Formule générale de résolution d une équation du second degré 2

(1)

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D Formule générale de résolution d’une équation du second degré

 

2 0 0

ax bx c a D1-A Résumé pour a = 1

Exemples résolus:

2 2 2

double produit des 2 bases Ce membre est mis sous forme de carré parfait !

) 24 144 18 2 12 12 18

a x  x   x    x 

    ^ ^  

  

2 2

Différence de deux carrés

= Produit de binômes conjugués (Factorisation)

12 18 0 12 3 2 0

12 3 2 12 3 2 0

En appliquant la règle du produit nul: 0 0 ou 0

12 3 2 ou

x x

a b a b

x

       

     

    

    x  ^{12 3 2}



à rejeter en géométrie



 

   

2 2

2

Èquation d'un degré supérieur au premier, donc tous les termes sont réunis dans un même membre (ici le membre gauche)

2 2

Différence de deux carrés

2 2

) 6 3 2 3

3 12

3 2

3 3

3

b x x x x

x

       

  

   

  

Produit de binômes conjugués = Produit nul

Les deux solutions ou racines de l'équation initiale

0

3 2 3 3 2 3 0

3 2 3 ou 3 2 3

x x

     

    

2 2

2

Equation impossible, car un carré est toujours positif ou n

2

l !

2

u

5 5

) 2

5 5 2

2 8

8 2

5 7

2 4

c x x x x

x

   

   

  

         

 

    



 

Cette équation n’admet donc pas de solution réelle (dans )

 

2 2

2

) 8 16 2 16

4

4 4

0 4

4

0 4

d x x x x

x x x

         

  

 

Cette équation admet une seule solution réelle

(2)

D1-B Première approche de la formule pour a  1

Résolvons l’exemple a) suivant de deux manières différentes:

Exemple a)

2

2 2

2 2 2 2

2

En multipliant par 4, - on fait disparaître les fractions et - le facteur des devient 4 (

49 7

) 7 25 5 5 0

4 2

7 7 17 3

5 5 0 ou

2 2 2 2

) 7 49 25

2

4

7 7

2 2

x

i x x x x x

x x x x

ii x x

   

                

  

           

  

  

 

  

2

trinôme carré parfait

1)

2 2

4 4 28 49 100

2 7 10 0 différence de deux carrés

17 3

2 7 10 2 7 10 ou

2 4

0 2

x x

x

x x x x

a



    

   

       



 

En multipliant par un facteur non nul, les solutions (ou racines) ne changent donc pas.

Inversément, les solutions ne changent pas non plus si, au lieu de multiplier par un facteur non nul, on divise par un facteur non nul, ou si on le met en évidence !

Exemple b)

    ^ ^  

  

 

     

   

2 2

Par mise en évidence du facteur 4 0

2 2 2

2 2

) 8 4 12 :4 0 2 1 3

1 3 1 3 0

1 3 ou 1 3

) 8 4 12 4 2 1 12

4 1 12 2 1 2 3

2 1 2 3 0

2 1 2 3 2 1

4

2 3 0

2

a

i x x x x

x x

ii x x x x

x x

x

x x

 

       

      

     

    

      

       

     

   

        





¹



^{2 3 ou} ²



¹



^{2 3}

1 3 ou 1 3

x x

    

     

    

(3)

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D2 Exercices de préparation à la formule générale

Cette méthode de mise en évidence, combinée avec la méthode du complément quadratique, va nous mener à l’obtention d’une formule générale de résolution d’une équation du second degré. Pour y accéder, nous allons d’abord résoudre quelques exemples au « pas par pas » en utilisant cette méthode de mise en évidence du facteur a0 .

D2-A Après mise en évidence de a  1 , le coefficient de x reste un nombre pair

Exercices résolus : Résolvez les équations suivantes par mise en évidence du facteur a, coefficient de x²

   

 

2 2 2 2

coefficient pair 2 2

2 2

coefficient pair

2

) 12 12 15 3 4 4 3 5 3 2 3 5

3 2 5 0 3 2 5 2 5 0

2 5 ou 2 5

2 5 ; 2 5

) 8 9 6 2 4 9 6

2

2 2 2 2

3

2

a x x x x x

x x x

x x

S

b x x x x

x x

 

 

             

 

     

             

    

  

 

 

        

   

 

2 construction du

trinôme carré parfait 2

2 2

coefficient

2

2 2

9 1

2 3 2 2 3 0

2 2

5 10 10

2 2 0 2 2 2 0

2 2 2

10 10

2 ; 2

2 2

) 2 8 9 3 2 4

x

x x x

S

c x x x

 

         

   

 

 

  

 

            

 

 

   

 

 



   



 

   

       

pair

2 2

construction du trinôme carré parfait

2 2

9 3

2

9 1

2 2 2 3 2 2 3 0

2 2

1 3

2 2 0 2 2 1 0

2 2

2 2 1 2 1 0 2 1 3 0 1;

2 2

3

2 2

x

x x x

x x

x x x x S

 

   

 

 

 

   

           

 

   

          

        

 







Nous constatons que le terme constant (deuxième membre) est également touché par la mise en évidence du facteur a0.

(4)

2 2

coefficient pair

) 8 3 0 3 8 0

3 3 1

d x x x x

 

 

       

 

 

Rendons maintenant « visible » le double produit et utilisons la méthode du complément quadratique à l’intérieur du crochet :

2 2

trinôme carré parfait 2

2 2

4 4 16

3 2 1 0 3 1 0

3 3 9

4 25 4 5 4 5

4 4 9

3 3

3 0 3 0

3 9 3 3 3 3

x x x 9

x x x

 

    

             

 

 

   

 

 

     

             

    



   

    

  





 

 

¹ ¹ ¹

3 3 0 3 ou ;3

3 3 3

x x  x x S  

            

D2-B Après mise en évidence de a  1 , le coefficient de x reste un nombre impair

Exercices résolus : Résolvez les équations suivantes par mise en évidence du facteur a0 :

2 2

coefficient impair

5 1

) 5 1 0 6 0

6 6

6

e x x x x

 

 

        

 

 

Rendons maintenant « visible » le double produit et utilisons la méthode du complément quadratique à l’intérieur du crochet :

2 2

trinôme car

2 2

ré parfait 2

5 1 5 1 25

6 0 6 0

6 6 12 6 144

5 49 5 7 5 7

6 0 6 0

12 14

5 5 24

12 1

4 12 12 12 12

2 2 2 24

x x x

 

    

            

 

 

     

             

   

    

 

 

¹ ¹ ¹

6 1 0 1 ou ;1

6 6 6

x x  x x S  

            

   

Après cet exercice, qui renferme presque toutes les difficultés que nous pouvons rencontrer au niveau de ces exercices admettant deux solutions, nous sommes fins prêts pour la généralisation et donc pour la déduction d’une formule générale de résolution d’une équation du second degré du type : ^ax²^^bx^{ }^c ⁰



^a^⁰



. Pour mieux visualiser le cheminement vers cette formule, nous allons juxtaposer un exemple numérique du type e) et la formulation générale en utilisant les mêmes couleurs pour les coefficients.

D3 Etablissons la formule générale de factorisation d’une expression du second degré

(5)

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Exemple numérique: Factorisation de 2x²5x2 Commentaire Formule générale: Factorisation de ax²bxc a( 0)

2 2 5

2 5 2 2 1

x  x  x  2x 

  Mise en évidence du facteur non-nul a ² ² b c ( 0)

ax bx c a x x a

a a

 

       

 

2 2

5 2 5

4 4

2 5

2 2 1

x 2x

  

          

    

 

 

   



Construction d'un trinôme carré parfait à partir des deux premiers termes (en x)

2

2 2

2

2 2

2 b b

x a

a a

b c

a x

a

  

        

  

 

    

 5 2 25 1

2 4 16

16

x 16

  

      

 

 

  Factorisation et réduction au D.C.

2 2

4 4 4

b b c

a x

a a a

a a

  

      

 

 

 



2

2 5 9

2 5 2 2

4 16

x  x  x   

Forme réduite de l'expression du second degré

2 2 2

2

4

2 4

b b ac

ax bx c a x

a a

   

        (*)

Nous avons vu dans les exemples précédents que si le crochet constitue une différence de deux carrés, alors on peut factoriser ce crochet en produit de deux binômes conjugués. Il s'agit donc de contrôler si les crochet est bel et bien une différence de deux carrés. Ceci revient à faire une étude du signe du discriminant  : b²4ac .

1) Si b² 4ac>0, alors l'expression du crochet constitue une différence de deux carrés:

2

2 5 9

2 5 2 2

4 16

x  x  x    Pour  b²4ac0:

2 2 2

2

4

2 4

b b ac

ax bx c a x

a a

   

        (*)

5 3 5 3

2 x 4 4x 4 4

       

   Factorisation du crochet

2 2

4 4

2 2

b b ac b b ac

a x x

a a

       

   

    

   

   

 

¹

2 2

x x 2

     

2 2

2 4 4

2 2

b b ac b b ac

ax bx c a x x

a a

         

   

      

   

   

Les deux racines réelles distinctes de l'expression ax²bxc sont par conséquent:

2 2

2

1 2

4 4

pour 4 0 : et

2 2

b b ac b b ac

b ac x x

a a

     

     

(6)

2) Si  b²4ac0, alors l'expression du crochet est déjà sous forme factorisée:

2 2

4 0 :

2 2

b b

b ac ax bx c a x a x

a a

    

              La seule racine réelle (double) de l'expression ^ax²^^bx^^{c a}



^⁰



^est: 0 2

x b a

 

3) Si  b²4ac0, alors l'expression du crochet est une somme de deux carrés et elle ne se factorise pas dans R.

Il n'y donc pas de racine réelle à l'expression ax² bxc si 0. Résumé

Soit la fonction du second degré f donnée par f x( )ax²bxc avec a0.

Pour résoudre l'équation du second degré: ax²bx c 0 , on procède de la manière suivante:

a) Déterminer le discriminant  b²4ac . b) Etudier le signe de  b²4ac :

1) Si  b²4ac0 l'équation admet deux solutions réelles distinctes:

1 et 2

2 2

b b

x x

a a

     

 

2) Si  b²4ac0 l'équation admet une solution double: ₀ 2 x b

a

  3) Si  b²4ac0 l'équation n'admet aucune solution réelle

Remarques: 1) Les solutions à cette équation du second degré sont en même temps les racines de la fonction f.

2) Si  0, alors f x( )a x( x₁)(xx₂) sous forme factorisée.

 Equations du second degré

Exercices résolus en classe:

1. Résoudre les équations suivantes:

3 0 x 2

5 x 1 x 2

x B 2

0 3 x 8 x 3

A ²

 

 

 







2. Factoriser les expressions suivantes et simplifier si possible:

) 3 x )(

1 x (

x 9 2 x

3 x

1 x 2 1 x

3 E x

3 x x 2

2 x 3 D x

5 x 3 x 2 C

2 2





 

 

 



 





 





(7)

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3. Résolution:

 A3x²8x30 a3; b8; c3

Pour résoudre une telle équation, on contrôle d'abord si elle admet une solution. Le critère pour l'existence d'une solution est donné par la condition: b²4ac0

100 36 64 ) 3 ( 3 4 64 3

c

; 8 b

; 3

a           

Comme 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes:

6 3 10 8 a

2 ac 4 b x b

3 et 1 6

10 8 a

2

ac 4 b x b

2 2

2

1  

 





 



 







 ;3 3 S 1

 0

3 x 2

5 x 1 x 2

x

B 2 



 

 

Avant de pouvoir déterminer les solutions à cette équation, il faut d'abord dresser les conditions d'existence de B:

2 x 3 0

3 x 2

2 x 1 0

1 x 2



















Réduisons ensuite au dénominateur commun:

0 31 40 9 ac 4 b

5 c 3 b 2 a

0 5 x 3 x 2 ) 0

3 x 2 )(

1 x 2 (

5 x 3 x B 2

) 3 x 2 )(

1 x 2 (

5 x 10 x x 2 x 6 x 4 )

3 x 2 )(

1 x 2 (

) 1 x 2 )(

5 x ( ) 3 x 2 ( x 2 3 x 2

5 x 1 x 2

x B 2

2 2 2

2 2





























 





 













 









 



 

 

Comme 0, cette équation n'admet pas de solution: S = 

 C2x²3x5

Pour pouvoir factoriser cette expression C, il faut connaître les racines de C.











 9 40 49 0 2 r.r.d. [racines réelles distinctes]

2 5 4

7 x 3

et 4 1

7 3 a

2

ac 4 b

x b ₂

2

1  





 





D'après la formule de factorisation:

) 5 x 2 )(

1 x ( 5 x 3 x 2 C

2) x 5 ( )) 1 ( x ( 2 5 x 3 x 2 C

2 2

























(8)



3 x x 2

2 x 3 D x

2 2





 

Factorisons numérateur et dénominateur séparément:

i) Numérateur N(x)x²3x2: 10  2r.r.d. 2 2

1 x 3

et 2 1

1

x₁ 3 ₂  



 



) 2 x )(

1 x ( 2 x 3 x ) x ( N 1

a   ²    

ii) Dénominateur D(x)2x²x3: 250  2r.r.d. 4 1

5 x 1

2 et 3 4

5

x₁ 1  ₂    

) 1 x )(

3 x 2 ( 3 x x 2 ) x ( D

) 1 x 2)(

x 3 ( 2 3 x x 2 ) x ( D 2

a

2 2































iii) Conditions d'existence de D: etx 1 2

x3 

3 x 2

2 x ) 1 x )(

3 x 2 (

) 2 x )(

1 x ( 3 x x 2

2 x 3 D x

2 2



 







 





  Condition de simplification:

1 x

 (x 1)(x 3)

x 18 x 2 ) 1 x )(

1 x 2 ( ) 3 x ( )

3 x )(

1 x (

x 9 2 x

3 x

1 x 2 1 x

3 E x

2 2

2









 





 

 

 



 

(x 1)(x 3)

8 x 9 E x

2







 

En factorisant le numérateur: 490  2r.r.d. 2 8

7 x 9

et 2 1

7

x₁ 9 ₂  



 



Conditions d'existence de E: x1 et x3 Donc:

3 x

8 x ) 3 x )(

1 x (

) 8 x )(

1 x E (



 





  sous la condition de simplification: x1

Travail en groupes: Série 1 : Equations du second degré et simplification de fractions algébriques

Autres exercices faits en classe : cf pages suivantes

(9)

_______________________________________________________________________________________

Exercice 1: Résolvez dans les équations du second degré suivantes:

2 2

1) 3 10 0 2) 10 21 0

3) 3 8 3 0 4) 2 9 9 0

5) 16 64 0 6) 2 7 4 0

x x x x

     

     

     

2 2

7) 12 2 3 0 8) 7 8 0

9) 9 42 49 0 10) 10 13 3 0

11) 16 0 12) 5 125

13) 12 75 14) 2 10 12 0

15) 6 12 0 16) 4 20 23 0

17) 11 24 0 18) 5 10

19) 5 25 20 20) 3 4 6

x x x x

x x

x x x

x x x x

     

     

  

   

     

   

   

_______________________________________________________________________________________

Exercice 2: Résoudre dans les équations suivantes:

2 2

2 2 2

2

1) (2 1)(3 4) 4 0 2) (2 3) 9 0

3) (3 1) 6 0 4) ( 4)( 7) 3

5) 4( 3) 5 4 6) ( 3)( 2) ( 5)( 2)

7) ( 3)( 4) (2 5) 41 8) ( 2) ( 3) ( 5)( 1) 40

9) ( 3)( 1) ( 4)( 2) 9( 1) 3 10) ( 4) ( 4)(

x x x

x x x x x

x x x x x x x

      

     

        

           

           2x 5) 0

2 2

11) 25x 10x 1 16 12) x  4 5x10

_______________________________________________________________________________________

Exercice 3: Résoudre les équations réductibles au second degré: ( Ne pas oublier les conditions ! )

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 5 3 7 3 2 15 4

1) 3 5 2) 0

3 9 2 5 10

( 2) ( 1) 5( 3) ( 1) ( 1) 3 3 20

3) 0 4)

3 4 12 2 3 6

1 1 4 5 2 7 2 25 4

5) 6) 1

1 3 3 1 2 3 2 (1 2 )(3 2 )

6 2 4 1

7) 1 8) 4 1

2 2

9 1

9)

x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x x

x x

  

       

 

 

           

  

    

     

     

 

 



2

2 2 2

2 2

6 1 1 2 2 20 3

10) 1

1 3 20 7

2 4 6 2 8

11) 12)

1 2 2 2 2 4

3 2 3 8 2 10

13) 1 14)

5 4 ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 1)( 2)( 3)

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x

      

   

  

  

   

      

        

(10)

2 2 2

1 2 2

15) 0 16)

2 5 2 4 1 1 1 1

2 8 1 1 1

17) 18)

5 6 2 7 10 5 4

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

    

     

   

      

2

2 2 2 2

2

3 2 5 2 1 4

19) 20)

2 3 5 6 2 2 4

1 2 1 ( 1)( 1)

21) 3 1 4 3

x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

      

      

   

 

   

_______________________________________________________________________________________

Exercice 4: Déterminer les domaines d'existence de ces fractions algébriques puis factoriser numérateur et dénominateur et simplifier, si possible:

2 2

2 7 4 3 5 2

1) 2)

2 5 2 3 4 1

5 13 6 6 11 10

3) 4)

3 10 8 22 5

4 4 3 9 18

5) 6)

6 2 2 5 3

x x x x

A B

x x x x

C D

x x x x

E F

x x x x

   

 

   

   

 

   

   

 

   

_______________________________________________________________________________________

Solutions des exercices

Exercice 1:

   

 

   

1) 49 2;5 2) 16 3;7

1 3

3) 100 3; 4) 9 ;3

3 2

7 17 7 17

5) 0 8 6) 17 ;

4 4

7) 140 8) 81 1;8

7 3 1

9) 0 10) 289 ;

3 2 5

11) 64 4; 4 12) 100 5;5

13) 100 5;

2

S S

S

      

   

        

   

   

 

        

 

 

        

   

         

   

       

    ⁵ ¹⁴⁾ ¹

 

^2;3

2

3 4 5 2 5 2

15) 289 ; 16) 32 ;

2 3 2 2

S

S S

    

 

 

   

 

 

        

   

   

 

17) 25 8;3 18) 100 0; 2

3 21 3 21

19) 36 5;1 20) 84 ;

3 3

S S

      

    

 

        

 

 

(11)

_______________________________________________________________________________________

E Equations bicarrées (et consorts)

Définition: Une équation du 4^me degré est appelée équation bicarrée si, par une substitution judicieuse de la variable, elle se laisse ramener à une équation du second degré.

Exemple: x⁴13x²360

 En posant: tx² 0, on obtient l'équation du second degré en t:

0 36 t 13

t²  

 Résolution de l'équation en t: 16914425 t₁40 t₂ 90

 Revenons à l'inconnue x:

































3 x

ou 3 x x

9 t ) ii

2 x

ou 2 x x

4 t )

i

2 2

2 1

 Solution: S



3;2;2;3



Exercices: a) Résoudre les équations suivantes:

0 1 x 2 x 8 ) 4

0 4 x 17 x 4 ) 3

0 64 x 20 x ) 2

0 5 x 4 x ) 1

2 4























b) Résoudre les équations du même type:

0 1 ) 11 x 5 x 2 ( 9 ) 11 x 5 x 2 ( 8 ) 10

0 44 ) 4 x 2 x ( 15 ) 4 x 2 x ( ) 9

0 3 ) 7 x ( 2 ) 7 x ( ) 8

0 32 x 33 x ) 7

0 16 x 15 x )

6

0 8 x 7 x )

5

2 2

2

2 2

2

2 2 2

5 10

4 8

3 6



































