Representations p-adiques et equations differentielles

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Representations p-adiques et equations differentielles

Laurent Berger

To cite this version:

Laurent Berger. Representations p-adiques et equations differentielles. Mathématiques [math]. Uni-versité Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2001. Français. �tel-00003571�

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ESENTATIONS p-ADIQUES ET ´

EQUATIONS

DIFF ´

ERENTIELLES

soutenue le 17 Mai 2001 devant le jury compos´e de :

M. Pierre Berthelot

M. Bruno Chiarellotto

Rapporteur

M. Gilles Christol

M. Pierre Colmez

Directeur

M. Jean-Marc Fontaine

Rapporteur

(3)

(4)

Laurent Berger

REPR ´

ESENTATIONS p-ADIQUES ET

´

(5)

Laurent Berger

MS 050 Brandeis University, PO Box 549110, Waltham MA 02454-9110.

E-mail :[email protected]

Url :http://www.unet.brandeis.edu/˜laurent

Classification mathématique par sujets (2000). — 11Gxx, 11Sxx, 12H25, 13K05, 14F30. Mots clefs. — Périodes p-adiques, représentations p-adiques ordinaires, semi-stables, cris-tallines, de de Rham, monodromie p-adique, équations différentielles p-adiques, isocristaux surconvergents, théorie de Hodge p-adique.

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REPR ´

ESENTATIONS p-ADIQUES ET ´

EQUATIONS

DIFF ´

ERENTIELLES

Laurent Berger

Résumé. — Dans cet article, on montre comment associer à toute représentation p-adique V , via la théorie des (ϕ, ŴK)-modules de Fontaine, une équation différentielle p-adique D†_rig(V ), c’est-à-dire un module à connexion sur l’anneau de Robba.

Cette construction permet de faire le lien entre la théorie des (ϕ, ŴK)-modules et la théorie de Hodge p-adique. On montre par exemple comment construire Dcris(V ) et Dst(V ) directement à

partir de D†_rig(V ), ce qui permet de reconnaˆıtre les représentations semi-stables ou cristallines ; la connexion est alors unipotente ou triviale. Alliée à des techniques de la théorie des équations différentielles p-adiques, l’étude du module D†_rig(V ) permet en outre de donner une nouvelle démonstration d’un théorème de Sen caractérisant les représentations Cp-admissibles.

Finalement on peut utiliser les résultats précédents pour étendre au cas d’un corps résiduel parfait quelconque des résultats de Hyodo (H_g1 = H_st1), de Perrin-Riou (sur la semi-stabilité des représentations ordinaires), de Colmez (les représentations absolument cristallines sont de hauteur finie), et de Bloch et Kato (si r ≫ 0, alors l’exponentielle de Bloch-Kato exp_{V (r )}est un isomorphisme) dont les démonstrations (dans le cas d’un corps résiduel fini) reposaient sur des considérations de dimensions de groupes de cohomologie galoisienne.

Abstract ( p-adic representations and differential equations). — In this paper, we associate to every p-adic representation V a p-adic differential equation D†_rig(V ), that is to say a module with a connection over the Robba ring. We do this via the theory of Fontaine’s (ϕ, ŴK)-modules. This construction enables us to relate the theory of (ϕ, ŴK)-modules to p-adic Hodge theory. We explain how to construct Dcris(V ) and Dst(V ) from D†_rig(V ), which allows us to

recog-nize semi-stable or crystalline representations; the connection is then either unipotent or trivial. Along with techniques from the theory of p-adic differential equations, the study of D†_rig(V ) allows us to give a new proof of Sen’s theorem characterizing Cp-admissible representations.

Finally we can use the previous results to extend to the case of arbitrary perfect residue fields some results of Hyodo (H_g1 = H_st1), of Perrin-Riou (the semi-stability of ordinary representa-tions), of Colmez (absolutely crystalline representations are of finite height), and of Bloch and Kato (if r ≫ 0, then Bloch-Kato’s exponential exp_{V (r )}is an isomorphism), whose proofs (for a finite residue field) relied on the study of dimensions of Galois cohomology groups.

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REMERCIEMENTS

Je voudrais tout d’abord remercier Pierre Colmez, qui a dirigé ce travail, pour avoir partagé avec moi ses idées et ses connaissances, et pour m’avoir consacré beaucoup de son temps et de son énergie. Son cours sur les fonctions L p-adiques a été mon introduction aux anneaux de périodes, et m’a donné envie d’explorer cette voie. Je suis très heureux qu’il ait accepté de diriger mon mémoire de DEA, puis ma thèse, sur ce sujet.

Durant mes recherches, Gilles Christol a répondu à mes nombreuses questions sur les équations différentielles p-adiques ; je suis content qu’en plus, il fasse partie de mon jury, et je l’en remer-cie. Bruno Chiarellotto et Jean-Marc Fontaine se sont acquittés d’une tâche peu séduisante : ils ont accepté d’être les rapporteurs de ce travail, et de plus de faire partie du jury. Je leur en suis très reconnaissant. Pierre Berthelot a répondu à mes questions sur la cohomologie rigide ; je le remercie, ainsi que Jean-Pierre Wintenberger, d’être membre de mon jury.

Pendant les trois ans qu’il m’a fallu pour mener à bien ce travail, j’ai été soutenu financièrement par plusieurs institutions, que je remercie de leur accueil :

(1) L’ École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, où j’étais dans ma dernière année de sco-larité ;

(2) l’University of Massachusetts, Amherst, dont le département de mathématiques, dirigé par Don St. Mary, m’a très gentiment accueilli pendant une année ;

(3) le département de mathématiques de Brandeis University, dirigé par Gerald Schwarz, où je vais rester faire ma coopération en travaillant avec Fred Diamond.

Je voudrais aussi remercier pour leur soutien et leur aide : Jeff Achter, Christophe Breuil, Clifton Cunningham, Fred Diamond, Adrian Iovita, Peter Norman et Glenn Stevens.

Il en va de mˆeme pour ma famille et mes amis, et bien sˆur pour Mirela.

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(10)

TABLE DES MATI `

ERES

Remerciements . . . vii

Introduction . . . 11

0.1. Généralités et notations . . . 11

0.2. Th´eorie de Hodge p-adique et (ϕ, ŴK)-modules . . . 12

0.3. Structures diff´erentielles sur les (ϕ, ŴK)-modules . . . 13

0.4. Extensions de repr´esentations semi-stables . . . 14

0.5. Plan de l’article . . . 15

I. Rappels et notations . . . 17

I.1. Le corps eE et ses sous-anneaux . . . 17

I.2. L’anneau BdRet ses sous-anneaux . . . 19

I.3. L’anneau eB et ses sous-anneaux . . . 20

II. Les anneaux eB†_rig et eB†_log . . . 23

II.1. Les anneaux eAI . . . 23

II.2. Plongement des eAI dans B+_dR . . . 27

II.3. Les anneaux eB†_rig . . . 29

II.4. Les anneaux eB†,r_log et leurs plongements dans B+_dR . . . 31

(11)

x TABLE DES MATI `ERES

II.6. L’anneau B†_rig,K . . . 34

III. Application aux repr´esentations p-adiques . . . 37

III.1. R´egularisation par le Frobenius . . . 37

III.2. Repr´esentations semi-stables . . . 38

III.3. Repr´esentations cristallines et repr´esentations de hauteur finie . . . 41

IV. Propri´et´es de B†,r_rig,K . . . 45

IV.1. L’op´erateur ∇ . . . 45

IV.2. Inversion de 1 − γK . . . 47

IV.3. Dualit´e dans B†_rig,K . . . 49

V. Structures diff´erentielles sur les (ϕ, ŴK)-modules . . . 51

V.1. L’op´erateur ∇V . . . 51

V.2. Application aux repr´esentations semi-stables . . . 53

V.3. Les modules DSen(V ) et Ddif(V ) . . . 54

V.4. Repr´esentations Cp-admissibles . . . 56

VI. Extensions de repr´esentations semi-stables . . . 61

VI.1. Cohomologie galoisienne et (ϕ, ŴK)-modules . . . 62

VI.2. Réduction au cas où k est algébriquement clos . . . 63

VI.3. Semi-stabilit´e des repr´esentations ordinaires . . . 65

VI.4. Extensions de repr´esentations semi-stables . . . 66

VI.5. L’exponentielle de Bloch-Kato . . . 70

Diagramme des anneaux de p´eriodes . . . 73

Index des notations . . . 75

(12)

INTRODUCTION

0.1. Généralités et notations

Dans tout cet article k est un corps parfait de caractéristique p, et F est le corps des fractions de l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k. Soit K une extension finie totalement ramifiée de F , ce qui fait que le corps résiduel de K s’identifie à k et que le corps K est complet pour la valuation vpqui étend celle de F . Soit Cple complété d’une clôture algébrique K de K . On s’intéressera aux représentations p-adiques V du groupe de Galois absolu GK = Gal(K /K ) c’est-à-dire aux Qp-espaces vectoriels de dimension finie d munis d’une action linéaire et continue de GK.

J-M. Fontaine a construit dans [20] une équivalence de catégories V 7→ D(V ) entre la catégorie de toutes les représentations de GK et la catégorie des (ϕ, ŴK)-modules étales (le foncteur inverse est noté D 7→ V(D)). Un (ϕ, ŴK)-module est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps local BK de dimension 2 muni d’une action semi-linéaire d’un Frobenius ϕ et d’une action semi-linéaire de ŴK commutant à celle de ϕ. Un tel module est étale si ϕ est de pente 0 (✁ unit root✂ ). Le corps BK est isomorphe (non canoniquement) à l’anneau des

sériesP_k∈ZakTk en l’indéterminée T où la suite ak est une suite bornée d’éléments de F et limk→+∞a−k = 0. L’action de ϕ et de ŴK est assez compliquée en général mais si K est non-ramifié (K = F ), alors on peut choisir T de telle sorte que ϕ(T ) = (1 + T )p − 1 et

γ (T ) = (1 + T )χ (γ ) −1 (dans le corps du texte, T est égal à un élément πK construit via la théorie du corps des normes et l’action de ϕ et de ŴK provient d’une action naturelle ; si K = F , on a πK = π =[ε] − 1).

L’anneau BK est assez désagréable mais il contient l’anneau B†_K des séries surconvergentes, c’est-à-dire l’anneau des séries A(T ) =P_k∈ZakTk où la suite ak est une suite bornée d’élé-ments de F et il existe r < 1 tel que la série A(T ) converge sur une couronne non-vide du type

(13)

12 INTRODUCTION

par extension des scalaires d’un ✁ module surconvergent✂ ; plus précisément on a le résultat

Théorème 0.1. — Si D est un (ϕ, ŴK)-module étale, alors l’ensemble des sous-B†_K-modules libres de type fini stables par ϕ et ŴK admet un plus grand élément D†et on a D = BK⊗_B†

K

D†.

Le fait que l’ensemble des sous-B†_K-modules libres de type fini stables par ϕ et ŴK admet un plus grand élément est un résultat de Cherbonnier [5], et moyennant ce résultat, le théorème est énoncé dans [6] de manière duale (via le foncteur D 7→ V(D)) sous la forme ✁ toute

représentation de GK est surconvergente✂ . Grâce à ce résultat, on va pouvoir tensoriser

au-dessus de B†_K avec l’anneau de Robba B†_rig,K (apparaissant dans les théorie des équations différentielles p-adiques), constitué des séries A(T ) =P_k∈ZakTk telles que ak ∈ F et qu’il existe r < 1 tel que la série A(T ) converge sur une couronne non-vide du type {z ∈ Cp,r <

|z| < 1} (sans condition de croissance au voisinage de {z ∈ Cp, |z| = 1}). Ceci va nous permettre, si V est une repr´esentation p-adique de GK, d’une part de retrouver les invariants

Dcris(V ) et Dst(V ) associés à V par la théorie de Hodge p-adique et, d’autre part, en utilisant

l’action infinitésimale de ŴK, d’associer à V un module à connexion D†_rig(V ) sur l’anneau de Robba B†_rig,K. Cet article rassemble un certain nombre de résultats que l’on peut obtenir via l’étude de ce module à connexion : caractérisation des représentations absolument cristallines, semi-stables, de de Rham et Cp-admissibles et applications à la conjecture de ✁ monodromie

p-adique✂ .

0.2. Th´eorie de Hodge p-adique et (ϕ, ŴK)-modules

Soient B†_log,K =B†_rig,K[log(T )] (anneau muni des actions ´evidentes de ϕ et de ŴK), D†_rig(V ) =

B†_rig,K ⊗_B† K D †₍_{V ) et D}† log(V ) = B † log,K ⊗B†_K D

†₍_{V ). Si V est une repr´esentation p-adique}

de GK, soient Dcris(V ), Dst(V ) et DdR(V ) les modules associés à V par la théorie de Hodge p-adique. Le premier résultat est que l’on peut retrouver ces modules

Théorème 0.2. — Si V est une représentation p-adique de GK, alors

Dst(V ) = (D†_log(V )[1/t ])ŴK et Dcris(V ) = (D†_rig(V )[1/t ])ŴK.

De plus :

(1) si V est une repr´esentation semi-stable, alors

D†(V ) ⊗_B†

K

(14)

0.3. STRUCTURES DIFF ´ERENTIELLES SUR LES (ϕ, ŴK)-MODULES 13

(2) si V est une repr´esentation cristalline, alors

D†(V ) ⊗_B† K B † rig,K[1/t ] = Dcris(V ) ⊗F B † rig,K[1/t ]

Dans l’énoncé ci-dessus le t qui apparaˆıt est un élément de B†_rig,K sur lequel ŴK agit via γ (t ) =

χ (γ )t et tel que ϕ(t ) = pt ; si K = F , on a t = log(1 + T ).

Les modules Dcris(V ) et Dst(V ) sont naturellement munis d’un Frobenius ϕ, d’un op´erateur de

monodromie N et d’une filtration. Le théorème précédent permet de retrouver les actions de ϕ et N , mais la recette permettant de retrouver la filtration est suffisament peu ragoûtante pour ne pas être explicitée dans cet article.

Un corollaire de ce théorème est le résultat suivant :

Corollaire 0.3. — Si V est une repr´esentation cristalline de GF, alors V est de hauteur finie.

Ce résultat avait été conjecturé par Fontaine (voir [20, 40]) et démontré par Colmez de manière très détournée (la démonstration utilisait deux versions [11, 7] de la démonstration de la loi de réciprocité conjecturée par Perrin-Riou [29]) dans le cas d’un corps résiduel fini. La démonstra-tion donnée dans cet article utilise à la place le théorème ci-dessus et un résultat d’analyse

p-adique démontré par Kedlaya [25]. Signalons que Benois [2] a par ailleurs démontré la loi de réciprocité de Perrin-Riou pour les représentations cristallines de hauteur finie ce qui, com-biné avec le résultat ci-dessus, fournit une démonstration de cette loi de réciprocité dans le cas général, n’utilisant que la théorie des (ϕ, ŴK)-modules, réalisant ainsi un programme de Fontaine.

0.3. Structures diff´erentielles sur les (ϕ, ŴK)-modules

Soit γ un élément de ŴK assez proche de 1. La série qui définit log(γ )/ log(χ (γ )) converge vers un opérateur différentiel ∇ ; si K = F on a ∇ = log(1 + T )(1 + T )_{d T}d . Si B†,rn

rig,K est

l’anneau des s´eries convergeant sur la couronne { p−1/eKrn _|_{z| < 1} (o`u e}

K = [K∞ : F∞]

et rn = (p − 1) pn−1), alors ∇ stabilise B†,r_rig,Kn pour n assez grand et on dispose de plus de morphismes injectifs ιn : B†,r_rig,Kn → Kn[[t ]] qui v´erifient ιn◦ ∇ =t_dtd ◦ ιn.

Ce qui précède correspond au cas de la représentation triviale et, plus généralement, si V est une représentation p-adique de GK et si γ est un élément de ŴK assez proche de 1, la série qui définit log(γ )/ log(χ (γ )) converge vers un opérateur différentiel ∇V de D†_rig(V ) au-dessus de

(15)

14 INTRODUCTION

ce qui permet d’associer à toute représentation p-adique de GK un module différentiel sur une couronne.

En localisant en ζ − 1 (où ζ est un racine primitive d’ordre pn de l’unité), ce qui revient à considérer l’application ιn : D†,r_rign(V ) → (B+_dR⊗QpV )

HK_{, on retombe sur le module différentiel} considéré par Fontaine dans [21, chap. 3], ce qui permet en particulier de retrouver le module

DdR(V ) à partir du noyau de cette connexion. En utilisant l’application θ : B+_dR → Cp, on retombe sur le module de Sen ; la connexion devenant un opérateur Kn-linéaire dont les valeurs propres sont les ✁ poids de Hodge-Tate généralisés✂ . En particulier, V est Cp-admissible (ce

qui équivaut à V de Hodge-Tate et tous ses poids de Hodge-Tate sont nuls) si et seulement si cet opérateur est nul. Utilisant ce fait et des techniques d’équations différentielles p-adiques (plus précisément un théorème de Tsuzuki [8, 39]) on obtient une démonstration du résultat suivant, dû à Sen [33], qui caractérise les représentations Cp-admissibles :

Théorème 0.4. — Si V une représentation p-adique de GK, alors les deux conditions sui-vantes sont équivalentes :

(1) V est Cp-admissible ;

(2) le sous-groupe d’inertie de GK agit sur V `a travers un quotient fini.

Finalement, il sort essentiellement du th´eor`eme 0.2 que

Théorème 0.5. — Soit V une représentation p-adique, alors il existe n tel que la restriction de

V `a GK (µpn)est semi-stable (respectivement cristalline) si et seulement si ∇V est une connexion

unipotente (respectivement triviale) sur D†_rig(V )[1/t ].

0.4. Extensions de repr´esentations semi-stables

Si l’on combine les différentes techniques évoquées ci-dessus et le calcul de la cohomologie galoisienne des représentations p-adiques [22, 7] on peut démontrer les deux résultats suivants : Théorème 0.6. — (1) Toute représentation ordinaire de GK est semi-stable ;

(2) une extension de deux repr´esentations semi-stables qui est de de Rham est elle-mˆeme semi-stable ( H_g1= H_st1 ✁

).

Ces deux résultats étaient connus dans le cas d’un corps résiduel fini, où on peut les déduire de calculs de dimension de groupes de cohomologie galoisienne (ce qui n’est plus possible si le corps résiduel n’est pas fini).

(16)

0.5. PLAN DE L’ARTICLE 15

Le premier avait été démontré dans ce cas là par Perrin-Riou [28, 29, 30] comme corollaire des calculs de Bloch et Kato [4] et le deuxième par Hyodo [23, 27]. Le même genre de méthodes permet de montrer que si V est une représentation semi-stable de GK, alors quand r ≫ 0, l’exponentielle de Bloch-Kato exp_{V (r )} : DdR(V (r )) → H1(K , V (r )) est un isomorphisme,

résultat démontré par Bloch et Kato dans le cas d’un corps résiduel fini via des arguments de dimension.

Mentionnons que l’on conjecture que toute représentation de de Rham est potentiellement semi-stable (conjecture de ✁ monodromie p-adique✂ [19]) ce qui a été démontré par Fontaine (non

publié) en dimension 2. Le (2) du théorème 0.6 permet de ramener cette conjecture au cas irréductible. On peut espérer que les techniques développées dans ce texte permettront de ra-mener cette conjecture aux conjectures du même nom de la théorie des équations différentielles

p-adiques [16, 25, 38, 1].

0.5. Plan de l’article

Cet article comporte six chapitres (§) subdivisés en no. Le premier § est consacré à des rappels sur les représentations p-adiques et les anneaux de Fontaine. Dans le deuxième on donne la construction des anneaux eB†_riget eB†_log, qui sont fondamentaux pour ce qui suit. On donne dans le troisième § une application de ces constructions : comment retrouver Dcris(V ) et Dst(V ) à partir du (ϕ, ŴK)-module D(V ). Le quatrième § est consacré à l’étude de la connexion ∇ sur l’anneau B†_rig,K, ce qui permet de définir dans le cinquième § l’équation différentielle associée à une représentation p-adique ; on donne des applications à la théorie de Fontaine et à la théorie de Sen. Enfin dans le sixième § on montre que les constructions précédentes permettent de démontrer que certaines représentations sont semi-stables.

Le théorème 0.2 est la réunion du théorème III.6 et de la proposition III.7. Le corollaire 0.3 est l’objet du théorème III.9, le théorème 0.4 correspond à la proposition V.11 et le théorème 0.5 à la proposition V.6. Le premier point de 0.6 est démontré dans le noVI.3 et le deuxième point dans le noVI.4. Cet article comporte deux appendices pour le rendre plus lisible : un diagramme des anneaux de périodes, et un index des notations.

(17)

(18)

CHAPITRE I

RAPPELS ET NOTATIONS

Ce § est entièrement constitué de rappels sur la théorie des représentations p-adiques. On se reportera à [6, 7, 11, 18, 19, 20] ou aussi [14] pour la démonstration des faits qui sont rap-pelés ici. Pour ce qui est de la théorie des équations différentielles p-adiques et des isocristaux surconvergents, le lecteur pourra se reporter à [9, 10, 16, 25, 38, 39].

La principale stratégie pour étudier les représentations p-adiques d’un groupe G est de cons-truire des Qp-algèbres topologiques B munies d’une action du groupe G et de structures supplé-mentaires de telle manière que si V est une représentation p-adique, alors DB(V ) = (B ⊗Qp

V )G est un BG-module qui hérite de ces structures, et que le foncteur qui à V associe DB(V ) fournisse des invariants intéressants de V . On dit qu’une représentation p-adique V de G est B-admissible si on a B ⊗Qp V ≃ B

d _{en tant que G-modules.}

I.1. Le corps eE et ses sous-anneaux

Soit k un corps parfait de caractéristique p, F le corps des fractions de l’anneau des vecteurs de Witt sur k et K une extension finie totalement ramifiée de F . Soit F une clôture algébrique de F et Cp = bF sa complétion p-adique. On pose GK = Gal(K /K ), c’est aussi le groupe des automorphismes continus K -linéaires de Cp. Le corps Cpest un corps complet algébriquement clos de corps résiduel Cp/ Cp = k. On pose aussi Kn = K (µpn)et K∞ est défini comme étant la réunion des Kn. Soit HK le noyau du caractère cyclotomique χ : GK →Z∗p et ŴK = GK/HK le groupe de Galois de K∞/K qui s’identifie via le caractère cyclotomique à un sous groupe ouvert de Z∗_p. Soient eE = lim ←− x7→xp Cp= {(x(0),x(1), · · · ) | (x(i +1))p = x(i )}

(19)

18 CHAPITRE I. RAPPELS ET NOTATIONS

et eE+l’ensemble des x ∈ eE tels que x(0)∈ Cp. Si x = (x

(i )₎_{et y = (y}(i )₎_{sont deux éléments} de eE, alors on définit leur somme x + y et leur produit x y par :

(x + y)(i ) = lim j →∞(x

(i + j )₊_y(i + j )₎pj _{et (x y)}(i ) ₌ _x(i )_y(i )

ce qui fait de eE un corps de caract´eristique p dont on peut montrer qu’il est alg´ebriquement clos.

Si x = (x(n))n 0 ∈ eE soit vE(x) = vp(x(0)). C’est une valuation sur eE pour laquelle celui-ci est complet ; l’anneau des entiers de eE est eE+ et l’id´eal maximal est _e_E = {x ∈ eE, vE(x) > 0}.

Soit eA+ l’anneau W (eE+) des vecteurs de Witt `a coefficients dans eE+ et eB+ = eA+[1/ p] =

{P_k≫−∞ pk[xk], xk ∈ eE+} où [x] ∈ eA+ est le relèvement de Teichmüller de x ∈ eE+. Cet anneau est muni d’une application θ : eB+ →Cpdéfinie de la manière suivante :

θ X k 0 pk[xk] ! =X k 0 pkx_k(0) Soient ε = (ε(i )) ∈ eE+ avec ε(0) = 1 et ε(1) 6= 1, π = [ε] − 1, πn = [εp −n ] − 1, ω = π/π1

et q = ϕ(ω) = ϕ(π )/π . Alors ker(θ ) est l’idéal principal engendré par ω. De même soit

ep = ( p(n)) ∈ eE+ avec p(0)= p, alors ker(θ ) est aussi engendr´e par [_ep] − p.

Remarquons que ε est un élément deeE+tel que vE(ε−1) = p/( p−1). On pose EF =k((ε−1)) et on définit E comme étant la clôture séparable de EF dans eE ainsi que E+ = E ∩ eE+ et

E = E ∩ eE l’anneau des entiers et l’id´eal maximal de E. On renvoie `a [7, p. 243] pour

une application de la th´eorie du corps de normes [42] `a la construction d’une application ιK : lim

←− Kn → eE

+ _{de la limite projective des}

Kn relativement aux applications normes dans eE

+ dont la principale propri´et´e est la suivante :

Proposition I.1. — L’application ιK induit une bijection de lim_←₋ Kn sur l’anneau des entiers E+_K de EK =EHK.

On remarquera que la proposition ci-dessus est énoncée dans [7, I.1.1] avec la restriction supplé-mentaire que K /Qp est finie mais ceci n’est pas nécessaire (en revanche il est important que K /F soit finie).

De plus on peut montrer de la même manière que EK est une extension finie séparable de

EF de degré eK = [K∞ : F∞] et de groupe de Galois HF/HK et que le groupe de Galois Gal(E/EK)s’identifie à HK. Enfin E+_K est un anneau de valuation discrète de la forme k[[πK]] où πK = ιK(̟K)est l’image d’une suite ̟K d’uniformisantes compatibles pour les normes des Kn.

(20)

I.2. L’ANNEAU BdRET SES SOUS-ANNEAUX 19

I.2. L’anneau BdRet ses sous-anneaux

L’anneau B+_dR est défini comme étant le complété pour la topologie ker(θ )-adique deeB+ (on remarquera que eA+ est complet pour cette topologie) :

B+_dR=lim

←−

n 0

eB+/(ker(θ )n)

c’est un anneau de valuation discrète, d’idéal maximal ker(θ ) ; la série qui définit log([ε]) converge dans B+_dR vers un élément t , qui est un générateur de l’idéal maximal, ce qui fait que BdR = B+_dR[1/t ] est un corps, muni d’une action de GF et d’une filtration définie par Fili(BdR) =tiB+_dRpour i ∈ Z.

On dit qu’une repr´esentation V de GK est de de Rham si elle est BdR-admissible ce qui ´equivaut

`a ce que le K -espace vectoriel DdR(V ) = (BdR⊗Qp V )

GK _{est de dimension d = dim}

Qp(V ). L’anneau B+_max est d´efini comme ´etant

B+_max = {X

n 0 an

ωn

pn o`u an ∈ eB

+ _{est une suite qui tend vers 0}}

et Bmax = B+_max[1/t ]. On peut d’ailleurs remplacer ω par n’importe quel g´en´erateur de ker(θ ),

par exemple [_ep] − p. Cet anneau se plonge canoniquement dans BdR(les s´eries d´efinissant ses

´el´ements convergent dans BdR) et en particulier il est muni de l’action de Galois et de la filtration

induites par celles de BdR, ainsi que d’un Frobenius ϕ, qui ´etend l’application ϕ :eA+ → eA+

déduite de x 7→ xp dans eE+. On remarquera que ϕ ne se prolonge pas par continuité à BdR.

On pose eB+_rig = ∩+∞_n=0ϕn(B+_max)(on remarquera que l’anneau eB+_rigest l’anneau B+_contde [11]). La notation s’explique par le fait que l’on a un isomorphisme [3] eB+_rig = H_rig0 ( _K,W (k)).

On dit qu’une repr´esentation V de GK est cristalline si elle est Bmax-admissible ou, ce qui

revient au même, eB+_rig[1/t ]-admissible ; ceci équivaut à ce que le F -espace vectoriel

Dcris(V ) = (Bmax⊗Qp V )

GK _{= (e}_B+

rig[1/t ] ⊗Qp V )

GK

est de dimension d = dimQp(V ). Alors Dcris(V ) est muni d’un Frobenius et d’une filtration induits par ceux de Bmax, et (BdR⊗Qp V )

GK ₌ _D

dR(V ) = K ⊗F Dcris(V ) ce qui fait qu’une

repr´esentation cristalline est aussi de de Rham.

La série qui définit log(π(0)) + log([π ]/π(0)) (après avoir choisi log( p) et où π = ε − 1) converge dans B+_dRvers un élément log[π ] qui est transcendant sur Frac B+_max et on pose Bst =

Bmax[log[π ]] et eB+_log = eB+_rig[log[π ]]. On dit qu’une repr´esentation V est semi-stable si elle

(21)

20 CHAPITRE I. RAPPELS ET NOTATIONS F -espace vectoriel Dst(V ) = (Bst⊗Qp V ) GK _{= (e}_B+ log[1/t ] ⊗Qp V ) GK

est de dimension d = dimQp(V ). Alors Dst(V ) est muni d’un Frobenius, d’une filtration et d’un op´erateur de monodromie N = −d/d log[π ] qui v´erifie N ϕ = pϕ N (voir [37] pour une justification du signe✁ −✂ ), et (BdR⊗Q

p V )

GK ₌ _D_dR(_{V ) = K ⊗F} _D_st(_{V ). De plus V est} cristalline si et seulement si elle est semi-stable et N = 0 sur Dst(V ). On utilisera aussi le

F -espace vectoriel D+_st(V ) = (eB+_log⊗Qp V )

GK_.

I.3. L’anneau eB et ses sous-anneaux

Soit eA l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans eE et eB = eA[1/ p]. Soit AF le complété de F[π, π−1] dans eA+ pour la topologie de celui-ci, c’est aussi le complété p-adique de

F[[π ]][π−1]. C’est un anneau de valuation discrète complet dont le corps résiduel est EF. Soit B le complété de l’extension maximale non ramifiée de BF =AF[1/ p] dans eB. On définit alors A = B ∩ eA et A+ = A ∩ eA+. Ces anneaux sont munis d’une action de Galois et d’un Frobenius déduits de ceux deeE. On pose AK = AHK et BK = AK[1/ p]. Quand K = F les deux définitions co¨ıncident.

Si V est une repr´esentation p-adique de GK soit D(V ) = (B ⊗Qp V )

HK_{. On sait [20] que D(V )} est un BK-espace vectoriel de dimension d = dim(V ) muni d’un Frobenius et d’une action résiduelle de ŴK qui commutent (c’est un (ϕ, ŴK)module) et que l’on peut récupérer V grâce à la formule V = (D(V ) ⊗BK B)

ϕ=1_.

Le corps B est une extension totalement ins´eparable (✁ radicielle✂ ) de degr´e p de ϕ(B). Le

Frobenius ϕ : B → B est injectif, mais n’est donc pas surjectif, et il est utile d’en d´efinir un inverse `a gauche par la formule : ψ(x) = ϕ−1(p−1TrB/ϕ(B)(x)).

Tout élément deeB peut s’écrire de manière unique sous la formeP_k≫−∞ pk[xk] où les xksont des éléments deeE. On définiteB†,0= eB+ et, si r > 0, on pose

eB†,r = {x ∈ eB, lim

k→+∞vE(xk) +

pr

p − 1k = +∞}

Si r ∈ R on définit n(r ) comme étant le plus petit entier n tel que r nr= pn−1(p − 1). La sérieP_k≫−∞ pk[xk] converge dans BdRsi et seulement si la sériePk≫−∞ pkx

(0)

k converge dans Cp. On en d´eduit notamment pour n entier tel que pn−1(p − 1) r une application injective ιn = ϕ−n : eB†,r → B+_dR qui envoie P_k≫−∞ pk[xk] sur la somme de la s´erie

P k≫−∞ pk[x p−n k ] dans B + dR. Soient B †,r ₌ _{B ∩ e}_B†,r_{, e}_B† _{= ∪} r 0eB†,r et B† = ∪r 0B†,r.

(22)

I.3. L’ANNEAU eB ET SES SOUS-ANNEAUX 21

Enfin eA†,r est l’ensemble des x ∈ eB†,r tels qu’en plus, vE(xk) + _p−1pr k 0, A†,r = eA†,r ∩A, et

A†= eA†∩A o`u eA†= eB†∩ eA.

Remarque I.2. — La notation adoptée ici diffère un peu de celle de [6, 7]. Ce que nous appe-lons eB†,r (repectivement eB†,rn_{) y est notée}_B†

r− (respectivement eB

†,n_).

On dit qu’une représentation p-adique V est surconvergente si D(V ) possède une base sur BK constituée d’éléments de D†(V ) = (B†⊗Qp V )

HK_{. Rappelons le r´esultat principal [6, 7] `a ce} sujet :

Théorème I.3. — Toute représentation V de GK est surconvergente, c’est- à-dire qu’il existe r (V ) tel que D(V ) = BK ⊗_B†,r (V )

K

D†,r (V )(V ). De plus il existe s(V ) tel que D(V )ψ =1 ⊂

D†,s(V )(V ).

Si on applique le deuxième point à la représentation triviale, on en déduit par exemple qu’il existe s(Qp) tel que Bψ =_K 1 ⊂ B

†,s(Qp)

K . On a d’autre part une description assez pr´ecise des anneaux B†,r_K , comme le montre la proposition suivante :

Proposition I.4. — Il existe n(K ) ∈ N et πK ∈ A

†,rn(K )

K dont l’image modulo p est une unifor-misante πK de EK. Si r rn(K ), alors tout élément x ∈ B†,r_K peut s’écrire x = P_k∈Zakπ_Kk où ak ∈ F et où la série P_k∈ZakTk est holomorphe et bornée sur la couronne ouverte

{p−1/eKr _{< |}_{T | < 1} et converge sur le bord int´erieur.}

Afin de montrer le théorème I.3 un ingrédient important est la construction d’applications de

✁ décomplétion✂ mRque nous allons décrire plus en détail. On a des inclusions B

†,r

K ⊂ eB

†,r

K et

pour m 1 ϕ−m(B†,r_K ) ⊂ eB†,r_K , qui v´erifient [6, III.2] :

Proposition I.5. — Ces inclusions admettent des sections continues R0 : eB†,r_K →B†,r_K et pour

m 1 Rm : eB†,r_K → ϕ−m(B†,r_K ). Soit R_m∗ = Rm − Rm−1. Alors il existe n0(K ) tel que si n n0(K ), a ∈ Z, x ∈ πaeA†,rn K , alors : R0(x) ∈ πaA†,rn K et R ∗ m(x) ∈ π a ϕ−m((A†,r_K n+m)ψ =0)

On a de plus les propri´et´es suivantes : (1) R0◦ ϕm = ϕm◦ Rm;

(2) Rm et les R_k∗ pour k m + 1 sont ϕ−m(B†_K)-lin´eaires ; (3) si x ∈ eA†_K, alors x = limm→+∞ Rm(x) dans eAK.

(23)

(24)

CHAPITRE II

LES ANNEAUX e

B

†_rig

ET e

B

†_log

Soit α < 1 et α_F(X ) l’ensemble des sériesP_k∈ZakXk avec ak ∈ F une suite bornée telle que tout ρ ∈ [α; 1[ on ait limk→±∞|ak|ρk =0. Les rappels du § précédent montrent que, si r ∈ R et α(K , r ) = p−1/eKr_{, l’application f 7→ f (π}

K)de α(K ,r )_F dans B†,r_K est un isomorphisme. Soit ✁

α

F(X ) l’ensemble des s´eries

P

k∈ZakXk avec ak ∈ F et telles que tout ρ ∈ [α; 1[, limk→±∞|ak|ρk =0. Alors ∪α<1✁

α

F est l’anneau de Robba à coefficients dans F dont il a été question dans l’introduction. Afin de faire le lien entre représentations p-adiques et équations différentielles, on va définir un anneaueB†,r_rig ⊃ eB†,r tel que (eB†,r_rig)HK _contienne

✁

α(K ,r )

F (πK). Si

f (X ) ∈ ✁

α

F(X ) et I est un intervalle compact ⊂ [α; 1[, on pose VI(f ) = inf vp(f (z)), |z| ∈ I . Alors α_F(X ) est muni de la topologie de Fréchet définie par l’ensemble des VI et son complété pour cette topologie s’identifie à✁

α

F(X ). Il est donc naturel de chercher eB

†,r

rig sous la forme d’un

sous-anneau du complété deeB†,r pour une topologie ressemblant à celle qui est définie par les VI : c’est l’objet de ce §.

II.1. Les anneaux eAI

Dans toute ce §, r et s sont deux éléments de N[1/ p] ∪ {+∞} tels que r s. Rappelons que pour n 0 on a posé rn = (p − 1) pn−1. Dans toute la suite, on notera [x]r pour [xr], même si r n’est pas entier. On convient que p/[π ]+∞ =1/[π ] et que [π ]+∞/p = 0. Soient

e A[r ;s] = eA+{ p [π ]r, [π ]s p }:= eA + {X, Y }/([π ]rX − p, pY − [π ]s,X Y − [π ]s−r)

eB[r ;s] = eA[r ;s][1/ p] o`u, si A est un anneau complet pour la topologie p-adique, A{X, Y } d´enote

la complétion p-adique de A[X, Y ] c’est-à dire que A{X, Y } = {P_{i, j} ₀ai jXiYj}où ai j est une suite qui tend vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies.

(25)

24 CHAPITRE II. LES ANNEAUX eB†_rigET eB†_log

(1) I ∩ pnA = pnI ;

(2) I est ferm´e dans A pour la topologie p-adique.

Démonstration. — Le (2) suit du (1) puisque I est complet pour la topologie p-adique et que le (1) montre qu’une suite d’éléments de I qui tend vers 0 dans A tend vers 0 dans I . Montrons donc le (1). Soit f (X, Y ) = P_{i, j} ₀ai jXiYj ∈ pnA ce qui revient à dire que pn|ai j. Quitte à modifier f par des éléments de pn(X Y − [π ]s−r) ⊂ pnI on peut supposer que f (X, Y ) =

P

iaiXi+PjbjYj o`u pndivise ai et bj. Si f (X, Y ) ∈ I c’est que l’on peut ´ecrire f (X, Y ) = a(X, Y )([π ]rX − p) + b(X, Y )( pY − [π ]s) +c(X, Y )(X Y − [π ]s−r)et les relations Y ([π ]rX −

p) = [π ]r(X Y −[π ]s−r)−(pY −[π ]s)et X ( pY −[π ]s) = p(X Y −[π ]s−r)−([π ]rX − p)[π ]s−r montrent que quitte `a modifier c(X, Y ) on peut supposer que a(X, Y ) = a(X, 0) et b(X, Y ) = b(0, Y ). On voit alors que c(X, Y ) = 0 et donc finalement que f (X, Y ) = a(X )([π ]rX − p) + b(Y )( pY −[π ]s). Montrons que a(X ) ∈ pnA (la preuve pour b(Y ) est la mˆeme). Posons a(X ) =

P

iciXi. On a alors a0 = −pc0 et ai =[π ]rci −1− pci ce qui fait si i 0 et 0 j n − 1, alors pndivise ci + j[π ]r −pci + j +1et donc aussiPn−1j =0[π ]r (n−1− j )pj(ci + j[π ]r −pci + j +1) = [π ]r nci −pnci +n et donc pn divise ci dans eA+.

Corollaire II.2. — L’anneau eA[r ;s] est s´epar´e pour la topologie p-adique (il est clairement

complet). De plus on a une application naturelle surjective eA[r ;s] dans le compl´et´e p-adique de e

A+[ p/[π ]r,[π ]s/p] dont le noyau est l’image de l’adh´erence de I dans eA[r ;s] et donc nul, ce

qui fait que eA[r ;s]s’identifie aussi au compl´et´e p-adique de eA+[ p/[π ]r,[π ]s/p].

Lemme II.3. — Tout élément de eA[r ;s]peut s’écrire de la manière suivante : X k 0 p [π ]r k ak+X k>0 [π ]s p k bk

avec (ak), (bk)deux suites de eA+ qui convergent vers 0 (cette ´ecriture est bien sˆur non-unique).

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la définition. On se contentera de remarquer que p [π ]r k · [π ]s p ℓ =      [π ]k(s−r ) [π ]s p ℓ−k si k ℓ [π ]ℓ(s−r ) p [π ]r k−ℓ si k ℓ

Lemme II.4. — Si ρ et σ sont deux éléments de eE+ qui vérifient vE(ρ) = pr/( p − 1) et

vE(σ ) = ps/( p − 1), alors eA[r ;s] = eA+{p/[ρ], [σ ]/ p}.

(26)

II.1. LES ANNEAUX eAI 25

Remarquons que si on a r1 r2 s2 s1, alors il y a une inclusion (les deux anneaux en

présence sont intègres et ont même corps des fractions) :

e A+[ p [π ]r1, [π ]s1 p ] ֒→ eA + [ p [π ]r2, [π ]s2 p ]

Lemme II.5. — Cette inclusion se prolonge en un morphisme eA[r1;s1] → eA[r2;s2] qui est

tou-jours injectif.

D´emonstration. — Le morphisme du haut se factorise en eA[r1;s1] → eA[r1;s2] → eA[r2;s2] et on

peut donc supposer r1=r2ou s1 =s2. Supposons par exemple r1=r2=r (l’autre cas se traite

de la même manière). Alors il suffit de montrer que le morphisme composéeA[r ;s1] → eA[r ;s2] →

e

A[r ;r ] est injectif (tout ceci pour simplifier la notation). On va donc montrer que si s r , alors e

A[r ;s] → eA[r ;r ] est injectif. Soient α = [α] et β = [β] avec α, β ∈ eE tels que vE(α) = r et

vE(β) =s − r de telle sorte que eA[r ;s] = eA{X, Y }/(α X − p, pY − αβ, X Y − β) et eA[r ;r ] = e

A{X, Y }/(α X − p, pY − α, X Y − 1). Le fait que l’application naturelle f (X, Y ) 7→ f (X, βY )

du premier anneau dans le second est injective est équivalent au fait que si f (X, βY ) ∈ (α X − p, pY − α, X Y − 1), alors f (X, βY ) appartient à l’idéal deeA{X, βY } engendré par (α X −

p, pYβ − αβ, X Yβ − β), ce que nous allons maintenant d´emontrer.

Commen¸cons par remarquer que quitte à modifier f (X, Y ) par des éléments de l’idéal (α X − p, pY − α, X Y − 1) on peut supposer (en remplaçant X Y par 1) que f (X, βY ) =P+∞_{i =0} γiXi+

P+∞

j =1δjβjYj. Supposons que l’on ait f (X, βY ) = a(X, Y )(α X − p) + b(X, Y )( pY − α) + c(X, Y )(X Y − 1). Les relations Y (α X − p) = α(X Y − 1) − ( pY − α) et X ( pY − α) = p(X Y − 1) − (α X − p) montrent que l’on peut supposer, quitte à modifier c(X, Y ), que a(X, Y ) = a(X, 0) := a(X ) et b(X, Y ) = b(0, Y ) := b(Y ). Comme f (X, βY ) ne contient pas de terme en X Y c’est alors que c(X, Y ) = 0. On a donc montré que f (X, βY ) = a(X )(α X − p) + b(Y )( pY − α). Posons b(Y ) =P+∞_{j =0}bjYj. Pour terminer la démonstration il faut montrer que bj est un multiple de βj +1. Un calcul facile montre que si j 1, alors δjβj = (pbj −1 − αbj) ce qui fait que βj divise pbj −1− αbjdans eA+et donc que βj +1divisePn_k=0 pn−kαk(pbj +k−

αbj +k+1) = pn+1bj − αn+1bj +n+1. Reste `a choisir n assez grand pour que βj +1 divise αn+1

ce qui montre alors que βj +1 divise bj.

On utilise ces injections pour d´efinir, si I est un intervalle de R ∪ {+∞} :eBI = ∩[r ;s]⊂I ∩ReB[r ;s].

Soient I ⊂ J deux intervalles fermés, ce qui fait queeBJ ⊂ eBI, on définit une valuation p-adique VI sur eBJ en décidant que VI(x) = 0 si et seulement si x ∈ eAI −peAI et que l’image de VI est Z. Par définitioneBI muni de VI est un espace de Banach p-adique. De plus le complété de eBJ pour VI s’identifie a eBI.

(27)

Remarque II.6. — Comme eAI est un anneau on a notamment VI(x y) VI(x) + VI(y).

Le but de cette partie est de dégager quelques propriétés de ces anneaux. Commençons par remarquer que le groupe de Galois GF agit sur eA+ et que cette action s’étend à l’anneau

e

A+[ p/[π ]r,[π ]s/p] et le stabilise, ce qui fait que l’action de GF s’étend par continuité à une action par isométries sur son complété p-adique et par suite à tous leseAI et eBI.

De mˆeme le Frobenius ϕ s’´etend en un morphisme

ϕ: eA+[ p [π ]r, [π ]s p ] → eA +_[ p [π ]pr, [π ]ps p ]

et se prolonge donc en une application de eAI dans eApI pour tout I .

Lemme II.7. — Si I ⊂ [r ; +∞], alors eB†,r ⊂ eBI et si x ∈ eB†,r s’´ecrit x = P_k≫0pk[xk], alors la valuation

WI(x) = inf

α∈I k∈Zinfk + p − 1

pα vE(xk) v´erifie VI(x) = ⌊WI(x)⌋ o`u ⌊a⌋ est le plus grand entier a.

Démonstration. — Le premier point suit de la définition et de plus si x ∈eB†,r vérifie WI(x) 0, alors la somme qui le définit converge danseAI ce qui fait que VI(x) 0. Reste à montrer que si x ∈ eAI, alors WI(x) 0. Comme eAI est le complété p-adique deeA+[ p/[π ]r,[π ]s/p] il suffit de montrer que WI(x) 0 si x ∈ eA+, si x = p/[π ]r et si x = [π ]s/p ce qui est clair. Comme WI(p) = 1 on en déduit que ⌊WI(·)⌋est une valuation p-adique dont l’image est Z et telle que WI(x) 0 si et seulement si x ∈ eAI ce qui fait que VI(x) = ⌊WI(x)⌋.

Exemple II.8. — Beaucoup de ces anneaux sont d´ej`a connus : (1) eA[0;r0] =A + maxet eB[0;r0] =B + max; (2) eB+_rig = eB[0;+∞[; (3) eA+ = eA[0;+∞]et eB+ = eB[0;+∞]; (4) eA = eA[+∞;+∞]et eB = eB[+∞;+∞]; (5) eA†,r = eA[r ;+∞] et eB†,r = eB[r ;+∞].

Démonstration. — Le (2) est une conséquence du (1) et du fait queeB+_rig = ∩+∞_n=0ϕn(B+_max). Les (3) et (4) sont évidents, et le (5) est contenu dans [6, remarque II.1.3]. Reste à montrer le (1) qui suit du fait que par définition A+_max = eA+{[_ep]/ p − 1} et eA[0;r0] = eA

+_{_[_e_{p]/ p} (et} A{X } = A{X − 1} puisque A[X ] = A[X − 1]).

Lemme II.9. — On a eA[r ;s]/(p) = eE+[X, πs−rX−1]/(πs, πrX ). Notamment si r = s, alors e

(28)

II.2. PLONGEMENT DES eAI DANS B+_dR 27 D´emonstration. — Soit A = eA+{X, Y } et I = (X Y − [π ]s−r,p − X [π ]r,[π ]s−pY ) de telle sorte que eA[r ;s] s’identifie `a A/I et donc que eA[r ;s]/(p) = ( A/I )/( p). On a une suite exacte

0 → I → A → A/I → 0 et la multiplication par p induit un diagramme : 0 −−−→ I −−−→ A −−−→ A/I −−−→ 0 p   y p   y p   y 0 −−−→ I −−−→ A −−−→ A/I −−−→ 0   y   y   y I / p −−−→ A/ p −−−→ ( A/I )/ p −−−→ 0

et comme A/I est sans p-torsion, le lemme du serpent montre que ( A/I )/ p s’identifie au quotient du A/ p par l’image de I dans ce dernier. Dans notre situation on a A/ p = eE+[X, Y ] et l’image de I s’identifie `a (X Y − πs−r, −X πr, πs)d’o`u le lemme.

II.2. Plongement des eAI dans B+_dR

On va maintenant définir des morphismes deeA[r ;s]dans B+_dR. On va montrer que si rn ∈ I , alors l’application ϕ−nréalise une injection deeBI dans B+_dR. Pour cela, soit Jn=[rn;rn] avec n 0. Si x ∈ eAJ0, alors on peut écrire

x = X k 0 ak p [_ep] k +X j 0 bj [_ep] p j =X k 0 ak p [_ep]−1 +1 k +X j 0 bj [_ep] p −1 +1 j = X ℓ 0 p [_ep]−1 ℓ_X k ℓ k ℓ ak+ X m 0 [_ep] p −1 m _X j m j m bj

et comme les aj et bk tendent vers 0, les sériesPk ℓ k ℓ aketPj m j m bj convergent dans eA+ et la série du haut est donc convergente pour la topologie ker(θ )-adique et converge dans B+_dR vers un élément ι0(x) ∈ B+_dR.

Proposition II.10. — Si x ∈ eAJn on pose ιn(x) = ι0(ϕ

−n₍_{x)). L’application x 7→ ι}

n(x) est un morphisme injectif de eAJn dans B

+

dR et si Jn ⊂ I , alors le noyau du morphisme compos´e θ ◦ ιn : eAI →Cpest ker(θ ◦ ιn : eAI →Cp) = ([epp

n

]/ p − 1)eAI.

D´emonstration. — Montrons tout d’abord que ker(θ ◦ ιn : eAI → Cp) ⊂ ([epp

n

]/ p − 1)eAI (l’autre inclusion est imm´ediate) ; il suffit de le faire pour n = 0 car ϕ−n est une bijection de

(29)

e

AI sur eAp−n_I et donc de eA_J_n sur eA_J₀. Soit donc I = [r ; s] avec r 1 s et x ∈ eA_I tel que

θ ◦ ι0(x) = 0. On peut écrire x = X k 0 ak p [_ep]r k +X j 0 bj [_ep]s p j =X ℓ 0 p [_ep]r −[ep 1−r_] ℓ_X k ℓ k ℓ [_ep1−r]k−ℓak +X m 0 [_ep]s p −[ep s−1 ] m_X j m j m [_eps−1]j −mbj =X ℓ 1 p [_ep]r −[ep 1−r_] ℓ_X k ℓ k ℓ [_ep1−r]k−ℓak + X m 1 [_ep]s p −[ep s−1_] m _X j m j m [_eps−1]j −mbj+ X k 0 (ak[ep1−r]k+bk[eps−1]k). les deux premiers termes étant des séries convergeant dans B+_dR(ne pas oublier que ak →0 et bj →0) et dont la somme est dans le noyau de θ ◦ ι0, et le troisième terme étant un élément de e

A+ (même argument pour la convergence) qui est annulé par θ et qui s’écrit donc ([_ep] − p)y avec y ∈ eA+. Montrons que x −P_{k 0}(ak[ep1−r]k +bk[eps−1]k) = ([ep]/ p − 1)z avec z ∈ eAI. On a x −X ℓ 0 (aℓ[ep1−r]ℓ+bℓ[eps−1]ℓ) = X ℓ 1 aℓ p [_ep]r ℓ −[_ep1−r]ℓ ! +X ℓ 1 bℓ [_ep]s p ℓ −[_eps−1]ℓ ! = [_ep] − p p −X k 1 p [_ep]r k_X ℓ k aℓ[ep1−r]ℓ−k +[eps−1] X j 0 [_eps] p j _X ℓ j +1 bℓ[eps−1]ℓ−j −1 !

comme le montre un petit calcul, ce qui montre l’assertion quant au noyau de θ ◦ ι0sur eAI.

Enfin montrons que ιnest injectif. On se ramène immédiatement au cas où n = 0. Si ι0(x) = 0 avec x ∈ eAJ0, alors θ ◦ ι0(x) = 0 et donc x est divisible par [ep]/ p − 1. Comme ι0 est un

morphisme d’anneau et que B+_dR est int`egre, c’est que x = ([_ep]/ p − 1)x1 avec ι0(x1) = 0 et

x1 ∈ eAJ0. En itérant ce procédé on en déduit que x ∈ ∩

+∞

n=0([ep]/ p − 1)neAJ0. Reste donc `a

montrer que ∩+∞_n=0([_ep]/ p − 1)nAeJ0 =0. L’image de cette intersection dans eAJ0/(p) s’identifie

à ∩+∞_n=0(X − 1)neE+/(_ep)[X, X−1] qui est nulle. On en déduit qu’un élément de ∩+∞_n=0([_ep]/ p − 1)neAJ0 est infiniment divisible par p et donc nul.

(30)

II.3. LES ANNEAUX eB†_rig 29

Remarque II.12. — Le noyau de θ ◦ ιn : eBI → Cp est ker(θ ◦ ιn) = ϕn−1(q)eBI. En effet,

([_eppn] − p) = ϕn([_ep] − p), ϕn−1(q) = ϕn(ω)et on sait que [_ep] − p et ω engendrent le mˆeme id´eal deeA+.

Lemme II.13. — Les inclusions naturelles de A+_maxet eA†,r0 _{dans e}_A

J0induisent une suite exacte

0 → eA+ →A+_max⊕ eA†,r0 _{→ e}_A

J0 →0.

D´emonstration. — La fl`eche est A+_max⊕ eA†,r0 _{→ e}_A

J0 est surjective car il suffit de d´ecomposer

une écriture d’un élément deeAJ0 en deux. Ensuite eA

+ _{est contenu dans l’intersection de A}+

max

et de eA†,r0 _{et il reste donc `a montrer que l’inclusion}

e

A+ → eA†,r0 _∩_A+

max

est aussi une surjection. On va d’abord montrer que c’est vrai modulo peAJ0 (on remarquera que

modulo p la fl`eche n’est plus injective). Rappelons que les anneaux A+_max et eA†,r0 _{s’identifient}

`a eA+{X }/( p X − [_ep]) et `a eA+{Y }/([_ep]Y − p) et que eAJ0/(p) = eE

+_/(_e_{p)[X, X}−1_{]. L’image}

de eA†,r0 _{dans cet anneau s’identifie `a e}_E+_/(_e_{p)[X ] et celle de A}+

max `a eE+/(ep)[1/ X ] ce qui fait

que l’image de leur intersection (qui est un sous-ensemble de l’intersection de leurs images) est un sous-anneau de eE+/(_ep) et donc que la fl`eche eA+ → eA†,r0 _∩_A+

max est surjective modulo

peAJ0. Si l’on prend x dans eA

†,r0 _∩_A+

max il existe donc y ∈ eA+ tel que x − y ∈ peAJ0. Cela

veut dire que x − y ∈ pA+_max d’une part et ∈ peA†,r0 ₊_[_e_p]e_A+_{d’autre part (il suffit d’appliquer}

le lemme II.9 `a tous ces anneaux). Comme p divise [_ep] dans A+_maxil existe z ∈ [_ep]eA+ tel que x − y − z ∈ p(eA†,r0 _∩_A+

max). On conclut en itérant ce procédé (commeeA+ est complet pour la

topologie p-adique).

II.3. Les anneaux eB†_rig

Dans ce noon introduit les anneaux eB†_rig.

D´efinition II.14. — Les anneaux eB†_rigsont d´efinis par

eB†,r_rig = eB[r ;+∞[ et eB†_rig = ∪r 0eB†,r_rig

On munit eB†,r_rig de la topologie de Fréchet définie par l’ensemble des VI où I parcourt l’ensemble des intervalles fermés de [r ; +∞[. On définit aussieA†,r_rig comme étant l’anneau des entiers de

eB†,r_rig pour la valuation V[r ;r ].

(31)

D´emonstration. — ´Etant donn´ee la remarque II.12 il suffit de montrer que ker(θ ◦ ιn : eBI →

Cp) = ([epp

n

]/ p − 1)eBI pour tout I ⊂ [rn; +∞[ ce qui suit de II.10.

Lemme II.16. — On a une suite exacte

0 → eB+ → eB†,r ⊕ eB+_rig → eB†,r_rig →0

D´emonstration. — On va d’abord montrer que si rn r , alors on a 0 → eB+ → eB[r ;+∞]⊕ eB[0;rn] → eB[r ;rn] →0

il est clair que tout élément deeB[r ;rn]s’écrit comme somme d’éléments des deux autres et il faut vérifier que deux écritures différentes diffèrent par un élément deeB+ ce qui revient à montrer que eB[r ;+∞] ∩ eB[0;rn] = eB

+_{, ou encore en appliquant ϕ}−n _{que e}_B

[r p−n_;+∞_]∩ eB_[0;r₀_] = eB+

rig ce

qui suit du lemme II.13.

Montrons maintenant le lemme. Si x ∈ eB†,r_rig, alors pour tout n on peut ´ecrire (puisqueeB†,r_rig ⊂ eB[r ;rn]) : x = an+bn avec an ∈ eB[r ;+∞] et bn ∈ eB[0;rn]. Remarquons que x = an+1+bn+1 est une autre ´ecriture de ce type (puisque an+1 ∈ eB[r ;+∞] et bn+1 ∈ eB[0;rn]) et donc que

bn+1 −bn ∈ eB+ ce qui fait que quitte à modifier an+1 et bn+1 par des éléments deeB+ on peut supposer que an = an+1 et bn = bn+1 ce qui fait que x = a + b avec a ∈ eB†,r et b ∈ ∩+∞_n=0eB[0;rn] = eB

+

rig.

Proposition II.17. — L’anneau eB†,r_rig est complet pour sa topologie de Fr´echet et contient eB†,r

comme sous-anneau dense.

D´emonstration. — Le fait que eB†,r_rig est complet suit du fait que chacun des eB[r ;s] est complet

pour V[r ;s]. Ensuite montrons que eB†,r est dense. Soit x ∈ eB†,r_rig et r < s < t trois r´eels. Alors

comme x ∈ eB[r ;t ], on peut l’´ecrire comme

xn+ X k>n bk [π ]t p k avec xn ∈ eB†,r si n ≫ 0. On a alors x − xn ∈ [π ]t p n e A[r ;t ] ⊂ [π ]t p n e A[r ;s]

et un petit calcul montre qu’alors V[r ;s](x − xn) n(t /s − 1). Un argument d’extraction dia-gonale permet de trouver une suite qui converge vers x pour la topologie de Fr´echet.

Corollaire II.18 (Principe du maximum). — Pour x ∈ eB†,r_rig et I = [s; t ] ∋ r , on a VI(x) = inf{V[s;s](x); V[t ;t ](x)}.

(32)

II.4. LES ANNEAUX eB†,r_logET LEURS PLONGEMENTS DANS B+_dR 31

Démonstration. — Un petit argument montre que c’est vrai avec WI à la place de VI pour x ∈ eB†,r; on conclut par densité et continuité.

Lemme II.19. — Si a est un ´element de eE+ qui v´erifie λ = vE(a) > 0, alors la topologie

d´efinie par VI sur eA†,r_rig est plus fine que la topologie [a]-adique c’est- `a-dire que si VI(yi) →

+∞, alors yi → 0 pour la topologie [a]-adique. De plus les topologies [a]-adiques et V[r ;r ]

-adiques sont ´equivalentes.

D´emonstration. — Soit (yi)une suite telle que VI(yi) n pour i i0 et soit m _λ(nr p_p−1).

Alors un petit calcul montre que VI(yi[a]−m) 0 pour i i0et donc V[r ;r ](yi[a]−m) 0 pour i i0 ce qui revient `a dire que yi ∈ [a]meA†,r_rig pour i i0 et donc que yi tend vers 0 pour la topologie [a]-adique.

De mˆeme si y ∈ [a]meA†,r_rig, alors V[r ; r ](y) (p−1)mλ_pr et donc les deux topologies sont

équivalentes. On prendra garde au fait que cela n’est plus vrai si I n’est plus réduit à [r ; r ]. Corollaire II.20. — L’anneau eA†,r est complet pour la valuation V[r ;r ].

Démonstration. — Dans [6, II.1.2] on montre que eA†,r est séparé complet pour la topologie [a]-adique si vE(a) > 0.

II.4. Les anneaux eB†,r_log et leurs plongements dans B+_dR

Ce noest consacré à la construction d’un anneaueB†_log qui est à eB†_rig ce que Bst est à Bmax. On

commence par construire une application logarithme.

Proposition II.21. — Il existe une et une seule application x 7→ log[x] de eE dans eB+_rig[X ] qui v´erifie log[x y] = log[x] + log[y], log[x] = 0 si x ∈ k, log[π ] = X et

log[x] =X n>0 (−1)n−1([x] − 1) n n si vp(x (0) −1) 1

D´emonstration. — Soit U1 l’ensemble des x ∈ eE tels que vp(x(0)−1) 1. Pour x ∈ U1 la

série log[x] =P_n>0(−1)n−1([x] − 1)n/n converge dans B+_maxet log[x y] = log[x] + log[y] par un argument de séries formelles. On en déduit notamment que log[x] = ϕ(log[x]/ p) ce qui fait que l’image de U1par log est en fait incluse dans eB+_rig. Si x ∈ eE est tel que vp(x(0)−1) > 0, alors il existe n tel que xpn ∈U1et le log s’étend donc à l’ensemble des x tels que vp(x(0)−1) > 0. Ensuite soit x ∈ (eE+)∗. On peut écrire x = x0(1 + y) avec x0 ∈ k et y ∈ eE+ de manière

unique ce qui montre que log s’étend à (eE+)∗. Enfin eE+ est un anneau de valuation et le choix de log[π ] achève de déterminer le log.