Sur un procédé universel d'extraction

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

UY

B

ARAT

Sur un procédé universel d’extraction

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

7, n

o

_{2 (1995),}

p. 435-445

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1995__7_2_435_0>

© Université Bordeaux 1, 1995, tous droits réservés.

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Sur

un

procédé

universel

d’extraction

par GUY BARAT

RÉSUMÉ 2014 On étudie ici un _procédé universel d’extraction de suites -

ex-traction en un sens élargi qui sera _{précisé -} consistant à _piquer les chiffres

de l’écriture en base d des indices de la suite, cela suivant une _partie E de N. On s’intéresse _{plus particulièrement} à l’action de ce procédé sur les

suites _{périodiques,} en liaison avec la _régularité de la _{partie E,} en termes de

périodicité, de _{quasi-périodicité} et d’automaticité. Ainsi

_(à

une restriction

évidente

_près),

les _procédés associés aux _parties ultimement _périodiques de

N transforment suites _périodiques en suites _{automatiques,} mais conservent

l’automaticité - ces _parties de N étant les seules à posséder cette _propriété.

D’autre _part, les _parties de N inférieurement lacunaires sont les seules à transformer toute suite en une suite _{quasi-périodique,} et celles _qui sont arithmétiquement denses _changent le _périodique en _{quasi-périodique.}

I.

_Description

du

_procédé

’

Soit une

_{application 0 :}

N strictement

_croissante,

ou, de manière

équivalente,

une

_partie

infinie de

N,

soit

d étant un entier naturel

_supérieur

ou

_égal

à 2 fixé et n un entier

naturel,

on note n =

_{développement}

de n en base d.

A la suite de

_[5],

on définit

l’application

uE(n) =

Autrement

dit,

(TE

supprime

dans l’écriture de n en base d les chiffres dont le numéro d’ordre n’est pas un élément de E.

Examinons comment se construit la suite Les

_premiers

termes de la suite sont

_nuls,

ils le sont

_jusqu’au

_premier

n vérifiant

_{~8~°~ ~n~ ~}

_0,

soit termes nuls. Autant valent ensuite

_{1, puis 2,}

et ainsi de suite

_jusqu’à

d -1.

_Ensuite,

on

reprend

tous les termes

_déjà

écrits en leur

_ajoutant

_d,

puis

2d,

etc,

en

_ayant

_auparavant

_répété

le

_procédé

_{fois. On}

répète

alors la totalité de ce

qui

a été fait

dO(2)-8(1)-1

_{fois ;}

_puis

l’on

_reprend

en

_ajoutant

d2, 2d2,

etc. Par

_exemple,

si E = 2N _et d =

_2,

les

_premiers

Remarquons

que l’on

peut

sans inconvénient _supposer

0(0)

=

_0,

la _suite

obtenue à

_partir

de E étant déductible de celle obtenue à

_partir

de 0’

=

0 -

_{8 (0)}

en

"bégayant" ,

c’est-à-dire en

répétant chaque

terme

d8(O)

fois.

1. Premières

_propriétés

e Suivant

[3~, ~

= est d-additive : si _m

d’’,

_{on a} +

m)

=

a(adr)

+

_y(?7t).

La vérification est immédiate.

. 0" n’est

_jamais

régulière -

c’est-à-dire

qu’il

n’existe _pas de

_partie

A

de N de densité

_asymptotique

1 telle que soit

injective

-, sauf si 0 est

l’identité : en

effet,

si

r 0

E,

on a =

u(n

₊

dT 0:),

pour 0 a d - 1

et

_er(n)

= 0

DÉFINITION

1. Soit A une

_partie

de N. On

appelle

densité

_asymptotique

de A la limite

_{quand N}

tend vers

_l’infcni,

si elle

_existe,

de la

_quantité

1

. u est

_{"presque toujours"}

_{M-régulière,}

en ce sens _que la série

_numérique

de terme

_général

la(In)

est

_convergente,

où

_A(N)

_{:= #}

_{1(n, m)}

_(N,

. 1 1 - 1 -

ng-N = dr. En base

d, n

N s’écrit

...eo(n),

dans la

mesure où

{n ;

n

N~ - {n ;

=

r}.

Notons

_{TE (r~}

=

# [ 0 ;

r Pour

alléger

l’écriture,

nous noterons

le

_plus

souvent T _pour TE

quand

cela ne saura entrainer

_{d’ambiguité.}

On a

e (n)

= si _et seulement

_si,

pour tout k de

E,

é:k(n) =

d’Otl

_A(N)

= .

Pour N

_quelconque,

posons r =

[109d N] .

Comme d’’

d~’+I ,

on

_peut

écrire

en vertu du calcul

_précédent.

En divisant cet encadrement _par

N3

et en

observant _que

_r(r

+

_{1) &#x3E;}

_T(r),

il vient :

et on

_peut

dire _que la série de terme

_général

20132013

_{converge si} et seulement

1

n:3 1

si celle de terme

_général

~

correspondant

à des

parties E

de N

largement

lacunaires ne sont _pas

M-régulières. (Ce

résultat n’avait _pas été

_{complètement}

élucidé dans

_[5]).

Cette

_propriété

de

_{M-régularité}

permet

de se rendre

_compte

que si le

procédé

décrit n’est pas stricto sensu une extraction

_(uE

n’est pas

stricte-ment

_croissante),

il ne s’en

_éloigne

_pas de

façon

immodérée.

. Soit E _un ensemble de

parties

de N deux à deux

disjointes. Alors,

E e

_El

est

_"éparse"

_(ce

_qui

_signifie

_d’après

_[5]

que

{n

u(n) =

est de densité

_asymptotique

nulle pour tous cr et T

dans.E)

1

En

_effet,

si E et F sont deux

_parties

de £,

prenons ~V = d’’ .

Alors,

Pour N

_quelconque,

on a alors où r =

Llogd NJ.

Remarquons

plus

généralement

que si E et F sont deux

_parties

infinies de

N,

le même calcul montre que

«(TE,

est

_éparse

si et seulement si E 6. F est infinie.

2. Une

_propriété

universelle

Rappelons

un résultat obtenu dans

~5] ,

et

_qui

montre

_{qu’il s’agit}

là d’ un

procédé

intéressant :

THÉORÈME.

Soit

_{(x, ~u~}

un _espace

_topologique

_compact

muni mesure de

_probabilité

borélienne. Soit u E

XN.

_Alors,

_pour E C N

_infinie:

i. Si u est

_{p-équirépartie,}

alors u o _{(JE est aussi}

_{y-équirépartie.}

ü. Si u est

_{fi-bien répartie}

_{(c’est-à-dire}

si la

_famille

des suites obtenues à

_partir

de u _{par itérations successives} de

_{l’opérateur}

de

_décalage

est

-II.

_Application

aux suites

_périodiques

On considère maintenant une suite

_périodique,

de

_{période q,}

sur un

al-phabet

à q

éléments. Nous prenons comme modèle de cet

_alphabet

l’anneau

(Z/qZ,

+,

*~,

cela afin de

disposer

d’un

_morphisme

de N sur par n - _{un = n}

_{mod q.}

Notons que,

_quitte

à

appliquer

à u une fonction de

sortie,

on ne se restreint pas à lui supposer la forme

indiquée.

Nous allons maintenant étudier les

_propriétés

de

_régularité

de la suite

1. Deux cas évidents

PROPOSITION 2. i. S’il existe n &#x3E; 0 tel que alors uou est

_périodique.

ii. Si E est de

_{comptémentaire}

_{fini, u}

0 u est

_également

_périodique.

Preuve.

i. Utilisons le caractère d-additif de (1 : _pour tout

_{m E N,}

_pour tout

s

de(n),

on a

car

ii. Posons s = 1 + Si n _on a :

où l’on

_rappelle

que E. L’entier

qdl

est donc une

période

de a mod _q.

Après

avoir éliminé ces cas d’extrême

_{régularité,}

on

_peut

se demander s’il n’arrive pas à u o a d’être

quelque

chose d’un _{peu moins} fort _que

_périodique,

en l’occurrence

_automatique.

_C’est le cas si E est suffisamment

_régulier,

comme le montrent les

_propositions

suivantes.

2. Les cas d’automaticité

PROPOSITION 3. Sous

_{l’hypothèse}

de

_{périodicité}

de u, on _{suppose que} E

-(xB(n))n -

est

_périodique

à

_partir

d’un certain

_rang).

Alors,

la suite uo crE

est

_{d-automatique.}

Preuve.

_Commençons

par le cas où .E est

_périodique,

de

_période

l.

La

dl-substitution

sur

l’alphabet

admet U o _(jE mod _q comme

_point

fixe.

Passons maintenant au cas

_{général :}

-. E est ultimement

périodique,

périodique

de

période 1

à

_partir

du _rang t. Notons F la

partie

périodique

de N de même

_période

_que E. Pour r

dt

et

_N,

on a

I?’aprês

ce

_qui

précède,

est

dl-automatique,

donc

d-automatique

(ces

deux

_propriétés

sont

_{classiquement}

_{équivalentes).}

Si

_(S,

_s,

_~,

_p)

est un d-automate reconnaissant u o _7p

(rappelons

que S

est l’ensemble

des

_{états, s}

un état

initial, 4&#x3E;

une

_application

de S

x ©,

1 ..., d -

1 }

dans

_S,

et p : : S‘ --3 une fonction de

sortie},

on

_peut

construire des automates

(S(i), s~~&#x3E; ,

4ll’),

p~z&#x3E; ~

-i-

_(S,

_s,

_4l,

mod

_q)

_pour

i E mod q.

L’automate dont l’ensemble d’états est

initial

_0,

et tel que :

d’état

et dont les autres

_{caractéristiques}

d’attribution et de sortie sont entièrement décrites _par les

4ll’)

et

p~Z~ ,

ce

_{d-automate, donc,}

reconnaît (TE mod m.

q.e.d.

Remarque.

la deuxième

_partie

de la démonstration montre un résultat un peu

plus fort,

qui

servira dans la démonstration de la

_proposition

suivante : avec les notations

précédentes -

et

_{indépendamment}

de toute

_hypothèse

de

périodicité

sur u - si u o _uF est

d-automatique,

alors c’est

également

le cas

de

PROPOSITION 3bis. On _{suppose que} E est ultimement

_périodique

et _que u est

_{d-automatique. Alors, la}

suite u o _{UE est}

_{d-automatique.}

Preuve.

_D’après

_{la remarque}

_{précédente,}

on

_peut

se restreindre au cas où E est

_{périodique ;}

soit 1 sa

période,

et a =

TE(l).

Commençons

par une _remarque

technique.

On sait

( [1] ,

[2])

_que la

d-automaticité de u est

_équivalente

à la finitude r

d"~ ~ .

Montrons

_qu’elle

_équivaut

aussi à la finitude m E

N,

r où c est un entier naturel arbitraire fixé. En

_effet,

le

_premier

ensemble de sous-suites étant inclus dans le

_second,

la finitude de celui-ci

assure celle de celui-là.

Réciproquement,

une sous-suite du dernier n’étant pas a

_priori

nécéssairement dans le

premier

doit s’écrire

Or,

d’n + ad"’t

+ (3

=

dm (n

₊

a)

₊

~3.

Une telle _{suite est} donc

l’image

d’une suite du

_d-noyau

de u _par un itéré de

_{l’opérateur}

de

_décalage

d’ordre inférieur ou

_égal

à d~ --1. Les nouvelles suites éventuelles sont donc obtenues

à

_partir

des suites du

_d-noyau

_par un nombre fini de

procédés

d’extraction,

ce

_qui

achève de démontrer cette assertion

_{préliminaire.}

On _{suppose que} U est fini.

Soit alors m OE N et s d’n . Effectuons la division euclidienne de m par

l ;

il vient m ==

IK + r.

+ a(s)

=

+ a(s)

par

d-additivité de a et

_{périodicité}

de

_E,

d’où =

Du fait _que

_U(8)

= _on

_peut

conclure _en observant

que les suites

_(u

o

(T( dmn

₊

s))n

sont obtenues à

_partir

de celles de ~1 _par un nombre fini d’extractions

_(r

est

_majoré

_par la constante

_1),

et _que le

_d-noyau

de u o _{aE est} donc fini.

En

_fait,

ces

_propriétés

de conservation sont _peu ou _prou

_{caractéristiques}

des ensembles E décrits ci-dessus. Cette

_réciproque

fait

_l’objet

de la propo-sition 4.

PROPOSITION 4. On suppose

qu’il

n’existe pas de n tel _que

_{qld n}

_{@ que} u est

périodiques,

et que E n’est _pas ultirnement

_périodique.

_{Alors, la}

suite n’est pas

d-automatique.

Preuve. Il suffit d’exhiber une

_partie

infinie du

d-noyau :

_{plus précisément,}

on va _{montrer que si n,} alors

(u

_{=1= (u}

On

_peut

_{supposer n} m. E n’étant pas ultimement

_périodique,

il existe un entier i tel _{que XE}

_{(~+~) 7~ xE}

_(m~-2),

_sinon,

_{XE serait}

_{(m-n)-périodique}

à

_partir

_{du rang} n.

Ainsi,

si,

par

exemple,

alors 0 et =

dn+i

n’est _pas nul modulo

q en vertu de

l’hypothèse

sur _q.

3. La

_{pseudo-périodicité}

Une deuxième

_{façon d’approcher}

la

_{périodicité}

_peut

s’ obtenir en ne raisonnant non

plus,

en

quelque

_sorte,

algébriquement,

mais en termes de

densité : la

_{quasi-périodicité.}

DÉFINITION

5. Soit X un

ensemble,

et u E Suivant est dite

quasi-pérZOdzque

si :

Voyons

tout d’abord deux lemmes :

LEMME 6. Soit A une

_partie

finite

de

N,

et _{cp :} A 2013~

[0 ; dD,

_une

applica-tion.

_Alors,

l’ensemble A =

In

b’a E

A,

-.-- ~(a) ~

_est de densité

asymptotique

d-IAI..

,

Nous ne détaillons _pas la _preuve de ce lemme facile.

LEMME 7. Soit E une

_partïe

infinie

et t un élément de N.

Alors,

l’ensemble

A

_définir

par : A =

fn

E N ;

+ t)

=

u(n)}

admet _une densité*’

asymptotique.

Preuve. Pour N E

_N,

_{~V - 1~}

Si n

ardr

+ ni avec n, d~. Si n + t

_(ar

+

_1)dr,

alors

par d-additivité

de q,

du fait que ni + t d’’.

Soit r &#x3E;

109dt-

Pour _ni d’" tel _{que ni + t}

_{l’équivalence}

ci-dessus fait

_correspondre

aux ni éléments de

AdT

d éléments de à savoir les ad’" + ni, avec

0!~J[0;d-l]j.

_{Il y a t}

entiers strictement inférieurs à d’’

_qui

ne _{sont pas} dans ce cas

_(ce

sont les d’’ -

_{k, k}

E

_{(1; t~ ~,}

auxquels correspondent

dt entiers strictement inférieurs à On a donc

est-elle une suite de

_Cauchy,

_qui

converge à ce titre vers une

limite,

soit a.

De

_même,

si N est un entier

quelconque,

N se

développe

en base d selon :

En itérant cette

_{majoration, puis}

en divisant par

N,

il

_vient,

où r =

Soit e &#x3E; 0. Il existe m e N tel que pour tout N &#x3E;

_d"2,

on ait L’entier m ainsi

fixé,

on fait tendre ~V vers l’infini. On a alors _pour tout k E

_{[0 ; m]}

et

d’où l’encadrement :

0 on a lim 1

A - i ’

1 Cela valant

_pout

tout e

_{&#x3E; 0,}

on a = _{cx, ce}

_qui

achève la

démonstration du lemme.

Le résultat suivant caractérise les cas où la suite a~ est

_{quasi-périodique.}

Naturellement, quand

c’est le _{cas, u} o a l’est a fortiori _{pour toute}

_{suite u,}

PROPOSITION 8. dE est

quasi-périodique si

et seulement si E est

"inférieu-rement

_lacunaire",

c’est-à-dire si

_limsup(0(n

+

_{1) - 0(n»}

-- _+00. On

rappelle

que 0

est

_{l’application}

strictement croissante telle que E =

Preuve.

e Considérons un intervalle

Qi ; i

+

_sl

d’intersection vide avec E.

’

a(n

+

_{dZ) ~}

_u(n)

_implique

_{Ek (n)}

= d - 1 pour tout 1~ _E

[i ;

_{i +}

L’ensemble de ces n est de densité

_asymptotique

_d-s-1,

_d’après

le lemme 6.

_Comme,

par

hypothèse,

on

_peut

considérer des intervalles de la forme

ci-dessus avec des s aussi

grands

_que l’on

_veut,

il s’ensuit _{que a est}

quasi-périodique.

·

_{Réciproquement,}

_{supposons que} E _est à lacunes bornées. Par

hypothèse,

Soit t E N*. On va montrer que X :=

In ;

u(n

+

_t)

_~

_a(n))

contient une

_partie

de densité

_asymptotique

minorée _par une constante

indépendante

de t.

Développons

t en base d : t =

’Ek£k(t)dk,

et considérons l’ensemble

fini F défini _par F

_{:=={&#x26;~ N ;}

_{0 ~ ;}

_posons enfin s := min F et

distinguons

deux cas :

Pour n E

_N,

si =

0,

alors =

#

_0,

d’où

a(n) .

Aussi,

X contient-il

_{n

E

_{N ;}

_es(n)

=

0},

_qui

_est de densité

_asymptotique

d_~.

L’hypothèse

sur E montre que r K. N vérifie

Si

_0,

et si n est un entier naturel tel que 0 pour

0 k

r, alors

és+r(n

+

t)

=

=1=

es+r(n),

_ce

_qui

montre que X

contient une

_partie

de N de densité

_asymptotique

_q.e.d.

La condition suffisante de la

_proposition

_précédente

admet une forme

symétrique :

on a vu que si XE admettait des

plages

arbitrairement

longues

de

_0,

la suite u o _aE était

quasi-périodique.

Sous

l’hypothèse

_{que u} est

périodique,

supposons que xE admette des

plages

arbitrairement

longues

de

1 ;

alors,

la suite est

_{quasi-périodique,}

comme le montre la

_proposition

suivante :

PROPOSITION 9. Soit E une

_partie

de N contenant des

_segments

(de N)

arbitrairement

_{longs. Supposons}

que u est

_{périodique. Alors,}

u 0 _{UE est}

quasi-périodique.

Preuve. En vertu de la

_{proposition 1,}

on

_peut

_{supposer que} est

_infinie,

toute suite

_périodique

étant évidemment

quasi-périodique.

Modulo q, la suite

{d’~)n

est ultimement

périodique ;

soit r le _rang à

partir

duquel

elle est

_périodique

_(r

= 0 si d

_{et q}

sont

premiers

entre

eux) .

Soit h E N*. Par

_hypothèse,

E contient q

segments El

E2

...

Eq

de N

_(en

ce sens _que

_maxEj

min E;+i),

de

longueurs

supérieures

à

(1

+ et tels que pour

tout j

~ j[l;?j)

1 +

_{max Ej}

n’appartienne

pas à E. On

_peut

aussi

_imposer

r

_{min Ei .}

_{Pour j}

E

_{ff 1; qD,}

on considère

8j:= E

d~ = dz

mod

q ~ .

Enfin,

on

pose 6 :=

E

d8;. Par

construction, 6

est nul modulo q.

Soit maintenant n E N.

_Si,

_pour

_{tout j}

_appartenant

_{à ~ 1; q~ ,}

il existe . k ~ _{k &#x3E; sj, tel} que d -

1,

alors a(n

+

_{6) = a(n)}

+

l~,

d’où

~n

+

_{6) ==}

mod est donc contenue dans une

partie

de N de densité

_asymptotique

inférieure à

_q.d-hl

_d’après

le lemme 6 et le caractère sous-additif fini de la densité

_{asymptotique.}

_{Or, h}

est

arbitrairement

_grand,

d’où le résultat.

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Guy BARAT

Dynamique Stochastique et _{Algorithmique}

Université de Provence

3 _place Victor _Hugo, case 96 13331 Marseille Cedex 03, France