Processus de branchement multitypes conditionnés à l’extinction tardive et illustration en analyse des risques épidémiologiques

(1)

Processus de branchement multitypes conditionn´ es ` a l’extinction tardive

et illustration en analyse des risques ´ epid´ emiologiques

Sophie P´ enisson

IRTG SMCP Berlin / Universit´e de Potsdam INRA Jouy-en-Josas

Neuvi`eme Colloque ”Jeunes Probabilistes et Statisticiens”

Le Mont-Dore 3-7 mai 2010

rtg s cp

Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 1 / 22

(2)

Plan

1

Processus de branchement multitype Introduction

Quelques propri´ et´ es

2

Mod´ elisation en ´ epid´ emiologie: exemple de l’ESB

3

Quantification de l’infection

4

Analyse des risques li´ es ` a une extinction tr` es tardive Trajectoires conditionn´ ees ` a une extinction tr` es tardive Estimation et pr´ ediction

5

Un mot sur le processus de diffusion de Feller

(3)

Processus de branchement multitype Introduction

Processus de branchement multitype

Processus de Bienaym´ e-Galton-Watson (BGW) d types de particules

processus de Markov ` a valeurs dans

N^d

n type 1

type 2

= (3,0)

X3

= (1,1)

X0

distribution de la descendance

(p₁(k))_k∈_N2,

(p

₂

(k))

_k∈_N2

p

_i

(k

₁

, k

₂

)= probabilit´ e qu’une particule de type i donne naissance ` a k

1

particules de type 1 et k

2

particules de type 2

(4)

Propri´ et´ e de branchement

= propri´ et´ e additive

~ +

(5)

Processus de branchement multitype Quelques propri´et´es

Extinction vs. explosion

matrice moyenne M

m

_ij

:= nombre moyen de descendants de type j pour une particule de type i

Th´ eor` eme de Perron-Frobenius

⇒

si

∃n

tel que M

ⁿ

> 0 alors M a une valeur propre maximale r´ eelle ρ qui est > 0 et simple

Le processus est alors dit irr´ eductible. Sous cette hypoth` ese:

Th´ eor` eme

P

n→∞

lim X

n

= 0

+

P

n→∞

lim X

n

=

∞

= 1

P

n→∞

lim X

_n

= 0

= 1

⇐⇒

ρ

6

1 ρ < 1: processus sous-critique ρ = 1: processus critique ρ > 1: processus sur-critique

(6)

Mod´ elisation en ´ epid´ emiologie: exemple de l’ESB

Maladie SEIR

exposed clinical case

INCUBATION INFECTION

horizontal or vertical

slaughtered susceptible

(7)

Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB

Probl´ ematique

quantification de l’infection persistant apr` es la suppression des farines animales

ann´ ee d’extinction de l’´ epid´ emie

´

evolution de l’´ epid´ emie en cas d’extinction tr` es tardive Remarque: les ´ etats de sant´ e S et E sont indiff´ erentiables

clinical cases apparently healthy

animals

But: construire un mod` ele bas´ e sur l’incidence des cas cliniques Non rigoureux:

mod` ele d´ eterministe

mod´ elisation stochastique directe des cas cliniques

(8)

Plus rigoureux: mod´ elisation stochastique de tous les ´ etats de sant´ e

n+3 n+2

n n+1

infected by A

infected by B A

B

C

(9)

Mod` ele limite (C.Jacob)

Obtenu lorsque la population totale initiale temps vers

∞

Hypoth` eses cl´ es: maladie SEIR rare, infection de type Reed-Frost X

_n

:= incidence de cas cliniques pour l’ann´ ee n

Xn

=

d

X

k=1 Xn−k

X

i=1

Yn−k,n,i

,

{Y_n−k,n,i}_i

i.i.d. Y

n−k,n,i

∼ PoissonD

(Ψ

k

(θ

0

))

n n+1 ... n+d time

Y ~ Poiss ( Ψ )_n,n+1,1 ₁ ...

Y ~ Poiss ( Ψ )_n,n+d,1 _d

(10)

Ψ

_k

(θ

₀

) :=

θ₀

P

_inc.

(k )

Pd+1

i=k+1

S

i

Pd+1

j=1

S

_j

+ p

_mat.

P

_inc.

(k) S

_k+1 Pd+1

j=1

S

_j

.

d = 9, 10 ans ´ etant l’ˆ age maximal observ´ e pour l’abattage du b´ e´ etail

θ₀

= param` etre inconnu d’infection horizontale persistante apr` es la suppression de farine animale en 1989 (θ

₀

= nb moyen par infectieux et par an d’animaux infect´ es via ingestion de prions excr´ et´ es par d’autres animaux vivants);

p

mat.

= param` etre d’infection maternelle (proba pour un nouveau-n´ e de m` ere infectieuse d’ˆ etre infect´ e ` a la naissance);

S

_k

= proba pour un animal apparemment sain de survivre au moins k ann´ ees;

P

_inc.

(k ) = proba que la p´ eriode d’incubation intrins` eque soit de k

ann´ ees.

(11)

X

n

processus

d

-Markovien 1-dimensionnel, de loi de transition

X

n|(X_n−1

, . . . , X

n−d

)

∼ Poisson^D

d

X

k=1

X

n−k

Ψ

_k

(θ

0

)

!

,

ou X

_n

:= (X

_n

, X

n−1

, . . . , X

n−d+1

) processus 1-Markovien

d

-dimensionnel, X

n|Xn−1 D

∼

(P oisson (X

n−1·

Ψ(θ

0

)) , X

n−1

, . . . , X

n−d+1

) .

Proposition

X

_n

est un processus de branchement ` a d types.

Matrice moyenne

M(θ

₀

) =







Ψ

1

(θ

0

) 1 0 . . . 0 Ψ

2

(θ

0

) 0 1 . . . 0 .. . .. . . .. ...

Ψ

d−1

(θ

0

) 0 . . . . . . 1 Ψ

_d

(θ

₀

) 0 . . . . . . 0







(12)

On a [M(θ

₀

)]

^d

> 0. Soit ρ la plus valeur propre maximale de M(θ

₀

). Alors

ρ

6

1

⇐⇒

d

X

k=1

Ψ

k

(θ

0

)

6

1. On peut ´ ecrire

Ψ

_k

(θ

0

) = a

_k

θ

0

+ b

_k

, o` u a

_k

et b

_k

sont connus. Alors

Proposition

extinction p.s. de l’´ epid´ emie

⇐⇒

d

X

k=1

Ψ

k

(θ

0

)

6

1

⇐⇒

θ

₀ 6

1

−Pd k=1

b

_k Pd

k=1

a

_k '

23.

(13)

Quantification de l’infection

Estimation du param` etre d’infection θ

₀

Conditional Least Squares Estimator θ

b_X₀

:= arg min

θ n

X

k=1

[X

_k −Eθ

(X

_k|X_k−1

)]

²

a

·

X

k−1

.

Proposition (S.P.)

X0

lim

→∞

θ

b_X₀ ^p.s.

= θ

0

,

lim

X0→∞

sPn k=1

Pd

i=1

a

_i

X

k−i

σ

²

( θ

b_X₀

)

θ

b_X₀−

θ

₀ _D

=

N

(0, 1) .

o` u m

_ij^(k)

(θ) denote l’entr´ ee (i, j ) de la matrice [M(θ)]

^k

, et

σ

²

(θ) := θ +

Pn

k=1

Pd j=1

Pd

i=1

b

_i

m

_ji^(k−1)

(θ)

Pn

k=1

Pd j=1

Pd

i=1

a

_i

m

^(k_ji ⁻¹⁾

(θ) .

(14)

R´ esultats num´ eriques

|X₀|

=

|X^obs₁₉₉₇|

= X

₁₉₉₇^obs

+ . . . + X

₁₉₈₉^obs

= 167977 θ

bX0

= 2.4486

P

θ

₀ ∈

[2.4000 ; 2.4971]

'

0.95 Conclusion

Existence d’une source d’infection horizontale persistant apr` es 1989, mineure mais non-nulle. Nb moyen d’animaux infect´ es par cette voie est seulement de qques unit´ es par infectieux et par an (infection par farines animales de l’ordre de 1000).

Permet l’estimation de l’ann´ ee d’extinction de l’´ epid´ emie, du nombre de

cas ` a venir etc.

(15)

Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive

Conditionnement ` a une extinction tr` es tardive

But: Etude des trajectoires ` ´ a extinction tr` es tardive:

P

(X

_n

= .

|

X

_n+k 6=

0) , k tr` es grand.

Approximation par

P

(X

^∗_n

= . ) := lim

k→∞P

(X

_n

= .

|

X

_n+k 6=

0) .

Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008)) Supposons ρ

6

1. Alors

P

X

^∗_n+1

= j|X

^∗_n

= i

= 1 ρ

j

·ξ(θ₀

)

i

·ξ(θ₀

)

P

(X

_n+1

= j|X

_n

= i) , o` u

ξ(θ0

) est le vecteur ` a droite normalis´ e de M(θ

0

) pour ρ.

X

^∗_n

est le

Q-processus

associ´ e ` a X

n

.

(16)

Quasi-stationnarit´ e et stationnarit´ e

Th´ eor` eme (A.Joffe & F.Spitzer (1967)) Supposons ρ < 1, alors

ν

θ0

(j) := lim

n P

(X

n

= j

|

X

0

= i, X

n6=

0) existe, ne d´ epend pas de i, et est une mesure de probabilit´ e.

On appelle la mesure de probabilit´ e ν

_θ₀

la limite de Yaglom.

Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008))

Supposons ρ < 1 et

E

(X

₁

ln X

₁

) <

∞. Alors

X

^∗_n

est r´ ecurrent positif de probabilit´ e stationnaire

π

_θ₀

(j) := j

·ξ(θ₀

)ν

_θ₀

(j)

P

k∈N^d

k

·ξ(θ₀

)ν

_θ₀

(k) .

(17)

Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive

Application au processus ´ epid´ emiologique

Rappel: le processus X

n

a pour loi de transition X

n|X_n−1 ∼ Poisson^D

(X

n−1·

Ψ(θ

0

)) . Le Q-processus associ´ e X

^∗_n

v´ erifie alors:

Proposition (S.P.)

X

_n^∗|X^∗_n−1∼ Poisson^D

X

^∗_n−1·

Ψ(θ

₀

)

∗ B ξ1

(θ

0

)X

^∗_n−1·Ψ(θ0

)

ξ₁

(θ

₀

)X

^∗_n−1·Ψ(θ₀

) +

Pd

i=2X_n−i+1^∗ ξ_i

(θ

₀

)

!

.

(18)

Simulation d’une trajectoire du processus X

n

(en rouge) et du processus X

_n^∗

(en bleu), pour le mˆ eme param` etre d’infection θ

₀

= θ

b_X₀

= 2.4486.

0 5 10 15 20 25 30 35

number of clinical cases

(19)

Analyse des risques liés à une extinction très tardive Estimation et prédiction

Estimation et pr´ ediction

θ

b_n^∗

:= arg min

θ n

X

k=1

X

_k^∗−Eθ

X

_k^∗|X^∗_k₋₁2

a

·

X

^∗_k₋₁

Proposition (S.P.)

n→∞

lim θ

b_n^∗ ^p.s.

= θ

0

,

n→∞

lim

s

n

P

j∈N^d

f

^∗

(θ

₀

, j)π

_θ₀

(j)

P

j∈N^d

g

^∗

(θ

₀

, j)π

_θ₀

(j)

b

θ

_n^∗−

θ

0

_D

=

N

(0, 1) .

n = 11 θ

b^∗_n

= 2.4472

P

θ

0 ∈

[2.3988 ; 2.4956]

≈

0.95

(20)

Simulation de 1000 trajectoires de X

_n^∗

` a partir de 2009

0 10 20 30 40 50 60 70 80

number of clinical cases

maximum 97.5% quantile median 2.5% quantile minimum

(21)

Diffusion de Feller

Un mot sur le processus de diffusion de Feller

Proposition (N.Champagnat & S.Roelly (2008) / S.P. (2010))

SoitPla loi d’un processus de diffusion de Feller (resp. d’un BGW à temps continu) multitype, irréductible et (sous-)critique (ρ60). Alors la loi du Q-processus associé, défini par

∀t>0, ∀B ∈ Ft, P^∗(B) := lim

θ→∞P(B |Xt+θ6=0)

est une h-transform´ee de Doob deP, satisfaisant: pour tout t>0 etx∈R^d+

(resp. x∈N^d),x6=0,

P^∗x|_F_t = Xt·ξ

x·ξ e^−ρt P^x|_F_t.

Proposition (S.P.)

De même que la diffusion de Feller multitype peut-être obtenue comme limite de BGW multitypes, le Q-processus associé peut-être obtenu comme limite de Q-processus associés aux BGW.

(22)

Champagnat, N. andRœlly, S.(2008). Limit theorems for conditioned multitype Dawson-Watanabe processes and Feller diffusions.Electron. J. Probab.

13, 777–810.

Dallaporta, S.andJoffe, A.(2008). TheQ-process in a multitype branching process. Int. J. Pure Appl. Math.42, 235–240.

Jacob, C., Maillard-Teyssier, L., Denis, J. B. andBidot, C.(2009). A branching process approach for the propagation of the BSE in Great-Britain. In Branching processes and their Applications, Lecture Notes in Statistics, Springer-Verlag, 227–242.

A. Joffe, A.andSpitzer, F.(1967). On multitype branching processes with ρ61.J. Math. Anal. Appl.19, 409–430.

P´enisson, S.(2010). Continuous-time multitype branching processes conditioned on very late extinction.ESAIM P&S.

P´enisson, S.(2010). Estimation of the infection parameter in the different phases of an epidemic modeled by a branching process.

P´enisson, S.andJacob, C.(2010). BSE epidemic in Great-Britain: prediction of the disease spread and study of the very late extinction case scenario, based on a