REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE CONSTANTINE 1
FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
N0 d’ordre : ……… Série : ………
Mémoire
Présenté en vue de l’obtention du diplôme de Magister en Electrotechnique Option : Modélisation et contrôle des procédés de conversion de l’énergie électrique
Par
Mehdi OUILI
Modélisation du comportement d’une distribution
aléatoire des particules métalliques dans un
séparateur magnétique en voie humide
Soutenu le : 01 / 12 / 2013 Devant le jury composé de:
Président : A. BENTOUNSI Prof Univ Constantine 1 Rapporteur : R. MEHASNI MCA Univ Constantine 1 Examinateurs : H. BENALLA Prof Univ Constantine 1 M.E.H. LATRECHE Prof Univ Constantine 2
Remerciement
Le travail que je présente dans ce mémoire a été réalisé au département de l'électrotechnique de l'université Constantine 1.
Je remercie Allah, le tout puissant, le miséricordieux, de m’avoir appris ce que j’ignorais, de m’avoir donné la santé et tout dont je nécessitais pour
l’accomplissement de cette thèse.
Ma gratitude s’exprime pareillement pour mon encadreur Mr Rabia MEHASNI, maitre de conférences classe A à l’université Constantine 1, qui n’a pas hésité à donner son accord pour me prendre en charge et me orienté afin de réaliser ce travail. Je lui remercie pour son soutien interrompu, ses conseils, ses encouragements et sa grande disponibilité pendant toute la période de réalisation de cette thèse.
Je remercie tous les membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux
M. Amar BENTOUNSI, Professeur à l’Université Constantine 1, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de soutenance de la thèse.
Mr .Mohamed El Hadi LATRECHE, Professeur et recteur de l’université Constantine 2 de m’avoir fait l’honneur d’accepter d'examiner ce mémoire.
M. Hocine BENALLA, Professeur et chef de département d’Electrotechnique à l’université Constantine 1 pour avoir accepter d’être examinateur de ce mémoire et pour sa participation au jury.
Merci à mes parents à qui je dédie aujourd’hui ce travail ainsi qu’à tous mes frères et sœurs.
Merci à tous mes collègues du laboratoire d'Electrotechnique, à toute la promotion du Magistère.
Merci à tous mes proches pour le soutien moral qu’ils m’ont apporté, en particulier, ML.LOUCIF, A.KHATABI, R. SAADA et D.GUELLOUR.
SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE... 12
CHAPITRE I : SEPARATION MAGNETIQUE ET DIFFERENTES TECHNIQUES UTILISEES ... 15
I. SEPARATION MAGNETIQUE ET DIFFERENTES TECHNIQUES UTILISEES ... 16
I.1. INTRODUCTION ... 16
I.2. APPLICATION DE LA SEPARATION MAGNETIQUE ... 16
I.2.1.TRAITEMENT MINERALURGIQUE ... 16
I.2.2.TRAITEMENT DE DEPOLLUTION INDUSTRIEL ET ENVIRONNEMENTAL ... 17
I.2.3.TRAITEMENTS CHIMIQUES ET BIOLOGIQUES ... 17
I. 3. CLASSIFICATION DES SEPARATEURS MAGNETIQUES ... 18
I.3.1.SEPARATEUR MAGNETIQUE A BASSE INTENSITE (SMBI) ... 18
I.3.2.SEPARATEUR MAGNETIQUE A HAUTE INTENSITE (SMHI)... 18
I.3.3.SEPARATEUR MAGNETIQUE A HAUT GRADIENT ET/OU HAUT CHAMP (SMHG). ... 19
I.4. EVOLUTION DES TECHNIQUES DE LA SEPARATION MAGNETIQUE ... 22
I.5. DONNEES ECONOMIQUES DE LA SEPARATION MAGNETIQUE ... 22
I.5.1.COUT D‘INVESTISSEMENT... 23
I.5.2.COUT DE FONCTIONNEMENT ... 23
CHAPITRE II : MODELISATION DU COMPORTEMENT PARTICULAIRE DANS UN SEPARATEUR MAGNETIQUE EN VOIE HUMIDE ... 25
II. MODELISATION DU COMPORTEMENT PARTICULAIRE DANS UN SEPARATEUR MAGNETIQUE ... 26
EN VOIE HUMIDE... 26
II.1.INTRODUCTION ... 26
II. 2. DIFFERENTS TYPES DE MILIEUX MAGNETIQUES... 26
II.2.1.PROPRIETES MAGNETIQUES ... 26
II.2.2. DIFFERENTS TYPES DE MILIEUX MAGNETIQUES ... 27
II. 2. 2. 1. Matériaux diamagnétiques ... 27
II. 2. 2. 2. Matériaux paramagnétiques ... 27
II. 2. 2. 3. Matériaux ferromagnétiques ... 28
II. 2. 2. 4. Matériaux ferrimagnétiques ... 28
II. 2. 2. 5. Matériaux antiferromagnétiques ... 29
II.2.3. AIMANTATION D‘UNE PARTICULE ... 29
II. 3. FORCES D’ORIGINE MAGNETIQUE APPLIQUEES SUR DES PARTICULES METALLIQUES ... 31
II.3.1.PARTICULES MAGNETIQUES ... 31
II.3.2.PARTICULES CONDUCTRICES ... 32
II.3.3.PARTICULES CHARGEES... 32
II. 4. MODELES MATHEMATIQUES REGISSANT LES PHENOMENES EN PRESENCE ... 32
II.4.1.PHENOMENE MAGNETIQUE ... 32
II. 4. 1. 1. Equation du champ magnétique... 32
II. 4. 1. 2. Conditions de passage ... 33
II. 4. 1. 3. Conditions aux limites ... 34
II. 4. 2. 1. Type d‘écoulement ... 35
II. 4. 2. 2. Equation de l‘écoulement ... 36
II. 4. 2. 3. Actions hydrodynamiques appliquées par le liquide sur une particule solide ... 36
II.4.3.PHENOMENE DYNAMIQUE PARTICULAIRE ... 39
II.4.4.PHENOMENE MAGNETOHYDRODYNAMIQUE COUPLE SIMPLIFIE ... 39
II.5. CONCLUSION ... 39
CHAPITRE III : RESOLUTION DU PROBLEME DE LA SEPARATION MAGNETIQUE ... 41
III. RESOLUTION DU PROBLEME DE LA SEPARATION MAGNETIQUE ... 42
III. 1. MISE EN ŒUVRE DE LA METHODE DES ELEMENTS FINIS ... 42
III.1.1.MAILLAGE DU DOMAINE D‘ETUDE ET FONCTION DE FORME ... 43
III.1.2.FORMULATION INTEGRALE ET EQUATION ALGEBRIQUE ... 46
III. 2. OUTIL DE CALCUL UTILISE POUR RESOUDRE LES EDP MAGNETIQUE ET HYDRAULIQUE... 48
III. 3.METHODE DE RESOLUTION DU PROBLEME DYNAMIQUE PARTICULAIRE ... 49
III. 4.RESOLUTION DU PROBLEME GLOBALE ... 51
III. 5.CONCLUSION ... 53
CHAPITRE IV : SIMULATION ET RESULTATS OBTENUS ... 54
IV. SIMULATION ET RESULTATS OBTENUS ... 55
IV.1. SEPARATION MAGNETIQUE DANS LES LIQUIDES STATIQUES ... 55
IV.1.1.DISTRIBUTION DU CHAMP MAGNETIQUE DANS LE SEPARATEUR ... 55
IV.1.2.FORCES D‘ORIGINE MAGNETIQUE, APPLIQUEES SUR DES PARTICULES METALLIQUES ... 57
IV. 1. 2. 1. Particules ferromagnétiques ... 57
IV. 1. 2. 2. Particules conductrices ... 60
IV.1.3.INTERACTION ENTRE PARTICULES EN PRESENCE D‘UN CHAMP DYNAMIQUE ... 63
IV.1.4.COMPORTEMENT D‘UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE ... 66
IV.1.5.TRAJECTOIRE DES PARTICULES ET POSITIONS FINALES ... 68
IV. 1. 5. 1. Particules de forme géométrique sphérique ... 69
IV. 1. 5. 2. Particules de forme géométrique cylindrique ... 74
IV. 1. 5. 3. Particules de forme géométrique ellipsoïdales ... 77
IV. 2. SEPARATION MAGNETIQUE DANS LES LIQUIDES EN MOUVEMENT... 80
IV.2.1.GEOMETRIE DE LA CONDUITE DE L‘ECOULEMENT ... 80
IV.2.2.DISTRIBUTION DE LA VITESSE D‘ECOULEMENT DANS LE CANAL ... 81
IV.2.3.COMPORTEMENT DES PARTICULES EN ABSENCE DU CHAMP MAGNETIQUE ... 82
IV.2. 3. 1. Effet de la force de trainée ... 82
IV.2. 3. 2. Effet de la force de portance ... 83
IV.2. 3. 3. Effet de la force de portance et de trainée ... 83
IV.2.4.COMPORTEMENT DES PARTICULES EN PRESENCE DU CHAMP MAGNETIQUE ... 84
IV.2.4.1. Domaine d‘étude et distribution des grandeurs magnétiques et hydrauliques ... 84
IV.2.4.2. Trajectoires des particules et efficacité de séparation ... 86
IV. 3.CONCLUSION ... 90
CONCLUSION GENERALE ... 92
Liste des Figures
Figure I. 1.Tube magnétique à aimant permanent (ferrites, terres rares) Eriez magnetics ... 18
Figure I. 2. Principe de la séparation magnétique SMHI des particules dia et paramagnétiques. ... 19
Figure I. 3. Séparateur supraconducteur à haut gradient à tambour Descos (Doc. KHD Humboldt Wedag) ... 21
Figure I. 4. Séparateur haut gradient supraconducteur ERIEZ (doc.Eriez magnetics). ... 21
Figure II. 1.Moments magnétiques atomiques orbital et de spin... 26
Figure II. 2.Comportement des domaines. ... 28
Figure II. 3.Schématisation de la structure en domaines d'un matériau ferrimagnétique ... 29
Figure II. 4.Schématisation de la structure en domaines d'un matériau antiferromagnétique .. 29
Figure II. 5.Comparaison de l‘évolution de l‘aimantation 𝑴 des trois principaux types de matériaux magnétiques en fonction de l‘excitation𝑯. ... 30
Figure II. 6.Interface entre deux milieux ... 34
Figure II. 7.Coefficient de trainée pour une particule cylindrique et ellipsoïdale ... 37
Figure III. 1. Eléments finis tétraédrique à 4 nœuds et hexaédrique à 8 nœuds. ... 43
Figure III. 2. Maillage 3D utilisant des éléments tétraédrique à 4 nœuds. ... 43
Figure III. 3. Coordonnées de volume pour un élément tétraédrique. ... 44
Figure III. 4. Différentes étapes de la résolution du problème globale ... 52
Figure IV. 1. Forme générale du le dispositif étudié pour le cas de liquide statique ... 55
Figure IV. 2. Distribution du champ magnétique dans la région d‘intérêt. ... 56
Figure IV. 3. Distribution du champ électrique dans la zone de séparation ... 56
Figure IV. 4. Force magnétique appliquée sur une particule ferromagnétiques sphérique. ... 58
Figure IV. 5. Force magnétique appliquée sur une particule ferromagnétique cylindrique. .... 58
Figure IV. 6. Force magnétique appliquée sur une particule ferromagnétiques cubique.. ... 59
Figure IV. 7. Force magnétique appliquée sur une particule ferromagnétique ellipsoïdale.. ... 59
Figure IV. 8. Force magnétique appliquée sur une particule ferromagnétique conique.. ... 60
Figure IV. 9. Force de Lorentz appliquée sur une particule conductrice sphérique.. ... 61
Figure IV. 10. Force de Lorentz appliquée sur une particule conductrice cylindrique.. ... 61
Figure IV. 11. Force de Lorentz appliquée sur une particule conductrice cubique.. ... 62
Figure IV. 12. Force de Lorentz appliquée sur une particule conductrice ellipsoïdale.. ... 62
Figure IV. 13. Force de Lorentz appliquée sur une particule conductrice conique. ... 63
Figure IV. 14. Force magnétique appliquée sur deux particules ferromagnétiques voisines. .. 64
Figure IV. 15. Force magnétique appliquée sur trois particules ferromagnétiques voisines. ... 65
Figure IV. 16. Force d‘interaction appliquée sur deux particules ferromagnétiques et conductrices voisines.. ... 65
Figure IV. 17. Force d‘interaction d‘origine magnétique appliquée sur deux particules conductrices voisines.. ... 66
Figure IV. 18. Distribution de la force magnétique qui peut être appliquée sur une particule
ferromagnétique. ... 67
Figure IV. 19. Distribution de la force de Lorentz dans le récipient contenant le matériau à traiter. ... 68
Figure IV. 20. Trajectoires des particules magnétiques. ... 69
Figure IV. 21. Trajectoires des particules conductrices. ... 70
Figure IV. 22. Trajectoires des particules chargées positivement. ... 71
Figure IV. 23. Trajectoires des particules chargées négativement. ... 72
Figure IV. 24. Trajectoires d‘un mélange de particules. ... 73
Figure IV. 25. Trajectoires des particules chargées positivement et négativement.. ... 73
Figure IV. 26. Trajectoires des particules ferromagnétiques cylindriques. ... 74
Figure IV. 27. Trajectoires des particules conductrices cylindriques... 75
Figure IV. 28. Trajectoires des particules cylindriques chargées positivement. ... 76
Figure IV. 29. Trajectoires des particules cylindriques chargées négativement. ... 76
Figure IV. 30. Trajectoires des particules ellipsoïdales ferromagnétiques... 77
Figure IV. 31. Trajectoires des particules ellipsoïdales conductrices. ... 78
Figure IV. 32. Trajectoires des particules ellipsoïdales chargées positivement. ... 79
Figure IV. 33. Trajectoires des particules ellipsoïdales chargées négativement. ... 79
Figure IV. 34. Forme géométrique du canal d‘écoulement. ... 81
Figure IV. 35. Coupe verticale sur le champ de vitesse d‘écoulement dans le canal. ... 81
Figure IV. 36. Profil de vitesse d‘écoulement. ... 82
Figure IV. 37. Effet de la force de trainé sur le comportement de particules... 82
Figure IV. 38. Effet de la force de portance.. ... 83
Figure IV. 39. Effet des forces de trainée et de portance sur le comportement des particules.83 Figure IV. 40. Coupe verticale sur la distribution de l‘induction magnétique dans le canal ... 84
Figure IV. 41. Variation de l‘induction le long du canal ... 85
Figure IV. 42. Distribution des grandeurs physiques. ... 85
Figure IV. 43. Trajectoires des particules magnétiques.. ... 86
Figure IV. 44. Trajectoires des particules conductrices. ... 87
Figure IV. 45.Trajectoires des particules chargées. ... 89
Liste des Tableaux
Tableau I. 1.Comparaison des techniques de séparation magnétique: aimant permanent,
électroaimant, supraconducteur [Bureau 93] ... 24
Tableau IV. 1. Temps de capture des particules pour le cas de la figure IV. 20. a. ... 69
Tableau IV. 2. Temps de capture des particules pour le cas de la figure IV. 20. b. ... 69
Tableau IV. 3. Temps de séparation des particules pour le cas de la figure IV. 21. a. ... 70
Tableau IV. 4. Temps de séparation des particules pour le cas de la figure IV. 21. b. ... 70
Tableau IV. 5. Temps de séparation des particules chargées positivement du cas a. ... 71
Tableau IV. 6. Temps de séparation des particules chargées positivement du cas b. ... 71
Tableau IV. 7. Temps de séparation des particules chargées négativement du cas a. ... 72
Tableau IV. 8. Temps de séparation des particules chargées négativement du cas b. ... 72
Tableau IV. 9. Temps de capture des particules ferromagnétiques cylindriques du cas a. ... 74
Tableau IV. 10. Temps de capture des particules ferromagnétiques cylindriques du cas b. .... 74
Tableau IV. 11. Temps de séparation des particules conductrices cylindriques du cas a. ... 75
Tableau IV. 12. Temps de séparation des particules conductrices cylindriques du cas b. ... 75
Tableau IV. 13. Temps de séparation des particules cylindriques chargées positivement du cas a. ... 76
Tableau IV. 14. Temps de séparation des particules cylindriques chargées positivement du cas b. ... 76
Tableau IV. 15.Temps de séparation des particules cylindriques chargées négativement du cas a. ... 77
Tableau IV. 16.Temps de séparation des particules cylindriques chargées négativement du cas b. ... 77
Tableau IV. 17. Temps de capture des particules ferromagnétiques ellipsoïdales du cas a. .... 77
Tableau IV. 18. Temps de capture des particules ferromagnétiques ellipsoïdales du cas b. .... 78
Tableau IV. 19. Temps de séparation des particules ellipsoïdales conductrices du cas a. ... 78
Tableau IV. 20. Temps de séparation des particules ellipsoïdales conductrices du cas b. ... 78
Tableau IV. 21. Temps de séparation des particules ellipsoïdales chargées positivement du cas a. ... 79
Tableau IV. 22. Temps de séparation des particules ellipsoïdales chargées positivement du cas b. ... 79
Tableau IV. 23. Temps de séparation des particules ellipsoïdales chargées négativement du cas a. ... 80
Tableau IV. 24. Temps de séparation des particules ellipsoïdales chargées négativement du cas b. ... 80
Tableau IV. 25. Temps de capture des particules pour le cas de la figure IV. 43. a. ... 86
Tableau IV. 26. Temps de capture des particules pour le cas de la figure IV. 43. b. ... 87
Tableau IV. 27. Temps de capture des particules pour le cas de la figure IV. 43. c. ... 87
Tableau IV. 28. Temps de séparation des particules pour le cas de la figure IV. 44 a. ... 88
Tableau IV. 29. Temps de séparation des particules pour le cas de la figure IV. 44. b. ... 88
Tableau IV. 31. Temps de séparation des particules chargées positivement du cas a. ... 89
Tableau IV. 32. Temps de séparation des particules chargées positivement du cas b. ... 89
Tableau IV. 33. Temps de séparation des particules chargées positivement du cas c. ... 89
Tableau IV. 34. Temps de séparation des particules chargées négativement du cas a. ... 89
Tableau IV. 35. Temps de séparation des particules chargées négativement du cas b. ... 89
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Introduction générale
Dans les procédés industriels tel que la métallurgie, le processus d‘usinage des pièces conduit à la libération de particules métalliques qui peuvent causer de problèmes sérieux dans l‘environnement du travail. Pour les personnes, les particules très fines peuvent s‘infiltrer dans le corps humain avec l‘air ce qui conduit à des maladies très graves. Pour la chaine de production, l‘existence des particules métalliques peut considérablement contaminer les différents milieux. L‘existence des particules dans les liquides de lubrification ou au niveau des parties de contact métalliques (engrenages) conduit à la modification de l‘état des surfaces fonctionnelles ce qui conduit à des contraintes mécaniques destructives pour les pièces infectées. Pour les liquides de refroidissement (dispositif de chauffage par induction), les dépôts considérables de particules peuvent conduire par exemple à des courts circuits provocants l‘arrêt d‘approvisionnement en électricité ou même la destruction totale de la partie infectée. Une des manières permettant l‘élimination de ces particules est la séparation magnétique. L‘avantage majeur de cette technique par rapport à d‘autres méthodes classiquement utilisées est la préservation de l‘état du milieu traité.
La séparation magnétique est basée sur l‘application d‘un champ magnétique qui agit d‘une manière sélective sur la composition du matériau traité. Pour permettre la séparation de particules magnétiques, un champ magnétique statique peut être efficacement utilisé. Par contre pour la séparation de particules conductrices ou chargées, nécessite un champ dynamique. Pour permettre la séparation des particules d‘une granulométrie très fines, un champ magnétique à haut gradient pour les particules magnétiques et un champ à haute intensité pour les particules conductrices ou chargées doit être appliqué.
Afin de concevoir un séparateur magnétique de haute performance, le comportement des particules en présence du champ doit être maitrisé. Il s‘agit de la compréhension de l‘effet de l‘interaction entre le champ appliqué et les particules, l‘interaction entre les particules et l‘effet du milieu de leur existence. Dans ce travail, nous nous sommes intéressés au calcul du comportement d‘une dispersion aléatoire de particules dans un séparateur magnétique pour une application en voie humide. Il s‘agit des particules magnétiques, conductrices et chargées de différentes formes géométriques, sphériques, cylindriques et ellipsoïdales immergées dans un liquide non magnétique (eau). Pour permettre l‘élimination (extraction) instantanée de ces particules un champ dynamique doit être appliqué. De tel champ peut être généré par un électroaimant alimenté en alternatif.
L‘existence des particules de fer dans un champ magnétique conduit à leur aimantation et donc à leur déviation vers les zones à champ très fort. Pour les particules conductrices ou chargées, il s‘agit de la génération d‘une force de Lorentz qui conduit à leur expulsion vers les zones à très faibles champ. Dans cette forme de séparation où il n‘y a aucune matrice d‘extraction, l‘électroaimant joue le rôle de capteur de particules ferromagnétiques. Il s‘agit ainsi de la séparation magnétique par champ à gradient ouvert.
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Pour vérifier la capture ou la répulsion des particules, nous avons analysé leurs mouvements en présence de toutes les forces importantes. De telle analyse a été basée sur le calcul de leurs trajectoires. Pour introduire les forces d‘origine magnétique, une distribution de ces forces dans la zone où la séparation se produit a été calculée.
Dans le cas de traitement des liquides en mouvement, l‘introduction de l‘effet du liquide sur les particules est assurée par une évaluation de la distribution de la vitesse d‘écoulement dans le canal. Pour prendre en compte l‘effet réel des différentes forces ainsi que le mouvement aléatoire des particules, une résolution 3D des équations régissant les phénomènes magnétique et hydraulique a été réalisée. Pour tenir en compte la complexité d‘évolution des phénomènes en présences (magnétique, hydraulique et dynamique particulaire), la méthode numérique éléments finis a été appliquée.
Dans le calcul des trajectoires des particules, les forces d‘origines magnétique et hydraulique dépendent de la position des particules. Pour prendre en compte cette dépendance, la méthode de Range-Kutta a été appliquée.
Le mémoire de ce travail s‘organise autour de quatre chapitres. Le premier chapitre est une présentation générale sur le principe de la séparation magnétique, l‘évolution des techniques de la séparation et les différentes débouchées industriels.
Dans le deuxième chapitre, nous présentons la modélisation du comportement des particules dans un séparateur magnétique en voie humide. Il s‘agit du développement des équations régissant le phénomène magnétique lié au champ appliqué et les interactions avec les différentes particules, le phénomène hydraulique lié au liquide traité et le phénomène dynamique lié au mouvement des particules.
Dans le troisième chapitre, nous présentons la méthode des éléments finis utilisée pour résoudre les équations au dérivées partielles (EDP) développées et cela pour une configuration 3D. Nous avons présenté la formulation intégrale de l‘équation de la magnétodynamique (formulation A-V) en régime fréquentiel en se basant sur l‘approche de Galerkine qui ne tient pas compte des considérations énergétiques.
Dans le quatrième et dernier chapitre, nous exposons les résultats de calcul obtenus. Il s‘agit du traitement des deux cas de liquides statique et en écoulement. Nous avons tout d‘abord présenté les distributions des différentes forces d‘origine magnétique qui vérifient leur caractère attractif ou répulsif. Ensuite, nous présentons des résultats concernant le calcul des forces appliquées sur des particules en tenant en compte de leurs existence dans le champ et cela pour différentes formes géométriques, sphériques, ellipsoïdales, cylindriques et coniques. Nous présentons aussi les différentes interactions entre particules de même nature ou de natures différentes.
Dans une deuxième partie, nous présentons au premier lieu les résultats obtenus pour un calcul des trajectoires des particules de différentes natures et formes géométriques immergées dans un liquide statique non magnétique contenu dans un récipient. Ensuite, nous présentons les résultats obtenus pour le cas d‘un liquide en écoulement. En premier lieu, nous présentons
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l‘effet de l‘écoulement sur les particules en absence du champ magnétique en tenant compte de leurs formes géométriques. Ensuite, nous exposons les résultats concernant les trajectoires des particules lors de l‘application du champ magnétique pour différentes nature et formes géométriques.
Nous terminons ce mémoire par une conclusion générale dans laquelle nous présentons les différentes conditions de calcul, les hypothèses simplificatrices introduites et les perspectives de ce travail.
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Chapitre I : Séparation magnétique et
différentes techniques utilisées
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I. Séparation magnétique et différentes techniques utilisées I.1. Introduction
La séparation magnétique est une application industrielle de l‘induction magnétique. Elle est utilisée dans les procédés de tri et traitement des matériaux liquides et solides. Son principe est basé sur l‘application d‘un champ magnétique qui agit d‘une manière sélective sur la composition du matériau à traiter. Pour séparer des métaux magnétiques d‘un matériau amagnétique, un champ magnétique statique peut être utilisé. Par contre, la séparation des métaux conducteurs ou chargés nécessite l‘application d‘un champ magnétique dynamique. Un séparateur magnétique est constitué principalement d‘une source de champ magnétique (aimant permanent, électroaimant ou bobine supraconductrice), des éléments capteurs et des accessoires de refroidissement. Ces derniers concernent les séparateurs à bobinage conventionnels ou supraconducteur nécessitant des matériaux cryogéniques (Hylium,…). Dans un processus de séparation, l‘extraction d‘une particule est le résultat de l‘action d‘une force d‘origine magnétique. La qualité de telle force dépend fortement du champ appliqué, de la nature et de la granulométrie de la particule. Pour les particules ferromagnétiques de taille fine, la séparation nécessité un champ magnétique à haut gradient. Pour les particules conductrices ou chargées, la séparation nécessite un champ magnétique à haute intensité. En réalité, la séparation ne dépend pas seulement de la qualité du champ mais aussi des autres contraintes appliquées par le milieu sur les particules. Il s‘agit généralement des forces de la gravité, d‘inertie, hydrodynamique et centrifuge. Des forces d‘interaction d‘origine magnétique ou électrique peuvent fortement contribuer au scénario de la séparation [Svoboda04], [Bureau93], [Gillet88].
I.2. Application de la séparation magnétique
Les principales applications de la séparation magnétique sont : I.2.1. Traitement minéralurgique
La séparation magnétique est utilisée dans le domaine minier pour traiter les teneurs faibles et dispersées dans les gisements exploités, et cela, pour garantir la pureté et la richesse des concentrés exigées par les industriels utilisateurs [Mehasni 07].
La séparation magnétique à haut gradient de champ sert principalement à purifier des argiles kaoliniques qui sont surtout utilisées pour la fabrication du papier et d‘une moindre mesure pour les céramiques.
Outre les argiles kaoliniques, les séparateurs magnétiques hauts gradients supraconducteurs peuvent épurer des substances non métalliques telles que le talc, les phosphates et des minéraux industriels comme les syénites néphéliniques pour l‘industrie du verre[ Bureau 93].
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I.2. 2. Traitement de dépollution industriel et environnemental
La séparation magnétique est utilisée dans les procédés d‘épurations suivantes:
l‘épuration de produits destinés à l‘industrie du verre ou de la céramique et qui demandent un taux d‘épuration élevé (argiles kaoliniques, sables, syénites néphéliniques). l‘élimination des sulfures des charbons pulvérulents destinés aux centrales thermique ou électriques.
l‘épuration des eaux industrielles (métallurgie et sidérurgie), des eaux urbaines, des eaux de refroidissement des centrales électriques, thermiques ou nucléaires, à des débits importants de l‘ordre de 500 m3
/h par mètre carré de surface de canister.
l‘extraction de particules contenues dans les procédés de synthèse chimique, dans des alimentations de fluide énergétique ou de vapeur des centrales électriques ou thermiques.
la concentration de minéraux comme des ultrafines de Fe, Mo, W, terres rares ou de résidus métalliques pour le recyclage.
l‘épuration de divers fluides industriels (industrie de traitement de surface, hydrométallurgie, industrie pétrolière) dans les domaines de l‘environnement ou du recyclage. le traitement des catalyseurs usés [Gillet 04].
I.2. 3. Traitements chimiques et biologiques a) Recherche médicale
Les cellules sanguines à l‘état désoxygéné sont paramagnétiques. La séparation des érythrocytes paramagnétiques des lymphocytes et des leucocytes diamagnétiques a permis d‘étudier des cellules sanguines infectées (par exemple par le parasite de la malaria).
b) Application biochimique
Certaines bactéries (Aquaspirilla magnetotacticum) sont naturellement magnétotactiques : elles synthétisent et transportent de petits cristaux de magnétite. Sensibles à l‘application d‘un champ magnétique, elles pourraient être employées pour l‘épuration de fluides ou de boues contaminées en fer.
Enfin, la concentration, par des microorganismes, de métaux paramagnétiques sous forme solubles ou particulaire, est une application biochimique étudiée en laboratoire qui pourrait permettre d‘épurer des effluents liquides pollués.
Des bactéries telles que Bacillus subtillus ou Candida utilis ont permis de fixer des phosphates métalliques, dans leur paroi externe, en processus aérobie. Une fois la fixation achevée, les bactéries sont passées dans une matrice poreuse magnétisée [Bureau 93], [Gillet 88].
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I .3. Classification des séparateurs magnétiques
Les séparateurs magnétiques peuvent être classés suivant l‘intensité du champ magnétique. On trouve le séparateur magnétique à basse intensité (SMBI), séparateur magnétique à haute intensité (SMHI) et le séparateur magnétique à haut gradient et/ou haut champ (SMHG).
I.3. 1. Séparateur magnétique à basse intensité (SMBI)
Les séparateurs magnétiques à basse intensité fonctionnent normalement à champ ouvert, c'est-à-dire que les lignes de forces magnétiques se referment dans un milieu magnétique peu perméable, air ou eau. Ce sont en général des séparateurs à construction simple, peut onéreux et de dépense énergétique faible [Gillet 88]. Ils s‘utilisent principalement pour les matériaux ferromagnétiques et ferrimagnétiques. La source de champ magnétique est un aimant permanent qui développe une densité de force magnétiques allant de 2104 à 106 N/m3 [Bureau93].
La séparation magnétique en voie humide est généralement employée chaque fois que la granulométrie du produit à traiter devient fine et que la séparation en voie sèche devient inopérante du fait de la gêne créée par l‘attraction électrostatique des particules ou que le produit à traiter est déjà sous forme de pulpe minérale [Gillet 03].
Les aimants céramiques, comme les poudres de ferrites contenant de l‘oxyde de fer associé au baryum ou strontium, et les aimants produits à base de micro poudre, comme les alliages Fe-Co–Cr des aimants à base de terre rare, sont les plus couramment utilisés, vu les performances exceptionnelles qu‘ils présentent, et sont à l‘origine des progrès récents dans ce domaine [Gillet 88].
Figure I. 1.Tube magnétique à aimant permanent (ferrites, terres rares) Eriez magnetics
I.3. 2. Séparateur magnétique à haute intensité (SMHI).
Ils traitent les matériaux paramagnétiques. La source de champ est un électroaimant ou un aimant permanent céramique et développe une densité de force magnétique de 2107 à 4109N/m3 [Bureau 93]. Les séparateurs magnétiques à haute intensité peuvent fonctionner en voie sèche et en voie humide, ils sont utilisés pour la purification ou la concentration de matériaux non magnétiques, faiblement ou fortement magnétiques.
19
Des séparateurs magnétiques à tambours à électroaimant sont utilisés pour le traitement en voie sèche. L‘électroaimant rotatif crée un champ magnétique intense (16000-18000 Gauss) dans l‘entrefer [Mehasni 07].
La figure I.2 montre le principe de séparation des particules paramagnétiques et diamagnétiques. Les particules paramagnétiques restent collées au rotor et en sont détachées à l‘aide d‘un ballais par contre les particules diamagnétiques sont évacuées sous l‘effet de la force centrifuge et de répulsion.
Figure I. 2. Principe de la séparation magnétique SMHI des particules dia et paramagnétiques.
I.3. 3. Séparateur magnétique à haut gradient et/ou haut champ (SMHG).
Ces séparateurs traitent les matériaux à très petite granulométrie et les matériaux paramagnétiques faibles. Le champ est généré par solénoïde en cuivre résistif ou en alliage supraconducteur qui permet d‘atteindre une densité de force magnétique de 6×1010
à 1012 N/m3 [Bureau 93].
Afin de séparer les particules ultrafines (<5 μm) de susceptibilité magnétique faible, des densités de forces magnétiques supérieures à 1011 sont nécessaires ce qui n‘est pas réalisable techniquement ou économiquement (saturation magnétique du circuit ou de la matrice) puisque l‘élévation de champ au-dessus d‘une valeur de 1600 kA/m n‘est pas possible. Donc l‘utilisation des bobines supraconductrices est obligatoire pour obtenir de telles valeurs. Un aimant supraconducteur génère en effet un champ magnétique élevé ou une forte excitation magnétique non réduite par la saturation du fer. Cela procure les avantages suivants [Gillet 04]:
une augmentation de la force d‘attraction magnétique (fois 25 dans certains cas) qui permet de piéger des particules de l‘ordre du micromètre.
20
une diminution de la puissance électrique installée et de la consommation d‘énergie électrique (≈ 90 %).
une réduction de la masse (≈50 %) et de l‘encombrement des appareils (≈35 à 40 %). une augmentation des capacités de traitement par augmentation de champ magnétique. Quel que soit la configuration de champ retenue, la séparation supraconductrice nécessite toujours un réservoir cryostatique rempli d‘hélium liquide, destiné à refroidir le bobinage en alliage supraconducteur.
Pour les séparateurs à haut gradient du champ, on trouve principalement [Gillet 04],[Bureau 93].
a) Séparateur magnétique à champ à gradient ouvert
Ces séparateurs effectuent la séparation sans piégeage dans une matrice d‘extraction. Ils ont été développés en 1975 en Angleterre par Oxford Instruments et Cryogenic Consultants en collaboration avec l‘Imperial College. Ils sont conçus à partir d‘un ensemble cylindrique de quatre solénoïdes supraconducteurs ou d‘un système supraconducteur multi pôle linéaire. Cette configuration spéciale génère des gradients de champ magnétique, donc des forces magnétiques élevées extérieures et orientées radialement.
Des essais ont également été effectués sur des minéraux industriels (quartz, feldspaths) de granulométrie comprise entre 0,1 et 5 mm. Les résultats obtenus des différentes séparations effectuées en gradient ouvert semblent montrer que l‘efficacité de séparation diminue fortement à partir de 50 µm.
b) Séparateur magnétique à tambour
Ces séparateurs sont des séparateurs à gradient ouvert. Ils sont équipés d‘un tambour (ou virole) à l‘intérieur duquel se trouve une série de bobines supraconductrices à bobinage trapézoïdale [Bureau 93]. Le séparateur Descos (Figure I. 3) commercialisé par la firme Humboldt Wedag développe un champ magnétique de 2600 kA/mà la surface du tambour. Les bobinages supraconducteurs sont disposés dans un réservoir cylindrique construit en matériau isolant contenant l‘hélium liquide et maintenu sous vide. La réfrigération de ce séparateur est autonome et sa maintenance est facile.
Le tambour est fabriqué en fibres de carbone renforcées a un diamètre de 1,20 m pour une longueur de 1,5 m. Le séparateur peut fonctionner en voie sèche ou en voie humide avec une capacité de l‘ordre de 100 t/ h. Il peut traiter des granulométries aller jusqu‘à 100 mm.
21
Figure I. 3. Séparateur supraconducteur à haut gradient à tambour Descos (Doc. KHD Humboldt Wedag)
c) Séparateur magnétique à matrice d’extraction
Ces séparateurs fonctionnent dans un intervalle de champ magnétique compris entre 1600 à 4000 kA/m. Ils travaillent le plus souvent cycliquement de la même manière que les séparateurs à haut gradient à bobinage en cuivre. La différence c‘est que le bobinage en cuivre est remplacé par un bobinage supraconducteur Nb-Ti immergé dans une enceinte isolée contenant de l‘hélium liquide. Le conteneur d‘hélium est entouré par plusieurs couches isolantes et d‘une paroi thermique refroidie à l‘azote liquide pour diminuer la consommation d‘hélium.
Le séparateur développé par la société Eriez (Figure I.4) est en fonctionnement depuis 1986 sur les sites miniers de Géorgie (États-Unis) et de Caroline du Sud pour épurer des argiles kaoliniques. Ces séparateurs fonctionnent sous un champ magnétique de 1600 kA/m pour une puissance électrique installée d‘environ 60 kW (compresseur et cryogénérateur compris). Le canister rempli d‘une matrice de type mousse de fer, a un diamètre de 2,14 m et une profondeur de 0,5 m. Le système magnétique (bobine-cryostat) entouré d‘une légère enveloppe d‘acier doux pour la fermeture du champ magnétique a une masse de 230 t.
22
I.4. Evolution des techniques de la séparation magnétique
Depuis toujours, les propriétés attractives de matériaux fortement magnétiques tels que la magnétite ont fasciné les hommes. Mais l‘explication physique du magnétisme, et son utilisation pour des applications concrètes, ne datent que de la fin du 18ème siècle. C‘est en 1792 que Fullerton dépose un brevet impliquant l‘utilisation d‘aimants permanents pour concentrer un minerai de fer type magnétite. En 1847, Wall met au point un séparateur à aimant permanent qui sera utilisé industriellement quelques années plus tard en Italie. Le premier séparateur à haute intensité en voie humide fut breveté en 1897 et la première application industrielle à haute intensité en voie sèche fut mise en exploitation en 1908[Gillet 03].
L‘évolution de cette technique a été relativement lente et les efforts ont surtout porté sur les séparateurs à haute intensité en voie sèche. Il a fallu attendre l‘année 1970 pour voir un séparateur industriel de fort tonnage (120 t/h), travaillant en voie humide, installé sur un site minier (Brésil). Ce fut alors le point de départ d‘un développement rapide et qui reste encore très prometteur, comme le montrent les recherches actuelles [Gillet 03].
En 1970, la commercialisation par Humboldt, du séparateur haute intensité en voie humide Jones à carrousel (marche continu) va permettre à la séparation magnétique de s‘imposer dans le domaine de la valorisation industrielle des minerais et d‘entrer en concurrence avec la valorisation par « froth flotation », pour les minerais à faible susceptibilité magnétique. En dix ans, la séparation magnétique haute intensité va évoluer rapidement mais des limites techniques interviennent pour les minerais de faibles granulométrie (inférieure à 10 microns) et/ou de faible susceptibilité magnétique (inférieure à 0.5 10-6 SI). L‘apparition dans les années 80 de séparateurs haut champ-haut gradient supraconducteurs a permis de repousser ces limites d‘exploiter des gisements que l‘on n‘aurait pas jugé économiquement valorisables dix ans plus tôt.
La capacité de ces séparateurs supraconducteurs à traiter des solides très faiblement magnétique et de granulométrie très faible leur a fourni un débouché d‘application en valorisation des minerais et plus spécifiquement en épuration (blanchiment) de minéraux industriels. Ces minéraux, selon leur degré de pureté, seront plus au moins générateurs de plus value lors de leur vente pour l‘industrie céramique ou comme adjuvants dans la fabrication de peintures, de papier et même de cosmétiques. La séparation magnétique supraconductrice peut donc jouer un rôle important dans ce type d‘exploitation, d‘autant plus que les carrières à ouvrir seront de plus en plus déficientes du point de vue qualité.
I.5. Données économiques de la séparation magnétique
Le coût d‘investissement et le coût de fonctionnement d‘un séparateur magnétique sont deux facteurs essentiels qui doivent être mis en évidence afin de mettre en exploitation une telle technique de séparation magnétique.
23 I.5. 1. Coût d’investissement
Le coût d‘un séparateur va dépendre de sa dimension et de son système magnétique. Ce coût est déterminé par le constructeur au vu des résultats d‘essais pilotes destinés à définir le type d‘appareil et les conditions de séparation les mieux adaptées aux objectifs à atteindre (débit d‘alimentation, eau, champ magnétique de coupure, etc.). D‘après les données des constructeurs pour le début des années 80, on peut remarquer que :
− Le séparateur magnétique à basse intensité est le moins cher : de 122 à 183 euros par tonne horaire traitée.
− Le séparateur magnétique haute intensité à sec est le plus cher : 2987 à 12196 euros par tonne horaire traitée.
− Le coût d‘un séparateur magnétique haute intensité en voie humide se situe entre 762 et 4573 euros par tonne horaire traitée.
− Le coût d‘un séparateur haut gradient (bobinage cuivre ou supraconducteur) se situe environ entre 1524 et 15244 euros par tonne horaire traitée [Gillet04].
Généralement le coût d‘un bobinage d‘un séparateur dépend de : diamètre et hauteur (poids du conducteur), masse d‘acier pour la fermeture de champ, champ développé, puissance installée, type et forme du conducteur et de système de refroidissement associé [bureau 93], [Gillet04].
I.5. 2. Coût de fonctionnement
Les coûts opératoires ou frais de fonctionnement des séparateurs sont dus essentiellement aux dépenses énergétiques des bobines (SMHI et SMHG), des moteurs et organes annexes (pompes, ventilateurs, distributeurs, etc.), des systèmes de refroidissement (consommation et maintenance) et aux pièces d‘usure (matrice).
La dépense énergétique pour une séparation à basse intensité est très faible (0.05 kWh/t) et pour la haute intensité, elle varie de 0.05 kWh/t(aimant permanent) à 2,5 kWh/t (électroaimants). Pour la séparation à haut gradient de champ (solénoïde en cuivre) elle peut atteindre 20 kWh/t et elle est de l‘ordre de 0,6 kWh/t pour un bobinage supraconducteur si l‘on tient compte de la puissance électrique installée du système de réfrigération.
Le (tableau I .1) résume les principales données économiques (investissement et fonctionnement) des divers appareils de séparation magnétique.
24 Aimant Permanent Electroaimant à bobine résistive Bobine supraconductrice
Energie consommable Faible Elevé Faible
Induction magnétique De 0.2 à 1.5 T Limité à 2 T >5 T
Poids appareil Léger Lourd Léger
Source du champ ou conducteur Aimant permanent Céramique Conducteur creux en cuivre résistif Supraconducteur Nb-Ti
Refroidissement Néant air ou eau déionisée Hélium liquide Culasse de fermeture
du champ (blindage acier doux)
Néant Importante Néant
Fiabilité de fonctionnement
Excellente Elevée mise en froid: élevé à moyenne élevé
Investissement Faible Elevé Elevé
Générateur champs Moyen Elevé Elevé
Puissance installée Très faible Elevé Faible
Cout de
fonctionnement
Faible Elevé faible à moyen
Tableau I. 1.Comparaison des techniques de séparation magnétique: aimant permanent, électroaimant, supraconducteur [Bureau 93]
25
Chapitre II : Modélisation du
comportement particulaire dans un
séparateur magnétique en voie humide
26
II. Modélisation du comportement particulaire dans un séparateur magnétique en voie humide
II.1.Introduction
Dans un séparateur magnétique toute particule est principalement soumise à des forces d‘origines magnétique et hydraulique. Pour que la séparation ait lieu, il faut que les forces magnétiques soient efficace et dominent les forces hydrauliques. La connaissance de l‘efficacité des forces magnétiques nécessite l‘estimation de l‘importance de ses effets par rapport aux autres forces. La seule manière qui permette d‘aboutir à cet objectif est la simulation du comportement de la particule. De telle simulation nécessite une approche mathématique exacte de tous les phénomènes physiques générés lors de l‘application de la procédure de séparation. Il s‘agit ainsi de la modélisation des phénomènes en présence. Dans la séparation magnétique en voie humide, il existe trois phénomènes principaux fortement couplés, phénomène magnétique, phénomène hydraulique et phénomène dynamique particulaire.
Pour le phénomène magnétique, il s‘agit de l‘aimantation ou de la génération des courants induits dans la particule qui conduit à des forces attractives ou répulsive. En ce qui concerne le phénomène hydraulique, il s‘agit des forces appliquées par le milieu traité sur les particules rigides en mouvement. Pour le phénomène dynamique, il s‘agit de l‘effet de toutes les forces qui conduisent au mouvement des particules selon l‘objectif , il ya des effet désirables et des effet indésirables.
II. 2. Différents types de milieux magnétiques
II. 2. 1. Propriétés magnétiques
Les propriétés magnétiques d'un matériau sont attribuables au spin des électrons et au moment orbital autour du noyau. Une charge électrique en mouvement engendre un champ magnétique autour d'elle même, les électrons qui tournent sur eux mêmes (spin) et autour du noyau (orbite) forment de petits dipôles magnétiques. Ces dipôles peuvent réagir à l'application d'un champ magnétique extérieur (Figure II.1).
27
La réponse d'un matériau à l'application d'un champ magnétique extérieur 𝐻 est caractérisée par l'induction magnétique 𝐵 , laquelle représente l'intensité du champ magnétique à l'intérieur du matériau [Chelghoum 06].
Dans le vide, le champ d‘induction 𝐵 et 𝐻 sont colinéaires et liés par la relation :
𝐵 = 𝜇0𝐻 (II.1) Avec 𝜇0 la perméabilité magnétique du vide.
Au sein d‘un matériau aimanté, le champ d‘excitation 𝐻 est toujours donnée par le théorème d‘Ampère. Sous le champ d‘excitation 𝐻 , il va se produire une influence du milieu qui va se superposer au champ d‘excitation pour produire le champ d‘induction.
On définit cette réaction à l‘aide du vecteur d‘aimantation 𝑀 :
𝐵 = 𝜇0𝐻 + 𝜇0𝑀 (II.2) Cette aimantation 𝑀 est proportionnelle au champ d‘excitation et peut se mettre sous la forme 𝑀 = 𝜒𝐻 (II.3) Où 𝜒 est la susceptibilité magnétique du matériau.
Ainsi, le champ d‘induction résultant peut s‘écrire sous la forme,
𝐵 = 𝜇0𝜇𝑟𝐻 (II.4) Avec 𝜇𝑟 la perméabilité relative du matériau et 𝜇𝑟 = (1 + 𝜒).
II. 2. 2. Différents types de milieux magnétiques II. 2. 2. 1. Matériaux diamagnétiques
Généralement, les électrons appartenant aux atomes d'une substance se regroupent par paires, annulant leurs moments magnétiques respectifs, si bien que les atomes de la plupart des corps ne possèdent pas de moment magnétique permanent. Ces substances sont dites diamagnétiques, ils ne s'aimantent qu'en présence d'un champ magnétique extérieur. Les orbites électroniques sont modifiées sous l‘effet d‘un champ magnétique appliqué, et un moment magnétique est induit parallèlement au champ appliqué, en sens opposé, avec un module proportionnel à l‘excitation magnétique [Chelghoum 06], [Buzid 09].
II. 2. 2. 2. Matériaux paramagnétiques
Les matériaux paramagnétiques ne possèdent pas d'aimantation en l'absence de champ magnétique extérieur, à cause de l‘orientation au hasard des moments magnétiques de leurs atomes, si bien que le moment magnétique résultant est nul. Lorsqu‘un champ magnétique extérieur est appliqué, les moments tendent à être orientés par le champ magnétique.
Un corps paramagnétique sera ainsi attiré par un champ intense, mais cette attraction est faible et l‘aimantation revient à zéro lorsque le champ extérieur est annulé [Bureau 93], [Buzid 09].
28 II. 2. 2. 3. Matériaux ferromagnétiques
Les substances ferromagnétiques possèdent un fort moment magnétique. Les moments magnétiques de leurs atomes sont ordonnés en petites zones uniformément magnétisées, appelées domaines de Weiss. En l'absence d'un champ magnétique extérieur, chaque domaine présente une orientation aléatoire (Figure II. 2.a). En revanche il suffit d‘appliquer un champ magnétique faible pour réorganiser ces moments et les orienter tous dans le sens de l‘induction créée par le champ (Figure II. 2.b). Si l'on supprime le champ extérieur, le matériau reste aimanté dans la direction et le sens du champ précédemment appliqué.
Figure II. 2.Comportement des domaines: (a) en l'absence d'un champ magnétique extérieur, (b) en présence d'un champ magnétique extérieur.
La susceptibilité magnétique de ces matériaux est positive et très grande (50 à 10000) [Charles 07]. Elle dépend de la température et de l‘intensité du champ. Ces matériaux existent pour des températures inférieures à la température de curie (spécifique pour chaque matériau). Lorsque la température dépasse le point de curie les substances ferromagnétiques perdent leurs propriétés magnétiques et se transforment en matériaux paramagnétiques.
II.2. 2. 4. Matériaux ferrimagnétiques
Sa structure cristalline est composée de deux structures de réseaux ayant des moments de modules différents et avec des orientations antiparallèles (Figure II. 3). Aussi, ce matériau présente une aimantation globale non nulle même en l‘absence d‘un champ magnétique extérieur.
29
Figure II. 3.Schématisation de la structure en domaines d'un matériau ferrimagnétique
II. 2. 2. 5. Matériaux antiferromagnétiques
Dans ce genre de matériaux, les atomes ont un moment magnétique permanent. Cependant les moments atomiques ont un couplage antiparallèle, ce qui donne une aimantation globale nulle en l‘absence du champ extérieur (figure II. 4).
L‘augmentation de la température favorise l‘aimantation en fragilisant le couplage entre les moments magnétiques, mais à partir d‘une certaine température dite de Néel, l‘agitation thermique annule le couplage entre les moments, d‘où un comportement paramagnétique de ce matériau à partir de cette température.
Figure II. 4.Schématisation de la structure en domaines d'un matériau antiferromagnétique
II. 2. 3. Aimantation d’une particule
Considérons une particule élémentaire dia ou paramagnétique de volume élémentaire dV placée dans un champ magnétique et dans le vide. L‘énergie magnétique volumique d‘aimantation acquise par cette particule est donnée par [Hydrent 12]:
𝜀𝑚 = − 𝜒 2𝜇0𝐵
2 (II.5) Une particule cherchant toujours à minimiser son énergie, son comportement va varier selon la nature de son magnétisme. D‘après (II.5), une particule paramagnétique ou ferromagnétique (χ > 0) sera attirée par les champs intenses alors qu‘une particule diamagnétique (χ < 0) sera attirée vers les zones de champ faible. En fonction de la nature des particules, l‘évolution de l‘aimantation magnétique 𝑀 des trois principaux types de matériaux (ferromagnétique, paramagnétiques et diamagnétiques) en fonction de champ d‘excitation magnétique est montrée dans la figure II. 5. [Hydrent 12], [Buzid 09]
30
Figure II. 5.Comparaison de l’évolution de l’aimantation 𝑴 des trois principaux types de
matériaux magnétiques en fonction de l’excitation𝑯 .
L‘aimantation magnétique dépend aussi de la forme des particules. On distingue les cas suivants :
a) Particule ellipsoïdale
Dans le cas particulier d‘un ellipsoïde placé dans un champ magnétique uniforme 𝐵 , le champ induit à l‘intérieur de l‘ellipsoïde magnétisé est uniforme. Si a, b et c sont les longueurs des demi axes principaux dans les directions x, y et z respectivement, l‘aimantation magnétique est donnée par la formule [Moon 94].
𝑀 = 𝜒 𝜇0 𝐵𝑥 1+𝜒𝑛1 , 𝐵𝑦 1+𝜒𝑛2, 𝐵𝑧 1+𝜒𝑛3 (II.6) Les nombres 𝑛1, 𝑛2 et 𝑛3 sont appelés les facteurs de démagnétisation.
Pour un ellipsoïde quelconque, les trois facteurs vérifient l‘égalité suivante [Sihvola 92]: 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3 = 1 (II.7) Pour le cas où 𝑎 > 𝑏 = 𝑐, les facteurs de démagnétisation sont :
𝑛1 =1−𝑒2 2𝑒3 ln 1+𝑒 1−𝑒− 2𝑒 (II.8) 𝑛2 = 𝑛3 = 1 2 1 − 𝑛1 (II.9) Où l‘excentricité est 𝑒 = 1 − 𝑏
𝑎 2
(II.10)
b) Particule sphérique
Pour une particule sphérique 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 , 𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛3 = 1 3 .
En remplaçant les trois facteurs 𝑛1, 𝑛2 et 𝑛3 dans l‘équation (II.6) avec 𝜒 = 𝜇𝑟 − 1 , on obtient après simplifications les trois composantes de l‘aimantation 𝑀 ,
31 𝑀𝑥 =3 𝜇𝑟 𝜇𝑟−1 𝜇𝑟+2 𝐻𝑥
(II.11) 𝑀𝑦 =3 𝜇𝑟 𝜇𝑟−1 𝜇𝑟+2 𝐻𝑦
(II.12) 𝑀𝑧 = 3 𝜇𝑟 𝜇𝑟−1 𝜇𝑟+2 𝐻𝑧
(II.13) c) Particule cylindrique
Pour une particule cylindrique, on a 𝑛1 = 0, 𝑛2 = 𝑛3 = 1
2. Après simplification de l‘équation (II.6), on trouve, 𝑀𝑥 = 𝜇𝑟 𝜇𝑟 − 1 𝐻𝑥 (II.14) 𝑀𝑦 =2 𝜇𝑟 𝜇𝑟−1 𝜇𝑟+1 𝐻𝑦 (II.15) 𝑀𝑧 =2 𝜇𝑟 𝜇𝑟−1 𝜇𝑟+1 𝐻𝑧 (II.16)
II. 3. Forces d’origine magnétique appliquées sur des particules métalliques
II. 3. 1. Particules magnétiques
L‘interaction entre une particule aimantée et le champ appliquée se résulte par une force d‘attraction qui force la particule de dévier vers la région à champ magnétique fort.
Pour une particule solide de volume Vp, la force magnétique est donnée par [Kuzhir03],
[Noguchi 11], [ Smolkin 06]:
𝐹 𝑚 = 𝜇0𝑉𝑝 𝑀 . 𝛻 𝐻 (II.17)
Où 𝐻 𝑒𝑡 𝑀 sont respectivement le champ à la localité de la particule et son aimantation volumique.
Pour une configuration tridimensionnelle, la force est exprimée par
𝐹 𝑚 = 𝜇0 𝑉𝑝 𝑀𝑥 𝜕 𝜕𝑥+ 𝑀𝑦 𝜕 𝜕𝑦+ 𝑀𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑥𝑖 + 𝐻𝑦𝑗 + 𝐻𝑧𝑘 = 𝜇0 𝑉𝑝 𝑀𝑥 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑧 𝑖 + 𝑀𝑥 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑧 𝑗 + 𝑀𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑧 𝑘 (II.18) Donc, dans un système de coordonnées cartésiennes, les trois composantes de la force magnétique sont données par [De Greve 08], [Heyrendt 12].
32 𝑓𝑚𝑥 = 𝜇0𝑉𝑝 𝑀𝑥 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑧 𝑓𝑚𝑦 = 𝜇0𝑉𝑝 𝑀𝑥𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑧 𝑓𝑚𝑧 = 𝜇0𝑉𝑝 𝑀𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 + 𝑀𝑦 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 + 𝑀𝑧 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑧 (II.19)
II. 3. 2. Particules conductrices
Une particule conductrice plongée dans un champ magnétique sera soumise à une force appelée force de Lorentz. Elle repousse la particule vers les zones à faible champ magnétique. Alors, la force de Lorentz a un caractère répulsif. Pour une particule solide de volume Vp elle
est donnée par [Barre 03] : 𝑓𝐿 = ∫𝑉
𝑝𝐽 ∧ 𝐵 𝑑𝑉 (II.20)
Le développement pour un système de coordonnées cartésiennes conduit aux composantes données par :
𝑓𝐿𝑥 = 𝑉𝑝 𝐽𝑦𝐵𝑧 − 𝐽𝑧𝐵𝑦 𝑓𝐿𝑦 = 𝑉𝑝 𝐽𝑧𝐵𝑥 − 𝐽𝑥𝐵𝑧 𝑓𝐿𝑧 = 𝑉𝑝 𝐽𝑥𝐵𝑦 − 𝐽𝑦𝐵𝑥
(II.21)
II. 3. 3. Particules chargées
Toute particule de masse au repos m0, de charge q et de vitesse 𝑣𝑝 plongée dans un champ électromagnétique 𝐸 , 𝐵 sera soumise à une force qui repousse la particule vers les zones à très faible champs magnétique. Elle est donnée par [Versteegen 11] :
𝐹 𝐿 = 𝑞 𝐸 + 𝑣 𝑝 ∧ 𝐵 (II.22)
Le développement de (II.22) dans un système de coordonnées cartésiens donne les trois composantes suivantes :
𝐹𝐿𝑥 = 𝑞 𝐸𝑥 + 𝑣𝑝𝑦𝐵𝑧 − 𝑣𝑝𝑧𝐵𝑦 𝐹𝐿𝑦 = 𝑞 𝐸𝑦 + 𝑣𝑝𝑧𝐵𝑥 − 𝑣𝑝𝑥𝐵𝑧
𝐹𝐿𝑧 = 𝑞 𝐸𝑧 + 𝑣𝑝𝑥𝐵𝑦 − 𝑣𝑝𝑦𝐵𝑥
(II.23)
II. 4. Modèles mathématiques régissant les phénomènes en présence
II. 4. 1. Phénomène magnétique
II. 4. 1. 1. Equation du champ magnétique
Tout phénomène électromagnétique est régi par les quatre équations aux dérivées partielles de Maxwell [Choua 10], [ Le Duc 11] :
33 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝐽 +𝜕𝐷 𝜕𝑡 (II.24) 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝜕𝐵 𝜕𝑡 (II.25) 𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0 (II.26) 𝑑𝑖𝑣 𝐷 = 𝜌 (II.27) Ici 𝐸 est le champ électrique, 𝐻 est le champ magnétique, 𝐵 est l‘induction magnétique, 𝐷 est l‘induction électrique, ρ est la densité de charge volumique et 𝐽 est la densité de courant électrique.
La densité de courant peut comporter deux composantes, une liée à l‘excitation 𝐽 𝑒𝑥𝑐 et l‘autre due aux courants induits 𝐽 𝑖𝑛𝑑 (en considérant les régimes quasi stationnaires 𝜕𝐷
𝜕𝑡 = 0 ).
𝐽 = 𝐽 𝑒𝑥𝑐 + 𝐽 𝑖𝑛𝑑 (II.28) Aux équations de Maxwell, on rajoute les relations constitutives des matériaux,
𝐷 = 𝜀𝐸 (II.29)
𝐽 𝑖𝑛𝑑 = 𝜍 𝐸 + 𝑣 ∧ 𝐵 (II.30)
𝐵 = 𝜇𝐻 + 𝐵 𝑟 (II.31) Où est la conductivité du matériau, est la permittivité diélectrique, est la perméabilité magnétique et 𝐵 r est l‘induction rémanente.
Dans notre cas, les particules à séparer sont de différents types (ferromagnétiques, conducteurs et chargées). Afin d‘avoir une action sur toutes les particules de type métallique, un champ dynamique doit être appliqué.
Pour une alimentation parfaite en courant, et en absence d‘aimant permanent, une formulation en potentiel vecteur magnétique et potentiel scalaire électrique A-V conduit à l‘équation modèle du champ donnée par [ Aubertin 11], [Korecki 09] :
𝛻 ∧ 1 𝜇𝛻 ∧ 𝐴 + 𝜍 𝜕𝐴 𝜕𝑡 + 𝜍𝑣 ∧ 𝛻 ∧ 𝐴 + 𝜍 𝛻 𝑉 = 𝐽 𝑒𝑥𝑐 𝛻 . 𝜀𝛻 𝑉 + 𝛻 . 𝜀 𝜕 𝜕𝑡𝐴 + 𝜌 = 0 (II.32) II. 4. 1. 2. Conditions de passage
Sur une limite de séparation de deux milieux différents notés respectivement Ω1 et Ω2, les grandeurs électromagnétiques pourraient être discontinues. Les conditions de passage (transmission) permettent alors d‘exprimer les relations entre deux grandeurs sur ces frontières [Lefevre 06], [ Le Floch 02].
34
Figure II. 6.Interface entre deux milieux
La continuité de la composante normale de l'induction magnétique.
𝑛 . 𝐵 2−𝐵 1 = 0 (II.33)
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique.
𝑛 ∧ 𝐸 2−𝐸 1 = 0 (II.34)
La discontinuité de la composante normale de l‘induction électrique due aux charges surfaciques 𝜌𝑠 si elles existent.
𝑛 . 𝐷 2−𝐷 1 = 𝜌𝑠 (II.35)
La discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants surfaciques s'ils existent.
𝑛 ∧ 𝐻 2−𝐻 1 = 𝐽 𝑠 (II.36)
𝑛 est le vecteur normal a la surface. II. 4. 1. 3. Conditions aux limites
La résolution d'une équation aux dérivées partielles ne peut se faire que lorsque la solution est bien déterminée par des conditions fixées sur la frontière ∂Ω du domaine Ω à l'intérieur du quel cette solution est recherchée.
Les conditions aux limites les plus courantes pour un problème de résolution d‘une EDP sont énoncées ci-dessous [Ternisien 01].
a) Conditions de type Dirichlet
On parle d‘une condition de Dirichlet si la valeur de la fonction f est connue en tous points des frontières et égale à une constante 𝑓 = 𝑔.
Si 𝑔 = 0, il s‘agit ainsi de la condition de Dirichlet homogène. b) Condition de Neumann
Dans ce cas, on connait la dérivée par rapport à la normale de la fonction inconnue en tout point de la limite (frontière). De telle condition est traduite par l‘équation, 𝜕𝑓
𝜕𝑛 = 𝑔. Si 𝑔 = 0, il s‘agit de la condition de Neumann homogène.
35 c) Conditions mixtes Neumann-Dirichlet
Cette condition est un mélange des deux conditions précédentes. Il est en effet possible d‘avoir une condition de Dirichlet sur une frontière ∂Ω1 de Ω est une condition de Neumann sur son complémentaire ∂Ω2. Ce qui donne 𝑓 = 𝑔1 sur le bord ∂Ω1 de Ω et
𝜕𝑓
𝜕𝑛 = 𝑔2 sur le
bord ∂Ω2 restant.
Une extension de ce couplage conduit aux conditions aux limites de Robin qui sont une généralisation de celles de Neumann-Dirichlet [Ternisien 01].
𝛼 𝑥 . 𝑓 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝜕𝑓 𝑥 𝜕𝑛 = 0
𝛼 𝑥 , 𝛽 𝑥 étant deux fonctions régulières données sur ∂Ω non nulles simultanément.
II. 4. 2. Phénomène hydraulique
Pendant leurs mouvements, les particules sont soumises à des actions hydrauliques appliquées par le liquide. L‘estimation de l‘effet de ces actions sur la capture repose sur la connaissance exacte des propriétés physiques du liquide et des paramètres de son écoulement. En Hydraulique, les propriétés physiques desquelles dépend le régime d‘un écoulement liquide sont la densité de masse et la viscosité du matériau.
II. 4. 2. 1. Type d’écoulement
Pour connaître la nature d‘un écoulement (laminaire ou turbulent), on définit le nombre sans dimension de Reynolds qui donne un ordre de grandeur entre les forces inertielles et visqueuses qui agissent sur une particule fluide. Ce nombre est donné par [Bigillon 01]: 𝑅𝑒 = 𝜌𝑢𝑓 𝐿
𝜇
(II.37) Où 𝑢𝑓 et 𝐿 sont respectivement la vitesse et la longueur caractéristiques de l‘écoulement, 𝜌 est la masse volumique du fluide et 𝜇 représentent la viscosité dynamique du fluide.
La limite entre régime laminaire et turbulent n‘est pas fixe, car la transition entre les deux régimes dépend de nombreux paramètres.
En écoulement externe, on considère souvent que le régime turbulent intervient pour un nombre de Reynolds dans la gamme Re > 105. En écoulement interne, canal par exemple, cette limite est nettement plus basse et la turbulence de l‘écoulement est observée pour Re > 3000 [Cabrit 09].
Partant du fait que les actions hydrodynamiques sont fortement liées à la vitesse relative des particules, on s‘intéresse à l‘étude et à l‘évaluation de la distribution de la vitesse dans l‘écoulement. La connaissance du champ de vitesse d‘écoulement repose sur la résolution d‘un système couplé d‘une équation de conservation de masse et une équation elliptique de quantité de mouvement [Mehasni 07].
36 II. 4. 2. 2. Equation de l’écoulement
Les équations qui régissent le mouvement d‘écoulement du fluide pour un écoulement à propriétés constantes sont l‘équation de conservation de la quantité de mouvement (équation de Navier stokes), qui est l‘équivalent de la relation fondamentale de la dynamique 𝐹 = 𝑚𝑎 , et l‘équation de conservation de la masse (équation de continuité).
a) Equation de Navier Stokes
Pour un liquide visqueux incompressible, l‘équation de quantité de mouvement (connue par l‘équation de Navier Stokes) est exprimée par l‘équation [Mehasni 07]:
𝜌𝑚𝑑𝑢 𝑓
𝑑𝑡 = −𝜌𝑚𝛻 𝔍 − 𝛻 𝑃 − 𝜂 𝛻 ∧ 𝛻 ∧ 𝑢 𝑓 (II.38) La quantité 𝜌𝑚𝛻 𝔍 représente les forces de volume et 𝛻 𝑃 représente les forces de pression, 𝑢 𝑓 la vitesse du fluide et 𝑃 la pression du fluide.
b) Equation de Continuité
L‘équation de continuité est donnée par [Benselama 05] : 𝜕𝜌
𝜕𝑡 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢 𝑓 = 0 (II.39) Dans le cas des fluides incompressibles, cette équation devient :
𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢 𝑓 = 0 (II.40) II. 4. 2. 3. Actions hydrodynamiques appliquées par le liquide sur une particule solide L‘étude du mouvement d‘une particule dans un écoulement fluide consiste à décrire l‘ensemble des forces exercées sur cette particule. Une particule immergée dans un écoulement est soumise à plusieurs forces hydrodynamiques dont l‘origine réside dans les champs de pression et des contraintes agissant à la surface de la particule.
Pour des écoulements visqueux, la force totale 𝐹 exercée sur la particule est généralement présentée comme la superposition des effets associés à différents écoulements de base de la manière suivante:
𝐹 = 𝐹 𝐴+𝐹 𝐷+ 𝐹 𝐿+𝐹 𝑀+𝐹 𝑃+𝐹 𝐻 (II.41) 𝐹 𝐴 est la force de flottabilité, 𝐹 𝐷 est la force de trainée, 𝐹 𝐿 est la force de portance, 𝐹 𝑀 est la
force de la masse ajoutée, 𝐹 𝑃 est la force due au gradient du pression et 𝐹 𝐻 représente la force d‘histoire (dite aussi force de Basset) [Merle 04].
a) La force de flottabilité
La force de flottabilité est due à la présence de la force de pesanteur, elle est donnée par : 𝐹 𝐴 = 𝑉𝑝( 𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 )𝑔 (II.42)