( ) ∫abφn n∈` est convergente et sa limite I ne dépend que de f.

DE D EF FI IN N IT I TI IO ON N D D E E L L' 'I I NT N TE EG GR RA AL LE E S S UR U R U U N N I IN N TE T ER RV VA AL LL LE E CO C OM MP P A A CT C T D D' 'U UN NE E F FO ON NC CT TI I ON O N N NU UM ME ER RI I QU Q U E E C CO ON NT TI IN N UE U E

On n'envisage que le cas des fonctions numériques continues sur un intervalle compact [ ; ]a b (avec a<b). On suppose connues la définitions et les propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier sur [ ; ]a b .

1 Intégrale d'une fonction continue

1.1 Théorème

Soit f une fonction numérique continue sur [ ; ]a b . Alors :

(i) Il existe une suite ( )φ_{n n∈`} de fonctions en escaliers convergeant uniformément vers f sur [ ; ]a b ; (ii) La suite

( ) ^∫

^abφn _n∈` est convergente et sa limite I ne dépend que de f.

Démonstration

(i) [ ; ]a b est une partie compacte de \ et f est continue sur [ ; ]a b donc f est uniformément continue sur [ ; ]a b . Donc :

, 0, , [ ; ], ( ) ( ) 1

n n 1

n x y a b x y f x f y

α α n

∀ ∈ ∃ > ∀ ∈ − ≤ ⇒ − ≤

` + .

A α_n, on associe p∈`^* tel que b a _n

p α

− ≤ .

( )0

n cj j p

σ = _{≤ ≤} , où _j b a

c a j

p

= + − est une subdivision régulière de [ ; ]a b . Soit φ_n la fonction définie par :

, 0 1, [ _j; _j 1[, _n( ) ( ),_{j n}( ) ( )

j j p x c c ₊ φ x f c φ b f b

∀ ∈` ≤ ≤ − ∀ ∈ = = .

( )φ_{n n∈`} est une suite de fonctions en escalier définie sur [ ; ]a b . Par construction :

[ ; ] x a b

∀ ∈ , 1

( ) ( )

n 1

f x x

φ n

− ≤

+ donc

[ ; ]

sup ( ) ( ) 1

n 1

x a b

f x x

φ n

∈ − ≤

+ , d'où f x( )−φ_n( )x _∞ ⎯⎯⎯→_n→+∞ 0.

( )φ_{n n∈`} est donc une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f.

(ii) ∀n p, ∈` :

b b b

n p n p

aφ − aφ ≤ a φ φ−

∫ ∫ ∫

(b a) φ φ_{n p}

≤ − − ∞

( )φ_{n n∈`</sub> converge uniformément vers f donc ( )φ<sub>n n∈`} est une suite de Cauchy pour la norme . _∞.

Soit ε >0.

( )

0 , , , 0 0 _{n p}

n p n n n et p n

b a φ φ ε

∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ − ∞ <

` ` −

^b _n ^b _p

aφ aφ ε

⇒

∫

−

∫

≤

( ) ^∫

^abφn _n∈` est donc une suite de Cauchy de \ donc converge.

Soit (ψ_{n n})_∈` une autre fonction en escalier convergeant uniformément vers f.

( )

b b b

n n n n

aφ − aψ = a φ ψ−

∫ ∫ ∫

≤ −(b a) φ ψ_n− _{n ∞}

n n n f f n

φ ψ− _∞ ≤ φ − _∞ + −ψ _∞

n f n 0

φ − _∞ ⎯⎯⎯→_→+∞ et ψ_n− f _∞ ⎯⎯⎯→_n→+∞ 0 donc

( ) ^∫

^abφn _n∈` ^et

( ) ^∫

^abψn _n∈` ont la même limite, notée I.

1.2 Intégrale

I est appelé intégrale de f sur [ ; ]a b , notée ^b

a f

∫

^ou

∫

a^b f t dt^{( ) .}

1.3 Sommes de Riemann

Etant données une subdivision σ =(x_k)_{0≤ ≤k n} de [ ; ]a b avec x₀ =a et x_n =b et une suite ( _k)0 _{k n}

ξ = ξ _{≤ ≤} de points de [ ; ]a b telle que pour tout entier k vérifiant 1≤ ≤k n, ξ_k∈[x_k−1;x_k] . On

pose ₁

1

( , , ) ( ) ( )

n

k k k

k

S f σ ξ x x ₋ f ξ

=

=

∑

− , où f est continue sur [ ; ]a b . Alors S f( , , )σ ξ admet une limite finie lorsque le pas de la subdivision tend vers 0 et cette limite est égale à ^b

a f

∫

^.

Démonstration

f est continue sur [ ; ]a b donc uniformément continue (théorème de Heine – voir chapitre sur les compacts de \).

Soit ε >0. 0, x y, [ ; ],a b x y f x( ) f y( )

b a

α α ε

∃ > ∀ ∈ − < ⇒ − <

− . Notons δ σ( ) le pas de la subdivision σ .

Si ( )δ σ <α, alors pour tout entier k vérifiant 1≤ ≤k n et tout x∈[x_k−1;x_k], on a x−ξ_k <α et donc f x( ) f( _k)

b a ξ ε

− <

− .

( )

1

( ) ( ) ( 1)

k k

x

k k k

x f x f dx x x

b a ξ ε

− − ≤ − −

∫

− ^.

( )

1

1

1 1

( ) ( ) ( ) ^k ( ) ( )

k

n n

b x

k k k k

a x

k k

f x dx x x f ξ f x f ξ dx

− −

= =

−

∑

− =

∑

−

∫ ∫

₁

1

( )

n

k k

k

x x b a

ε

−

=

≤ −

∑

− c'est-à-dire ^b ( ) ( , , )

a f x dx−S f σ ξ ≤ε

∫

Remarque : S'il s'agit d'une subdivision régulière σ =(x_k)_{0≤ ≤k n} avec _k b a

x a k

n

= + − et

( _k)1 _{k n}

ξ = ξ _{≤ ≤} , ξ_k∈[x_k−1;x_k], alors

1

( ) ( )

n b

k n a

k

b a f f x dx

n ξ _→+∞

=

−

∑

⎯⎯⎯→

∫

^.

Exemple :

Soient ^α∈\\

{

^{− +1, 1}

}

^{et I}α =

∫

₀^{πln(1 2 cos}− α ^t+α^2)dt. Soit f la fonction numérique définie sur [ 0; ]π par t6ln(1 2 cos− α t+α²).

2 2

4 cos t 4 4 sin t

∆ = − = − .

[ 0; ], 0

t π

∀ ∈ ∆ < donc 1 2 cos− α t+α² >0 et f est bien définie sur [ 0; ]π . f est continue sur [ 0; ]π .

Soient n∈`^* et

0 k n

k n σ π

≤ ≤

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ la subdivision régulière dont le pas est n π .

Alors

1 n

n k

f k I

n ^α

π

= →+∞

⎛ ⎞ ⎯⎯⎯→

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

2

1 1

ln 1 2 cos

n n

k k

k k

n f n n n

π π π α π α

= =

⎛ ⎞= ⎛ − + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

²

1

ln 1 2 cos

n

k

k

n n

π α π α

=

⎛ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝

∏

⎜⎝ − + ⎟⎠⎟⎠

Soit P le polynôme défini par ( ) ² 2 cosk 1

P X X X

n

= − π + .

2

4sin2 k 2 sink

n i n

π ⎛ π ⎞

∆ = − = ⎜⎝ ⎟⎠ . P a donc deux racines :

ik

e n π

et

ik

e n

− π

. Donc ( )

k k

i i

n n

P X X e X e

π − π

⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ − ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

Alors

1 1

ln

k k

n

n i i

n n

k k

f k e e

n n n

π π

π π π α α ⁻

= =

⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎞

⎛ ⎞ = ⎜ ⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

∑ ∏

1 ²

ln ( 1)

1

n

n

π α α

α

⎛ + ⎞

= ⎜⎝ − − ⎟⎠ Si α <1, alors α²ⁿ ⎯⎯⎯→_n→+∞ 0 donc I_α =0. Si α >1, on écrit :

2 2

1

ln 1(1 )

1

n

n n

k

f k

n n n

π π π α α α

α ⁻

=

⎛ ⎞= ⎛ + − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

1 ²

2 ln ln (1 )

1

n

n

π α

π α α

α ⁻

⎛ + ⎞

= + ⎜⎝ − − ⎟⎠

Le deuxième morceau étant de limite nulle, on en déduit que I_α =2 lnπ α .

1.4 Propriétés résultant de celles des fonctions en escalier f étant une fonction numérique continue sur [ ; ]a b :

(i) ^b ( )

f ⁶

∫

a f t dt est linéaire.

(ii) ^b ( ) ^b ( )

a f t dt ≤ a f t dt

∫ ∫

^.

(iii) Si c∈] ; [a b , alors ^b ( ) ^c ( ) ^b ( )

a f t dt= a f t dt+ c f t dt

∫ ∫ ∫

^.

Démonstration

Ces propriétés découlent de celles des fonctions en escalier. Il suffit de prendre une fonction en escalier qui converge uniformément vers f.

1.5 Proposition

Soit f une fonction numérique continue et positive sur [ ; ]a b . Alors ^b 0

a f ≥

∫

^et

∫

a^b f =^{0 si et} seulement si f =0.

Démonstration

[ ; ], ( ) ( ) x a b f x f x

∀ ∈ = donc ^b ( ) ^b ( ) ^b ( ) 0

a f t dt= a f t dt≥ a f t dt ≥

∫ ∫ ∫

^.

Si f =0, alors ^b ( ) 0

a f t dt=

∫

(car la fonction nulle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier nulle).

Si ^b 0

a f =

∫

^:

Supposons f ≠0. f étant positive, il existe t₀∈[ ; ]a b tel que f t( )₀ >0. la continuité de f sur [ ; ]a b implique l'existence d'un intervalle I contenue dans [ ; ]a b tel que :

( )0

, ( ) 2 x I f x f t

∀ ∈ > .

Soit u la fonction en escalier définie sur [ ; ]a b par :

0

( ) 0 ( ) ( )

2 u x si x I u x f t si x I

= ∉

⎧⎪

⎨ = ∈

⎪⎩

u≤ f donc ^b ( ) ^b ( )

au t dt ≤ a f t dt

∫ ∫

^.

Or ( )⁰

( ) ( ) 0

2

b a

u t dt= f t β α− >

∫

^{. (où [ ;α β]=I).}

Ceci contredit le fait que ^b 0

a f =

∫

^.

1.6 Inégalité de Schwarz

f et g étant des fonctions continues sur [ ; ]a b , on a :

( ) ( )( ) ^∫

^{ab fg 2 ≤}

^∫

^{ab f2}

^∫

^{abg2 .}

Démonstration

Soit P la fonction polynôme définie sur \ par ^b

( )

²

x⁶

∫

a xf +g ^.

(

^{xf +g}

)

² est une fonction continue positive sur [ ; ]a b donc P x( )≥0. P est donc une fonction polynôme positive.

Pour x∈\:

(

^{2 2 2}

)

( ) ^b 2

P x =

∫

a x f + xfg+g

^=x2

( ) ( ) ( ) ^∫

^{ab f2 +2x}

^∫

^{ab fg +}

^∫

^abg2

∆ doit être négatif, c'est-à-dire ⁴

( ) ( )( ) ^∫

^{ab fg 2−4}

^∫

^{ab f2}

^∫

^{abg2 ≤0}, d'où l'inégalité.

S'il y a égalité, alors ∆ =0. P admet alors une racine double. Il existe x₀∈\ tel que P x( ₀)=0. Alors ^b( ₀ ) 0

a x f +g =

∫

^.

Donc x f₀ + =g 0 car x f₀ +g est continue sur [ ; ]a b (voir proposition 1.5).

Si f et g sont colinéaires, il existe (x0; )x1 ∈\²\ (0; 0)

{ }

tel que x f₀ +x g₁ =0. Si x₁=0, alors f =0 (car x₀ ≠0) et légalité est évidente ;

Si x₁≠0, alors ⁰

1

x 0 f g

x + = donc ⁰

1

x 0 P x

⎛ ⎞

⎜ ⎟=

⎝ ⎠ donc ∆ ≥0. Comme ∆ ≤0n en déduit ∆ =0, d'où l'égalité.

1.7 Inégalité de Minkowski

Si f et g sont continues sur [ ; ]a b , alors ^b( )^{2 b 2 b 2}

a f +g ≤ a f + a g

∫ ∫ ∫

^.

Démonstration

2 2 2

( ) 2

b b b b

a f +g = a f + a fg+ a g

∫ ∫ ∫ ∫

(linéarité de l'intégrale).

2 2

b b b b

a fg≤ a fg ≤ a f a g

∫ ∫ ∫ ∫

(inégalité de Schwarz).

donc ^b( )^{2 b 2} 2 ^{b 2 b 2 b 2}

a f +g ≤ a f + a f a g + a g

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

donc

2

2 2 2

( )

b b b

a f +g ≤ ⎜⎛ a f a g ⎞⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

d'où le résultat.

1.8 Formule de la moyenne

Soient f et g deux fonctions continues sur [ ; ]a b , g étant positive. Soient

[ ; ]

inf ( )

x a b

m f x

∈

= et

[ ; ]

sup ( )

x a b

M f x

∈

= . Alors il existe c∈[ ; ]a b tel que ^b ( ) ^b

a fg = f c a g

∫ ∫

^.

Démonstration

mg≤ fg≤Mg donc ^{b b b}

a a a

m

∫

g≤

∫

fg≤M

∫

g^. Si 0g= , l'égalité est évidente.

Si 0g≠ , [ ; ]

b a b a

fg

m M g

∫

∈

∫

. Il existe alors c∈[ ; ]a b tel que ( )

b a b a

fg f c

g

=

∫

∫

(théorème des valeurs intermédiaires), d'où le résultat.

Conséquence

Pour 1g= : il existe c∈[ ; ]a b tel que ^b ( ) ( )

a f = f c b a−

∫

^.

2 Intégrales et primitives

2.1 théorème

Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle I de \ et soit a un point de I. Alors : (i) La fonction : ^x

F x⁶

∫

a f est de classe C¹ sur I et c'est l'unique primitive de f qui s'annule en a.

(ii) L'ensemble des primitives de f sur I est

{

^{F+C C, ∈\}

}

^.

(iii) Pour tous a b, ∈I et toute primitive G de f sur I, on a ^b ( ) ( )

a f =G b −G a

∫

^.

Démonstration

(i) Soit x∈I. Soit k≠0.

( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F x h F x f x F x h F x hf x

h + − − = h + − − .

Or ( ) ( ) ^{x h} ( )

F x+ −h F x =

∫

x⁺ f t dt (relation de Chasles).

On a ( ) ^{x h} ( ) h f x =

∫

x⁺ f x dt

donc ¹

(

^{F x( h) F x( ) hf x( )}

)

_x^{x h}

(

^{f t( ) f x dt( )}

)

h

+ − − =

∫

+ − ^.

D'après la formule de la moyenne 1.8, il existe t₀∈[ ;x x+h] (ou [x+h x; ] si h<0) tel que

(

( ) ( )

) (

( )0 ( )

)

x h

x⁺ f t − f x dt= h f t − f x

∫

^.

Donc

( )

[ ; ]

( ) ( ) sup ( ) ( )

x h

x t x x h

f t f x dt h f t f x

+

∈ +

− ≤ × −

∫

^.

D'où

( )

[ ; ]

1 ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( )

t x x h

F x h F x f x f t f x

h + − − ≤ ∈ + −

Donc

0

( ) ( )

lim ( ) 0

h

F x h F x h f x

→

⎛ + − − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , c'est-à-dire F est dérivable et F'= f .

f étant continue sur I, F est de classe C¹ sur I et est une primitive de f qui s'annule en a car ^b 0

a f =

∫

(conséquence de la relation de Chasles)

(ii) Si C∈\, (F+C) '=F'= f donc F+C est une primitive de f sur I.

Si G est une primitive de f sur I, alors (G−F) '=G'−F'= − =f f 0 donc il existe C∈\ tel que G− =F C, c'est-à-dire G= +F C.

Pour terminer la démonstration du (i) : Soit F définie comme au (i).

Soit G une primitive de f qui s'annule en a. Il existe C∈\ tel que G= +F C. Alors ( )G a =F a( )+C.

Or ( )F a =0 et ( )G a =0 donc C=0 et G=F . F est donc l'unique primitive de f qui s'annule en a.

(iii) Soient ,a b∈I et G une primitive de f sur I.

F est définie comme au (i). Alors ( )F a =0. ( )

b

a f =F b

∫

^.

G étant une primitive de f sur I, il existe C∈\tel que G= +F C.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

G b −G a = F b +C − F a +C =F b( )+ −C F a( )−C =F b( ) (car ( )F a =0) ^b

a f

=

∫

2.2 Intégration par parties

Soient f et g deux fonctions de classe C¹ sur [ ; ]a b . Alors

∫

_a^{b fg'=}

[ ]

^{fg b}_a⁻

∫

_a^{b f g' , où}

[ ]

^{fg b}_a ^{= f b g b( ) ( )− f a g a( ) ( ).}

Démonstration

( )

^{fg '= f g' + fg'}

donc

∫

_a^b

( )

^{fg' =}

∫

_a^{b f g' +}

∫

_a^{b fg'}

donc

[ ]

^{fg b}_a ⁼

∫

_a^{b f g' +}

∫

_a^{b fg'}, d'où le résultat.

2.3 Changement de variable

Soit φ une fonction de classe C¹ sur [ ; ]a b et f une fonction continue sur [ ; ]a b . Alors

( )

( )

( )^{b b} '

a f a f

φ

φ = φ φ

∫ ∫

^{D .}

Démonstration

Notons ^{[ ;α β]=φ}

(

^{[ ; ]a b}

)

^.

Soit F une primitive de f sur [ ;α β].

FDφ est dérivable sur [ ; ]a b et

(

^FDφ

) (

^{'= F'Dφ φ}

)

^'=

(

^{f Dφ φ}

)

^{' donc :}

( )

^'

[ ] (

^{( )}

) (

^{( )}

)

_{( )}^{( )}

b b b

a f F a F b F a ^φa f

φ φ = φ = φ − φ = φ

∫

^{D D}

∫

^.

Remarque

Si φest bijective, on a :

∫

_a^{b f =}

∫

_φ^φ_{( )}^{( )}_a^b

(

^{f Dφ φ}

)

^'.

2.4 Exemple

Si f est une fonction continue sur \, T-périodique, alors quels que soient les réels a et b,

b b T

a f a T⁺ f

= +

∫ ∫

^.

Démonstration

Soit φ l'application définie sur \ par φ( )x = +x T . φ est de classe C¹ sur \ (donc sur [ ; ]a b ).

( )

( )

( )^{b b} '

a f a f

φ

φ = φ φ

∫ ∫

^{D .}

( ) ( )

b b T

a f a T f

φ φ

+

= +

∫ ∫

φ' 1= donc ^b ( ) ^b ( ) ^b

a f φ x dx= a f x T dx+ = a f

∫

^D

∫ ∫

^{car (f x T+ )= f x( )}. D'où le résultat.

2.5 Intégrales de Wallis Pour n∈`, on pose ²

0 sinⁿ

In x dx

π

=

∫

^.

Pour n≥2, ^{2 1}

0 sin sinⁿ

In x x dx

π −

=

∫

^.

Appliquons le théorème d'intégration par parties aux fonctions f x: 6sinⁿ⁻¹x et g x: 6−cosx (f et g sont de classe C¹ sur \).

1 2 2 2 1

0 0

cos sinⁿ ( 1) cos sinⁿ

In x x n x x dx

π

− π −

⎡ ⎤

= −⎣ ⎦ + −

∫

2 1

2

( 1) 0 cos sinⁿ

In n x x dx

π −

= −

∫

(

²

)

¹

( 1) 2 1 sin sinⁿ

In n x x dx

π −

= −

∫

−

2 2

0 0

( 1) sinⁿ ( 1) sinⁿ

In n x dx n x dx

π π

− 2

= −

∫

− −

∫

( 1) 2 ( 1)

n n n

I = n− I ₋ − −n I ( 1) 2

n n

n I = n− I ₋

2

1

n n

I n I

n ⁻

= −

Pour n∈`^* :

2 2 2

2 2

2 1

n n

I n I

+ n

= +

+ et _{2 1} 2 _{2 1}

2 1

n n

I n I

+ = n −

+ . La fonction x6sinⁿx est continue sur 0;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ positive ou nulle donc pour tout n∈`^*, 0I_n > .

2

2 0

1 2 2

n k n

k k

I I I

= I −

= ×

∏

2

1

2 1

2 2

n n

k

I k

k π

=

=

∏

−

( )

2 2

(2 )!

2 2 !

n n

I n

n

=π (se justifie par une simple récurrence)

et

2 1

2 1 1

1 2 1

n k n

k k

I I I I

+ +

= −

=

∏

2 1

1

1 2

2 1

n n

k

I k

+ k

=

= ×

∏

+

( )

²

2 1

2 ! (2 1)!

n n

I n

+ = n

+ (se justifie par une simple récurrence).