HAL Id: tel-01776891
https://hal.univ-lorraine.fr/tel-01776891
Submitted on 24 Apr 2018HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Flambage et délaminage dans les plaques composites
stratifiées
Bruno Cochelin
To cite this version:
Bruno Cochelin. Flambage et délaminage dans les plaques composites stratifiées. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1989. Français. �NNT : 1989METZ014S�. �tel-01776891�
AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de
soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la
communauté universitaire élargie.
Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci
implique une obligation de citation et de référencement lors de
l’utilisation de ce document.
D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite
encourt une poursuite pénale.
Contact : [email protected]
LIENS
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10
http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
TNSTITUT SI.JPERIEUR
DE GENIE MECANIQIJE ET PRODUSIIQTIE
I.JNIVERSITE
DE METZ
THESE
présentée
à I'UNTVERSITE de lvtr-'IZpa,r
BRTJNO
COCHELIN
pour I'obtension
du grade
de
DOCTEUR
en
MECANIQUE
FLAMBAGE ET DELAMINAGE
DANS LES PLAQTIES
COMPOSITES
STRATIFIEES
soutenue
le 3 Féwier 1989
devant
la commission
dExamen
composée
de :
JI. BATOZ P. DESÏ,M{DER A. MOLINARI Q.S.NGT.IYEN M.POTIER.FERRY C. @EKAJSKI
BrBr-rorHEou:
T,il;+i,'^, 1
N ' i n v .gm o28s
Cotes /rB *e),tV
Locnw,,
wwensrrÂtne
Rapporteur Rapporteur Invitéfl/
'.'{
) (gÛr
o:,
:*.. s
Ai.- - 'ox'
Laboratoire
de Physique
et Mécanique
des Matériaux u.A. CNRS 1215
Faculté
des Sciences,
Ile du Sâulcy, S7045IvIETZ
Cedex
01
Monsieur Alain MOLINARI m'a fait I'honneur de présider Ie jury de cette
thèse,
et je I'en remercie
très sincèrement.
Je suis heureux de pouvoir exprimer
ici ma profonde
gratitude à Monsieur
Michel POTIER-FERRY
qui a accepté
de diriger cette thèse.
Avec gentillesse
et
bienveillance, il a su me conseiller et m'encourager tout au long de ce travail.
Messieurs Jean Louis BATOZ et Quoc Son NGUYEN ont accepté
d'examiner
et de porter un jugement sur ce travail. Je tiens à leur adresser
mes
très vifs remerciements.
Je remercie
Monsieur Philippe DESTWNDER pour I'intérêt qu'il a porté à
ces travau.x,
et pour sa participation au jury.
Je remercie
Monsieur Casimir CZEKAJSKI
d'avoir accepte I'invitation à Ia
soutenance.
Que tous mes collègues,
chercheurs,
enseignants,
techniciens
et secrétaires,
trouvent ici mes remerciements
chaleureuJc
pour le plaisir que j'ai eu à travailler
en leur compagnie.
Enfin, ie remercie très vivement Monsieur Joël REMY-VINCENT qui a
assuré
la conception
technique
de ce mémoire.
T a . b f - e d e s M a . t i è r e s
1 RESUI{E 2 ÂBSTRACT 1 INTRODUCTION
Chapitre 1 tES MODELES A UIIE DIITENSION : " }IODELES D'ÀSSEI,IBLÀGE DE POUTRES' LL 1.1 DESCRIPTION DU MODETE D'ASSE}IBI,AGE DE
POUTRES
DESCRTPTION DE IJA CINEI{ATIOUE PRINCIPE DES PUISSÀNCES VIRTUET,TES INTEGRÀTIoN DES E9UATIoNS D'EQUILIBRE ÀDTI,IENS IONNÀII SÀTION
RESOIJUTIoN DES EQUATIONS 1 . 5 . 1 P R I N C I P E
t.6.2 RESoTUTION NUMERI9UE
L.7 TAUX DE RESTITUTION DE L'ENERGTE 1.8 RESULTÀTS 1.8.1 UN EXEITPTE TYPIQUE 1 . 8 . 2 P R O P A G A T I O N D E F T S S U R E 1 . 8 . 3 I N F I U E N C E D E L A P R O F O N D E U R D E S F I S S U R E S I . 8 . 4 C O N C I U S T o N S
1.9 CO}TPÀRÀISON ENTRE tE HODETE ''ÀSSEI,IBLÀGE DE P O U T R E S ' ' E T L ' E I J A S T I C I T E 2 D . 3 5 1 . 9 . 1 L E P R O B L E U E D . C . B . : I { O D E L E A S S E M B I T A G E
DE POUTRES I,INEAIRES
L . 9 . 2 L E P R O B L E I ' I E D C B : E L , À S T I C I T E I J I N E A I R E EN CONTRAINTE PIJANE
1.9.3 COI'IPARÀISON POUTRE - EIJASTICITE L . 9 . 4 C O N C L U S T O N S
1.10 UN ASSEI{BI,AGE DE POUTRES POUR IJES FISSURES COURTES 1 . 1 0 . 1 D E S C R I P T I O N 1 . 1 0 . 2 A P P I , I C A T I O N 1 . 1 0 . 3 A P P T I C À Î r O N FIJÀI{BAGE L,'ASSEI'IBLAGE 1 . 1 1 C O N C I J U S I O N
Chapitre 2 TA[D( DE RESTITUTION DE Ir'ENERGIE 49 2.L RÀPPEIJS SUR I.,ES I{ETEODES DE CALCUL DU ÎAUX DE
RESTITUTION DE I,'ENERGIE EN EI,ÀSTICITE . 49 2.2 TAUX DE RESTITUTION DE L'ENERCIE EII TEEORIE
DES PIJÀ9UES
2.3 tNE NOUVELIJE APPROCHE POUR IJE CALCUIT DU TAUX DE RESTITUTION DE I,'ENERGIE POUR tES I{ODELES DE POUTRE
2.3.1 TNTRODUCTTON
2.3.2 TIUX DE RESTITI'TION DE IJ'ENERGIE EN TAEORIE DES POUTRES
2.3.3 ÀPPIJICATION ÀU I{ODELE POUTRE DE BERNOUI,LI
1
2
3
L . 2 1 . 3r . 4
1 . 5 t . 6 1 1 1 3 1 5 L 6 L 92 0
2 0
22
2 5
2 6
2 6
2 9
3 1 3 4 3 5 2D 3 7 3 8 3 9 DE AU AU' P R O B I , E I { E D . C . B . PROBTEME DU 4 0 4 0 4 5 4 6 4 8 5 05 2
5 2
52
NON IJINEÀIRE DE 5 52 . 4 2 . 5 2.3.4 DECOMPOSITION DU TAUX L'ENERGIE EN I{ODES I 2 . 3 . 5 U N E E X P R E S S I O N D E G CONTOUR 2 . 3 .6 C O N C CONTRONTA POUTRE ET EXTENSION PIJÀQUES IJUSIONS DE RESTITUTION DE E T I I 5 8 INDEPENDANTE DU
TION DU TAUX DE RESTITUTION 6 EN DE L'ÀPPROCITE 2D . 62 DES RESUI,TATS A UN ASSEI.TBLÀGE DE
6 1 5 2 9 7 1 0 3 1 0 5 2 . 6 C o N C L U S I O N S
Chapitre 3 UNE APPROCIIE BIDII{ENSIONNEILE :
tES I'IODELES D'l,SSEl,lBIrAcE DE PIrÀQUES 3.1 DIVERS MODEI,ES D'ÀSSEI'TBLÂGES DE PIJAQUES 3.2 ASSEIIBLAGE DE TROIS PITAQUES DE VoN
KÀRI,IÂN
3.3 }IrSE EN OEUVRE NUIIERI9UE DU I{ODEITE 3 - 3 . 1 t E s E I r E I { E N T S F r N I S D E P I J A 9 U E U T I L I S E S 7 3 7 3 7 6 7 8 6 5 1 L 7 8 7 9 8 2 8 4 8 6 8 8 8 9 9 3 9 5 3 . 3 . 2 2 1 ? J - J . J
3 . 4 r { r s E
( ( 6 ) ) I.,ES RÂCCORDEMENTS DETERI{TNATION DES DE PIrÀ9UES COURBES ( CHARGE-DEPLACEMENT DEN OEUVRE NUIIERI9UE DU CAITCUIJ DE
8 2
3.5 RESUITTATS NUITERIQUES
3 . 5 . 1 C O M P A R A T S O N À V E CUN CAL,CUL ANAI,YTIQUE
3.5.2 INTI,UENCE DE IA FINESSE DU I{ÀILIJAGE 3 . 5 . 3 D E I T A I ' I I N A G E E L L I P T I Q U E
3.5.4 INFLUENCE DE IA PROFONDEUR DE I, T I S S U R E
3 . 5 . 5 C O N C I , U S I O N S E T P E R S P E C T I V E S Annexe A Bibliographie
Annexe B Equations adinensionnelles Ànnexe C RESUIJTATS DE CAI,CULS
1 RESIIUE
Nous étuilions les interactions entre Ie flanbage local et Ia propagation cles ilélaninages dans'les plaques conposites chargées en conpression.
Le phénonène est décrit à I'aide cle notlèles d'assenblages cle poutres ou ile' plaques prenant en conpte des non-linéarités géonétriques. Plusieurs façons d'assenbler les plaques sont proposées, notannent pour 1'étutle des ilélaninages courts.
Le post flanbage rl'une structure ilélaninée est sinulé par la néthocle cles érénents finis pour différentes fornes et positions <tu tlélaninage.
Une nouvelle approche pour le cal.cul cle 1'énergie dans ces noilèIes est proposée
rlu e t
taux de restitution t e s t é e .
Nous avons réalisé un post-processeur éIénents finis pour le calcul ilu taux rle restitution lôcal cte 1'énergie le long d,. un front cle èélaninage.
l{ots cIés
CO}TPRESSION DEIJÀ}TINAGE EtEI{ENTS FINIS FIJÀI{BàGE PIJÀQUE COUPOSITE RUPTURE FRAGILE NON-ITINEARITE GEOUETRI9UE
2 IBSTRÀCÎ
BUCKTING ÀND DEI,ÀI{INATION IN LÀI{INATED CO}IPOSITE PIÀTES
The interaction between locaI buckling ancl clelanination growth in laninated conpositeplates is investigaterl.
Tbe phenonenon is tlescribeil within the franework of beans and, plates theories with aceount of geonetric nonlinearities. Several notlels are proposed incluiling tbe case of relatively short delanination.
The finite eLenent nethoil is used in order to sinulate tbe postbuckling behaviour of delaninated structure for different shapes ancl positions of the delaninate<l area. À specific approach for the tleternination of the energy release rate is suggestecl in t h e s e n o d e l s .
A finite elenent-postprocessor is tlevelopeil in order to compute the loca1 energy release rate along a ilelanination crack front
Kev rords COI{PRESSION BUCKITIIIG
BRITTIJE FRACTURE
DEtÀJ{INATION FINITE EIIE}IENT COI{POSITE PL,ÀTE GEOI{ETRIC NON-ITINEARIW
1 TItTROItûCÎrOtr
La présenee ile clélaninages dans une structure stratifiée conposite peut récluire ile façon très significative sa tenue en conpression. Les franbages rocaux qui interviennent au niveau des zones rle ilécohésion participent activenent à la propagation ile ces délaninages et contluisent à uDe ruine prénaturée de la structure. Le calcul de Ia rétluction rle charge supportable est un problène initustriel fort inportant qui suscite actueil.enent un grandl effort de recherche.
ta noilélisation et Ia sinulation nunérique rle ces phénonènes font appels à cleux grandes branches de Ia nécanique :
r L a s t a b i l i t é d e s s t r u c t u r e s . r lra nécanique de Ia rupture.
C'est en 1976 que Kacbanov publie Ie prenier article sur ee thène et c'est à partir de 1980 que de nonbreux auteurs vont apporter des iléveLoppenents nouveaux (Cbai & â1, 1981-1985); (Bottega & l t a e w a l , 1 9 8 3 ) ; ( E v a n s & E u t c h i n s o n , 1 9 8 4 ) ; ( Y i n , L 9 8 4 , 1 9 8 5 ) . L e s notlèles proposés dans ces travaux avaient pour prenier objectif de rlévelopper Ia conpréhension iles pbénonènes et ils s'appuient essentiellenent sur des théories de poutres et ile plaques, pour tles tlélaninages tle f ornes géonétriques sinples (rectilignes, circulaires, elliptiques) et des positions particulières dans l ' é p a i s s e u r ( t r è s s u p e r f i c i e l o u à n i - é p a i s s e u r ) .
Des raffinenents ont ensuite été introiluits pour anéliorer ces noiléIisations sinples dont les résolutions étaient avant tout analytiques : introduction rles éIénents finis, prise en conpte du cisaillenent transverse (ïang & al., 1985).
-Figrure 1: noctélisation d'une structure tlélaninée à I'aiile de poutres et de plaques
Malgré un effort tle recherche inportant conne en ténoigne les r é c e n t e s p u b l i c a t i o n s : S t o r â k e r s , ( 1 9 8 8 - a - b ) , Y i n ( 1 9 8 8 ) , B o t t e g a ( 1 9 8 8 ) , I { i l l i a n s ( 1 9 8 8 ) ; I a s i n u l a t i o n conplète dle Ia fornation et de la propagation d'une cloque D'a pas encore été r é a l i s é e . C e c i t i e n t e s s e n t i e l l e n e n t à t r o i s c l i f t i c u l t é s c l é s :
r Le flanbage local est un pbénonène noteur pour la propagation des fissures. L,a prise en conpte des non-linéarités géonétriques et tlu postflanbage est d,onc indispensable pour représenter correetenent le phénonène de propagation.
r l{algré une faible épaisseur tle la structure ilélauinée (plaque ou coque), le problène est triilinensionnel au voisinage rle la pointe tle Ia fissure.
I La caractérisation du conportenent nécanique d'un stratifié à coucbes uniilirectionnelles est tlélicate. Le natériau est inhonogène, anisotrope et cache sous uD couportenent global quasi-Iinéaire rle fortes Don-linéarités localisées dans 1a natrice (plasticité, endonnagenent). Les lois de propagation des ilélaniuages sont na1 coûDues.
Si la résolution d'u! problène 3D non-Iinéaire n'est Das bors portée avec l.es noyeDs rle calcul actuel, I'étude systènatique
ile en
3D non-linéaire de clifférentes fornes et positions de délaninage pour différentes séquences il'enpilenent est exelue.
Le travail présenté ici apporte ile nouveaux tléveloppenents pour Ia description ilu flanbage local et ile Ia propagation des ilél.aninages à I'aide cle notlèles rle plaques (2D).
t< prenier chapitre lt
Dans Ie prenier chapitre (page 11), nous présentons une notlélisation à une rlinension en tbéorie cles poutres, tout à fait senblable à celle proposée par Cbai & aI (1981) et repris par yin & a I . ( 1 9 8 5 ) . L a s t r u c t u r e f i s s u r é e e s t a s s i n i l é e à u n a s s e n b l a g e de plusieurs poutres pour lesquelles on ad,net les bypothèses de petites tléf ornations et rotations noilérées. La rlescription conpLète cles phénonènes tle flanbage local et global est obtenue en résolvant nunériquernent les équations non-linéaires du nodèIe. La propagation iles clélaninages est éturliée rtans le carlre de Ia nécanique de la rupture fragile et du critère cle Griffitb. Une éturle paranétrique net en éviilence I'influence <le la longueur et ile la profondeur de fissure sur Ia propagation.
L,'intérêt de ce noilèle sinple réside surtout dans L'aide qu'il apporte à Ia conpréhension de I'interaction flanbage-rtélaninage.
Nous effectuons ensuite une eonparaison entre ee noclèle d ' a s s e n b l a g e t l e p o u t r e s e t 1 ' é l a s t i c i t é 2 D .
Cette confrontation net en évirlence Les insuffisances tlu noilèIe d'assenblage de poutres et nous coniluit à proposer un nouveau nodèIe d'assenblage de poutres, plus perfornant que celui de Cbai lorsque les fissures sont eourtes
-a tleuxiène ch-apitre >
Le second cbapitre (page 49) est entièrenent consacré à nécanique de Ia rupture et plus particulièrenent à la nise point d'une néthoile tle calcul tlu taux tle restitution 1 ' é n e r g i e .
Nous eonnençons par une revue des nétbodes classiques tle ealcuL cle taux de restitution de 1'énergie. Elles sont généralenent a s s o c i é e s à 1 ' é l a s t i c i t é e t n e p e u v e n t s ' a p p l i q u e r d i r e c t e n e n t à cles nodèl.es d'assenblages de poutres et ile plaques.
En reprenant Les itlées contenues dans la néthode rle f intégrale de contour tle 1'élasticité, nous proposons une nouvelle approche pour Le calcul <lu taux cle restitution ile 1'énergie dans les nodèIes non-linéaires cl'assenblagq de poutres et ite plaques-Nous avons obtenus des fornules analytiques ilu taux tle restitution local rle 1'énergie qui ne font intervenir que Ia solution tlu nodèle de plaque sur Le front de fissure.
La ilénarche est <l'abord présentée sur un notlèIe cl'assenblage ile poutres avec lequel on établit deux propriétés inportantes :
r indépenclance clu contour
r tléconposition en nocle I et node fI
Nous nontrons ensuite que ces résultats sont en trés bon accord avec uDe approcbe en éIasticité 2D.
Nous généralisons ensuite aux assenblages tle plaques.
1 a au cle
( troisiène chapitre ),
Le troisiène cbapitre (page 73) est eonsacré à Ia généralisation iles résultats établis au prenier chapitre, af in il'étuilier les tlélaninages réels (2D) de fornes et de positions à priori -quelconques.'La nise en oeuvre nunérique par éIénents finis d'un
noilèle d'assenblage ile trois plaques tle Von Karnan est présentée. Ce nodèIe nunérique pernet rle sinuler les flanbages Locaux et globaux d'une structure délaninée quelconque. La tail1e de Ia zone clélaninée rloit toutefois être grande par rapport à r'épaisseur des praques. Nous avons utilisé deux élénents finis de plaques différents : Discret Kirchhoff Triangle et Free Fornulation Triangle. Les solutions sont obtenues par I'algoritbne ile Newton-Raphson avec un pilotage en force. Un post-processeur élénents finis pour le calcul du taux ile restitution local rte 1.'énergie sur Ie front cle fissure a été réalisé. Des exenples tle calculs pour <les tl,élaninages circulaires et elliptiques sont présentés en fin cle chapitre.
-o
0 r
t) à t t
r
TÀBtEAU DES NOTATIOTIS UTILISEES
structure fissurée
poutre no i ou plaque no i
Ligne tnoyenne des poutres ou tles plaques boril des poutres ou des plaques
interfaces entre les poutres ou les plaques
Er
Gr
v t cp
Yc
Ja deni longueur de fissure t deni-longueur de structure
hr épaisseur rles poutres ou des plaques
Ir nonent quailratique rapporté à I' unité de largeur de poutre
norlules cl'élasticité cle Young nodules tl'élasticité rte Coulonb coefficients cle Poisson
rapport des nodules de Young z EzlEt facteur cle Longueur de fissure z alL facteur ile position de fissure : bzlhr
charge axiale par unité tle largeur de poutre
taux de restitution de l'énergie intégrale ôe Rice
Or P in
( 6 u )
( 6 u )
( 6 u )
( 6 u )
puissance virtuelle iles efforts
puissance virtuelLe cles efforts
puissance virtuelle rles efforts
puissance virtuelle au bord par
éuergie ile rtéfornation
travail cles efforts extérieurs
énergie ile iléfornation par unité
cléplacenents
tenseur des défornation tenseur des contraintes
intérieurs à Qr extérieurs ilonnés. de liaison unité de longueur' Or P ext Or P T Or
t
rot
tlef Orr
ext
v
Ul , vl , lfl e r J o r J e r , k r N , l , ! . 7 t q 0 , k a 0 N c 0 r M c F , 9 c k r , k z D . C . B .c . s . 1 .
D . K . 9 . D . K . T . F . F . T . de longueurdéformations généra1isées pour les poutres
efforts intérieurs généralisées pour les poutres tléfornations généra1isées pour les plaques
efforts intérieurs généralisées pour les plaques facteurs de correction pour le cisaillenent transverse.
Double Cantilever Bean
Constant Strain Triangle Discret Kircboff Quatlrangle Discret Kirchoff Triangle Free Fornulation Triangle
-Svnboles
g vecteur u
u' tlérivée de u par rapport à Ia variable il'espace x u dérivée de u par rapport au tenps
pour la convention ile f indice nuet :
i , j , k , I v a r i e n t d e 1 à 3 c!, 9, I varient ite 1 à 2
Chapitre 1
LES UODEIJES À INE I'IUEITSIOil : ' IIODELES I}.ÀSSEUBIÂGE DE POUTRES.
tes preniers nodèles (analytiques ou seni-analytiques) iléveloppés pour étudier f interaction flanbage - tléIaninage reposent sur les deux sinplifieations suivantes :
* Problènes uniclirnensionnels : Les ilélaninages sout rectilignes ou circulaires, et les natériaux sont honogènes et isotropes. * te clé}aninage est très procbe tle Ia surface externe de la
s t r u c t u r e ( t r è s s u p e r f i c i e l ) . I 1 s é p a r e u n e z o n e fi n e d u r e s t e tlu stratif ié consirléré coruûe seni-inf ini. 0n peut ainsi se ranener à 1'étutle clu postflanbage d'une seule plaque.
( C h a i & â1, 1981), (Bottega & l{aewal, 1983), (Evans & E u t c h i n s o n , 1 9 8 4 ) , ' ( Y i n , 1 9 8 5 ) .
Ces norlèles "couche fine" ("tbin filn") ont par la suite été étudiés dans iles cas plus réalistes avec des nétho<les nunériques
(éIénents finis, néthotle ite Rayleigh Ritz). on citera res études ile chai & Babcock (19g5), Shivakunar & tfhitconb (1985), pour les rlélaninages elliptiques et des natériaux orthotropes. De tels no<lères sont toutefois linités aux eas où I'épaisseur ile ra zone cléIaninée ne dépasse pas 5 à 10 t de 1'épaisseur totale tlu s t r a t i f i é
l r ' o b j e c t i f r l e c e t t e t h è s e e s t ô ' é t u d i e r l e c a s p l u s g é n é r a l d ' u n ôélaninage de forne et ile Dosition quelcouque. Le problène est plus conpLexe que dans Ie cas "couche fine" car on doit tenir conpte ile toute Ia structure.
Nous présentons en ce ilébut ôe chapitre un noilèle à une dinension (poutre) pour ilécrire Ie flanbage et ia propagation des délauinages dans le cas d'uDe fissure a-priori quelconque. Ce nodèle est très senblable à celui de Chai & al (1981). LeE résultats obteuus seront ensuite fort utiles pour construire des noilè1es biilinensionnels plus réalistes.
-- t -- IrËl IUEiËi A UIE DIIIEIISIOI : " !rcf,ElEi D'ÂSSE{BIrÀGE m FOûBS"
1.1 DESCRIPÎIOil DU UODET.E D'ÀSSEITBI,ÀGE ItE POTIÎRES
Nous considérons une plaque conposite stratifiée présentant un clélaninage rectiligne traversant ile Longueur 2a
Figre 1-1: pl.aque stratifiée ilélaninée
Pour étudier Ia réponse en conpression tle cette structure, nous assinilons la plaque tlélaninée à un assenblage cte trois poutres. Nous ne considérons qu'une cleni-structure pour des raisons tte syaétrie. Nous appellerons tlorénavant tt nodèIe d'assenblage rle poutres D 1'ensenble cte ces trois poutres plus I'interface entre c e s p o u t r e s .
Ëgtre 1-2: I'assenblage de pqttres
La théorie non-linéaire classique des poutres en getites déforuations et rotations nodérées est utilisée ici (Brusb & À l n r o t h - 1 9 ? 5 ) .
Nous suDposons que Ia plaque est coostituée d,'un enpilenent s1métrique ile 2 n couches élénentaires. Dans la partie saine
DE'CRIPTIC{ X[t ]ffi,E D'tSSEtil.ûcE m pq'|ÎES 1.1
-(non fissurée) <le la poutre, iI n'y a donc pas tle couplage entre Ies effets de tension et de flexion. I1 n'y a en revanche aucune r a i s o n p o u r {u€, de part et d'autre de la fissure, I e s enpilenents ile plis restent synétriques et iI y a couplage tension-flexion dans les parties 1 et 2. La prise en conpte cle ees phénonènes introrluirait dé j à, au niveau rles lois tle conportenent, de nonbreux coefficients (g ici) qui dépendent de Ia séquence d'enpilenent. Nous sinplifions le problène en considérant tles natériaux linéaires honogènes pour cbaque poutre et nous négligeons les couplages tension-flexion. Le noclule Eo ile Ia poutre Oo est le nodule honogène cle traction cle Ia partie saine. Er et Ez sont les nodules honogènes de traction des enpilenents cle plis séparés par 1a fissure. Ces trois nodules vérifient Ia relation :
( 1 ) E o h = E r h r * E z h z
L'ailoption de nodules de Young clifférents pour les poutres 1 et 2 pernet cl'introduire cle nanière sinple un cléf aut dans la structure
L.2 DESCRIPTIOI{ DE I,À CIilEttl'TIgT'E
Nous atloptons une cinénatique de type Bernoulli (Kirchhoff en plaque). tes chanps cle rléplacenent sur chaque poutre sont pris sous Ia forne :
( 2 ) u r ( x , y ) = ( u r ( x ) - ( y - y c ) v r ' ( x ) ) 5 + v r ( x ) y
i = A , ! , 2 et on inpose les conititions de raccord cinénatique suivantes entre les poutres au niveau de I'interface :
( 3 ) u 1 ( a , y ) = g o ( a , y ) ( 4 1 u 2 ( a , y ) = g o ( a , y ) Le cbanps ile iléplacenent tle la structure est ainsi entièrenent iléfini par six fonctions :
(sl
( 6 ) u o (x ) , v o ( x ) ur (x) , vr (x) , uz (x) , vz (x)x € [a,LI
x € [ 0 , a ]
1 3-- 1 -- l'Ët I0ELES A IA{E DII{EIISIOI : " ]lmEB D'ASStsLIGE DE F0[IIR6' { u i , a f i n i l e s a t i s f a i r e l 2 l e t ( 3 ) , v é r i f i e n t l e s s i x c o n d i t i o n s de raccord suivantes : ( ? ) u r ( a ) = u o ( a ) - l ' o o ' t " ) ( 1 0 ) u z ( a ) = u o ( a ) + \ o ' ( a ) 2 2 ( 8 ) v l ( a ) = v o ( a ) ( 1 1 ) v 2 ( a ) = v o ( a ) ( 9 ) v r ' ( a ) = v o ' ( a ) ( 1 2 ) v z ' ( a ) = v o ' ( a )
Le chanp ile iléplacenent devra vérifier en plus des conilitions de raccord,, les conrlitions aux linites suivantes :
( 1 3 ) u r ( 0 ) = Q ( 1 6 ) u z ( 0 ) = Q ( 1 9 ) v o ( t ) - 0 ( 1 4 ) v r ' ( 0 ) = Q ( 1 7 ) v z ' ( 0 ) = Q ( 2 0 ) v o ' ( L ) = Q ( 1 5 ) v r " ' ( 0 ) = Q ( 1 8 ) v z " ' ( 0 ) = Q
Synétrie par rapport à Oy encastrenent Sous I'hypothèse classique des petites tléfornations et des rotations nodérées nous avons les iléfornations suivantes :
1 ( 2 1 ) e r r ( x , y ) = ( u r ' ( x ) - y v t " ( x ) , *
- - v r ' 2 ( x ) ( 2 2 1 e x v r ( x , Y ) = Q
te natériau est supposé linéaire et honogène. Les contraiDtes s ' é c r i v e n t a l o r s :
( 2 3 ) o x r ( x , y ) = E t e x r ( x , Y )
Nous définissons les contraintes généra1isées Nr, !h par :
[+br/2 . , 1
( . l [ l ! [ r ( x ) = | s r t q y = E r h r ( u r ' ( x ) + - v r ' ? ( x ) )
J - b l ? - 2
î+fu 12 Er hro
(25)
Mr
(x) =
J_or,
Y orr ily = -
n
vr " (x)
Notons que Ie cbanp ile iléforuation n'est en général pas coutinu au niveau de f interface eDtre les poutres. Seuls les déplacenents sont continus sur tout le ilonaine O, les défornations et par conséquent l.es contraintes présentent iles d,iscontinuités sur f .
FRIIEIIE DEs RIISSIIGS VfiIIIET,I,Ë 1.3
-tléfornations et par conséquent les contraintes présentent tles tliscontinuités sur f .
1.3 PRIITCIPE I}ES PUISSIITCES VrRTI'ELLES
Sur chaque ilonaine Or (cbaque poutre) les iléplacenents et Ies contraintes sont contintnent clérivables et le principe des p u i s s a n c e s v i r t u e l l e s s ' é c r i t :
Ot Or 0r
( 2 6 ) P , . _ ( 6 u ) + P - . ( 6 U ) + p - - ( 6 U ) = o V 6 u
int ext f
i = 0 , L , 2 La puissance virtuerle cles efforts extérieurs à 0r est écrite à 1 'aicle de deux ternes :
Or
' r P (ôU) pour les efforts extérieurs donnés ext
Or
I P _ (ôU) pour les efforts de liaisons exereés par T
l e s d e u x a u t r e s p o u t r e s s u r l ' i n t e r f a c e f .
Les efforts tle liaison iloivent bien sûr satistaire au théorèrne des actions nutuelles que I'on exprine ici sous une forne variationnelle :
2 Q t
o 7 , E . P ( ô U ) = Q i=0 I
pour tout 6U conpatible avee les contlitions de raceord (?) à î2, . une écriture grobare tlu principe rles puissaDces virtuerles est obtenu en condensant (261 et (27'l et en se rinitant à tles 6u cinénatiquenent adnissibles : ( 2 8 ) On explicite
@ s t - r 2
i=02 ( O r 0 r
E .
( p .
( ô u ) + P
( 6 u )
i = 0
( int
e x t -
= 0']ao + tl
u ôu c.À.
( 2 8 )
I,,
[*
sous Ia forne : r ( 6 u r '+ v l ' 6 v t ' ) - l t r 6 v r 6 u ( L ) = Q I 6 U C . À . 1 5-- 1 -- I,ES }TEEI,ES À TX{E DI}IBII'IO{ : '' Itr'DE,E; D,ISSEM.,AGE DE PounREI'
àprès intégration par parties, suivantes :
(29) coniluit aux équations
équilibre local
I
r t ' = o
J L t t " - N l contlitions aux N o = N v r t t = 0 l i n i t e s e n N r = C s t e Nr v t ( a ) - - g l r l E r I t à l ' e x t r é n i t é x = t ( 3 0 )( 3 1 )
e f f o r t = Qr trois conclitions cle l3Z, No = Nr * Nz
br ( 3 3 ) l t o = } f t * N r _ + M , z
raccord sur les efforts etr x = a :
hz N z
-2
( 3 4 ) H o ' * N o v o ' = l t t ' t N r v r ' * l t z ' * N z v z '
Ces trois dernières relations exprinent les raccords sur les efforts nornaux, les nonents fléchissants et les efforts tranchants. Elles tracluisent Ie théorène cles actions nutuelles. Notons qu'il y a couplage entre les effets de nenbrane et de flexion dans (33) car les lignes noyennes cles poutres sont à iles bauteurs ilitférentes et rappellons que ces équations n'entraînenent pas la continuité iles coutraintes locales sur f.
1.4 ItfTEGRÀTrOIf DES EQUtTTOtfS D'E9UIIJTBRE
On intégre les équatious d'équilibre local (30) et I'on obtient, conpte tenu des conilitions aux linites (13) à (20) et ile la relation (34) sur les efforts tranchants la forne suivante cles rléplacenents :
1 - e o s
1l
* D r (35) vr (x) = Àr( 3 6 )
vz (x) = Àz * D z1 - cos r.ro (x - Ir)
ûtr 2
1 - c o s ô 2 x
6 6 2
rà22
IttlffRAlICN E 4(nTIOlS D'EUIUIBRE 1.4
-(3s) ur(x)=H
fi Y dx
(39) uz (x) - Nz x l'. v2'2 dx E z S z J 0 2 (40) uo (x) - No (x-- a) - [. t dx + uo (a) E o S o J 0 2 a v e c û ù r 2 = - N r / h S r ( N r ( 0 ) )On est donc ranené à un problène algébrique où les huit ineonnues :
N r , N z , À t , A z , A o , D r , D z , u o ( a )
s a t i s f o n t l e s h u i t é q u a t i o n s ( 7 ) à (12), (32) et (33)
Renarques :
r Pour I'intégration iles équations il'équilibre, nous avons supposé que les trois parties étaient en conpression (Nr ( 0 , û,r2 ) 0) . Cet état de fait est assurénent vérifié en ilébut cle chargenent, nais iI peut arriver que I'une cles deux poutres 1 ou 2 repasse en tension lorsque les tléplacenents transversaux deviennent inportants. Le cosinus devra alors être renplacé par un cosinus byperbolique.
r lres coefficients Ar, Az, Ào correspondent aux courbures iles poutres en x = 0 et x = Ir .
-- 1 -- IES IffiEES À UIE DII'IEIISIO{ : " mDHjEi D'ASSIBLûGE m Pil}RES"
r Dans Ia fornulation du problème, iI n'y a aucune conclition q u i i n t e r t l i s e I ' i n t e r p é n é t r a t i o n d e s p o u t r e s 1 e t 2 . 11 convient d,onc, au niveau tle Ia résolution, d'élininer les solutions ne correspondant pas à une ouverture de Ia f i s s u r e .
r Les inconnues Dr, Dz, uo (a) apparaissent tle façon linéaire i l a n s l e s é q u a t i o n s ( 7 ) , ( 8 ) , ( 1 0 ) e t ( 1 1 ) e t p e u v e n t d o n c s'expriner en fouction iles aùtres inconnues tlu problène. Cette clernière renarque nous pernet de ilire que le problème est entièrenent gouverné par le systène tle cinq équations suivant, en Nr , Nz , AL . Az, Ao et par la tlonnée N .
( 4 1 )
(4zl
y o = l { 1 * N e E o f o À o c o s t . l o ( a - t ) = Er Ir Ar cosola - N l hz-2
(44) Ao û)o Ào lrJ0 s i n a n ( a - t ) = s i n o o ( a - t ) = ( 4 3 )(4sl
oo (a-t) = h r * Ez Iz lz cosoza * Nz -2 Àr - s i n o r ( a - t ) (l)1 tlz (a - Ir) Az2 F_ t 1
4uz2 L sin 2otz arl
Àz - s 1 D (^)2 2uza Ao _ s l n ûùo_ 2 a I n t _ À r z
h I E t s t A o t , Lrr-'';;:Ïr]
o r 2 = - N r l E t I rÀDII,IBISTCNMITSATICSI 1.5
-1.5 ÀDIIiEilSTOmIII,TSATIOII
Nous adinensionnalisons le problène en rapportant I'effort appriqué N à la charge rle franbage d'Eurer de Ia structure sans fissure. U représente ainsi la réduction ile cbarge (charge réiluite) . Ul et Nz sont les rapports cles efforts nornaux Nr et Nz sur les cbarges cle flanbage respectives des poutres 1 et 2
(charge de flanbage pour une poutre encastrée aux deux e x t r é n i t é s ) .
- N
( 4 6 ) [ = . - = - - ( 4 ? ) N r = . N t ( 4 8 ) N a = - N '
p 2 E o l o l , n z E r f r 1 , n z E z l z 1
L-l,r-l
t a, I
L-""
1
pour les courbures, on prend :
( 4 e )
À r = À r h r t 1 t
L h z J
Les déplacenents sont rapportés à la hauteur de Ia structure : (50) y-!- = vr I h
En injectant ces définitions dans les équations, il ne subsiste plus que trois paranètres adinensionnels :
o, = Ez | ù : clissy,nétrie des nodules ite Young p = a I L : caractérisant la longueur de la fissure
T = hz / hr : position ile la fissure
t es équations adinensionnelles et les fornules tle Dr , D2, Uo (a) sont données pour Dlus de clarté en annexe B, page 103.
l{ous allons naintenant étutlier I'inf luence rle cbacun tle ces paranétres rlans les paragrapbes suivants.
-- 1 -- LES lrm,Es À tlNE DIt{EltSIoN: " }ME,ES D'ASSEITBI,Affi DE POIITÎES"
1.6 RESOITIITIO!| DES EgUtTTOItS
1.5.1 PRItrCTPE
Le systène d'équations a1gébriques non linéaire précértent a été résolu tle façon nunérique.
Nous appellerons ( eourbe charge-déplacenent D Ia courbe tl'évolution des cinq grandeurs Ur , N.z , À1 , Àr , Ao en fonction de la cbarge N . Une telle courbe est définie pour un j e u c l e v a l e u r s cles trois paramètres aclinensionnels c, Ê et T.
Nous nous proposons de tracer Les réseaux de courbes charge-iléplacenent en faisant varier suceessivenent Ia longueur cle Ia f i s s u r e ( F ) e t s a p o s i t i o n d a n s l a s t r u c t u r e ( f ) . I . , ' i n f l u e n c e c l u rapport cles noclules de Young (c) sera cliscuté.
Nous avons pour ce faire utilisé les néthodes ile Newton-Raphson (NR) , Newton-Rapbson noilif iée (NRl{) , assoeiées à iles pilotages en force, en rléplacenent ou à longueur d'arc inposée. La principale clif f iculté a été il'assurer un pilotage autonatique tlu suivi tle courbe pour tous les jeux de valeur de o, F et T . Ceci tient au fait que Ies courbes charge-cléplacenent peuvent adnettre des points linites ou des bifurcations.
Nous renarquons en effet que pour un natériau honogène sur toute I a s t r u c t u r e _ c , e s t à < l i r e a v e c c = 1 ( E r = E z = E o ) _ , I e s y s t è n e ailnet la solution triviale :
N r = F 2 ( t + I ) . I
(sl)
Nz = 82 (_). (
( 1 + T ) 2 t{r
)-qui corresponil transversal. À r = L z . = À o = 0 à 1 ' é t a t r l e c o n p r e s s i o n u n i f o r n e s a n s d é p l a c e n e n t ox = constantear t az, vo identiquenent nuls
PRIICTPE 1.6
-Àvee une néthocle tle perturbation , on nontre analytiquenent qu'il apparaît une branche bifurquée sur cette solution fondanentaLe p o u r U . = [ " r t r l q u e t o u j o u r s i n f é r i e u r à 1 . U"rtrlque correspond à Ia plus petite valeur tle N qui annule le déterninant ile Ia natrice tangente au systène. [crtùlque clépenct uniquenent ile Ia longueur et de Ia position de Ia fissure.
V'(")
figure 1.3: Ccnrbe CffiRGE-DELACEIIBII : c, = 1
La courbe charge-tléplacenent pour un natériau honogène icr = 1) est présentée figure 1.3. On représente Ie <léplaeenent transverse vz (0) cle la poutre 2 en fonction de la charge. La solution fondanentale est sur I'axe vertical, Ia branche bifurquée en trait plein correspond à I'ouverture de Ia fissure. La brancbe en pointillé correspond à I'interpénétration des ileux poutres et iloit être élininée. L,a barre horizontale N = 1 représente la brancbe bifurquée que 1'on obtienrlrait en I'absence cle fissure
( f l a n b a g e i l ' E u I e r ) .
-- 1 -- tES mE,6 L ttNE DIIlEf--lStG{ : " lmHrES D'ASSI{BL'AGE IE POt}nES"
t-'-
-Vl (")
Figure 1.4: Courbe CIIARGE-DEITACWtsE : cr, variable
L o r s q u e I ' o n f a i t v a r i e r c ( F e t T t o u j o u r s f i x é s ) , o n o b t i e n t u n réseau cle courbes typique d'un problène cle flanbage avec défaut.
( 1 - c ) joue le rôle tle iléfaut et Ia bifurcation n'existe pLus pour c tlifférent cle 1 . On voit tout de suite que Ia dissynétrie des natériaux peut favoriser I'ouverture tle la fissure ou au contraire tendre à rapprocher ses 1èvres, conférant ainsi une n e i l l e u r e t e n u e à l a s t r u c t u r e .
Sur le plan purenent nunérique, Ie cléfaut pernet d'élininer Ie problène posé par la bifurcation et on obtient Les courbes charge-tléplacenent pour un natériau bonogène sur 1a structure conne courbes linites lorsque l.'on fait tenilre o, vers 1.
1.6.2 RESOIilITTOT{ nTUERIQIIE
Le systène tle 5 équations est écrit de façon condensée : ( 5 3 1 f ( u , S ) = Q a v e c u Î = [ N r , [ 2 , À r , À 2 , f , o ]
Ia ilifférenciation de ce systène s'écrit :
(s{)
Le systène est I ' = 0 , u = 0 .
un pas consiste
f ' u 6 u + f , l l 6 X . = 0
résolu pas à pas à partir cle la solution iuitiale Connaissant [r,ur une solution du systène, faire à trouver Iù. et Âu (6 conposantes) tel que :
RFCHnTCN NTXERTgE 1.6
-( 5 5 ) f ( u r + Â u , U r + À U ) = f ( u r * r , [ r + r ) = Q ( 5 é q u a t i o n s )
On tloit bien str se donner une équation supplénentaire : ou on se f i x e  N - c ' e s t l e D i l o t a g e e n f o r c e - o u b i e n o n s e f i x e u n e conposante tle Àu - c'est Ie pilotage en iléplacenent - ou encore on s'inpose une condition nixte en Au, ÂU - c'est le pilotage à longueur d,'arc inposé -. Ce choix peut bien sûr être renis en cause à chaque pas : ÂU et Âu sont itéterninés par r' prétliction-correetion "  [ =
ÂUo
À [ r + À X z + . . . . f  N n À u l + À u z * . . . . +  u n ( 5 5 ) À u =  u o + t-J prétliction* on a choisi un prétlicteur tangent
À[o et Âuo corresponilent à un tlépl.acenent le long tle la t a n g e n t e à l a c o u r b e a u p o i n t [ r , u r . I l s s o n t s o l u t i o n s t l u s y s t è n e t l ' é q u a t i o n :
( 5 7 ) f , u À u o + f ' N . ^ & = 0
avec une équation supplénéntaire <léterninant la valeur tlu pas
(58) ÂNo = P pour Ie pilotage en force (59) une conposante de Auo = P
( 5 0 ) ÀUor ÀUo + Àl'lo2 = Pz * Les Aur et ÂNr sont iles corrections
résiilu. IIs sont solutions de ( 5 1 )
eorreetion
pour le pilotage en cléplacenent
pour Ie Dilotage à }ongueur d'arc inposée qui pernettent il'annuler le
f , u A u r + f , L Â N r = f ( u r + À u o + . . + A u ( l - r ) r I . r + A U o + . . + À S . t t - r l )
-- 1 -- t6 I'IDEJES À tl![E UIl,ttslSIC{ : " }t3[tEES D'ÂSS,IBIÂGE m POûIÎES"
La natrice f,u est actualisée à chaque itération (NR) ou non ( N R t l ) . L ' é q u a t i o n s u p p l é n e n t a i r e e s t c e t t e f o i s :
( 5 2 )
Âl{r = 0 pour le pilotage en force(63) une conposante de Âur = 0 pour Ie pilotage en iléplacenent
( 6 4 ) ( À u o + . . + a u r ) r ( À u o + . . + À u r ) + ( À & * . . t À N r 1 2 = P 2
pour le pilotage à longueur d'aËc inposée
D ' a u t r e s v a r i a n t e s i l e ( 6 4 ) s o n t p o s s i b l e s ( R i k s ' L972, l f e n p n e r - t 9 7 L , C h r i s f i e l i l - 1 9 8 1 , 1 9 8 3 ] . N o t o n s q u e ( 6 4 ) e s t n o n l i n é a i r e e t q u e I e s y s t è n e ( 5 1 ) - ( 5 4 ) s e résout en posant :
(6s)
( 5 5 ) Â [ r = l N r ( a ) + I A U I ( b ) Â U r = ! 9 1 ( a ) + I Â U r ( b ) o ù l e s q u a n t i t é s A u r ( a ) s ! ! u 1 ( b ) s o n t s o l u t i o n s c l e : ( 5 7 ) f , u À u r ( a ) + f , N . Â [ 1 { a ) = r é s i d u t - l ( 5 8 ) f , u À u r ( b ) + f , N Â X . r t u ) = 0et tr solution ile l'équation du secontl ilegré :
( G 9 ) ( Â u r ( b ) r À u r ( b ) + A N r , o , t l I z
+ ( Â u o + A u r + . . + Â u ( r - r ) * A u t ( a ) ) 1 A u r ( b l + ( $ o + . . + Â [ r ) À l h ( b ) ) 2 I + ( Â u o + Â u l + . . . * Â u r r - r l + Â u t ( e ) ) t ( A u o + . . * ! u 1 ( a ) )
+ ( A [ o + . . + À N l ( 8 ) ) 2 - P 2 = 0
Le pilotage à longueur tl'are inposée est très souvent associé à la néthode (NRU) car dans ce cas, f,tt n'étant pas actualisé, u1(b) est tout sinplenent pris égaL à Âuo et nous D'effectuons qu'une seule résolution à cbaque itération. Ce tyBe ile pilotage pernet de passer les points linites et anéliore Ia convergence tle tle l{R}t par rapport à un Dilotage eD force ou en déplacenent
(Cbrisfielil 1981 ). Le surplus de tenps calcul est tout à fait ninine : forner et résoudre 1'équation du second ilegré (69).
TâIXT M RESTTN'fTOT DE Ir'IilMGIE T.7
-Etant tlonné Ia petite taille tle la natrice tangente, et Ia très forte non-Iinéarité de notre problène tle flanbage, la priorité n ' é t a i t p a s d e l i n i t e r l e n o n b r e d ' i n v e r s i o n s c l e l a n a t r i c e tangente nais d,'assurer le passage autonatique des "zones tlifficiles". tes neilleurs résultats ont été obtenus avec 1a nétbotle cle Newton-Raphson pure associée à un pilotage à longueur d'arc inposée. Le suivi cle courbe est ainsi très stable et le passage des naxinuns est possible. 11 faut toutefois faire deux r é s o l u t i o n s p a r i t é r a t i o n , ( 5 7 ) e t ( 6 8 ) , a v e c u n e natrice f , r r é a c t u a l i s é e . D a n s n o t r e c a s , I e s t e n p s C . P . U . n e i t é p a s s e n t janais Ia tlizaine d,e secondes.
T.7 TÀI'X DE RESTINNIOIT DE L'EITERGIE
Pour rlécrire la fissuration, nous nous plaçons dans Ie cad,re d,e Ia nécanique tle la rupture fragile et nous utilisons Ies lois de propagation tle Griffitb. C'est une approche énergétique de 1a rupture où Ia grandeur fonclanentale est le taux de restitution tle L'énergie G, cléf ini conne la tlérivée ile 1'énergie potentielle t o t a l e p a r r a p p o r t à l a l o n g u e u r d e I a f i s s u r e . L a f i s s u r e s e propage Lorsque Le taux ile res.titution atteint une valeur critique Ge caractéristique tlu natériau. De plus la propagation est stable si la conclition G = Gc est assurée penilant Ia f i s s u r a t i o n .
RésunonsIes lois ile propagation : s i G < G c a = O
s i
G = G c e t
L = o
" r o
La condition à = O n'est réalisable que si I ' i n é g a 1 i t é à c / à a ( O e s t s a t i s f a i t e ( c o n d i t i o n c l e s t a b i l i t é ) . Dans Ie cas eontraire, Ia fissuration est incapable d'absorber la totalité ile 1'énergie libérée par Ia structure et il y a apparition i['énergie cinétique (effets illnaniques] au cours ôu proeessus. Pour notre nodèIe ôe poutre, le taux de restitution de l'énergie est calculé à 1'aiôe d'une fornule analytique dont nous rlonnerons uae dénonstration au chapitre suivant.
(70) {
pas rle propagation propagation stable
-- 1 -- LE lfr)EES A tlNE DII{B|SION : " IODEË D'ÀSSE{BLAGE m PCIIIES''
(,71)
(7z',/.
I l n ' a p p a r a i t q u e I a s o l u t i o n f interface et le calcul cle iléplacenent est innédiat. 0n adinensionnalise Ie taux posant :
+ w z ( a ) - w o (a ) H r ( a ) 2 E r Ir
clu problène de poutre au niveau de 6 associé à une courbe
charge-t l e r e s charge-t i charge-t u charge-t i o n d e 1 ' é n e r g i e e n L w r ( a ) = -2 G = w r ( a ) N r ( a ) 2 E r S r L
-2
( 7 3 ) Ç = avec 6 1.8 REST'I,TÀTS1.8.1 tIt E:IEI{PIfi nPIgrrE
Nous présentons sur les figures 1.5 et 1.6 un exenple typique tte suivi de courbe pour le jeu ile valeur des paranètres suivant :
c = 1 r 1
I = 0 , 3
T = 0 r 2L , e s c o u r b e s 1 . 5 a , b , c e t d r e p r é s e n t e n t I ' é v o l u t i o n i l e s tléplacenents vr (0), vz (0) et des efforts nornaux Ut et & en fonction ile la charge [. On visualise Ia iléfornée sur Ia figure 1 : 5 e ; l e s r l é p l a c e n e n t s s o n t à 1 ' é c h e l l e 1 : 1 e t n o u s a v o n s choisi un rapport hlL = 0,1 pour une bonne lisibilité cle la figure sacbant que Ie résultat est intlépenrlant <te h/t. Le taux r l e r e s t i t u t i o n t l e 1 ' é n e r g i e e s t r e p r é s e n t é f i g u r e 1 . 5 . O n distingue nettenent une prenière phase linéaire pour [ ( 0,35 , pbase au eours de laquelle les poutres restent rlroites (v : 0) et le taux ile restitution est quasi nul. Pour N > 0,35 Ia poutre 2 atteint sa charge ile flanbage 1X." = 1) et nous avons Ie flanbage local. l,es tléplacenents lz évoluent avec I alors que I'effort norual N2 reste quasi coustaut. Les accroissenents de eharge sont entièrenent supDortés Dar la Doutre 1. lorsque N atteint 0,?5 Dous ayoDs le flanbage local de l.'enseuble avec vr ) 0 .
0n constate que le taux cle restitution de I'énergie ne tlevient significatif qu'avec Ie flanhage local, et que ce Dbénonène va
1 = -2Eo So
c
6 ( 4 n 2 E o Io ) 2 ( - ) ( [ 2 L ] 2 )IN HE{PIfi TyPIgE 1.8
-participer activenent à la propagation cles fissures. L,énergie libérée par la structure dans une avancée virtuelle de fissure provient essentiellenent cle ra poutre 2. 6 augnente ensuite très rapiilenent avec Ie flanbage globaI. rndépendannent du phénonène tle proBagation, La récluction de charge est itéjà inportante (25t); eIle le sera encore plus si Ia fissure se propage avant Ie flanbage global.
- 1 - 1'1s I{CDEL,E À tlNE DII'tnNlCnf : " ImEi6 D'ÀSSEl,tB[,,ÀcE m pqlIÎES.,
- o , - -
b
-
-e-N=o
N =93?
N = 0 7 5 6
-
c-U = Q 7 3
PRCPÀMTTOI DE ETSSI'RE . 1.8
-o.l o.L o.7
a+
o.5 o.6 d + a . t o . 7 Figure 1.6: Tarx rle restitutiqr en fcnctim cte la eùarge L.8.2 PROPÀGÀITOI{ DE FISST'REI r ' a n a l y s e p r é c é c l e n t e (1 . 8 . 1 ) s u p p o s e q u e I a f i s s u r e n ' a v a n c e p a s . Nous allons naintenant Ia conplèter en prenant en conpte les lois de propagation des fissures (70). Pour résoudre ce problèrne, Dous avons suivi les courbes charge-tléplacenent en faisant varier la L o n g u e u r i l e f i s s u r e F ( c = 1 , 1 e t \ = 0 , 2 f i x e s ) e t o n représente sur Ia figure 1.7 l'évolution <te 6 en fonction de l[ et Ê .
La figure t.7-a pernet tle iléterniner propager une fissure de longueur tlirectenent sur 1.?-b Ia stabilité rte
à c l à p ( 0 )
La charge nécessaire pour clonnée et on visualise Ia propagation (stable si
c r l t l q u e
constatons alors que :
Dour les fissures courtes
F ( 0,2
iI n'y a pas rle
propagation possible.
* Pour les fissures noyennes - 0,2 ( & < 0,42 - nous ayons une propagation instable. Une restabilisation est ensuite possible.
-- 1 -- t6 l,lCDEt6 À tlNE DIIIENSICI{ : " tmE[,ES D'ÀSSIBITAGE DE FqtmES'
figure 1-7: Tarx th restitutiqr de I'énergrie en foctico de Ia ùarge ! et tle la lqgræur ile fissure F, pcur c = 1.1 et Y = 0.2
- &
-I = o 1 3 0 I = o r o g G = a1oêG =o1o3
g
o . 8
('3=
t
o.
r-
o.+
- 1, - E--gto
N>oré1 \=ot64o.c
o.+
o.L
N =ofit
! = o 1 5 o(r=i
PROFÀETTOI M E$SIIRE 1.8
-* pour les fissures longues p ) 0,42 la propagation est s t a b l e , e t l ' o n p e u t s u i v r e l ' é v o r u t i o n cle ra longueur de ra f issure avee ra charge sur ra f igure t.7-a à I'aicle ile f i s o v a l e u r d = C s t e
1.8.3 IT{IT,IIEITCE DE IÀ PROFOIIIIEUR DES FTSSTIRES
Nous arlons naintenant nontrer l'influence ile ra profondeur ile fissure en faisant varier le paranètre T et en conservant a et S c o n s t a n t s ( c = 1 , 1 e t p = 0 , 3 ) . On visualise les défornées obtenues pour quatre valeurs tle T sur la figure 1.9 et res taux i l e r e s t i t u t i o n d e 1 ' é n e r g i e c o r r e s p o n c t a n t s s u r 1 . 9 ( p a g e s 3 3 e t 3 4 ) .
* Pour cles fissures très superficieLles - r il 0,05, re frarnbage Iocal apparaît très tôt - N = 0,06 - et le .flanbage global très tard - lrl = 0,80 -.
* pour des fissures un peu plus profondes f, = 0,15 Ie flanbage local est retartlé { = 0,3 et le flanbage global p l u s p r é c o c e N. r 0,7!
-Dans ces deux cas L'effondrenent <le la structure se produit clu coté <lu tronçon le plus épais (vers le haut sur la figure) .
* Au ilelà d'une certaine profonileur - I ) 0,35 - iI n'y a plus vrainent rle ilécouplage entre Ie flanbage local et Ie flanbage global. ta poutre 2 n'atteint Das sa cbarge critique de flanbage et I'effonilrenent rle la structure se fait cette fois ilans Ie sens opposé (vers le bas).
* Pour des fissures très profondes - T voisin de 1 - il n'y a plus qu'un flanbage gIobal.
En ce qui concerne s u r I a f i g u r e 1 . 9 varier I.
* Dans le cas penilant tout
ile fissures trés profondes, le début ilu chargenent
G est quasi nu1 puis il augnente le taux ile restitutlon de 1'énergie, on nontre
l'évolution iles eourbes C (U) quanil oD fait
-- 1 -- L6 !fllEEi L I['lE DIt{tslSI0N : " rcm,ES D'ISSHELAGE m FOttItEi"
brutalenent avec I'apparition ilu flanbage global (T=0.8) et iI n'y a pas de propagation possible avant la cbarge naxinale .
f l a n s l e c a s r l e f i s s u r e s t r é s s u p e r f i c i e l l e s ( I = 0 . 0 5 ) , 6 ilevient trés tôt non nul (avec le flanbage local). 11 croit ensuite faiblenent avec I'augnentation ile Ia charge .
Il y a une profon<teur critique Tc (ici Tc = 0,21 pour l a q u e l l e l e s t a u x d e r e s t i t u t i o n d e I ' é n e r g i e s o n t l e s p l u s éIevés Dans Ia nesure où 1e flanbage local existe, on conçoit que la quantité rI'énergie libérab1e dans une avancée v i r t u e l l e c l e f i s s u r e e s t d ' a u t a n t p l u s i n p o r t a n t e q u e I a z o n e en fl.anbage est épaisse. La poutre 2 constitue alors un réservoir d'énergie plus irnportant
D ' u n e f a ç o n g é n é r a I e , o n n o n t r e q u e l e s f i s s u r e s l e s p l u s pénalisantes correspondent à cles profondeurs f eonprises entre 0 , 1 e t 0 , 2 5 .
F = 0 . 0 O
N = O ' o 7
N - = O . 5 0
II{EII'III:E DE IÀ IRCETNDEIIR DES ETSSIINES 1.8
-t = 0.45
I = o . 3 5
l - l l l |-N =
N :
N = 0.00
N = 0-30
N = 0.46
N = 0-11
0. 00
0 . 7 0
[ = o.g3
0.00
0.84
: 0.50
_- 0.9
4
N=
N =
Figtre 1.8: tlisualisatio des défcrdes : influence ih lâ roÉdeur iles fissrres
-- 1 -- IiËt lmEIeS A UIE DIilENStCtf : " !trf,tErEs D'ASSEIBIIRffi m nflRËi"
Figrre 1.9: Influence tle Ia pnofodorr cle fissrre sr 6
1.8.4 COIICITUSIOI{S
Les résultats présentés dans ce itébut de chapitre sont en bon accord avec ceux ile cbai & al (1981) et rle yin & ar. (1995). Nous en rappellons Les points inportants :
r Le taux de restitution de I'énergie est quasi-nul avant Ie flanbage local ou global.
r Le flanbage local Drovoque une croissatrce de G et peut entraiuer Ia Dropagation des fissures.
r Les fissures très courtes ne se propaEeut - pas avant 1'effonilrenent <le la stucture.
r les fissures courtes se Dropagent de façon instable ayee une restabilisation eventuelle.
r Les fissures les plus ilélaninantes correspondent à <les profondeurs I = hz I b conprises entre 0.1 et O,ZS.
@|PARAISCN EIIÎE IiE IOEE "ASSiEûlB[ÀcE DE PoûIÎES" ET Ir'EÀSIICIIE n L.9
-Cette dernière renarque nontre que les norlèIes ,,couche fine,, ont une portée trés rinitée.car ils ne pernettent pas d'étuclier res cas les plus sévères. 11 est arlnis que pour I supérieur à 0,1 ces noilèles ne sont plus applicables .
1.9 COIIPÀRÀISOI{ EIITRE IIE IIODELE 'ASSEUBLÀCE DE POUfRES" ET L'EITASTICITE 2I)
Le problène de structure que l'on cherche à résoudre - conpression d'une poutre fissurée - est par nature un problène biilinensionnel. En assinil.ant Ia structure à un assenblage de poutres, on se ranène à une nodélisation unirtinensionnelle sinple dont la résolution est beaucoup noins coûteuse que celle du problène d'éIasticité non linéaire 2D. 11 est inportant naintenant de situer les résultats obtenus avec Ie nodèIe a s s e n b l a g e tl e p o u t r e p a r r a p p o r t à I ' é l a s t i c i t é 2 D q u i c o n s t i t u e I a r é f é r e n c e .
U n e f a ç o n n a t u r e l l e d ' e f f e c t u e r c e t t e c o n p a r a i s o n c o n s i s t e r a i t à résoudre par éIénents finis Ie problème d,'élasticité non Linéaire 2D rle la poutre en conpression. Nous allons toutefois cbercher à sirrplifier en faisant deux renarques :
r Loin de Ia pointe tle fissure, les bypothèses de poutres sont tout à fait licites et un nodèle cte poutre est sûrenent en nesure d'approcher correctenent les solutions du problène d ' é I a s t i c i t é 2 D . O n s a i t e n r e v a n c h e q u ' a u v o i s i n a g e d e l a fissure, les solutions poutres ou élasticité sont ratlicalenent différentes et c'est dans cette zoue que la conparaison présente un intérêt.
r 11 est assez naturel de connencer à conparer les solutions au voisinage ile la poiute ile fissure sous les hnotbèses de petites perturbations. L'introduction des effets de non-linéarité pourra constituer une étape ultérieure.
l{ous allons effectuer cette conparaison sur un problène très sinDle èt bien conDu : le nodèIe D.C.B. (Double Cantilever Bean) pour uD natériau honogène isotrope.
-- 1 -- LËt IODE,ES A IINE DII{EI[$C$I : " !!trtEtr,Es D'âSmtilicE m H]IîB'
1.9.1 LE PROBI,EI{E D.C.B. : f,ODEI,E ÀSSEUBLÀGE DE POUTRES LffEÀIRES
,l'
* *
"Ï-Figrre 1.10: I'assenrblage tle portres
les déplacenents et les contraintes sont nuls sur 00.
Or et Oz se conportent conne des poutres encastrées en x = 0 (tléplacenents et rotations nuls)
Poutre de Bernoulli
( s a n s c i s a i l l e n e n t ) (avec cisaillenent)Poutre de Mindlin Déplacenent s o u s I ' a c t i o n cle Ia charge F a 3 v ( a ) = -3 E I v ( a ) =
ra. l. (3 E) hrl
- 1 1 + ( - )
- l
3EI
L
(10c)
"rl
Rotation s o u s I ' a c t i o n cle la charge F a 2 v ' ( a ) = -2 E Tî a z l ( 3 E ) h r l
v ' ( a )
= - l1+ (-)
- |
zEI
|.
(5 c)
"rJ
Taux ile restitution d e I ' é n e r g i e Eza2 G = -E Irzaz
f (3 E) b2l
Ç = - 1 1 + ( - )
- l
EI
L
(10c)
"rl
IiE MBI,E{E ffi: EÀSTTCTIE IiINEAINE 2D Iil cNlRAIilE PIÀI|E 1.9
-I-9.2 LE PROBtEttE DCB: ELÀSTICITE LfNEAIRE 2D EN COIITRÀfilTE PLÂI|E
F1
Figttre 1.11: Visualisatiqr de la stnrcture tléfornée
o n a r é s o l u l e p r o b r è n e d ' é l a s t i c i t é a v e c i l e s érénents finis en dépracenent, quadrangles tle type pl (5000 élénents, Lz64z dall pour une cleni-structure). À partir cle la sorution nunérique, nous avons fait les observations suivantes :
r L,es clépracenents et les contraintes sont nuls dans ra région oo à 1 ' e x c e p t i o n d e s d e u x b o r d s : l ' e n c a s t r e n e n t e t l a z o n e d e raccordenent avec les deux autres poutres.
r Pour res régions or et Qz, et toujours loin des bords, res c o n t r a i n t ê s o x x s o n t l i n é a l r e s c l a n s 1 ' é p a i s s e u r l oxy est petit, oyy est quasi-nul.
ligrEe 1.11k iléplaæts en pointe de fissrre
-- 1 -- ln:s lrugiEs À INE DIUBFI0N : " !rcDE;ES D'ÀSSEMBLûGE m pqtIlES"
r Détai1 en pointe de fissure :
f les déplacenents sont quasi linéaires dans l,épaisseur pour I e s r é g i o n s 1 e t 2 .
* Les déplacenents dans La région 0 sont n quasi linéaires par norceaux D, iI y a une brisure au niveau de Ia pointe rle fissure. Cet effet loca1 est souvent appelé dans la l i t t é r a t u r e " r o t a t i o n e n f o n t l c l e f i s s u r e " .
# Le cbanp de co'ntrainte est 2D en pointe de fissure. 0n note un cisaillenent relativenent inportant clans Ia partie 0. 1.9.3 COUPÀRÀTSOil POI'TRE - EI,ÀSTICITE
O n a c l o p t e le s d i n e n s i o n s s u i v a n t e s z h l a = 0 , 1 v = 0 , 3 et on rapporte tous les résultats à celui clu nodèLe tle Bernoulli : poutre de Bernoulli p o u t r e de' Minitlin E l a s t i c i t é D é p l a c e n e n t s o u s c h a r g e 1 1 , 0 0 3 9
t , 2 0 2
R o t a t i o n sous charget
L , 0 0 2 6 T , L 2 6 Taux de rest. d e 1 ' é n e r g i e 1 1 , 0 0 1 3 1 , 1 3 3 Energie de défornation I 1 , 0 0 3 9t , 2 0 2
La prenière constatation est que les nodèles ile poutres sont trop rigiiles. Les déplacenents sous charge sont inférieurs d'environ 17 t à ceux de 1.'élasticité. Cette trop grande rigiilité provient essentiellenent ile la façon dont on a raccordé les poutres car on peut constater que, à un <léolacenent ile solide prés, iI y a une très bonne correspondance entre l'élasticité et le no<lèIe assenblage ile poutres dans les régions 1 et 2.
La cinénatique du noilèle cl'assenblage ile poutres interdit Ia rotation en fond ile fissure,ou, dit d'une autre façon, le noilèle ôe poutres est eu fait incapable ile représenter l'effet ile bord rlans la région 0.
Plusieurs auteurs nodélisation : Ripling & Mostovoy calcul du taux ile
F2 l' o 4 1 G = - l ( a + E I I L d e I ' é n e r g i e : îz 72 l' = | t + L , L z
E I
L
@{PâRAISCN FûITE - EXJASIICXTE 1.9
-ont proposés des solutions pour anéIiorer Ia
établi Ia relation suivante pour le ont ion
orl
3-l
( 1 e 6 4 )
r e s t i t u t
a o ) z + h a + 0 , 5 9h2 I
""1
ao est fixé tle façon enpirique à 0,5 h pour tenir conpte d,e rotation des barreaux en fond ile fissure.
Kanninen (1973) propose une nodélisation du problène DCB considérant deux poutres reliées entre elles par des ressorts.
I a t : t . Ê -I L -t l (il'aprés lhnninen (1973) ) fiSure f.ill: dèIe de lknninen
En choisissant de façon "ad obtient de façon théorique Ia
r a i d e u r d e s r e s s o r t s , i 1
5l
( 7 5 )Ç =
î z a 2 f
| 1 +
E I
t
h o c " I a r e l a t i o n ht , 2 8 - +
a 0 , 4 0 6Ces deux relations sont en très bon accorcl avec les résultats obtenus en élasticité plane.
1.9.4 COIfCITUSIOI{S
On a nontré <lans uD cas sinplifié que Ie nodèIe d'assenblage ile poutre était plus rigiile que I'élasticité. On conrnet avec ce type de noilèles une erreur sur la valeur du taux de restitution ôe l'énergie ilont l'orôre de grandeur est h/a.
La différence constatée entre les nodéles d'assenblage de poutres et 1'élasticité provient esseutiellenent d'une nauvaise prise en conpte des rotations à 1'extrénité de la poutre 0.
i
- L
t
-- 1 -- LES IDDEJES A ISIE DII{EI|SI(f,{ : " tfiDtr,Es D'lSSElBLntr DE PûIIRES"
1.10 UII ÀSSEI{BIÀCE DE POT'TRES POI'R I,ES FISSTTRES COURTES
1.10.1 ITESCRIPTIOI| DE IJ'ÀSSEI{BLÀGE
Si l'on souhaite étudier le cas des fissures courtes, le notlèIe d'assenblage de poutres précédent tloit être anélioré pour tenir conpte des deux phénonènes suivant 3
f cisaillenent transverse dans les poutres
# rotations en fond tle fissure.
Pour ce faire, nous allons toujours utiliser cles nodèIes <le p o u t r e s , n a i s 1 ' a s s e n b l a g e e s t c e t t e f o i s t o u t à f a i t r t i f f é r e n t : Ia structure est modél.isée par deux poutres de l,lincllin coIIées e n t r e e I l e s , e t I a f i s s u r e e s t i n t r o d u i t e e n t l é c o l l a n t l e s poutres sur une longueur a.
Fignre 1.14: assenblage de ilor:r portres de lffuillin
Le but de ce paragraphe n'est pas rle développer conplètenent ce Douveau noilèle rl'assenblage de poutres, nais plutôt de nontrer que cette nodélisation est plus perfornante lorsque les fissures sont courtes. Par a plus perfornante D , Dous entendons en neilleure corrélation avec 1'élasticité.
Nous nous plaçons dans le caclre tles blpothèses ile petites perturbations et prenons une fissure située au nilieu de
t .>
DESCRIPrICII DE L'ASSIBIAGE 1.10
-l ' é p a i s s e u r d u s t r a t i f i é . L e s d e u x p a r t i e s o n t a i n s i n ê n e hauteur h.
Ire chanp ile déplacenent sur chaque poutre est défini à I'aide de t r o i s f o n c t i o n s u r , v l r F r p a r l e s r e l a t i o n s c l a s s i q u e s d e l{indlin : h ( 7 6 ) g r ( x , y ) = ( u r - ( y - 7 F r ) ) E + v r y h n 7 ) g z ( x , y ) = ( u z ( y + 1 9 2 1 ) l + Y 2 I
On inpose que les déplacenents cle Ia face inférieure ile 1 soit égaux à ceux tle la face supérieure d,e 2, et cela sur une longueur t . ( 7 8 ) c e c i
( 7 e )
( 8 0 ) Àins e n t i que ( 8 1 ) g r ( x , 0 ) = g z ( x , 0 ) x € I 0 , L t se tratluit par les deux relationsh h
u r i - B r = u z - - 9 2
2 ' 2 '
v 1 = v 2
i la cinénatique ôe La poutre conprise entre 0 et èrenent définie par 4 fonctions inclépendantes uo, vo, I ' o n c h o i s i t s o u s l a f o r n e s u i v a n t e :
I
o o = 1 , u r + u z )
l 2
l _ _ f ^ l V o = V l = V zl 1
I
g o = ; ( F r + p z )
I t
I
t 1
I
t o = = ( F r - F z )
L 2 L e s t F o ' I o 4 1-- 1 -- IES lfrEiES À INE DII,IUFIO| : " ltf,DE[.ES D'ASSE{EIRGE m Pfl]IÎES"
figure 1.15: cinématiqrre des déplacæts
uo, vo, Fo caractérisent Ie déplacenent classique rle ltindlin correspontlant à un nouvenent ile solide de Ia section clroite.
lo enrichit la cinénatique de Ia poutre en autorisant une brisure rle Ia section clroite. On pourra ainsi nieux prendre en conpte la rotation en fond cle fissure.
L ' é t a b l i s s e n e n t d . e s é q u a t i o n s d e c e n o d è l e n ' o f f r e p a s t l e d i f f i c u l t é s :
Les défornations s'exprinent à partir cles déplacenents : b r 1 r = u o ' - y p o ' - ( v - 2 . ) f o ' Z e t z = v o ' - 9 o - f o ( 8 2 ) ,"" O, { ,"" O, { h ( y + - ) l o ' ( 8 3 '
et les contraintes à 1'aide ( 8 4 ) 0 r 1 = E e r r
où la fooction f (y) pernet ile des contraintes cle cisaillenent
t t r = u o ' y F o t -2 Ê t z = v o ' - p o * I o
relations de conportenent :
o ! 2 = G a r z . f ( y )
nieux représenter la répartition d a n s 1 ' é p a i s s e u r .
A
o
MSCRIPTIq{ DE IJ'ÀSSEIIBI.'EGE 1.10
-on itéfinit quatre efforts générarisés à partir de ces c-ontraintes locales :
( 8 s )
( 8 5 ) ( 8 7 ) ( 8 8 )(e0)
(e1)
e2l
(e3)
|.97'l(e8)
r+h
N o = | o r rJ-n
l"+h l t o = | . y . J - n f+h T o = l o t z J - h f+h B o = l o t z J 0 N o ' f f x = 0 T o ' * f Y = 0 - !to' * To = 0 6kzG B o t ' B o = 0 Eb2 o r r d y tlv f0dv -
J-norz
dY
dy L e s t r o i s p r e n i è r e s q u a n t i t é s s o n t t o u t à f a i t c l a s s i q u e s , e f f o r t n o r n a r , n o n e n t f r é c h i s s a n t e t e f f o r t t r a n c h a n f . B o e s t u n effort !énéralisé associé à la brisure de la section droite :Bo est Ia différence des efforts tranchants dans chacune des deux p o u t r e s .
Le principe des puissances virtuelles
f o
( 8 9 ) - | o r r ô e r l i l 0 + P ( ô u ) = 0
JO ext
concluit aux équations suivantes :
V ô g c . À .
s u r l 0 , L [
t d'écrire les contlitions
L
l
pernettan Ire terne tle puissance au bord
aux linites vaut :
( 9 4 ) [ - u o ' ô u o i M o ô F o
L
Lres relations cle coiportenent ( 9 5 1 l { o = E ( 2 h ) u o ' E ( 2 h ) 3 ( 9 6 ) l t o = - J ! 6 1 T 2 ( E b 2 ) . L
