1BCPST3 DM1 - pour le vendredi 17 septembre Lycée Thiers
On rappelle que sia>0 etb>0 on appelleexpression conjuguéede√ a±√
bl’expression√ a∓√
b.
En multipliant et divisant par l’expression conjuguée (quand elle est non nulle) on obtient donc les formules classiques suivantes :
√a−√ b=(√
a−√ b)(√
a+√
√ b) a+√
b = a−b
√a+√
b ; √
a+√
b= a−b
√a−√ b De la même manière, sia>0 etb∈Ret que√
a+b6=0 on a
√a−b=(√
a−b)(√ a+b)
√a+b = a−b2
√a+b
Exercice 1:
On considère l’application f :D→R définie par f(x) =ln(x+√
x2+1) oùDest l’ensemble de définition de cette expression (inconnu pour l’instant).
1. Justifier que :∀x∈R, √
x2+1>|x|
On pourra étudier le signe de la différence et utiliser l’expression conjuguée ; ou bien raisonner plus simplement par minoration successives.
2. En déduire le domaine de définitionDde f. 3. Étudier la parité de f.
4. Faire un schéma de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Exercice 2: une étude de fonction Soit f :I→Rla fonction définie par
f(x) = r x
2−x 1. Déterminer l’ensemble de définitionIde f.
2. On admet que f est dérivable surI\{0}. Donner l’expression de f0(x)pourx∈I\{0}.
3. Dresser le tableau de variation de f en faisant figurer les valeurs ou limites aux bornes deI.
4. Démontrer que f réalise une bijection deIsur un intervalleJque l’on déterminera.
5. En notant encoref cette bijection, déterminer f−1.
6. Démontrer que∀x∈I, f(x)>x. Pour quelsxa-t-on l’égalité ? Interpréter géométriquement ces résultats.
7. En tenant compte des questions précédentes, tracerCf etCf−1dans un repère orthonormé.
8. ?Montrer que lim
x→0+
f(x)−f(0)
x = +∞. Interpréter ce résultat en terme de dérivabilité.
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.Indications de solution exercice 1
•Soitx∈R. On ax2+1>x2donc√
x2+1>
√
x2=|x|.
Conclusion :∀x∈R, √
x2+1>|x|.
•Soitx∈R. On a|x|=max{−x,x}>−xdonc√
x2+1>−xdonc√
x2+1+x>0.
Conclusion :D=R.
•Soitx∈R. On a(−x)∈Ret (par expression conjuguée) f(−x) =ln(p
x2+1−x) =ln
1
√
x2+1+x
=−ln(p
x2+1+x) =−f(x)
Conclusion : f est impaire sur R.
.Indications de solution exercice 2
•Soitx∈R. On a (tableau de signe avecx=2 valeur interdite) x
2−x>0⇐⇒x∈[0,2[
Conclusion :I= [0,2[.
•Soitx∈I\{0}. On a
f0(x) = 1 (2−x)2
r x 2−x
= 1
(2−x)p
x(2−x)>0 On trouve f(0) =0 et lim
2− f(x) = +∞. La dérivée est strictement positive surIdonc : x
f0(x)
f(x)
0 2
+
0 0
+∞
•La fonction f est continue surIet strictement croissante surI.
Conclusion : donc f réalise une bijection deIsurJ=f(I) =R+.
•Soity∈J. On a
∀x∈I, f(x) =y⇐⇒ x
2−x=y2⇐⇒x= 2y2 1+y2 Conclusion : f−1:J→Iest définie parf−1(y) = 2y2
1+y2.
•Soitx∈I. On a f(x)>0 etx>0 donc f(x)>x⇐⇒ x
2−x>x2⇐⇒x3−2x2+x
2−x >0⇐⇒x(x−1)2 2−x >0 Commex∈Ion ax>0 et 2−x>0 donc cette inégalité est toujours vérifiée.
Conclusion :∀x∈I, f(x)>x.
Cela signifie que la courbe de f est au dessus de la droite d’équationy=x.
•Comme√ x−−−→
x→0+ 0+et√
2−x−−−→
x→0+
√ 2 on a
∀x∈]0,2[, f(x)−f(0)
x = 1
√x√
2−x−−−→
x→0+ +∞
La fonction f n’est pas dérivable en0.
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