champ à rotationnel nul, donc correspond à un écoulement potentiel. On peut dire aussi que ⃗ v =v

⃗ u

est un champ de gradient (loi de Darcy).

9) a) L

est de l'ordre du micron.

b) La forme de v

(z) est la même qu'au 6), mais les CL changent. La fonction doit rester paire donc α=0 et v

( b

2 )= L

( dv

dz )

2

donne β= −Gb

2 η ( L

+ b

4 ) . D'où le champ des vitesses : v

( z )= G

2 η ( b

4 − z

)+ Gb

2 η L

Le profil reste parabolique mais plus « écrasé » ( v

est plus faible

que dans le cas précédent : v '

= G 2 η ( b

4 − L

b) ).

10) a) L'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire, à faible R

s'écrit dans ce cas :

∂

v

∂ y

+ ∂

v

∂ z

= −G

η On a donc à résoudre une équation aux dérivés partielles de type équation de Poisson avec des CL nulles aux bords (pb de Dirichlet), on cherche une solution qui soit périodique en x et z (donc développable en série de Fourier) et qui coïncide avec v

(x,z) sur le pavé

[ −w 2 ; w

2 ]×[ −b 2 ; b

2 ] .

b) On a toujours un écoulement unidirectionnel selon Ox, puisque b et w <<L. Ici v

dépend de y et z .

c) CL : v

( −w

2 , z )=0 ∀ z v

( y ,− b

2 )=0 ∀ y v

( w

2 , z )=0 ∀ z v

( y , b

2 )=0 ∀ y car pas de glissement sur les parois.

d) v

est une fonction paire de y par symétrie des lignes de courant. On a donc b

=0.

e) ∀ y , v

( y , b

2 )=0=a

( b 2 )+ ∑

n=1

∞

a

( b

2 ) cos(β

y) , ce qui impose, par unicité du développement en série de Fourier, que tous les coefficients de la série soient nuls :

∀ n∈ℕ , a

( b

2 )=0 . De même en -b/2 : ∀ n∈ℕ , a

( −b 2 )= 0 .

f) En injectant la forme de la solution en série de Fourier dans l'équation de Stokes écrite au 10)a), il vient : ∑

n=1

∞

−a

( z) β

cos (β

y)+ d

a

dz

+ ∑

n=1

∞

d

a

dz

cos(β

y)= −G

η soit d

a

dz

+ ∑

n=1

∞

( d

a

dz

−a

( z )β

) cos(β

y)= −G

η ∀ y∈[ −w 2 ; w

2 ] On considère alors la fonction créneau paire d'amplitude −G

η : Γ( z )= −G

η C ( z ) où C(z) est la fonction créneau d'amplitude unité dont le développement de Fourier est donné dans le formulaire de l'énoncé. La fonction cherchée et Γ(z) coïncident sur l'intervalle [ −w

2 ; w

2 ] . Donc : d

a

dz

+ ∑

n=1

∞

( d

a

dz

− a

( z )β

)cos(β

y)= −4G π η ∑

p=0

∞

(−1)

2p+1 cos ( ( 2p+1)π y

w ) ∀ y∈[ −w 2 ; w

2 ]

Par unicité du développement en série de Fourier, on peut affirmer que leurs coefficients de Fourier

sont égaux :

* d

a

( z )

dz

=0 (eq 1)

* d

a

dz

−β

a

=0 pour tout n pair ( eq2)

* d

a

dz

−β

a

= −4G π η

(−1 )

2p+1 pour tout n= 2p+1 impair (eq3) g) pour n pair : la solution générale de (eq2) est :

a

( z)= A

exp(β

z )+B

exp (−β

z ) . Compte tenu des CL, cela impose A

=B

=0.

On a donc a

=0 pour tout n=2p pair.

h) pour n=2p+1 impair : l'identification des coefficients de Fourier (ou le fait que la fonction est périodique de période 2w) impose la valeur de β

: ^β

^{= n π}

w = (2p+1)π w a

est alors solution de l'équation différentielle : d

a

dz

− (2p+1)

π

w

a

= −4G π η

(−1 )

2p+1 . i) On écrit la solution sous la forme :

a

( z )= 4Gw

(−1 )

ηπ

( 2p+ 1)

+α

ch ( ( 2p+1)π

w z) puisque a

(z) doit être paire.

La CL ∀n∈ℕ , a

( b

2 )=0 donne α

, d'où la forme de a

(z) : a

( z )= 4Gw

(−1)

ηπ

( 2p+1)

[ ^{1+ ch( ch( ( (2p+1)π 2p+1)π w 2w b z) )} ]

j) cela donne une magnifique et très simple expression de la vitesse : v

( y , z )= 4Gw

ηπ

∑

p=0

∞

(−1)

( 2p+1)

[ ^{1+ ch( ch( ( ( 2p+1)π 2p+1)π w 2w b z ) )} ] ^{cos ( ( 2p+1) π w y )}

k)

Q= ∫

−b 2 b 2

dz ∫

−w 2 w 2

v

( y , z ) dy= 4Gw

ηπ

∑

p=0

∞

(−1)

( 2p+1)

∫

−b 2 b

2

[ ^{1+ ch( ch( ( ( 2p+1 2p+1 w 2w )π )π b z ) )} ] ^dz

^∫

^{cos ( (2p+1) π w y ) dy}

Or tous calculs faits, les deux intégrales donnent :

∫

−b 2 b

2

[ ^{1+ ch( ch( ( ( 2p+1 2p+1 w 2w )π )π b z ) )} ] ^{dz= (2p −2w +1)π th ( ( 2p+1) π 2w b ) +b et}

∫

−w 2 w 2

cos ( ^{(2p+1) π} w ^y ) ^dy=(−1)

( 2p+1) π ^2w D'où : Q= 8Gw

ηπ

∑

p=0

∞

1

(2p +1)

[ ^{( 2p+1)π −2w th ( (2p+1) π 2w b ) +b} ]

l) En posant A ( u)= ∑

p=0

∞

1

( 2p+1)

[ ^{( 2p+1)π −2u th ( (2p+1)π 2u ) +1} ] , Q peut se mettre sous la forme : Q= bG w

η A( w

b ) . On utilise ensuite le DL à l'ordre 3 de th en 0, et la somme donné en 4. du formulaire. Ainsi on a : A ( w

b ) → b

12 w

lorsque ^w _b ^{→ 0} . On retrouve ainsi la valeur limite de Q calculée à la question 7 : Q → Gb w

12 η .

III) Instabilité de Saffman-Taylor

1) ^ξ

=v

t

2) Loi de Darcy pour chaque fluide: Fluide 1: v

= b

12 η

G

Fluide 2 : v

= b

12 η

G

3) Pour i=1 ou 2 , on a : ∂ P

∂ x =− 12 η

b

v

et comme v

ne dépend pas de x, il vient (en prenant les constantes d'intégration nulles) : P

=− 12 η

b

( x− v

t) v

pour i=1 ou 2 .

4) a) longueur d'onde de la perturbation de l'interface : période spatiale ^{λ= 2 π} k b) si Ω >0 : instabilité (la perturbation croît)

si Ω <0 : stabilité si Ω= 0 : stationnarité

5) v

= d

dt (ξ−ξ

)=ϵΩe

sin ( ky) pour t>t

6) Le mouvement est régi par la loi de Darcy : ⃗ v

=− b

12 η

⃗ grad P

pour i=1 ou 2, avec P

= P

+ p

. L'écoulement étant incompressible et potentiel, l'équation de continuité impose que P

et P

soient solutions de l'équation de Laplace. Comme les pressions non perturbées sont fonctions affines de x, leur laplacien est nul. Il reste donc : Δ P

=0 pour i=1 ou 2.

7) On cherche les perturbations de pression sous la forme : P

( x , y , t )= F

( x , t ) sin( ky)

Δ P

= 0= [ ^{∂ ∂}

x ^F

−k

F

( x , t ) ] ^{sin( ky )} d'où la forme de F

(x ,t )= A

(t )e

+ B

( t ) e

.

Pour le fluide 1 : le milieu 1 est illimité à gauche vers les x<0 , P

doit rester borné si x →−∞ cela impose B

(t )=0 ∀t

Loi de Darcy : v

( x , y , t )=− b

12 η

( ∂ P

∂ x )=− b

12 η

k e

sin( ky ) A

( t )

Pour le fluide 2 : le milieu 2 est illimité à droite vers les x>0 , P

doit rester borné si x →+∞ cela impose A

( t)=0 ∀t

Loi de Darcy : v

( x , y , t )=− b

12 η

( ∂ P

∂ x )= b

12 η

k e

sin (ky ) B

(t)

CL en x= ξ continuité de la vitesse, donc de la perturbation v

: v

(ξ , y ,t )=v

( y , t) ∀ y , ∀t et v

(ξ , y , t)=v

( y , t) ∀ y , ∀t , ce qui donne les deux relations : − b

12 η

k e

A

(t )=ϵΩe

∀ t et b

12 η

k e

B

(t )=ϵΩe

∀ t . On en déduit alors l'expression complète des perturbations de pression :

P

( x , y , t )=− 12 η

ϵΩ

k b

e

e

sin ( ky) et P

( x , y , t )= 12 η

ϵΩ

k b

e

e

sin ( ky )

8) Loi de Laplace : ^P

− P

=γ C où C est la courbure de l'interface.

9) R

est de l'ordre de b/2 et R

est de l'ordre de ξ. R

ne participe pas à la dynamique de l'instabilité. On a donc C≈ 1

R

=−

∂

ξ

∂ y

(1 +( ∂ξ

∂ y )

2

)

3 2

d'après la relation du I)3)c). Or ∣ ∂ ^∂ξ y ∣ ^{≪ 1 d'où,}

au premier ordre par rapport à la perturbation, C≈− ∂

ξ

∂ y

. Et compte-tenu de l'expression de ξ

C ≈ϵ k

e

sin ( ky)

10) P

− P

=γ ϵk

sin( ky) e

en x=ξ

Or, P

−P

= P

− P

+ P

− P

. En outre, on a :

Ω

k

k

k

• ^{( P}

^{− P}

⁾

^{=− 12}

b

(η

−η

)(ξ−v

t) v

=− 12

b

( η

−η

) v

ϵ e

sin ( ky ) d'après la qu. 3)

• ^{( P}

^{− P}

⁾

^{=− 12 ϵΩ}

k b

( η

+η

)e

sin ( ky) d'après la qu.7)

En identifiant les deux expressions de P

-P

, il vient , en simplifiant par ϵ sin (ky ) e

: γ k

= 12

b

[(η

−η

) v

−( η

+η

) Ω k ] d'où la relation de dispersion : Ω= k

η

+η

[ ^{( η}

^−η

^{) v}

^{− γ} 12 ^b

k

] ^.

11) si η

η <<

: la relation de dispersion se simplifie en : Ω≈ k ( v

− γ b

12 η

k

) 12) Ω(k) est maximale pour ^d _dk ^{Ω =0} soit k = k

= √ ^{4 γ v}

^{b η}

13)

La perturbation de l'interface se stabilise lorsque Ω <0, donc pour k > k

= √ 3 k

14) Pour k<k

, Ω>0 et l'instabilité peut apparaître. k

est donc la valeur critique de k correspondant au seuil d'apparition de l'instabilité.

15) Si γ=0, ^{Ω=k v}

>0 d'après la qu.11) . Comportement instable. C'est bien la tension superficielle qui tend à empêcher le développement des doigts.

16) D'après la loi de Darcy, le champ des vitesses est un champ de gradient. On a donc un écoulement potentiel et ⃗ rot ⃗ v=⃗ 0 .

17) a) dans l'expérience, -U représente la vitesse moyenne de progression du front

par rapport au fluide : U = vitesse du fluide en sortie de cellule – vitesse du doigt v

b) ⃗ v =⃗ grad (Φ

+Φ

)=⃗ U + Q

4 π r

⃗ u

=(U cos θ+ Q

4 π r

)⃗ u

−U sin θ⃗ u

18) Points d'arrêt :

{ ^{U cos(θ)+ U sin et (θ)=0 4 Q π r}

⁼⁰ } ^soit { ^{U + 4 θ=0 Q π et r}

⁼⁰⁼⁰ } ^ou { ^{−U + θ=π 4 et Q π r}

⁼⁰ }

La deuxième solution est impossible car QU<0.

On a donc un seul point d'arrêt : {θ=0 et r =r

= √ ^{− 4 Q πU }} situé à l'extrémité du « doigt ».

19) ⃗ ∇ . ⃗ v=0 ⇒ ∂

∂ r (r

sin θ v

)+ 1 r ∂

∂θ ( r

sin θ v

)= 0 . On peut donc bien définir un champ scalaire Ψ( r ,θ) telle que { ^{∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂θ r =−r =r}

^{sin sin θ θ v v}

} ^.

20) On intègre en r à θ constant :

∂ Ψ

∂ r =−r sin θ v

=r U sin

θ ⇒ Ψ( r ,θ)= U r

2 sin

θ+ f ( θ) puis ∂ Ψ

∂ θ =r

sin θ(U cos θ+ Q

4 π r

)=U r

sin θ cos θ+ f ' (θ) . Ce qui donne f ' ( θ)= Q sin θ 4 π d'où f (θ)=− Q cos θ

4 π +Cste , on prendra la constante nulle, comme indiqué dans l'énoncé.

Conclusion : Ψ(r ,θ)=U r

2 sin

θ− Q cos θ 4 π

21) a) Cette ligne de courant passe par le point d'arrêt A :

{θ=0 et r =r

= √ ^{− 4 Q πU }} . La fonction de courant pour cette ligne vaut donc ^Ψ

=− Q 4 π b) Equation de cette ligne de courant : Ψ( r ,θ)=Ψ

soit r

=− Q

2 π U

1−cos θ sin θ Cette courbe donne la forme du doigt, comme indiqué sur le schéma figure 4.

22)

23) a) Nombre capillaire C

= forces visqueuses

forces de tension superficielle = ηU γ

b) k

est proportionnel à √ ^C

^{. Si C}

augmente, k

augmente donc λ

diminue

et la taille relative du doigt diminue.

24) L'écoulement étant incompressible, il y a conservation du débit volumique (par unité d'épaisseur) : λ v

=v

, or v

=U +v

d'où le résultat.

25) * Si γ =0 : c'est toujours instable

* γ contrôle k

donc Ω

, c'est-à-dire la vitesse de progression de l'instabilité * γ contrôle aussi la taille du doigt

IV) Les ferrofluides

1) ⃗ j

=⃗ rot ⃗ M

2) ⃗ H = ⃗ B

μ

−⃗ M et s'exprime en A.m

3) Equations de Maxwell dans un ferrofluide en régime permanent :

⃗ ∇ . ⃗ B=0

⃗ ∇ . ⃗ E=0

⃗ ∇ ∧⃗ E =⃗ 0

⃗ ∇ ∧⃗ H =⃗ j

4) µ

est défini par ⃗ B =μ

μ

⃗ H et ⃗ M =χ

⃗ H d'où μ

=1 +χ

5) ⃗ M = χ

'

µ

⃗ B , or ⃗ M =χ

⃗ H = χ

µ

µ

⃗ B , d'où ^χ

^{' =} _1+χ ^χ

m

On a χ

' ≈χ

si ^∣χ

∣≪1

6) Paramagnétisme : ^χ

> 0 et ∣χ

∣≪1 Diamagnétisme : ^χ

< 0 et ∣χ

∣≪1 7)

Le champ magnétique étant inhomogène au sein du fluide, il en résulte des forces volumiques qui z

2h

Pièces polaires A

C

M

H M

0

vont faire monter le liquide paramagnétique dans la partie du tube située dans l'entrefer. En effet, χ

étant positif, le matériau paramagnétique est attiré vers les régions de champ intense.

8)

Force volumique : ⃗ dF

d τ =(⃗ M . ⃗ ∇ )⃗ B . Avec ⃗ M = χ

'

µ

⃗ B , cela donne : ⃗ dF d τ = χ

'

2 µ

⃗ grad (⃗ B

) . Entre les pièces polaires,le champ est radial et ne dépend que de z,ailleurs il est nul.

Equation locale d'équilibre du fluide :

−⃗ grad p+ρ ⃗ g + χ

'

2 µ

⃗ grad (⃗ B

)=⃗ 0=⃗ grad (− p−ρ gz + χ

' 2 µ

⃗ B

)

On intègre entre les deux surfaces libres (point A où p=p

et où le champ vaut B, et point C où p=p

et champ nul) : −ρ gz

+ χ

'

2 µ

B

=−ρ gz

. Comme z

-z

=2h, on a la relation : χ

'= 4µ

ρ gh B

d'où χ

= 1

B

4µ

ρ gh −1

9) Teslamètre : sonde à effet Hall 10)

2h (mm) B (10

T) χ'

χ

4,00 1,88 0,284 0,397

4,75 2,09 0,273 0,375

5,00 2,24 0,250 0,333

5,50 2,36 0,248 0,329

5,50 2,61 0,203 0,254

moyenne 0,338 écart-type 0,055

Moyenne sur <χ

>=0,338 et écart-type ∆σ

= 0,055 χ

n'est pas <<1 , on ne peut donc pas substituer χ

à χ'

11) Allure de la courbe d'aimantation :

En champ faible : M est proportionnel à H, ensuite on atteint peu à peu la saturation, comme pour la courbe de première aimantation d'un cristal ferromagnétique. En revanche, il n'y a pas d'hystérésis puisque c'est un fluide.

12) ⃗ m=− g µ

⃗ J

13) µ

= e ℏ

2 m

=9,27 .10

J.T

14) W =−⃗ m . ⃗ B =g µ

B J

et ^J

est quantifié par m

, d'où : ^{W = g µ}

B m

15) Avec la statistique de Boltmann, le nombre d'atomes ayant l'énergie W = g µ

B m

est : N ( m

)= N

e

−g µ_BB m_J kBT

. D'où 〈 m

〉= 1

Z ∑

mJ=−J J

−m

g µ

e

=gµ

1 Z

dZ

dX soit ^〈 m

〉=g µ

d (lnZ )

dX avec Z la fonction de partition :

Z = ∑

mJ=−J J

e

= e

∑

m=0 2J

(e

)

= e

1−e

1− e

=

sh (( J + 1 2 ) X ) sh ( X

2 )

soit Z =

sh (( J + 1 2 ) X ) sh( X

2 ) D'où le résultat demandé.

16) L'aimantation M (composante du vecteur ⃗ M selon Oz, direction de ⃗ B ) vaut : M = n

g µ

[ ^{( J + 1 2 ) coth ( ( J + 1 2 ) gµ k}

^{T B ) − 1 2 coth ( gµ 2k}

^{T B )} ]

17) a) M

est atteinte lorsque tous les moments individuels sont alignés avec ⃗ B donc M

= J n

gµ

B

b) limite classique : J → ∞

c) Dans la limite classique, Y →∞ . En reprenant l'expression de M établie à la qu.16) , et en mettant J en facteur il vient :

M = n

Jg µ

[ ^{(1+ 2J 1 )coth ( ( 1+ 2J 1 ) Y ) − 2J 1 coth ( 2J Y )} ] ^{≈ n}

^{Jg µ}

^{[ coth Y − Y 1 ] on a bien}

M ≈M

L (Y )

d) Pour Y<<1 : à haute température ou champ faible L( Y )≈ Y

3

M ≈ M

gµ

B

3 k

T , on a donc bien M proportionnel à B.

Pour Y>>1 : à basse température ou champ fort L( Y ) → 1 donc M → M

e) La théorie ci-dessus permet bien de prévoir le comportement des ferrofluides, en ce qui concerne la courbe d'aimantation.

18) A

= 350 kA/m

19) m

= 1,47.10

A.m² et m

/µ

= 1,586.10

m

>>µ

d'où le nom de paramagnétisme géant.

V) Instabilité magnéto-hydrostatique de ferroluide

1) - forces stabilisantes : pesanteur et force de tension superficielle - force déstabilisante : force magnétique

2) a) Dans le ferrofluide : ⃗ B

=µ

(⃗ H

+⃗ M

) Dans le vide : ⃗ B

=µ

⃗ H

b) En projection sur Oz, cela donne : B

= ̂ µ H

et B

=µ

H

c) ⃗ B =[µ ]⃗ H donc ⃗ B

+⃗ b=[ µ ](⃗ H

+⃗ h) , cela donne ⃗ b

=[µ ]⃗ h

et ^⃗ b

= µ

⃗ h

3) a) ⃗ ∇ . ⃗ B=0 , or ⃗ B

est uniforme donc cette équation se traduit par ⃗ ∇ . ⃗ b=0 L'équation de Maxwell-Ampère sans courant libre et en régime stationnaire s'écrit :

⃗ ∇ ∧⃗ H =⃗ j

=⃗ 0 ⇒ ⃗ ∇ ∧⃗ h =⃗ 0 . ⃗ h est donc un champ de gradient.

b) Pour le ferrofluide : { ^{b b b}

^{=µ h =µ h = ̂ µ h}

} . L'équation ^⃗ _{∇ .} ^⃗ _{b= 0} se traduit alors par µ ( ^{∂ ∂}

^Φ x

+ ∂

Φ

∂ y

) ^{+ ̂ µ ∂ ∂}

^Φ z

=0

Pour l'air : même chose en remplaçant µ et µ ̂ par µ

donc Δ Φ

= 0

4) CL : continuité des composantes normales de ⃗ B et des composantes tangentielles de

⃗ H puisqu'ici pas de courants libres ( ⃗ j

=⃗ 0 )

Composantes tangentielles : vecteur tangent ⃗ T = d ⃗ OM

ds = ( ^{dx dy dz / / /ds ds ds} ) ^{avec dz = ( dz dx}

^{) dx + ( dz dy}

^{) dy}

en un point M de la surface perturbée z

(x,y) : ⃗ H

. ⃗ T =⃗ H

. ⃗ T , ce qui donne, à l'ordre 1 des perturbations : [ ^h

^{dx +h}

^{dy+ H}

^{( dz dx}

^{) dx+H}

^{( dz dy}

^{) dy} ]

⁼⁰ . En remplaçant h

et h

en fonction de Φ, on a : { ^{[ [ ∂ Φ ∂ Φ ∂ ∂ x y + + H H}

^{( ( dz dz dx dy}

^{) ) ] ]}

^{=0 =0} } ^.

On intègre la première par rapport à x et la deuxième par rapport à y. Cela donne :

[ ^{Φ+ H}

z

]

2

=cste ∀M ∈ surface . Pour z

=0, on a Φ=0, donc la constante est nulle.

On a donc bien la CL : [ Φ ]

=− [ ^H

z

]

^{∀ M ∈surface}

5) Composantes normales : B

= B

. En projection sur Oz, à l'ordre 1 par rapport aux perturbations : b

=b

6) [ Φ ]

=− [ ^H

z

]

2

∀ M ∈surface et [ ^M

]

2

=− [ ^H

]

2

donnent [ Φ ]

= z

[ ^M

]

. Comme M

est nulle dans l'air, on a : Φ

−Φ

= z

M

.

D'autre part, la continuité de b

et les relations { ^{b b}

^{= = ̂ µ µ h}

^h

^{= = ̂ µ µ}

^{( ( ∂ Φ ∂Φ ∂ ∂ z z}

^{) )} } donnent l'égalité demandée : µ

( ^{∂ Φ ∂ z}

)

= ̂ µ ( ^{∂ Φ ∂ z}

)

7) Recherche de Φ

(x,y,z) sous la forme f

(z).z

(x,y) Cette fonction est solution de Δ Φ

= 0 soit :

∂

Φ

∂ x

+ ∂

Φ

∂ y

+ ∂

Φ

∂ z

= 0= ∂

z

∂ x

f

( z )+ ∂

z

∂ y

f

( z)+z

f

' ' ( z ) , ce qui donne, compte-tenu de la forme de z

, l'équation en f

(z) : f

' ' ( z )−k

f

( z )=0 .

D'où f

( z )= A

e

+ B

e

Φ

doit rester bornée lorsque z →+∞ (le milieu 2 occupe le ½ espace z>z

), donc B

=0.

On a donc Φ

de la forme : Φ

= A

e

z

( x , y ) Recherche de Φ

(x,y,z) sous la forme f

(z).z

(x,y)

Cette fonction est solution de l'équation donnée au 3) b). ∂

Φ

∂ x

+ ∂

Φ

∂ y

+ µ ̂ µ

∂

Φ

∂ z

= 0 , ce qui se traduit pour f

(z) par : f

' ' ( z )− µ

µ ̂ k

f

(z )= 0 . D'où : f

( z )= A

e

√

_+B

_e

√

Φ

doit rester bornée lorsque z →−∞ (le milieu 1 occupe le ½ espace z<z

), donc A

=0.

On a donc Φ

de la forme : Φ

( z)=B

e

√

_z

o

( x , y )

Conditions aux limites en z=z

:ce sont les deux relations de la question 6)

* (Φ

−Φ

)

= z

M

, ce qui implique : ^B

− A

= M

* µ

( ^{∂ Φ ∂} z

)

= ̂ µ ( ^{∂ Φ ∂} z

)

, ce qui implique : −µ

A

= ̂ µ √ ^{µ µ ̂ B}

^.

De ces deux équations , on tire A

=− r

1+r M

et B

= 1

1+r M

. Cela donne les expressions demandées.

8) A l'interface : b

= µ

( ^{∂ Φ ∂} z

)

= µ

( ⁻ 1+r ^r ) ^z

^{(−k ) M}

^{soit b}

^=µ

^{1 rk +r z}

^M

b

est d'autant plus grand (en valeur absolue) que z

l'est, donc on a un effet de pointe : le champ magnétique se concentre sur les pics de l'interface.

9) ⃗ f =−⃗ grad ( P+ 1

2 µ

⃗ H

) + div [H

B

] or div [H

B

]=

{ ^{∂ (H ∂( ∂ (H ∂ H ∂ ∂ x x x}

^{B B B}

^{) ) ) + + + ∂( ∂( ∂( H ∂ H ∂ H ∂ x x x}

^{B B B}

^{) ) ) + + + ∂( ∂( ∂( H ∂ H ∂ H ∂ x x x}

^{B B B}

^{) ) )} } ⁼ { ^{H H H}

^{[ [ [ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ B B B x x x}

^{+ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ B B B x x x}

^{+ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ B B B x x x}

^{] ] ] + + + B B B}

^{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H H H x x x}

^{+ + + B B B}

^{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H H H x x x}

^{+ + + B B B}

^{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H H H x x x}

}

= ⃗ H ⃗ ∇ . ⃗ B+(⃗ B. ⃗ ∇ )⃗ H . Or ^⃗ ∇ . ⃗ B=0 . D'où : ⃗ f =−⃗ grad ( P+ 1

2 µ

⃗ H

)+(⃗ B . ⃗ ∇ )⃗ H D'autre part, avec la formule n°8 du formulaire, on a :

⃗ grad (⃗ H

)=⃗ grad (⃗ H . ⃗ H )=2 ⃗ H ∧⃗ rot ⃗ H +2(⃗ H . ⃗ grad )⃗ H .

Or ⃗ rot ⃗ H =µ

⃗ j

=⃗ 0 ici. Il reste donc :

⃗ f =−⃗ grad P −µ

(⃗ H . ⃗ grad )⃗ H +(⃗ B . ⃗ grad )⃗ H . Enfin, en remplaçant dans cette expression, ⃗ B par µ

(⃗ H +⃗ M ) , il vient : ^⃗ f =−⃗ grad P + µ

(⃗ M . ⃗ grad )⃗ H

10) A l'équilibre : ⃗ f +ρ⃗ g =⃗ 0 . En outre, ⃗ M =⃗ M

+⃗ m et ⃗ H =⃗ H

+⃗ h . Donc, à l'ordre 1 par rapport aux perturbations, on a : ⃗ f ≈−⃗ grad P + µ

(⃗ M

. ⃗ grad )⃗ h

En projection sur Oz, l'équation d'équilibre donne : −ρ

g− ∂ P

∂ z + µ

M

∂ h

∂ z =0 . On intègre par rapport à z et on obtient l'équation demandée.

11) [σ

]

=[ H

B

]

. Comme vu aux questions 4) et 5), au premier ordre par rapport à la perturbation, les composantes H

et H

sont continues, ainsi que les composantes B

. Au premier ordre, on pourra donc considérer que [σ

]

=[σ

]

≈0

12) [σ

]

=−( P

−P

)− 1

2 µ

( H

− H

)+ H

B

− H

B

CL à l'ordre 1 : B

= B

continuité des composantes normales de B

H

=H

et H

= H

continuité des composantes tangentielles de H D'autre part : B

=µ

( H

+ M

)

• pour le milieu 1 : ^B

=µ

( H

+ M

)

• pour le milieu 2 : ^B

^=µ

^H

D'où [σ

]

=−[ P+ 1

2 µ

H

− H

B

]

1 2

=−[ P+ 1

2 µ

H

− H

B

]

1 2

par continuité de H

et H

[σ

]

=−[ P + 1

2 µ

( B

−µ

M

)

− 1

µ

( B

−µ

M

) B

]

1 2

[σ

]

=−[ P + 1

2µ

B

− B

M

+ µ

2 M

− 1

µ

B

+ M

B

]

1 2

et par continuité de B

, on a :

[σ

]

=−[ P+ 1

2 µ

M

]

1 2

13) Loi de Laplace : ^[σ

]

=γ C or C ≈− ( ^∂ ∂

x ^z

+ ∂

z

∂ y

) ^{= k}

^z

^{d'où [σ}

^]

^{=γ k}

^z

14) Avec les deux expressions de [σ

]

obtenues en 12) et 13), on a : γ k

z

=−( P

− P

)

o

− 1

2 µ

M

+ µ

M

m

D'après la question 10), en z=z

{ ^P

^+ρ

^{P g z}

+ρ

^−µ

g z

^M

=cste

^h

^=cste1 2 } ^.

D'où −( P

− P

)

=(ρ

−ρ

) g z

+µ

M

h

+ cste . Cela donne : γ k

z

=(ρ

−ρ

) g z

+µ

M

( h

+m

)+cste

15) On prend la constante nulle, et avec la question 8) : b

=µ

rk

1+r z

M

et µ

( h

+ m

)

=(b

)

=(b

)

, il vient : γ k

=(ρ

−ρ

) g+ kµ

r

1+r M

ce que l'on peut écrire sous la forme : [ρ]

g

k +µ

1

1+r M

=γ k ce qui est la relation de dispersion attendue.

16) ^M

est minimale pour k tel que dM

dk = 0 c'est-à-dire pour k = k

= √ ^(ρ

^−ρ

^{) g γ}

On peut vérifier que c'est bien un minimum, car pour k<k

dM

dk <0 et pour k>k

dM

dk > 0 17) L'aimantation critique correspondante M

correspond à la valeur de M

en k=k

. On trouve M

= 2 ( ^{1+r µ}

) ^{√ g γ (ρ}

^−ρ

⁾

M

varie en √ ^γ : si γ augmente, le seuil d'apparition de l'instabilité augmente, ce qui est normal, puisque les forces de tension superficielle stabilisent l'interface.

18) λ

= 2 π

k

=10,8 mm

Différence avec la valeur mesurée : - incertitudes sur la mesure

- certaines grandeurs (ρ, γ, r) dépendent de T

19) 1

r = √ ^{µ µ µ}

^̂ varie de 0 (si µ µ ̂ →∞ ) à 1 (si µ et ^{µ ̂ → µ}

) 20) Dans le cadre du modèle proposé ici, M

= 6960 A.m

γ, ρ et surtout χ

sont connus de manière approchée (et dépendent de la température).

D'autre part, l'isotropie du fluide peut être remise en question.