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Théorie générale du Change dans le cas d’un panier multi-devises : Approche financière et Formulation
mathématique
Amine El Bied
Ex-directeur de Salle des Marchés, Expert en Finance et Stratégie, Économiste Docteur ès Sciences (PhD) de l’École Nationale des Ponts et Chaussées ENPC, Paris
Diplômé ESSEC MBA et titulaire d’un DESS Finance des Marchés ESSEC/CNAM
Résumé
Nous nous proposons ici de formuler mathématiquement une théorie générale du change dans le cas d’une monnaie sous le régime d’un panier multi-devises. Le régime d’un panier multi- devises est un régime de change dans lequel la monnaie du pays est ancrée à plusieurs devises étrangères. Le panier est défini d’une part par les devises étrangères qui le composent, et d’autre part par la pondération de chacune de ces devises dans le panier. Le taux de change dans un tel régime est donc fixé à un panier de moyenne pondérée de devises.
Nous obtenons par démonstration les formules générales régissant le panier de change multi- devises. La construction d’un modèle général pour un panier multi-devises aboutit à des équations applicables dans tous les cas, quelles que soient les devises composant le panier, quels que soient leur nature, leur nombre et leur part dans le panier. Le modèle est donc valable pour tous les paniers multi-devises indépendamment de leur composition. Nous appliquons à chaque étape le modèle général au cas particulier d’un panier composé de deux devises seulement, aboutissant à un modèle simplifié pour un panier de deux devises, dans le but de faciliter la compréhension intuitive du modèle général.
L’article aborde la théorie de ce régime de change dans tous ses différents aspects, y compris les plus pratiques, répondant aux problématiques les plus concrètes auxquelles sont confrontés les professionnels des marchés financiers. Il s’agit d’une construction ex nihilo d’un modèle général qui s’appuie, avec toute la rigueur mathématique qui s’impose, sur l’expérience pratique. Il intéressera donc en premier lieu les professionnels de la finance des marchés, mais aussi bien entendu le milieu universitaire, les enseignants en gestion, économie et finance. Son approche didactique le rend par ailleurs abordable et instructif pour tous les étudiants, en particulier ceux qui souhaitent poursuivre une carrière dans ces domaines.
2 INTRODUCTION
Le régime de change d’un panier multi-devises est un régime d’ancrage à plusieurs devises étrangères. Le taux de change dans un tel régime est fixé à un panier de moyenne pondérée de devises. Nous donnons ici une formulation mathématique générale de ce régime de change.
Nous commençons par une définition mathématique d’un panier pour qu’il soit couvert contre les variations des devises entrant dans sa composition. Nous montrons ensuite la méthode à employer pour déterminer en pratique la part ou le poids de chaque devise dans le panier de référence. Nous montrons également comment déterminer en pratique le montant dans chaque devise pour que le portefeuille composé de toutes les devises du panier ait pour valeur une unité dans la monnaie de référence. Nous signalons aussi les pièges à éviter ainsi que les fausses formules qui peuvent circuler sur les paniers multi-devises et qui sont appliquées à tort. Nous mettons en évidence pourquoi elles sont fausses. Nous montrons par ailleurs comment doit se faire la gestion de la position de change, et comment déterminer les cotations en temps réel des cours de change, en particulier ceux de la monnaie de référence avec les devises du panier.
Nous discutons également de l’arbitrage entre devises composant le panier, ainsi que de l’arbitrage avec la monnaie de référence, et les cas d’« AOA » (Absence d’Opportunité d’Arbitrage). Et nous abordons enfin la question du risque de change par rapport à la monnaie de référence dans le cas d’une position longue à terme dans une devise, et de la couverture la plus adéquate par l’utilisation de dérivés, où l’autre devise en jeu est la monnaie de référence, ou bien une autre devise entrant dans la composition du panier. Toutes ces considérations permettront de mieux maîtriser tous les différents aspects du régime de change d’un panier multi-devises, tant sur le plan théorique que pratique.
I. NOTATIONS
Soit n devises composant le panier d’une monnaie (ou devise) de référence notée r.
On note : 𝐶!" = 𝐶!/" le cours de la devise i par rapport à la devise j (i et j : 1 → n). On a donc :
1 i = 𝐶!/" j = 𝐶!" j
De même :𝐶!% = 𝐶!/% avec r devise de référence. On a de même : 1 i = 𝐶!/% r = 𝐶!% r
3 II. FORMULES SUR LES COURS DE DEVISES
1 i = 𝐶!! i et donc :
𝐂𝐢𝐢 =1
1 i = C'( j donc 1 j = *)
!" i ; or 1 j = 𝐶"! i par conséquent : 𝑪𝒋𝒊 = 𝟏
𝑪𝒊𝒋
1 i = C'- r et 1 r = C-( j donc 1 i = C'- r = C'- (C-( j) or 1 i = C'( j donc : 𝑪𝒊𝒋 = 𝑪𝒊𝒓 𝑪𝒓𝒋
On a donc aussi : 𝑪𝒊𝒓 = 𝑪𝒊𝒋 𝑪𝒋𝒓
Cas d’un panier avec 2 devises:
Les deux devises sont notées 1 et 2, tel que 1 est coté au certain : 𝑪𝟏𝒓 = 𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟐𝒓
III. VARIATION DES COURS DE DEVISES
Une variation de 𝐶!" →𝐶!"1 implique une variation de 𝐶!% →𝐶!%1 et de 𝐶"% →𝐶"%1 donc :
𝑪𝒊𝒓1 = 𝑪𝒊𝒋1 𝑪𝒋𝒓1
On notera : ∆𝑪𝒊𝒋= 𝑪𝒊𝒋1 - 𝑪𝒊𝒋 On a ∆33$%
$% =𝑪𝒊𝒋(𝑪 5 𝑪𝒊𝒋
𝒊𝒋 ; on remplace ensuite 𝐶!" par 33$)
%) et C'(1 par 33$)(
%)( = 33$) 6∆3$)
%) 6∆3%) , on obtient alors :
4
∆3$%
3$% =
*$) +∆*$)
*%) +∆*%) 5 *$)
*%)
*%) *$)
= ( 33$) 6∆3$)
%) 6∆3%) - 33$)
%) )33%)
$) = (3$) 3%) 63%) 3∆3$) 53$) 3%) 5 3$) ∆3%)
%) (3%) 6∆3%) ) )33%)
$) =
3%) ∆3$) 5 3$) ∆3%) 3%) (3%) 6∆3%) )
soit : ∆𝑪𝑪𝒊𝒋
𝒊𝒋 = 𝑪 𝑪𝒊𝒓
𝒋𝒓6 ∆𝑪𝒋𝒓 [ ∆𝑪𝑪𝒊𝒓
𝒊𝒓 - ∆𝑪𝑪𝒋𝒓
𝒋𝒓 ] On a 𝐶!%1 = 𝐶!"1𝐶"%1 d’où C'- + ∆𝐶!% = (C'( + ∆𝐶!" ) (C(- + ∆𝐶"% )
donc : *!" 6 ∆33 $%
$% = **!. 6 ∆3$)
". 6 ∆3%) /C'( = **!. 6 ∆3$)
". 6 ∆3%) 3%)
3$) = *!. 6 ∆3* $)
!. / *". 6 ∆3* %)
". )
soit : 1 +∆𝑪𝒊𝒋
𝑪𝒊𝒋 = 𝟏6
∆𝑪𝒊𝒓 𝑪𝒊𝒓 𝟏6∆𝑪𝒋𝒓 𝑪𝒋𝒓
Cas d’un panier avec 2 devises :
1 +∆𝑪𝑪𝟏𝟐
𝟏𝟐 = 𝟏6
∆𝑪𝟏𝒓 𝑪𝟏𝒓 𝟏6∆𝑪𝟐𝒓 𝑪𝟐𝒓
IV. DÉFINITION D’UN PANIER COUVERT
Supposons qu’on dispose d’un nominal M' dans la devise i, soit M' (i).
En contrevaleur dans la devise de référence r, cela fait M' C'- (r).
On a n devises : i : 1→ n. On a M' pour chaque devise i.
En contrevaleur dans la devise r, cela fait : ∑9!:)M' C'- (r)
Un panier dans la devise r est couvert si toute variation les unes par rapport aux autres des cours des n devises qui composent le panier, autrement dit toute variation de C'( (i et j : 1 → n), n’a pas d’impact sur la valorisation de ce panier dans la devise r.
Le portefeuille constitué des montants M' dans chaque devise i du panier r garde une valeur inchangée dans la devise r quelque soit l’évolution des cours C'- , soit :
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∑𝒏𝒊:𝟏𝐌𝐢 𝐂𝐢𝐫 (𝐫) = constante (indépendante du temps) = M (r)
𝐶!% →𝐶!%1 et M' avec i : 1 → n tel que : ∑9!:)M' 𝐶!%1 (r) = ∑9!:)M' C'- (r) = constante,et donc :
∑𝒏𝒊:𝟏𝐌𝐢 ∆𝐂𝐢𝐫 = 0
Cas d’un panier avec 2 devises :
𝐌𝟏𝐂𝟏𝐫 + 𝐌𝟐 𝐂𝟐𝐫 = constante
𝐌𝟏∆𝐂𝟏𝐫 + 𝐌𝟐 ∆𝐂𝟐𝐫 = 0
V. PART DES DEVISES DANS UN PANIER COUVERT
∑2!34>! *!.
∑2!34>! *!. = 1 et donc :
>4 *4.
∑2!34>! *!. + … + ∑>! >*!.
! *!.
2!34 + … + ∑>2 >*2.
! *!.
2!34 = 1 = 100%
α)% α'% α?%
On note : 𝛂𝐢% = ∑𝐌𝐢 𝐌𝐂𝐢𝐫
𝐢 𝐂𝐢𝐫
𝐧𝐢3𝟏 = 𝐌𝐌 (𝐫)𝐢 𝐂𝐢𝐫
α'% représente la part ou poids ou pondération de la devise i dans le panier de référence r.
On a donc : ∑𝒏𝒊:𝟏𝛂𝐢% = 1
On a : α(% = >" *".
> (-) = >" *".
> (-) , par conséquent: 𝛂𝐢%
𝛂𝐣% = 𝐌𝐢 𝐂𝐢𝐫
𝐌𝐣 𝐂𝐣𝐫 ouD!%
>! *!. = D"%
>"*".
6 Ou encore : M' C'- = ( D!%
D"% ) M( C(-
Cela veut dire que M' est telle que la quantité en la devise r provenant de la contrevaleur de la devise i représente α'% , donc ( DD!%
"% ) fois la quantité en r provenant de la contrevaleur j, qui
représente α(%. Il ya une proportion de α'% - α(% ou DD!%
"% - 1 entre les deux devises i et j.
Toujours dans le cas général de n devises, on cherche α'% tel que le panier soit couvert, et donc tel que ∑9!:)M' C'- (r) = constante.
On a: α'% = ∑ >! >*!.
! *!.
2!34
avec M' constante,∑9!:)M' C'- constante, mais C'- n’est pas constante donc α'% non plus.
α'% est égale à une constante proportionnelle près à C'- .
On note à cet effet : 𝜷𝐢% = ∑ 𝐌𝐌𝐢
𝐢 𝐂𝐢𝐫 𝐧𝐢3𝟏
𝛽'% est une constante et : 𝛂𝐢% = 𝜷𝐢% 𝐂𝐢𝐫
On a ∑9!:)α'% = 1
et donc : ∑𝒏𝒊:𝟏𝜷𝐢% 𝐂𝐢𝐫 = 1
𝛽'% représente le montant dans la devise i pour que le portefeuille composé de toutes les devises du panier r ait pour valeur 1 dans la devise r.
∑𝒏𝒊:𝟏𝜷𝐢% ∆𝐂𝐢𝐫 = 0
∑9$34>! 3$)(
∑9$34>! 3$)( = 1 = ∑∑9$34>>! 3$)(
! *!.
9$34 = ∑>4 >34)(
! *!.
9$34 + … + ∑ >!>3$)(
! *!.
9$34 + … + ∑>2 >39)(
! *!.
9$34
= 𝛽)% 𝐶)%1 + … + 𝛽'% 𝐶!%1 + … + 𝛽?% 𝐶9%1
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donc : ∑𝒏𝒊:𝟏𝜷𝐢% 𝑪𝒊𝒓1 = 1
Cas d’un panier avec 2 devises :
>4 *4.
>4 *4. 6 >: *:. + > >: *:.
4 *4. 6 >: *:. = 1 = 100%
α)% αE%
α)% + αE% = 1
Par exemple, un panier dit 80-20 signifie que α)% = 80% et αE% = 20%.
On a alors : >>4 *4.
:*:. = 4.
Cela veut dire que M) et ME sont tels que la quantité en la devise r provenant de la contrevaleur dans la devise 1 représente 80%, donc 4 fois, la quantité en r provenant de la contrevaleur en la devise 2, qui représente 20%. La proportion est de 80-20 ou 4-1.
Toujours dans le cas particulier de deux devises, on cherche α)% et αE% tel que le panier soit couvert, et donc tel que ∑E!:)M' C'- (r) = constante. Soit M)C)- + ME CE- = constante
α)% = 𝛽)% C)- et αE% = 𝛽E% CE-
𝛽)% C)- + 𝛽E% CE- = 1 et 𝛽)% ∆C)- + 𝛽E% ∆CE- = 0 et 𝛽)% 𝐶)%1 + 𝛽E% 𝐶E%1 = 1
VI. DÉTERMINATION DES 𝛃𝐢% ET 𝛂𝐢% EN PRATIQUE
On souhaite calculer α'% pour chaque devise i (i : 1→ n), α'% représentant la part de la devise i dans le panier de la devise de référence r.
On commence par chercher les 𝛽'% (qui sont des constantes). On cherche les 𝛽'% tel que :
∑9!:)𝛽'% C'- = 1
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En pratique, les 𝛽'% sont déterminés sur la base d’un historique des cours par régression linéaire (d’une colonne de 1 notée Y par rapport aux C'- ) ou encore par la méthode des moindres carrés (en minimisant
(Y - 𝛽'% C'- )^2).
Ces 𝛽'% ne changent pas d’une date à une autre. Ce sont des constantes déterminées grâce à la régression. En revanche, d’une date à l’autre les C'- (pour des i : 1 → n) changent, et donc la composition
α'% = 𝛽'% C'- de chaque devise i dans le panier change.
Obtenir des α'% < 0 a-t-il un sens ? α'% < 0 équivaut à ∑ >! >*!.
! *!.
2!34 < 0, soit M' C'- < 0 et donc M' <0. Cela veut dire que dans la composition du panier couvert en la devise r, on a M' dans la devise i avec M' <0, et donc on est à découvert sur cette devise.
Si on ne connaît pas la composition d’un panier et qu’on cherche à la déterminer, la difficulté réside également dans le choix des devises sur lesquelles s’effectuera le calcul. Logiquement, si α'% est obtenu très proche de zéro voire non significatif pour une devise i donnée, cela tend à montrer que cette devise n’est pas incluse dans le panier.
Une autre difficulté réside dans le choix de l’historique sur lequel seront basés les calculs, en termes de période retenue et de fréquence des données (quotidiennes ou autres).
VII. LES PIÈGES À ÉVITER
Un piège à éviter est d’extrapoler sans vérification les équations précédentes après variation des cours. Les deux équations suivantes sont fausses :
M' 𝐶!%1 = ( DD!%
"% ) M( 𝐶"%1 et M' ∆C'- = ( DD!%
"% ) M( ∆C(- Démonstration :
9 On obtient de l’équation ci-dessous : ∆33$)
$) = ( DD!%
"% ) >>"
!
∆3%) 3$)
or M' C'- = ( DD!%
"% ) M( C(- et donc ( DD!%
"% ) >>"
! ) 3$) = 3)
%) , par conséquent : ∆33$)
$) = ∆33%)
%) ; par ailleurs, 1 + ∆33$%
$% = )6
∆*$)
*$) )6∆*%)
*%)
et donc 1 + ∆33$%
$% = 1 , soit ∆33$%
$% = 0 ou encore ∆𝐶!" =0 , 𝐶!"1 = 𝐶!" .
Ces équations sont donc fausses, sauf s’il n’y a pas de variation (et donc où l’on retombe sur l’équation M' C'- = ( D!%
D"% ) M( C(- démontrée plus haut)
Par conséquent, dans le cas d’un panier avec deux devises, dans le cas par exemple d’un panier 80-20, les équations suivantes sont fausses :
M) 𝐶)%1 = 4 ME𝐶E%1 et M) ∆C)- = 4 ME ∆CE-
D’autres pièges sont également à éviter : on peut montrer que les équations suivantes, utilisées quelques fois à tort, sont toutes fausses :
∆C'- = α'%∆C'( (il y a d’ailleurs un problème d’unité)
∆C'- = DD!%
"% ∆C(- ou ∆C'- = FF!%
"% ∆C(-
∑9!:)α'% C'- = 1 et ∆**!"
!" = ∑ α'% ∆**!.
!.
9!:)
Cas d’un panier avec 2 devises :
Dans le cas d’un panier avec deux devises, par exemple un panier 80-20, les équations ci- dessous sont fausses :
∆C)- = 80%∆C)E et ∆C)- = 4 ∆C(- et 80% C)- + 20% CE- = 1 et
10
∆*4:
*4:= 80% ∆*4.
*4. + 20% ∆*:.
*:.
VIII. LA GESTION DE LA POSITION DE CHANGE
On a : ∑9!:)𝛽'% C'- = 1
𝛽'% représente le montant dans la devise i pour que le portefeuille composé de toutes les devises du panier r ait pour valeur 1 dans la devise r.
On a : ∑9!:)M' C'- (r) = constante = M (r)
Donc M' représente le montant dans la devise i pour que le portefeuille composé de toutes les devises du panier r ait pour valeur M dans la devise r. A nous de choisir le montant M qu’on veut, représentant la valeur du portefeuille dans la devise r. On en déduit alors les montants M' .
On a : ∑9!:)𝛽'% C'- = 1
On multiplie par M(r) des deux côtés, sachant que M(r) est une constante.
Soit ∑9!:)𝛽'% M (r)C'- = M (r) or ∑9!:)M' C'- (r) = M (r)
d’où M' = 𝛽'% M (r) or α'% = 𝛽'% C'- d’où 𝐌𝐢= M (r) 𝛂𝐂𝒊%
𝐢𝐫
On a déterminé les positions cibles (longues si M' > 0) dans les devises i pour i : 1 → n tel que le panier r soit couvert.
Cas d’un panier avec 2 devises :
M) = M (r) D*4%
4. et ME = M (r) D*:%
:.
11 IX. LES COTATIONS EN TEMPS RÉEL
Nous sommes dans le cas ici où les cours entre elles des devises i et j (: 1 → n) ont une grande visibilité et sont disponibles en temps réel, tandis que les cours mettant en jeu la devise r ne sont affichés qu’avec un certain retard, par la banque centrale de la devise concernée.
Si les cours suivants sont affichés :
Les cours figés à une date t-1 : C'- (G5)) (i : 1 → n) et C'( (G5)) (i et j : 1 → n) ;
et les cours C'( (G) (i et j : 1 → n). Comment calculer à partir de là les cours C'- (G) (i : 1→ n) ?
On a: ∑9!:)α'% = ∑9!:)𝛽'% C'- = 1
Or C'- = C'( C(-
donc en remplaçant:
: 𝛽'% C'- =
9
!:)
: 𝛽'% C'( C(- =
9
!:)
C(- : 𝛽'% C'( =
9
!:)
1
Et donc : 𝐂𝐣𝐫 =∑ 𝜷𝟏
𝐢% 𝐂𝐢𝐣 𝒏𝒊3𝟏
ou encore : 𝐂𝐫𝐣 = ∑𝒏𝒊:𝟏(𝜷𝐢% 𝐂𝐢𝐣) Ou encore : 𝐂𝐫𝐣 = 𝜷𝒋% + ∑𝒏𝒊:𝟏;𝒊K𝒋 (𝜷𝐢% 𝐂𝐢𝐣)
Voici donc la relation de calcul entre C(- et et les C'( (i : 1 → n). Si on a ces derniers, on peut déduire les cours mettant en jeu la devise de référence, en utilisant les valeurs des 𝛽'% dejà estimés.
Dans un cas pratique, si on fait la régression linéaire de C-( par rapport aux cours C'( (avec i : 1
→ n), on peut déterminer ainsi les valeurs de 𝛽'% (avec i : 1 → n), et donc en multipliant par C'- , on obtient les parts α'% des devises i dans le panier r.
Par ailleurs, en remplaçant 𝛽'% par α'% C-' dans la formule précédente, on obtient :
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𝐂𝐫𝐣 = 𝛂𝐣%𝐂𝐫𝐣+ ∑𝒏𝒊:𝟏;𝒊K𝒋=𝛂𝐢%𝐂𝐫𝐢𝐂𝐢𝐣>
Or 1 r = C-( j
d’où : 1 r = ?𝛂𝐣%𝐂𝐫𝐣+ ∑𝒏𝒊:𝟏;𝒊K𝒋=𝛂𝐢%𝐂𝐫𝐢𝐂𝐢𝐣>@j
(Cette équation peut être vue comme une autre présentation de la formulation d’un panier r)
Cas d’un panier avec 2 devises :
C)-= 1/(𝛽)% C)) + 𝛽E% CE) )= 1/(𝛽)%+ 𝛽E% /C)E )= C)E /(𝛽)% C)E + 𝛽E%)
CE-= 1/(𝛽)% C)E + 𝛽E% CEE)= 1/(𝛽)%C)E + 𝛽E%) ou encore : C-E= 𝛽)%C)E + 𝛽E%
Si on régresse donc C-E par C)E , on peut ainsi déterminer 𝛽)% et 𝛽E%, et donc α)% et αE% .
En remplaçant C)E par C)- C-E , on obtient également :
C-)= 𝛽)% C-E / (C-E − 𝛽E%)
On a de même : 1 r = {αE%C-E+ α)%C-)C)E}2
Ou encore : 1 r = {αE% (1/CE-) + α)% (1/C)-) C)E} 2
Et aussi : C-E = αE% (1/CE-) + α)% (1/C)-) C)E
X. ARBITRAGE DEVISE i / DEVISE j
Sur n jours, on emprunte M( à θ( LMN % , on achète de l’i / j à C'( LMN et on place M' à θ' O'P %.
Après n jours, on récupère le placement dans la devise i, on vend de l’i/j à C'( O'Pet on rembourse l’emprunt dans la devise j. Au final :
13 P&L = 𝐌𝐣[ 𝐂𝐂𝐢𝐣𝐛𝐢𝐝
𝐢𝐣𝐚𝐬𝐤 (1 + 𝛉𝐢𝐛𝐢𝐝% * n/360) – 1 - 𝛉𝐣 𝐚𝐬𝐤 % ∗ 𝐧/𝟑𝟔𝟎 ]
M( est le montant initial emprunté. Ce qui est entre les crochets[ ] est un montant très faible, qui est en général négatif. Si tel est le cas, il y a Absence d’Opportunité d’Arbitrage.
XI. ARBITRAGE AVEC LA DEVISE r
Sur n jours, on emprunte M (r) à θ- %. On achète M' i pour chaque devise i :1 → n pour avoir un panier r couvert, et donc respectant la formule suivante :
M' = M (r) *D$%
!. ABC (on achète les devises à l’ask).
On a alors : ∑9!:)M' C'- LMN (r) = constante = M (r)
On place M' i à θ' O'P % pour chaque devise i: 1 → n.
Après n jours, on récupère le placement dans la devise i, soit
M' (1 + θ' O'P % * n/360) ipour chaque devise i.
On vend de l’i/r à 𝐶!% V!W1 , on a donc : ∑9!:)M' R1 + θ' O'P % ∗XYZ? S 𝐶!% V!W1 (r)
En remplaçant M' = M (r) *D$%
!. ABC , on obtient :
: M (r) α!%
C'- LMNR1 + θ' O'P % ∗ n
360S 𝐶!% V!W1 (r)
9
!:)
Or, on rembourse M (r) (1 + θ- LMN %). Au final:
P&L = 𝐌 (𝐫) [ ( ∑ 𝑪𝒊𝒓𝒃𝒊𝒅(
𝐂𝐢𝐫𝐚𝐬𝐤𝛂𝒊% R𝟏 + 𝛉𝐢𝐛𝐢𝐝% ∗ 𝐧
𝟑𝟔𝟎S) − 𝟏 − 𝛉𝐫𝐚𝐬𝐤% ] (𝐫)
𝒏𝒊:𝟏
M (r) est le montant initial emprunté. Ce qui est entre les [ ] est un montant très faible.
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Ça vaut le coup d’avoir une position de change basée sur la composition du panier r pour profiter des différentiels de taux d’intérêt entre la devise r et les devises i (:1 → n) si ces différentiels de taux sont tels que P&L > 0, ou encore
:𝑪𝒊𝒓𝒃𝒊𝒅1
𝐂𝐢𝐫 𝐚𝐬𝐤𝛂𝒊% R𝟏 + 𝛉𝐢 𝐛𝐢𝐝 % ∗ 𝐧
𝟑𝟔𝟎S > (1 + 𝛉𝐫 𝐚𝐬𝐤 %) (𝐫)
𝒏
𝒊:𝟏
On aura alors intérêt à garder la position. C’est particulièrement le cas si on n‘a pas besoin d’emprunter en totalité le montant M (r), disposant par exemple d'une allocation en fonds propres sur laquelle on ne paie pas d'intérêts. Dans le cas où l’équation ci-dessus n’est pas vérifiée, il y a Absence d’Opportunité d’Arbitrage.
Cas d’un panier avec 2 devises :
P&L = M (r)[ *34)F$G(
4. ABCα)% R1 + θ) O'P % ∗XYZ? S + *3:)F$G(
:. ABCαE% R1 + θE O'P % ∗XYZ? S-1 - θ- LMN % ] (r)
XII. COUVERTURE D’UN RISQUE DE CHANGE j/r PAR DES DÉRIVÉS i/j
Une position longue dans une devise j à terme, dans x mois, constitue un risque de change par rapport à la devise de référence r. La couverture la plus adéquate pour un risque de change devise j/ devise r est l’utilisation de dérivés j/r. Mais dans le cas d’une liquidité limitée de ce marché des dérivés, en termes de nombre de contreparties potentielles et de variété des produits proposés, il est possible de procéder à une couverture par des dérivés i/j (i : 1 → n et j étant une de ces devises), les devises i étant les devises composant le panier de la devise de référence r, et les dérivées i/j étant par exemple des achats à terme ij (ventes à terme ji) ou un achat de put ji.
Soit C'- a bc'M le cours spot i/r dans x mois.
On suppose r composé d’un panier de devises (i : 1 → n).
On est par exemple long dans une devise j dans x mois de M(1 j (on craint donc une baisse du j/r dans x mois).
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Pour couvrir une position longue en j, on peut faire plusieurs achats à terme i/j (ou vente à terme j/i) dans x mois avec i : 1 → n, i ≠j, à un cours F'( (on le valorise et on se le fait coter) sur un nominal de M' i, dans le but d’arriver à la composition du panier dans la devise de référence r.
Dans x mois, M(1 j vaut (M(1C(- a bc'M ) (r)
Pour i : 1 →n, i ≠j, on achète M' i contre (M' F'( a bc'M ) j tel que :
M' i équivaut à α!% (M(1C(- a bc'M ) r , soit :
(M' C'- a bc'M ) r = α!% (M(1C(- a bc'M ) r ou encore M' = α!%M(1 *". H IJ!B
*!. H IJ!B soit
𝐌𝐢 = ( 𝛂𝒊% 𝐌𝐣(
𝐂𝐢𝐣 𝐱 𝐦𝐨𝐢𝐬 ) i(pour i : 1 → n, i ≠j)
Aujourd’hui, C'( a bc'M est estimé avec F'( (on ne connait pas C'( a bc'M , mais on peut calculer F'( à partir de C'( G:Z ). On peut donc calculer M' , nominal sur lequel on fait l’achat à terme d’où :
𝐌𝐢= ( 𝛂𝒊%𝐅 𝐌𝐣(
𝐢𝐣𝐱𝐦𝐨𝐢𝐬 ) i Il me reste dans la devise j :
𝐌𝐣= (𝐌𝐣1 - ∑𝒏𝒊:𝟏 𝒊 K𝒋𝐌𝐢 𝐅𝐢𝐣 𝐱 𝐦𝐨𝐢𝐬) j
Ce montant doit correspondre à (α"% M(1C(- a bc'M ) r
(Le montant qui reste en j doit également obéir à la composition du panier r et donc être en proportion α"%), et donc :
[ (M(1 - ∑9!:) ! K"M' F'() C(- a bc'M ] r = α"% (M(1C(- a bc'M ) r
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Soit : M( = (M(1 - ∑9!:) ! K"M' F'() = α"% M(1
∑9!:) ! K"M' F'(= M(1 (1 - α"%)
En remplaçant M' : ∑ ( α!% * >"(
!" H IJ!B ) F'(
9!:) ! K" = M(1 (1 - α"%)
En simplifiant par M(1 et en estimant que C'( a bc'M = F'(, on obtient : ∑9!:) ! K"α!% = 1 - α"%,
Soit α"% + ∑9!:) ! K"α!% = 1, soit ∑9!:) α!% = 1.
C’est effectivement le cas, donc c’est cohérent.
Si on fait donc des achats i/j à terme dans x mois de M' i à un cours F'(, tel que M' = ( α!%* >"(
!" H IJ!B ) i , pour i : 1→ n, i ≠j), cette couverture est bonne si on suppose que le
panier en r est composé d’une part α!% pour chaque devise i(i : 1 → n). On couvre alors l’évolution du j/r par des dérivés i/j (i : 1 → n, i ≠j).
Cas d’un panier avec 2 devises :
On est long dans x mois dans la devise 2. On fait un achat à terme devise 1/devise 2 (ou vente à terme (partielle) devise 2 / devise 1) dans x mois pour un montant M)= α)%h >:(
4: H IJ!B
Il reste dans la devise 2 : ME = ME1 -M) F)E a bc'M
Si on fait un achat à terme de M) i/j dans x mois à un cours F)E a bc'M avec M)= α)% >:(
h4: H IJ!B, cette couverture est bonne si on suppose que le panier r est composé de α)%
la devise 1, et αE% la devise 2, telle que α)% + αE% = 1.
17 CONCLUSION
Nous avons présenté une formulation mathématique générale du régime de change d’un panier multi-devises. Après avoir défini mathématiquement un panier couvert contre les variations des devises qui le composent, nous avons montré de manière pratique comment déterminer ces devises et leurs pondérations dans le panier. Pour une valeur de panier d’une unité dans la monnaie de référence, nous avons montré comment déterminer le montant de chacune des devises entrant dans sa composition. Nous avons mis en garde aussi contre certains pièges à éviter et expliqué pourquoi certaines formules employées, censées régir le panier multi-devises, sont fausses et ne doivent donc pas être employées. Nous avons montré comment devait se faire la gestion de la position de change, et comment déterminer en pratique les cotations en temps réel des cours de change, et plus particulièrement les taux de change de la monnaie de référence par rapport aux devises entrant dans la composition de son panier. Nous avons ensuite montré la méthode à employer et les formules à utiliser pour savoir s’il y a absence d’opportunité d’Arbitrage (AOA) ou s’il y a une possibilité d’arbitrage entre deux devises du panier ou entre une devise du panier et la monnaie de référence. Nous avons montré enfin comment couvrir le risque de change, par rapport à la monnaie de référence, d’une position longue à terme dans une devise du panier, par l’utilisation de dérivés où l’autre devise en jeu peut être soit la monnaie de référence, soit une autre devise du panier.
Le régime de change d’un panier multi-devises a été abordé dans cet article dans tous ses aspects les plus pratiques et les plus théoriques, par une approche financière, et une formulation mathématique qui permet d’aboutir à un modèle général, valable et applicable dans tous les cas, quels que soient le nombre de devises, leur nature et leurs pondérations dans le panier.
