Résoudreleséquationsdi ff érentiellessuivantesentrouvantune Résoudreleséquationsdi ff érenteillessuivantesentrouvantune Résoudrel’équationdi ff érentielle + (2)=0 .Tracerles 1.4Exercices

1.4 Exercices 25

1.4 Exercices

Ces exercices sont pour l’essentiel issus du site exo7.

Exercice 1.1 Chercher une solution simple mais non nulle de l’équation différen- tielle x⁰ = 2x. Même question avec x⁰⁰ = x,x⁰⁰+ cos(2t) = 0 et tx⁰⁰ =x⁰.

Exercice 1.2 Résoudre l’équation à variables séparéesx⁰x² =t. Même technique avecx⁰ =xln(t) etx⁰ = 1

xⁿ, n 1.

Exercice 1.3 Soit l’équationx⁰ =x(1 x). Montrer que si x est une solution non nulle de cette équation alorsy= 2x n’est pas solution.

Exercice 1.4 Résoudre surR les équations différentielles suivantes : 1. x⁰+ 2x=t²,

2. x⁰+x= 2 sin(t), 3. x⁰ x= (t+ 1)e^t, 4. x⁰+x=t e^t+ cos(t).

Exercice 1.5 Déterminer toutes les fonctions dérivablesf : [0,1] !R telles que

8x2[0,1], f⁰(x) +f(x) =f(0) +f(1).

Exercice 1.6 1. Résoudre l’équation différentiellex⁰ +xln(2) = 0. Tracer les courbes intégrales. Trouver la solution vérifiant x(1) = ¹₂.

2. Mêmes questions avec 2x⁰+ 3x= 5 etx(0) = ¹₃. 3. Mêmes questions avec 2tx⁰+x= 1 et x(1) = 2. 4. Mêmes questions avec tx⁰ x=t² et x(1) = 2.

Exercice 1.7 1. Résoudre l’équation différentielle (t²+ 1)x⁰+ 2tx= 3t²+ 1 sur R. Tracer les courbes intégrales. Trouver la solution vérifiant x(0) = 3. 2. Mêmes questions avec x⁰sin(t) xcos(t) + 1 = 0 sur]0,⇡[ et x(^⇡₄) = 1. Exercice 1.8 Résoudre les équations différenteilles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante :

1. x⁰ 2tx= 3te^t2, 2. x⁰+ 2x= sin(3t)e ^2t.

Exercice 1.9 Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante :

1. x⁰ 2t ¹_t x= 1 sur ]0; +1[, 2. x⁰ x=t^ke^t surR avec k2N,

3. t(1 + ln²(t))x⁰+ 2 ln(t)x= 1 sur ]0,+1[.

Exercice 1.10 On considère l’équation différentielle x⁰ e^te^x = a. Déterminer ses solutions en précisant soigneusement leurs intervalles de définition pour a= 0 et pour a= 1(faire alors le changement de variable y=x+t). Dans chacun des cas, construire la courbe intégrale qui passe par l’origine.

26 Chapitre 1. Équations différentielles Exercice 1.11 Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur R tout entier :

1. t²x⁰ x= 0, 2. tx⁰+x 1 = 0. Exercice 1.12 Résoudre

1. x⁰⁰ 3x⁰+ 2x= 0, 2. x⁰⁰+ 2x⁰+ 2x= 0, 3. x⁰⁰ 2x⁰+x= 0, 4. x⁰⁰+x= 2 cos²(t).

Exercice 1.13 1. Résoudre l’équation différentielle x⁰⁰+!²x= 0 avec !2R 0. Trouver la solution vérifiant x(0) = x⁰(0) = 1. Tracer la courbe intégrale.

Résoudre l’équation différentielle x⁰⁰+!²x= sin(!t).

2. Mêmes questions avec l’équation homogène x⁰⁰+x⁰ 6x= 0, les conditions initialesx( 1) = 1 etx⁰( 1) = 0 et l’équation x⁰⁰+x⁰ 6x=e^t.

3. Mêmes questions avec l’équation homogène 2x⁰⁰ 2x⁰+^x₂ = 0, la condition

|lim_t!+1x(t)|<+1 et l’équation x⁰⁰+x⁰ 6x=t 1.

Exercice 1.14 On considère l’équationx⁰⁰ 4x⁰+4x= d(t). Résoudre l’équation ho- mogène associée puis trouver une solution particulière lorsqued(t) =e^2t et lorsque d(t) = e ^2t. Donner la forme générale des solutions lorsque d(t) = ¹₂ cosh(2t).

Exercice 1.15 Résoudre sur]0,⇡[l’équation différentiellex⁰⁰+x= cot(t).

Exercice 1.16 Résoudre les equations différentielles suivantes avec le changement de variable suggéré

1. t²x⁰⁰+tx⁰+x= 0 sur]0,+1[ en posant t=e^s.

2. (1 +t²)x⁰⁰+ 2t(1 +t²)x⁰+mx= 0 sur R avecm 2R en posant t= tan(s). Exercice 1.17 1. Trouver les solutions de l’équation de Bernoullitx⁰+x tx³ =

0(faire changement de variable y = 1/x²).

2. Trouver les solutions de l’équation de Riccati t²(x⁰ + x²) = tx 1 en montrant d’abord quex0 := 1/t est une solution particulière (faire ensuite les changements de variables y=x x₀ puis z = 1/y).

Exercice 1.18 1. Montrer que toute solution sur R de x⁰+e^t2x= 0tend vers 0en +1.

2. Montrer que toute solution sur R de x⁰⁰+e^t2x= 0 est bornée (on pourra posery:=x²+e ^t2(x⁰)²).

Exercice 1.19 1. Résoudre sur ]0,+1[ l’équation différentielle t²x⁰⁰+x = 0 (on pourra posert =e^s).

2. Trouver toutes les fonctions de classe C¹ sur R vérifiant f⁰(x) = f(1/x) lorsque x6= 0.