[ Corrigé du biplôme national du brevet juin 2008 \ Antilles–Guyane

(1)

[ Corrigé du biplôme national du brevet juin 2008 \ Antilles–Guyane

L’usage de la calculatrice est autorisé

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points

Exercice 1 2 points

1. A= 2 3+1 17 2

9 −1 3

= 4 6+3 17 6

9 −3 9

= 7 146

9

=7 6× 9

14= 7×3×3 2×3×2×7=3

4.

2. B=81×10³×6×10⁻¹⁰

18×10⁻² =9×9×6×10⁻⁷

6×3×10⁻² =27×10⁻⁵=2,7×10⁻⁴.

Voir ANNEXE 1

f(x)=4

3x−3 et g(x)= −x+6 1.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7

K

Les coordonnées de K vérifient le système d’équations : (

y = 4

3x−3

y = −x+6 , d’où 4

3x−3= −x+6 soit 4 3x+3

3x=6+3 puis 7 3x=9, 7x=27 et enfinx=27

7 .

En remplaçant dans la deuxième équationy =6−27 7 =42

7 −27 7 =15

7 . K µ27

7 ; 15 7

¶ . Sur le graphique on voit que l’abscisse de K est légèrement inférieure à 4 et son ordonnée légèrement supérieure à 2.

(2)

Corrigé du brevet des collèges A. P. M. E. P.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points

2.

1. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles ; la propriété de Thalès permet donc d’écrire :

AB AM=AC

AN, soit en remplaçant : 4,5 AM= 3

4,8, d’où 3AM=4,5×4,8 et AM=1,5×4,8=7,2 (cm).

On sait aussi que AB AM= BC

MN, ou4,5 7,2=BC

6,4, d’où BC=6,4×4,5

7,2 =4 (cm).

2. On a AE AC=5

3etAF AB=7,5

4,5=75 45=15

9 =5 3. On a donc AE

AC=AF

AB, ce qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

1. ABCD est un rectangle, donc BAD est un triangle rectangle en A. Le théorème de Pythagore s’écrit :

BD²=BA²+AD², soit 50²=40²+AD², donc AD²=50²−40²=(50+40)(50−

40)=90×10=900=30², donc AD=30 cm.

2. Le volume de la pyramide est : VSABCD=1

3×A_ABCD×SO=1

3×40×30×81=27×1200=32400 cm³. 3. a. La section est elle aussi un rectangle.

b. Le coefficient de réduction est égal au rapport des hauteurs des deux py- ramides soitr=SO^′

SO =54 81=9×6

9×9=6 9=2

3.

c. Comme le volume fait intervenir le produit de trois longueurs le volume de la pyramide SA^′B^′C^′D^′est celui de la pyramide SABCD multiplié par r³=

µ2 3

¶3

= 8 27. DoncV_{SA’B’C’D’}= 8

27×32400=9600 cm³.

4. a. Dans le triangle SOA rectangle en O, on a tanSAO=SO AO=81

25=3,24 b. La calculatrice donneSAO≈72,8 soit 73°au degré près.

PROBLÈME 12 points

1.

Antilles–Guyane 2 juin 2008

(3)

·

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5

b

A B

C

D K

2. a. On a AB²=(1−3)²+(6−(−5))²=(−2)²+11²=4+121=125.

Donc AB=p 125=p

25×5=p 25×p

5=5p

5. On a de même

AC²=(−3−3)²+(3−(−5))²=(−6)²+8²=36+64=100. On en déduit que AC=p

100=10.

BC²=(−3−1)²+(3−6)²=(−4)²+(−3)²=16+9=25. On en déduit que BC=p

25=5.

b. Or 125=100+25 ou encore AB²=AC²+CB²qui montre d’après la ré- ciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en C.

3. a. Voir la figure plus haut.

b. Par définition de la translation on a−−→BC =−−→AD ce qui montre que le qua- drilatère ABCD est un parallélogramme.

c. −−→AC+−−→CB=−−→AB ; −−→BA+−−→BC =−−→BD . 4. −−→BC (−3−1 ; 3−6) soit−−→BC (−4 ;−3).

5. a. Les droites (BC) et (AD) sont parallèles ; la droite (AC) perpendiculaire à (BC) est perpendiculaire à l’autre (AD).

D’autre part par définition de la translation BC = AD, donc les triangles rectangles ABC et ACD ont les mesures de côtés, donc la même aire. L’aire du parallélogramme ABCD est donc égale au double de l’aire du triangle rectangle ABC, soit 2×AC×BC=2×10×5=100 cm².

b. K est le point commun aux deux diagonales donc le milieu de [AC] par exemple, donc K

µ3+(−3)

2 ; −5+3 2

¶

, soit K(0 ;−1).

(4)

ANNEXE 1

LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR CETTE FEUILLE.

CETTE FEUILLE ANNEXE SERA REMISE AVEC LA COPIE.

Énoncé Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D Réponse

6+3 7+3

6

7 0,9 6

7+1 9

10 B

En développant (3x + 6)², on obtient

3x²+36x+36 9x²+36 9x²+36x+36 45x+36 C

En factorisant 16x² − 4, on obtient

(4x−2)² (4x−2)(4x+2) (4x+2)² (16x−2)(16x+ 2)

B

p16×p5 p

16×5 p

16+5 5p

4 4p

5 D

p9+16+25= 3+4+5 p50 ^p9+p 16+p

25 7,07 B

La fonction affinef vérifie : f(0)=1 et f(1)=2.f est défi- nie par

f(x)=x−1 f(x)=x+1 f(x)=3x−1 f(x)=3−x B