CALCULATRICES INTERDITES Partie I Formulaire de cours feuille à compléter, à garder sous les yeux pendant le devoir et à rendre à la fin

TSI 2

DS Thermodynamique 2 heures

CALCULATRICES INTERDITES

Partie I – Formulaire de cours – feuille à compléter, à garder sous les yeux pendant le devoir et à rendre à la fin

Toutes les relations seront écrites pour une transformation élémentaire (infinitésimale) notée (T).

Chaque question rapporte 1 point

Relation traduisant le 1^er principe pour un

système fermé, au repos

Travail des forces de pression dans un cas général

Travail des forces de pression dans le cas d’une (T) réversible

Relation traduisant le 2nd principe pour un système fermé

Expression de δSéchange si le système échange avec une source de chaleur

Expression de δSéchange si le système subit une (T) adiabatique

Expression de δScréation lors d’une (T) réversible

Que peut-on dire de δScréation lors d’une (T) irréversible ?

Relation entre l’enthalpie H et l’énergie interne U

Pour quelle (T) fréquente peut-on écrire ΔH = Q ?

Identité thermodynamique pour l’énergie interne

Identité thermodynamique pour l’enthalpie Expression de dU et dH pour un solide ou un liquide

Equation d’état vérifiée par un gaz parfait (relation entre P, V et T)

Définition du coefficient γ

Expression de la capacité CPm en fonction de R et γ pour un gaz parfait

Expression de dU pour un GP Expression de dH pour un GP Relation de Laplace

Dans quelles conditions peut-on appliquer la relation de Laplace ?

Note /20 NOM

Partie II Application des principes de la thermodynamique

Consignes de présentation OBLIGATOIRES Faire une marge à droite de 5 cm.

Laisser un espace de 8 cm de haut au début de la première copie, pour les appréciations et la note.

Encadrer les résultats littéraux et numériques.

Tracer un trait en travers de toute la feuille entre deux questions.

Démarrer chaque exercice en haut d'une page Tout résultat sera soigneusement démontré.

Votre objectif est de BIEN REDIGER les questions que vous traitez, pas d’essayer de TOUT traiter MAL.

Exercice 1 . Cycle décrit par un GP sur 20 points

Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversé suivant :

- l’air pris dans l’état A de température TA et de pression PA est comprimé suivant une adiabatique réversible jusqu’au point B où il atteint la pression PB.

- le gaz est ensuite refroidi à pression constante et atteint la température finale de la source chaude TC

correspondant à l’état C.

- le gaz est encore refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique réversible pour atteindre l’état D de pression PA.

- le gaz se réchauffe enfin à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial.

On considère que l’air est un gaz parfait de coefficient isentropique γ = 1,5 On pose b = 1- ¹

𝛾 et a = ^PB

P_A

On prendra : TA = 283 K , TC = 298 K , a = 5 ,

R = 8,314 JK^-1mol^-1 CVm = 20 JK^-1mol^-1 CPm = 30 JK^-1mol^-1 Aide numérique : 5^1/3 ≈ 1,7 5^-1/3 ≈ 0,6

0. Poser le problème de façon synthétique : A → B → C → D

1. Représenter le cycle parcouru par le gaz dans le diagramme de Clapeyron donnant la pression en fonction du volume.

2. A partir de la 2^ème identité thermodynamique, démontrer la formule de Laplace relative à la pression et à la température : T^γ P^1-γ = cte.

3. En déduire l’expression des températures TB et TD des états B et D en fonction de TA , TC, a et b.

On donne les résultats numériques : TB = = 450 K TD = 190 K

4. Déterminer les quantités de chaleur échangées par le gaz au cours de chaque transformation en fonction des températures, de CVm ou CPm .

Faire l’application numérique

5. En appliquant le premier principe au gaz durant un cycle, déterminer le travail total échangé par le gaz sur un cycle.

6. L’efficacité e de la pompe à chaleur est définie par e = ^{−𝑄𝐵𝐶}

𝑊 . Justifier cette expression.

7. Exprimer e en fonction des températures des états A, B, C et D, puis en fonction de a et b.

Calculer sa valeur numérique.

Exercice 2 – Variations sur une machine ditherme – sur 30 points

On considère une machine ditherme cyclique dans laquelle un fluide est successivement en contact avec une source froide de température TF, une source chaude de température TC et un système mécanique (turbine, compresseur, détendeur).

1. Représenter, par un schéma, les échanges réalisés entre le fluide, les sources de chaleur et le système mécanique.

2. En appliquant les deux principes de la thermodynamique au fluide sur un cycle élémentaire, écrire deux relations entre δQF, δQc et δW , dans le cas d’une machine irréversible.

3. Un inventeur décrit le fonctionnement cyclique d’une machine réversible au cours duquel le fluide reçoit une quantité de chaleur QF de la source froide, fournit une quantité de chaleur Qc à la source chaude ainsi qu’une quantité de travail W au milieu extérieur :

a) Quel(s) serai(en)t le(s) rôle(s) de cette machine ? (choisir parmi pompe à chaleur, climatiseur, réfrigérateur, moteur)

b) Quels seraient les signes de QF, Qc et W pour cette machine ?

c) Comparer |δ𝑄_F| à |δ𝑄_𝐶| et |δW| en utilisant les relations établies en 2.

d) Une telle machine peut-elle fonctionner ?

4. Au cours d’un cycle, le fluide thermique d’un moteur ditherme reçoit 400 J d’une source chaude à la température constante 227 °C. La source froide est à la température constante 7 °C. Le travail fourni par le moteur est de 120 J.

a) Donner les valeurs de Qf, Qc et W

b) Définir et calculer le rendement de ce moteur thermique.

c) Le fonctionnement est-il réversible ?

5. Une pièce, de capacité calorifique C = 10⁷ J/K est initialement à la température extérieure θF = 4°C

On l’amène à la température θc fin = 20°C grâce à une pompe à chaleur fonctionnant avec un moteur de puissance P = 300 W pendant une durée t0.

a) Identifier les sources chaude et froide de cette machine

b) Exprimer la chaleur δQpièce échangée par la pièce en fonction de C et dTc , pendant une durée élémentaire dt.

c) En déduire l’expression de δQc pendant une durée élémentaire dt d) En déduire l’expression de δQF pendant une durée élémentaire dt

e) Exprimer le travail δW échangé par le fluide pendant une durée élémentaire dt

f) Déterminer l’expression de la durée t0 nécessaire pour que la température de la pièce atteigne 20°C

g) Quelle aurait été la durée t1 avec un radiateur électrique de même puissance ? h) Comparer t0 et t1

CORRIGE DS 2 octobre 2020

Ex 1 - Cycle décrit par un gaz parfait

Compression adiab rév refroidist isobare détente adiab rév

0. A B C D

TA = 283 K TC = 298 K

PA a PA a PA PA

Réchauffement isobare 1. P

C

B cycle récepteur car décrit dans le sens trigo

D A

V 2. 2^ème identité thermo : dH = TdS + V dP

Pour un GP dH = n CPm dT Donc dS = n CPmdT

T – VdP / T = n CPmdT

T – nR ^dP

P= nR ^γ

γ −1 . ^dT

T– nR ^dP

P

La formule de Laplace s’applique à une (T) adiab rév décrite par un GP, donc Séch = 0 et Scréée = 0, soit dS = 0

On a alors : ^γ

γ −1 dT

T = ^dP

P, donc γ ^dT

T = (γ-1)^dP

P , donc γ ln(T)= (γ-1) ln(P)+ cte, donc Ln( T^γ P^1-γ )= cte On retrouve la relation de Laplace en coordonnées T et P : T^γ P^1-γ = cte.

3. On peut appliquer la relation précédente entre A et B : TAγ PA1-γ = TBγ PB1-γ = TBγ (aPA)^1-γ On obtient TB = TA a^b

de m^me pour la transformatin CD : TD = TC a^-b 4. Transformation AB adiabatique : QAB = 0

Transformation CD adiabatique : QCD = 0

Transformation BC isobare : δWBC = - PB dV donc W BC = - PB (VC - VB) = - n R (TC - TB) 1^er principe : ΔUBC = WBC + QBC

GP ΔUBC = n CVm (TC - TB)

Donc QBC = n CVm (TC - TB) + n R (TC - TB) = n CPm (TC - TB)

Transformation DA isobare : QDA = n CVm (TA – TD) + n R (TA – TD) = n CPm (TA – TD)

AN : prenons n =1 mol : QBC = - 4,5 kJ le gaz donne de la chaleur à la source chaude = but de la PAC QDA = 2,8 kJ le gaz reçoit de la chaleur de la source froide

5. Sur un cycle : ΔU = 0 = W + QBC + QDA donc W = 1,7 kJ le gaz reçoit du travail du compresseur 6. efficacité = énergie utile

énergie couteuse

7. ^{−QBC −QBC T − TB 1}

Exercice 2 Machine ditherme

1. Qc Source chaude W Fluide

système mécanique décrivant des cycles

= agent thermique QF

Source froide 2. 1^er principe appliqué à l’agent thermique sur un cycle élémentaire : dU = 0 = δW + δQc + δQF

2^ème principe appliqué à l’agent thermique sur un cycle élémentaire : dS = 0 = δScréée + ^𝛅𝐐𝐜

𝐓_𝐜 + ^𝜹𝐐𝐟

𝐓_𝐟 3. L’inventeur propose

QF > 0 comme dans un réfrigérateur ou une clim QC < 0 comme dans une PAC

W < 0 comme dans un moteur Ce serait une super machine !

D’après 1^er principe : δQF = - δW - δQc donc |δ𝑄_F| = |δ𝑄_𝐶| + |δW| , soit |δ𝑄_F| > |δ𝑄_𝐶| D’après second ppe : δQF = - ^TF

T_c δQc avec ^TF

T_c< 1 donc |δ𝑄_F| < |δ𝑄_𝐶| Il y a contradiction, cette machine ne peut donc pas exister

4. Moteur ditherme

a) d’après l’énoncé : : QC = 400 J W = -120 J avec 1^er ppe QF = -280J

b) rendement du moteur : énergie utile

énergie couteuse

=

Q_C = 0,3

c) pour savoir si le fonctionnement est réversible, il faut calculer Scréée à partir du 2^nd ppe Scréée = - ^Qc

T_c- ^QF

T_F = 0,2 J/K le fonctionnement est irréversible 5. a) source chaude : pièce

Source froide : extérieur

b) chaleur échangée par la pièce pendant une durée élémentaire dt : δQpièce = C dTc

c) chaleur échangée par le fluide pendant une durée élémentaire dt : δQC = - C dTc

d) avec le 2^nd principe : δQF = - ^TF

T_c δQc = ^TF

T_c C dTc

e) avec le 1^er principe : δW = - δQF - δQC = - ^TF

T_cC dTc + C dTc

à partir de la puissance du moteur : δW = P dt e) on obtient dt = ^C

P (- ^TF

T_c dTc + dTc)

on intègre entre t=0 et t=t0 : t0 = ^C

P( -TF (ln(Tcfin) – ln(Tcin)) + Tcfin – Tcin) AN t0 = ¹⁰⁷

300( -277 (ln(293) – ln(277)) + 16)

f) avec un radiateur électrique, en supposant un rendement 1 entre l’énergie électrique et la chaleur produite : δW = - δQC soit t1 = ^C

P(Tcfin – Tcin) g) on a t0 < t1