Modélisation semi-analytique de l'impact à vitesse modérée de plaques composites avec des conditions aux limites générales

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Submitted on 3 May 2011

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Modélisation semi-analytique de l’impact à vitesse modérée de plaques composites avec des conditions aux

limites générales

Sébastien Mavel, Christophe Maréchal, Hakim Naceur, Franck Lauro

To cite this version:

Sébastien Mavel, Christophe Maréchal, Hakim Naceur, Franck Lauro. Modélisation semi-analytique de l’impact à vitesse modérée de plaques composites avec des conditions aux limites générales. 10e colloque national en calcul des structures, May 2011, Giens, France. pp.Clé USB. �hal-00592852�

CSMA 2011

10^e Colloque National en Calcul des Structures 9-13 mai 2011, Presqu’île de Giens (Var)

Modélisation semi-analytique de l’impact à vitesse modérée de plaques composites avec des conditions aux limites générales

S. Mavel, C. Marechal, H. Naceur, F. Lauro

LAMIH, Equipe Crash Confort & Sécurité, Université de Valenciennes, sebastien.mavel@univ-valenciennes.fr

Résumé — Une solution exacte basée sur les séries de Fourier pour la modélisation de l'impact de plaques composites multicouches avec des conditions aux limites (CL) générales est présentée. Les équations gouvernantes qui permettent de décrire la réponse transitoire élastique de plaques stratifiées orthotropes avec prise en compte d’une loi non linéaire de contact hertzien sont développées en utilisant un schéma de discrétisation temporelle implicite. Le système d'équations non linéaires résultant est résolu à chaque pas de temps en utilisant l'algorithme de Newton-Raphson. Pour les CL générales, la solution en séries de Fourier est complétée par une série mixte de polynômes-cosinus, qui permet d’aboutir à la solution tout en permettant à la série de satisfaire les équations d’équilibre ainsi que les CL de façon exacte. Les solutions obtenues par cette méthode sont en bon accord avec les résultats de référence de plaques composites multicouches impactées par de projectiles.

Mots clefs — Plaque composites multicouches, impact, force de contact, séries de Fourier.

1 Introduction

Les plaques composites multicouches sont connues pour être sensibles aux dommages résultants de chocs accidentels par des corps étrangers. Nombreux exemples d’impacts posent encore un problème de grande préoccupation pour les concepteurs, on peut citer l’impact d’oiseaux contre la structure d'avion, la chute d’outils en atelier, la chute de grêlons, projection de débris provenant de véhicules en circulation... La réponse d'impact n'est pas seulement fonction des propriétés du matériau, mais elle dépend aussi du comportement dynamique de la plaque composite impactée. Il devient alors important de comprendre la réponse structurale afin d’étudier la manière dont la structure sera affectée par les différents paramètres. A cet égard, des modèles analytiques sont utiles pour permettre des études paramétriques rapides pour les prévisions des dommages liés à l’impact.

Dans la littérature, on trouve de nombreux travaux de recherche sur la modélisation numérique de l’impact de plaques composites par des projectiles, cependant les solutions analytiques restent limitées [1]. Sun et al. [2] ont utilisé la théorie de Mindlin pour la prise en compte du cisaillement transversal qui a été développée par Whitney et al. [3] pour l’analyse de plaques orthotropes soumises à des impacts. Qian et Swanson [4] ont adopté la méthode de Rayleigh-Ritz afin d’obtenir une solution approchée de l’impact de plaques rectangulaires encastrées. En se basant sur les techniques de la transformée de Laplace, Christoforou et Swanson [5] ont réussi à obtenir une solution analytique avec l’hypothèse de linéarisation de la loi de contact entre la force et l’indentation. Li [6] a développé une extension de la solution en séries de Fourier pour le cas de vibrations libres de poutres avec des CL générales. Cette méthode est une combinaison linéaire de la série de Fourier et d’une fonction polynomiale auxiliaire qui permet de tenir compte des discontinuités du déplacement aux bords. Plus récemment, Li [6][7] introduisit une seconde amélioration pour le cas général de vibration de plaques.

Dans ce travail, nous proposons une extension de la méthode proposée par Li [7], afin de développer un modèle robuste et rapide pour l’analyse d’impact de plaques composites multicouches avec des CL générales. Les premières solutions obtenues par notre modèle sont en bon accord avec les résultats de référence de plaques composites multicouches soumises à des impacts de projectiles. L'efficacité du modèle est en outre démontrée en comparant l’évolution de la force d’impact avec celle obtenue en utilisant le logiciel éléments finis LS-DYNA.

2 Relations constitutives

Le modèle que nous traitons dans ce travail permet de modéliser des plaques stratifiées formées d’un empilement de feuillets orthotropes avec des orientations différentes des directions principales du matériau dans couche. L'orientation des fibres n’est pas nécessairement symétrique par rapport à la surface moyenne du stratifié. Un des principaux objectifs de la stratification est d'adapter la dépendance directionnelle de la résistance et de la rigidité du matériau selon l'environnement et le type de chargement dynamique.

FIG. 1 – Plaque stratifiée, empilement de couches avec différentes orientations du matériau Le champ de déplacement d’une plaque, sous sollicitation dynamique, est donnée par :

( , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , )

( , , , ) ( , , )

o

x o

y o

u x y z t u x y t z x y t v x y z t v x y t z x y t w x y z t w x y t

β β

 = +

 = +



 =

(1)

avec u , v , w^{o o o} les déplacements de la surface moyenne dans les directions x, y, z.

β

_x ^et βy ^{sont les}

rotations autour des axes y et x respectivement. On rappelle les équations d’équilibre de plaque, intégrées suivant l’épaisseur :

, ,

, ,

, ,

x x xy y Ax

xy x y y Ay

xz x yz y Az

N N f hu

N N f hv

T T f hw

ρ ρ ρ

 + + =

 + + =

 + + =



&&

&&

&&

(2)

avec l’équilibre des moments fléchissant :

, ,

, ,

0 0

x x xy y xz

xy x y y yz

M M T

M M T

+ − =



+ − =

 ⁽³⁾

En combinant (2) et (3) on trouve :

2

, 2 , , 2

x xx xy xy y yy Az

M M M f h w

ρ ^∂t

+ + + =

∂ ⁽⁴⁾

En faisant appel à la décomposition des déformations pour une plaque, nous obtenons :

( ) ( )

²

11 _{x xxx}, 12 2 66 _{x xyy}, _{y xxy}, 22 _{y yyy}, _Az w2

D D D D f h

β + + β +β + β + =ρ ^∂t

∂ ⁽⁵⁾

Pour le cas de plaques compostes minces, l’équation (5) se réduit à :

( )

²

11 ,_xxxx 2 12 2 66 ,_xxyy 22 ,_{yyyy Az} w2

D w D D w D w f h

ρ ^∂t

+ + + − = −

∂ ⁽⁶⁾

qui représente l’équation de propagation d’ondes transversales de plaque composites minces. Pour le cas isotrope elle se réduit à :

2

4 4

2 0

c w w t

∇ +∂ =

∂ ⁽⁷⁾

avec

D 1/ 4

c ρh

 

= 

  qui représente la vitesse de propagation d’ondes transversales.

3 Modèle semi-analytique

La FIG. 1 représente le cas général d’une plaque rectangulaire reposant sur une fondation élastique.

Dans la direction transversale, la plaque est maintenue par quatre ressorts linéaire kx0, kxa,ky0, kyb. La plaque est maintenue également par des ressorts de torsion Kx0, Kxa,Ky0, Kyb qui ont pour rôle de simuler la présence d’un encastrement.

FIG. 1 – Modèle de plaque avec des CL générales

Dans ce cas les conditions d’équilibre des forces et des moments des ressorts sur tout le contour de la plaque peuvent être écrites sous la forme :

0 0 ,

1 1 ,

0 0 ,

1 1 ,

; 0

;

; 0

; y

x xz x x x

x xz x x x

y yz y y y

y yz y y y

k w T K w M pour x k w T K w M pour x a k w T K w M pour y k w T K w M pour b

= = − =



= − = =



= = − =



= − = =



(8)

La solution du problème correspond à la résolution des équations de frontières (8) et de l’équation d’équilibre transitoire (6). La solution de ce problème [7] consiste en une superposition de deux solution en séries de Fourier, qui s’écrit :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

4

1 0 0

( , ) cos cos

cos cos

M N

mn am bn

m n

M N

l l l l

b m am a n bn

l m n

w x y A x y

y c x x d y

λ λ

ξ λ ξ λ

= =

= = =

= +

 

+

 

 

∑∑

∑ ∑ ∑

⁽⁹⁾

avec

^ξ

^al

( ) ( )

^{x ,}

^ξ

^{bl y} des fonctions choisies de telle sorte qu’elles ne soient pas affectées par les opérations de différentiation.

( ) ( )

( ) ( )

1 2

3 3 3 3

3 4

3 3 3 3

9 3 9 3

sin sin ; cos cos

4 2 12 2 4 2 12 2

3 3

sin sin ; cos cos

2 3 2 2 3 2

a a

a a

a x a x a x a x

x x

a a a a

a x a x a x a x

x x

a a a a

π π π π

ξ ξ

π π π π

π π π π

ξ ξ

π π π π

       

=  −   = −  −  

       

       

=  −   = −  −  

       

(9)

où, nous pouvons remarquer que

^ξ

^{a1' 0}

( )

⁼

^ξ

^a2'

( )

^{a =}

^ξ

^{a3''' 0}

( )

⁼

^ξ

^a4'''

( )

^{a =1} et toutes les autres dérivés sont nulles sur toutes les frontières.

En introduisant les deux vecteurs variables d’état :

( )

1 00 01 02 10 11

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

1 2 1 2 1 2 1 2

1 4 4

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

1 2 1 2 1 2 1 2

, , ,... , ,...,

, ,..., , , ,..., , , ,..., , , ,..., ,

, ,..., , , ,..., , , ,..., , , ,.

NM MN

M M M M

N M

N N N

A A A A A A A

P c c c c c c c c c c c c

d d d d d d d d d d d

×

× +

< > =< >

< > =<

..,d_N4>

Les conditions aux frontières (8) peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :

[ ]

^{H P}

{ }

⁼

[ ]

^{Q A}

{ }

⁽¹⁰⁾

De même l’équation de propagation d’ondes (6) peut s’écrire :

{ } [ ]{ }

(

^{  K% A + B P}

)

⁺

(

^{  M%}

^{{ }}

^{A&& +}

^{[ ]}

^{C P}

^{{ }}

^&&

)

⁼

^{{ }}

^{Fp (11)}

En prenant en compte les conditions aux frontières

{ }

^{P =}

[ ] [ ]

^{H −1 Q A}

{ }

, nous obtenons finalement le système dynamique suivant :

{ } { } { }

p p p

K A M A F

  +  =

    && ₍₁₂₎

avec ^{   } ^{Kp = K}% ⁺

[ ][ ] [ ]

^{B H −1 Q} _et ^^{Mp  }^{= M}% ⁺

[ ][ ] [ ]

^{C H −1 Q}

4 Modèle d’impact

Nous introduisons un modèle d’impact simplifié, qui consiste en un corps rigide de masse m, lancé d’une position connue x0 et à une vitesse initiale V0 connue. Son équation de mouvement dynamique est alors :

2

( )

2 0

m x P t

∂ +t =

∂ ⁽¹³⁾

Avec P(t) la force d’impact obtenue par la loi non linéaire de contact de type Hertz en fonction de l’indentation

α

dans la plaque

( )

( )

3/2

( ) ( , , ) 3/2

H

H

P t k

k x t w x y t

α

=

= − ⁽¹⁴⁾

La solution du problème d’impact consiste en la résolution du système dynamique augmenté

[ ]

^K

{ }

^{X +}

[ ]

^M

{ }

^{X&& =}

^{{ }}

^{F (15)}

avec

[ ]

( ¹) ( ¹)

0

0 0

p

NM NM

K K

+ × +

   

= 

 

 

[ ]

( ¹) ( ¹)

0 0

p

NM NM

M M

m + × +

  

= 

 

 

{ }

( ¹)¹

( )

p

NM

F F

P t + ×

 

= 

 

Le système dynamique (15) peut être résolu indifféremment par un schéma explicite ou par un schéma implicite. Dans ce travail, nous décidons d’utiliser un schéma d’intégration implicite, afin de pouvoir utiliser des grands pas de temps, et donc une résolution rapide, en faisant attention au problème de diffusion.

Le système (15) est écrit à l’instant n+1 :

[ ]

K

{ }

X n1

[ ]

M

{ }

X n1

{ }

F n 1

+ + && + = + ₍₁₆₎

Ensuite, en utilisant l’approximation de l’accélération et la condition initiale :

{ } { }

1 0

{ }

0 ²

{ }

0

{ }

0

0

0 2 =

X X t X t X t X t

V

−

∆   

= − ∆ + − ∆ = −∆  

  

& && & M

On obtient finalement, l’expression de récurrence

[ ] [ ] [ ]

(

^{I + ∆t M2 −1 K}

) ^{{ }}

^{X n+1=2}

^{{ } { }}

^{X n− X n−1+ ∆t M2}

^{[ ]}

⁻¹

^{

^{F X( n+1)}

^}

^{n+1 (17)}

Du fait de la non linéarité de la force d’impact P(t), l’algorithme de Newton-Raphson est utilisé afin de résoudre (17) chaque pas de temps n.

5 Applications numériques

3.1 Validation du modèle

Dans le but de valider l’approche à base de séries présentée, le cas d’une plaque carrée homogène isotrope, encastrée à ses quatre bords et soumise à une charge uniformément répartie est présenté. Pour ce problème, la flèche maximale ainsi que les moments de flexion, basés sur la solution de superposition de Levy sont utilisés comme référence [8]. Les résultats obtenus par notre modèle, en utilisant différents termes de série de Fourier sont résumés dans le Tab. 1.

Tab. 1 – Validation du modèle : cas d’une plaque carrée isotrope

m=5 m=7 m=9 Abaqus Ref [8]

(D/q0 a⁴) w au centre 0.000781 0.001215 0.001267 0.001268 0.001265 Mx/q0 a² à (0, a/2) −0.025000 −0.048013 −0.051571 −0.047078 −0.051333 Mx/q0 a² au centre 0.016250 0.022333 0.022925 0.022894 0.022905 Mxy/q0 a² à (a/4, a/4) −0.002285 −0.005854 −0.006525 −0.007731 −0.006527 Comme nous pouvons le remarquer, le modèle proposé converge vers la solution analytique (et celle obtenue par Abaqus) en augmentant le nombre de termes de la série de Fourier. La FIG. 2 montre l’allure de la déformée obtenue par notre modèle qui est très proche de celle du modèle d’Abaqus.

(a) Notre modèle (b) Abaqus

FIG. 2 – Déformée normalisée de la plaque (D/q0 a⁴) w

Dans un souci de comparaison quantitative des résultats obtenus par notre modèle, nous donnons sur la FIG. 3 la distribution des moments de flexion Mx et Mxy en comparaison avec ceux obtenus par la méthode EF. Nous pouvons remarquer la très bonne concordance de nos résultats comparés à ceux obtenus par Abaqus.

3.2 Résultats numériques pour plaques stratifiées

Des résultats ont été obtenus pour le cas de plaques carrées encastrées, d’épaisseur total h, avec les

empilements suivants [9] : (0°), (0°/90°/0°) et (0°/90°/0°/90°/0°). Les propriétés du matériau sont telles que : EL/ET=25, GLT/ET=0.5 et νLT=0.25. Le tableau Tab. 2 résume l’ensemble des résultats obtenus par notre modèle. Nous pouvons observer une très bonne concordance de nos résultats avec ceux d’Abaqus.

Tab. 2 – Validation du modèle : cas d’une plaque composite multicouche (ET h³/q0 a⁴) w

au centre

Mx/q0 a² au centre

Mx/q0 a² à (0, a/2)

Mxy/q0 a² à (a/4, a/4)

Abaqus (ET h³/q0 a⁴) w

(0°) 0.001308 0.043892 −0.087077 −0.010949 0.001339

(0°/90°/0°) 0.001370 0.044452 −0.088110 −0.008488 0.001426

(0°/90°/0°/90°/0°) 0.001462 0.039108 −0.079604 −0.004909 0.001503

(a) Notre modèle Mx/q0 a² (b) Abaqus Mx/q0 a²

(a) Notre modèle Mxy/q0 a² (b) Abaqus Mxy/q0 a²

FIG. 3 – Répartition des moments de flexion cas de plaque encastrée Mx/q₀ a²

3.3

Modélisation d’une plaque composite impactée par une balle d'acier

L'exemple académique choisi pour mettre en évidence la technique proposée est celui proposé par Qian et Swanson [4]. Il s’agit de l'impact d'une plaque stratifiée composée d’un empilement de dix couches de carbone-epoxy T300/934, par une balle d'acier. Les propriétés du matériau et de la géométrie de la plaque, ainsi que les conditions d'impact, sont résumées dans la Table 1.

Tab. 3 – Données du problème Plaque

[0,90,0,90,0]sym T300/934 carbone-epoxy Taille : 200x200x2.69 mm

Paramètres matériau: E11=120 GPa, E22=7.9 GPa, G12=G23=G13=5.5 GPa u12=u23=0.30, r=1580 kg/m³

Impacteur

Balle en acier : E=210 GPa, u=0.30, r=7960 kg/m³ Diamètre : 25.4 mm

Masse : 8.537 g Epaisseur : 0.552864 mm Vitesse d’impact: 3 m/s

Rigidité du contact de Hertz : kh=26544.15 N/mm^3/2

La solution analytique obtenue par notre modèle est en bon accord avec les résultats de référence ainsi qu’avec la solution que nous avons obtenue par le logiciel LS-DYNA.

FIG. 4 – Evolution de la force d’impact FIG. 5 – Evolution de la vitesse du projectile

FIG. 6 – Evolution du point d’impact de la plaque FIG. 7 – Evolution de la vitesse du projectile

6 Conclusion

Nous avons présenté dans cet article un nouveau modèle permettant une solution exacte basée sur les séries de Fourier pour la modélisation de l'impact de plaques composites multicouches avec des conditions aux limites générales. Les équations gouvernantes qui permettent de décrire la réponse transitoire élastique de plaques stratifiées orthotropes avec prise en compte d’une loi non linéaire de contact hertzien ont été présentées en utilisant un schéma de discrétisation temporelle implicite. Le système d'équations non linéaires résultant est résolu à chaque pas de temps en utilisant l'algorithme de Newton-Raphson. Pour les CL générales, la solution en séries de Fourier est complétée par une série mixte de polynômes-cosinus, qui permet d’aboutir à la solution tout en permettant à la série de satisfaire les équations d’équilibre ainsi que les CL de façon exacte. Les exemples numériques présentés lors de la modélisation d’impact de plaques composites par cette méthode sont en bon accord avec les résultats de référence.

Références

[1] Abrate, S., Impact on Composite Structures, Cambridge University Press, 1998.

[2] Sun, C.T. and Chattopadhyay, S. "Dynamic Response of Anisotropic Laminated Plates under Initial Stress to Impact of a Mass", Journal of Applied Mechanics, Vol. 42, No. 5, pp. 693–698, 1975.

[3] Whitney, M. and Pagano, N. J., "Shear Deformation in Heterogeneous Anisotropic Plates", Journal of Applied Mechanics, Vol. 37, pp. 1031-1036, 1970

[4] Yibo Qian & Stephen R. Swanson, "A Comparison of Solution Techniques for Impact Response of Composite Plates", Composite Structures 14 (1990) 177-192

[5] Christoforou, A. P. and Swanson, S. R., "Analysis of Impact Response in Composite Plates", International Journal of Solids and Structures, Vol. 27, No. 2, pp. 161-170, 1991.

[6] W.L. Li, "Free Vibrations of Beams with General Boundary Conditions", Journal of Sound and Vibration (2000) 237(4), 709-725

[7] W. L. Li, "Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports", Journal of Sound and Vibration, Volume 273, Issue 3, 7 June 2004, Pages 619-635

[8] Timoshenko SP, Krieger SW. “Theory of plates and shells”. New York: McGraw-Hill; 1959.

[9] K. Bhaskar, B. Kaushik, Analysis of clamped unsymmetric cross-ply rectangular plates by superposition of simple exact double Fourier series solutions, Composite Structures 68 (2005) 303–307.

[10] Kant T., Swaminathan K., “Analytical solutions for the static analysis of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory”, Composite Structures 56 (2002) 329–344

[11] W.L. Li, Xuefeng Zhang, Jingtao Du, Zhigang Liu, “An exact series solution for the transverse vibration of rectangular plates with general elastic boundary supports”, Journal of Sound and Vibration 321 (2009) 254–269

[12] Spiegel M.R. “Theory and problems of Fourier Analysis”, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, 1974.