Séries formelles et produit de Hadamard

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

A

BDELKADER

N

ECER

Séries formelles et produit de Hadamard

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

9, n

o

_{2 (1997),}

p. 319-335

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1997__9_2_319_0>

© Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés.

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Séries

formelles et

_produit

de Hadamard

par ABDELKADER NECER

RÉSUMÉ. Nous nous intéressons ici essentiellement à

_l’algèbre

de

Hadamard des séries formelles. Si des résultats

_importants

ont été obtenus dans le cas d’une

variable,

il n’en _{est pas} de même dans

le cas de

plusieurs

variables. En

effet,

beaucoup

de

problèmes

posés

restent encore sans

réponse.

C’est le cas _par

exemple

du

problème

du

_quotient

de

_Hadamard,

ou celui de la caractérisation

des éléments de Hadamard

_inversibles,

ou les diviseurs de zéro, ou encore le

problème

des

multiplicateurs

de certains sous-ensembles

de

_l’algèbre

des séries formelles.

Dans une

_première

_partie

de ce

_travail,

nous

_rappelons

les

pro-priétés

arithmétiques

ou

_algébriques

des séries formelles en une ou

plusieurs

variables sur un _corps commutatif. Nous insistons sur

les différents résultats liés aux

_propriétés

de clôture _pour le

pro-duit de Hadamard des sous-ensembles des séries

_{reconnaissables,}

rationnelles, algébriques

ou D-finies.

Dans la seconde

_partie,

nous

présentons quelques

résultats nou-veaux liés au

problème

du

quotient

de Hadamard.

ABSTRACT. We are interested here in the

properties

of the

Hada-mard

_algebra

_{of power series} in one _{or many} variables.

Many

problems

like the Hadamard

_quotient

or the

determina-tion of some

particular

elements

(units,

zero

divisors,

... )

are

still _open in several variables.

After a _survey of some facts and

_examples

as

_regards

to the closure

_properties

of the sets of

_recognized,

_rational,

_algebraic

or D-finite

_series,

we shall recall

_partial

answers to the

_problem

of Hadamard

_quotient

and a characterization of the units of the

algebra

of

_recognized

series.

1. Introduction

Dans ce

_qui

suit on s’intéresse à des sous-ensembles

_particuliers

de

l’algèbre

des séries formelles sur un _corps

_commutatif,

munie de l’addition usuelle

AMS _Subject Classification13032, 13J05, 11B99.

des séries et de l’un des

_produits,

de

_Cauchy

_(dit

de

_convolution)

ou celui de Hadamard

_(the

student ou children

_product).

Une des

_parties

les

_plus

intéressantes de

_l’algèbre

des séries formelles est

l’ensemble des séries D-finies c’est-à-dire les séries

_qui

sont solutions d’un

système particulier d’équations

différentielles linéaires à coefficients des fractions rationnelles. On verra _que, même dans le cas de

_plusieurs

vari-ables,

ces séries forment une

algèbre

_pour les différents

produits.

Après

un

rappel

des différentes définitions et de

_quelques

_propriétés

liées au

produit

de

_Cauchy,

on traitera du

_produit

de Hadamard. On verra

_qu’en

général

les séries rationnelles et les séries

_algébriques

ne forment pas des

algèbres.

On

_rappellera

par ailleurs

quelques propriétés

des séries en une variable et les cas où il _y a stabilité _pour les différents

produits.

Dans la dernière

_partie

on énoncera de nouveaux résultats concernant le théorème de van der

_Poorten,

sur la

_conjecture

de Pisot du

_quotient

de Hadamard en

plusieurs

variables et on caractérisera les éléments Hadamard-inversibles d’une

_{sous-algèbre}

de

_l’algèbre

des séries

_formelles,

contenue

dans l’ensemble des séries rationnelles.

2. Définitions et notations

2.1. Soit s e

N* , Il

un _corps commutatif et A =

h’(~xl, ... ,

l’algèbre

des séries formelles sur E en les variables commutatives _{Xl, x2, ... ,} Xa. Le

corps des fractions de A est

désigné

par

Un élément

_{(nl, ... , na)}

E Na est noté

_simplement

_{n ;} le monôme

_xï’

x

X ·

est

_{noté xn ;}

un élément

f

de A _{est par}

conséquent

noté

f (x) _

¿nENsa(n)Xn.

Quand

s =

1,

l’indéterminée est notée t pour éviter toute

confusion.

L’anneau des

_polynômes

en les variables _{xl, ... , x a est} noté Son _corps des fractions est noté

Soit n E Na et mENa. On pose

2.2. Soit

deux éléments de A. Le

_produit

de

_Cauchy

de

_f

et g est la série notée

_{f - g}

et donnée par

Muni de l’addition usuelle et du

_produit

de

_Cauchy,

A est une

algèbre

sur

Il,

associative, commutative,

unitaire et

_intègre.

En tant

_qu’anneau

A est

noethérien et factoriel. L’élément neutre _pour le

_produit

est la série

Les éléments inversibles de A sont les séries de terme constant non nul.

2.3. n existe dans A d’autres

_produits

_que celui de

_{Cauchy ;}

en

particulier

le

_produit

de Hadamard. Soit

deux éléments de A. Le

_produit

de Hadamard de

_f

_{et g}

est la série

_f

8 g

donnée _par

Muni de l’addition usuelle et du

_produit

de

_Hadamard,

A est une

](-algèbre

associative, commutative, unitaire,

mais non

_intègre.

L’élément neutre pour 0 est la série

2.4. Soit

On dit que

f

est un emboîtement des

_dl

x ... X

d,

séries

fi(x)

(0

i

d)

si

alors

2.5. Soit

_{f(~~ _ ¿a(n)xn}

E A. On pose

On définit de manière

_analogue

_Iij

pour tous les i

_{et j}

distincts dans

sl.

Les

_(i

_j

dans

_{(1, ... , s}~}

sont alors des

_applications

de A dans

_{~~((xl, ... ,}

_{xi, ... , xi, ... ,}

_x,]].

On

_appelle

_diagonale

toute

ap-plication

I

_{composée d’applications}

de la forme

_hj

et

_diagonale

de

_f

la série

_{I f .}

On

_appelle

_diagonale

_principale

de

_f

et on

note A/,

l’application

donnée _{par :}

On vérifie alors _que

3.

_Rappels

et

_propriétés

du

_produit

de

_Cauchy

3.1. Séries rationnelles

Soit

_{f (x) _}

élément de A. On dit que

f

est une série

rationnelle si elle

_représente

un élément de

_{E(x) ;}

c’est-à-dire s’il existe _p

et _q dans tels _que

L’ensemble des séries rationnelles est noté

_R(K).

Cet ensemble

_peut

être

vu comme le localisé à

l’origine

de l’anneau des

polynômes.

Muni du

_produit

de

_Cauchy

et des

_{opérations usuelles,}

est une

sous-]( -algèbre

unitaire de A.

L’étude de dans le cas d’une variable et

_{plus particulièrement}

des

pro-priétés

des coefficients d’une série

_{rationnelle, qui}

sont des suites récurrentes linéaires à coefficients

_constants,

fait

_l’objet

d’une littérature abondante. On pourra consulter

[MI], [CMP]

ou bien

[POI]

_pour une

_{bibliographie}

à ce

sujet.

3.2. Séries reconnaissables

Soit

_{f (x) _}

élément de A. On dit _que

_f

est une série reconnaissable s’il existe

_L,

une extension finie de

_{K, t}

E

_N*,

des

_polynômes

L’ensemble des séries reconnaissables est noté

Remarques

1. On

_peut

voir facilement _que est une

sous-le-algèbre

unitaire,

pour le

produit

de

Cauchy,

de

R(I()

et que si

f

est un élément de

alors

_f

vérifie

₍₁₎

avec

2. Dans le cas d’une

_variable,

on a bien entendu =

R(I().

Ce

n’est pas le cas si s &#x3E; 2 : la série rationnelle

_LnEN

_{Xl n ...}

11 n’est _pas dans

_Ro(Il).

3. Dans

_[HA]

l’auteur

_appelle

série

_{reconnaissable,}

dans le cas d’une

vari-able,

toute série dont les coefficients forment une suite récurrente

_linéaire,

donc toute série rationnelle. Nous reprenons ce terme _pour

désigner,

dans le cas de

_{plusieurs variables,}

les éléments d’une sous-classe de la classe des séries rationnelles.

3.3. Séries

_semi-simples

Soit

_{f (x) _}

_LnEN8

élément de A. Si

_f

vérifie

_{l’équation}

₍₂₎

avec

tous les

_Pi

_{( 1}

i

_t)

_constants,

on dira _que

f

est une série

semi-simple.

L’ensemble des séries

_semi-simples

est noté

_S(K).

Dans

_[RE]

l’auteur introduit le terme

_semi-simple

pour

désigner,

dans

le cas d’une

variable,

de telles séries et il démontre _que,

_{lorsque K}

est

algébriquement

clos et de

_{caractéristique}

non

nulle,

toute série rationnelle

est emboîtement de séries

_{semi-simples.}

Dans le cas de

_plusieurs

variables on obtient sans

peine

la

PROPOSITION 1. si I( est

_{algébriquement}

clos et de

_{caractéristique}

non

nulle,

alors toute série reconnaissable est emboîtement de séries

semi-sim-ples.

3.4. Séries

_algébriques

Soit

_f

un élément de A. On dit _que

_f

est une série

_algébrique

_si,

_moyennant

l’identification de

_K(x)

à un _sous-corps de

K((x)),

f

est

_algébrique

sur le

corps

.~1 (x).

C’est-à-dire,

il existe d E N et des

_{polynômes Po, ... ,}

_Pd

dans

h’~x~,

non tous

_nuls,

tels _{que :}

L’ensemble des séries

_algébriques

est noté

_41(K).

a)

Soit

_f

un élément de A. La théorie

_générale

des extensions de corps

commutatifs montre _que

_f

est dans

_AI(K)

si et seulement si est un

f(( x )-espace

vectoriel de dimension finie. n en résulte _que est une

sous-Je-algèbre

de A _pour le

_produit

de

_Cauchy.

On verra dans la section suivante _que ce n’est _pas

_toujours

le cas _pour le

_produit

de Hadamard.

b)

Soit 6 une dérivation de

_A,

c’est-à-dire une

_application

de A dans A vérifiant :

La

_partie

est alors stable par 6. Pour le

voir,

il suffit

d’appliquer 6

à la relation minimale

₍₃₎

vérifiée _par

_f

et de _{remarquer que}

_{b f}

est dans

K

Remarquons

que, si on

applique 6

à la relation

(1),

on obtient la stabilité de

_R(~1’)

_{par b.}

Pour tout i E

_{~l, ... ,}

_s},

on _pose

Di

=

-ôô

et on considère la

K-algèbre

Elle est associative unitaire et non commutative et

_opère

de manière na-turelle sur A.

Soit a =

_{(al’... ,a,,)}

E N’. On pose

Pour un élément

_f

de

_A,

soit

3.6. Séries D-finies

On dit

_qu’une

série

_f

est D-finie

_{(differentiably finite)}

si le

vectoriel de A

_engendré

_par

_{W f}

est de dimension finie

_(diMK(.)

_{W f}

&#x3E;

finie).

L’ensemble des séries D-finies est noté

Dans un article de

_1980,

R. P.

_Stanley

étudie les

_propriétés

des séries D-finies dans le cas d’une variable et démontre en

particulier

la

PROPOSITION 2.

_([ST])

Pour s =

1,

K de

caractéristique

nulle et

f

_E

.~1’~~t~~

les assertions suivantes sont

_{équivalentes :}

(1)

f

est

_D-finie,

Rappelons

qu’une

suite a = d’éléments de E _est dite P-récursive

(ou

encore _que c’est une suite récurrente linéaire à coefficients

polynomiaux)

si a vérifie une relation de la forme :

-

, - - 1 1 -, ,.., , ...1

Le

_plus

_{petit h}

_pour

_lequel

une telle relation existe est

_appelé

ordre de la suite a.

3.7.

_Remarques

1. La

_{généralisation}

de la notion de P-récursivité au cas de

_plusieurs

variables n’est _pas évidente. Il _{existe par}

_exemple

des multi-suites

_qui

vérifient des relations de récurrence à coefficients

_polynomiaux

mais les

séries

_qui

leur sont associées ne sont _pas D-finies. Voir l’article de

_Lipshitz

[LI2]

pour une bonne définition de la P-récursivité et d’autres

_propriétés

des séries D-finies. Dans

_[ZE]

les séries D-finies sont

_appelées

séries P-finies

et sont étudiées de manière

_plus

_algébrique

dans le cadre des

_systèmes

holonomes.

2. La formule de dérivation de Leibnitz

_permet

de voir _que est

une

Il-algèbre

_pour le

produit

de

Cauchy.

En

effet,

soit

f

et g dans

D(.K ;

on a

donc est dans le

_K(x)-espace

vectoriel E de A

_engendré

_par

Comme les sous-espaces

engendrés

par

Wf

et

Wg

sont de dimension

finie,

il en va de même _pour E.

4. On a les inclusions :

4. Produit de

_Hadamard,

_propriétés

de clôture

4.1. Produit de Hadamard et

_diagonales

Soient et deux éléments de A.

Intro-duisons s nouvelles

_variables,

notées _x,+,, ... , x2s, on a alors

n,m

Autrement dit le

_produit

de Hadamard de deux séries s’obtient comme la

diagonale

du

_produit

de

_Cauchy

de deux séries.

Réciproquement,

soit

_{f (x) _ ¿a(n)xn}

dans A. On a

~ 1

De la même

_façon

on obtient comme

produit

de Hadamard de

f

_par une série rationnelle. Soit P un sous-ensemble de A contenant Ces

remarques

permettent

de _prouver

_{l’équivalence}

des assertions suivantes : 1. P est fermée _pour le

_produit

de Hadamard.

2. P est fermée _pour les

_diagonales.

Lipshitz

montre, dans

_{[LII] ,}

en utilisant entre _{autres cette remarque que} si

Il est de

_{caractéristique}

_nulle,

alors toute

_diagonale

d’une série D-finie est

une série D-finie et obtient donc le

THEORÈME

1. Si h’ est de

_{caractéristique}

nulle alors

_(D(l(),0)

est une

K

4.2. Séries rationnelles et

_algébriques

Contrairement au cas d’une variable

_l’exemple

suivant montre que

n’est _pas stable _pour le

_produit

de Hadamard.

Soit Il de

_{caractéristique}

différente de 2 et soit s &#x3E; 2. La série

l4J Mais son carré de Hadamard n’est pas une série rationnelle :

Remarquons

que

1 1

On a

_cependant

la

’ ’

PROPOSITION 3.

Soit .~ un _corps

_commutatif.

0

b)

Si li est de

_{caractéristique}

nulle alors

si et seulement si s = 2.

Le

_b)

n’est _pas évident. La _preuve

_qui

en est donnée dans

_[WS2]

utilise une

_{généralisation}

du théorème de Puiseux sur les séries

_algébriques

au cas de deux variables.

4.3.

_Toujours

en

caractéristique nulle, l’exemple qui

suit montre que le

produit

de Hadamard d’un élément de

_R(K)

_par un élément de

Al(K)

n’est _pas

_toujours

dans

_Al(K).

Ce

_qui

montre a

fortiori

_que

Al(K)

n’est

pas stable pour le

produit

de Hadamard.

Soit

_f

comme en

(4)

et soit

On a

_{/ 0 f}

E

_{Al(K), g}

E

_R(K)

_mais,

voir

_[JU],

Remarque.

En

_{caractéristique}

_nulle,

même dans le cas d’une

_variable,

n’est _pas stable _pour le

_produit

de

_Hadamard,

comme le montre

_{l’exemple classique}

suivant :

Cependant

. , 0

Dans

_[WS3]

les auteurs montrent en fait _que la série

est

_algébrique

si et seulement si e E

_{0,1}.

En

_revanche,

en

_{caractéristique}

non nulle on sait

_depuis

1967

_{(voir [FU])}

que pour s = 1 l’ensemble

Al(K)

est stable _pour le

_produit

de Hadamard. Ce résultat se

_généralise

comme suit

THEORÈME

2.

_([WB1]

ou

(ALJ)

Il en résulte _que toute

_diagonale

d’une série

_algébrique

est une série

algé-brique.

En

_particulier

toute

_diagonale

d’une série rationnelle est

_algébrique.

Inversement,

on montre

_{(voir [CH])}

_que si s = 2 et ~~’

parfait

alors toute

série rationnelle est

_diagonale

d’une série

_algébrique.

4.4.

_Algèbre

des

_{multiplicateurs}

Soit E une

_partie

non vide de A et

l’ensemble des

_{multiplicateurs}

de ~.

On vérifie que

,M (E)

est une

_](-algèbre

_pour le

_produit

de Hadamard. Si s =

_1,

il _est évident

que

M(R(h’))

= _et

que C

Si en outre on _{suppose que} Il =

C,

Bézivin montre dans

[BEI]

_que

R(Ii7) =

M

La

_question

de savoir si on a

_toujours

_{l’égalité}

est encore ouverte.

Maintenant si s &#x3E; 2 et Il de

_{caractéristique}

nulle on vérifie facilement _que

A-t-on

_{l’égalité ?}

5. Problème du

_quotient

de Hadamard

Dans cette section K1’ est de

_{caractéristique}

nulle et F

_désignera

un sous-anneau de E de _type fini sur 2Z.

Nous nous intéressons à la

5.1.

_Conjecture

Soit

Dans le cas d’une seule

variable,

c’est la fameuse

_conjecture

de Pisot

(1959).

Elle a été résolue en 1988 par van der Poorten. On trouvera dans

_[P02]

une

_{bibliographie}

_complète

sur la

_question.

Un cas

particulier

de ce _que l’on

appelle

désormais le théorème de van der

Poorten,

est le résultat suivant : PROPOSITION 4.

~1’ et F étant comme

_{ci-dessus ;}

soit s

_{= 1,}

On _{suppose que}

Alors

5.2.

_Remarques.

a)

Il _y a des

_quotients

de Hadamard de séries rationnelles

_qui

ne le sont

pas. Un

exemple simple

est donné par la série

qui

n’est _pas rationnelle mais est

_quotient

des séries rationnelles

et

b)

L’hypothèse

que les coefficients d’une série rationnelle sont dans un an-neau de

_type

fini sur X

_provient

du fait _que ces coefficients vérifient des re-lations de récurrence linéaires.

_Remarquons

_que cette

_propriété

est vérifiée

par les coefficients d’une série D-finie.

5.3. Pour

_plus

de clarté et afin

_d’alléger

_{l’écriture,}

on

prendra s

= 2 _{et on}

notera les variables x et _y au lieu de _{xl et x2.} Sur une idée de J.-P.

_Bézivin,

nous obtenons le cas

particulier

de la

_conjecture

donné _par la

PROPOSITION 5.

Soit

_{f (x, y) _}

_E

E et soient

_{g(t) =}

(n,m)EN2 -et

_{h(t) =}

_c(n)tn

deux séries rationnelles à une variable et à cients dans K. On suppose que

On a alors

Il est alors facile d’obtenir le

COROLLAIRE. Soit

_{~f ~x, y) =}

_E

_{a~n, m )xnym}

et soit

_{(P, Q)}

(n,m)EN2

dans

_J([t]*2.

On _{suppose que}

Alors

5.3. _{La preuve} de la

_proposition

utilise le théorème de van der

_Poorten,

la

_proposition

3 et le fait _{que si} on écrit

et si on pose

alors

Ensuite en travaillant dans

J((y)[x],

on montre _que les coefficients de

f

sont

dans

_]

où B est un anneau de

_type

fini sur 7l et on

applique

le théorème de van der Poorten.

5.4. La

_conjecture

est encore vraie si on _{suppose que} la série

_f

est dans

Ro(K)

et les coefficients de la

_{série g}

sont des

_polynômes.

De manière

_plus

PROPOSITION 6. Soit

et soit

_{P(x, y)}

E

_{1([x, y~ .}

On _suppose

_qu’il

existe t E

_~1*,

_{(al, (31),... , (at,}

_(3t)

dans

K2

et des

poly-nômes

_Pl,

... , Pt dans

_y]

tels _que

et

Alors

L’idée de la _{preuve est} de montrer _{que, pour}

_{tout j}

_{dans {1,...}

_,~},

le

polynôme

P(x,

y)

divise

_y)

dans

_~1’(y)~x~,

et

_{d’appliquer}

la

_proposition

précédente.

6.

Éléments

Hadamard-inversibles

6.1. Soit une des

parties

Ro(K), R(K), AI(K) ouV(K)

et soit

f (x) _

un élément de ,A.

DÉFINITION

On dit _que

_f

est Hadamard-inversible dans A si

Si

,A

= _ou bien ,A =

(dans

le cas où Il _est de

caractéristique

nulle),

l’ensemble des éléments Hadamard-inversibles est _{donc le groupe des}

éléments inversibles de

_l’algèbre

_{(A, 0).}

Dans le cas d’une variable et

_quelle

_que soit la

_{caractéristique}

de

_E,

les séries rationnelles Hadamard-inversibles sont les emboîtements de séries

THEORÈME

3.

_([RE)

ou

Si s =

1,

les séries rationnelles Hadamard-inversibles _sont les séries dont

les

_coefficients

sont non nuls et

_qui

s’écrivent

où

Ici L

_désigne

une extension de

_{degré fini}

de 1(.

On sait

_également

caractériser les éléments Hadamard-inversibles de dans le cas de la

_{caractéristique}

nulle. On trouvera dans

_[BE3]

la

preuve du

THEORÈME

4. Soit A de

_{caractéristique}

nulle. Pour

_qu’un

élément de

soit

_{Hadamard-inversible,}

il

_faut

et il

_{suffit qu’il}

soit de la

_forme

(5)

ci-dessus.

6.2. Concernant les éléments Hadamard-inversibles de

_D(K),

B.

Benza-ghou

a

conjecturé

en

_1991,

dans le cas s = 1 et Il de

_{caractéristique nulle,}

qu’un

tel élément est un emboîtement de séries dont les coefficients forment une suite P-récursive d’ordre 1

_(voir

la section _{3 pour} la

_{définition).}

Cette

_conjecture

a _reçu une

_{réponse partielle}

en 1992

(voir [BB]) :

les

au-teurs montrent _que la

_conjecture

est vraie si on _suppose au

départ

_que les coefficients forment une suite P-récursive d’ordre 2.

En

_1994,

M.

_Singer

construit une théorie de Galois aux différences basée sur des

_algèbres

_{(aux différences)}

_simples

et réduites et démontre le

THEORÈME

5.

_([SI])

Soit I( de

_{caractéristique}

nulle et soit

_{f (t) -}

dans

_D(~1’).

Alors

_f

est Hadamard- inversible si et seulement si

_{a( n) =1}

0 ’Bln E N

et il existe et

_{For, ... ,}

des

_{fractions rationnelles,}

tels _que

6.2. Dans le cas de

plusieurs

variables on connaît très _peu de résultats. En

s’inspirant

cependant

des méthodes

_{développées}

dans

_[RE],

on obtient le

TH EO RÈ M E

6.

_([NE2])

Les éléments Hadamard- inversibles de sont les emboîtements de séries

_{géométriques.}

Signalons

que dans

[TA],

l’auteur arrive au même résultat en utilisant les

propriétés

de

_l’algèbre

duale de

_l’algèbre

de

_Hopf

des

_polynômes.

Les éléments de sont ici des formes linéaies s’annulant sur un idéal de codimension finie de l’anneau des

_polynômes.

Cette méthode à

_l’avantage

d’être effective. Pour

plus

de détails concernant les

_propriétés

de

_l’algèbre

de

_Hopf

des

_{multi-suites,}

voir

_également

_[CP].

Remerciements. Je tiens à

_exprimer

ici mes remerciements aux arbitres

pour leurs remarques et

suggestions,

à J.-P. Allouche pour sa

_{disponibilité}

et son soutien et à M.

_{Bousquet-Mélou}

_pour m’avoir

_indiqué

de nombreuses

questions

et références.

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Abdelkader NECER

Faculté des Sciences

Mathématiques

123,

av. A. Thomas