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Exercice 1 - Compléter le tableau

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Academic year: 2022

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(1)

JF FERRARIS – L1 - IUT1 - Equations différentielles 1 - TD1. Généralités, 1er ordre linéaires.

Page 1

Exercice 1 - Compléter le tableau

Exercice 2 -

a. L’équation 2xy′ − =y 4 est-elle linéaire ? A coefficients constants ? Ecrire l’EH associée.

b. L’équation yy′ − =x2 0 est-elle linéaire ? Montrer qu’on a une ED linéaire en Y=y2. c. L’équation y′ − =y 0 est-elle linéaire ? A coefficients constants ? Homogène ? d. L’équation y′ =2y2 est-elle linéaire ?

e. L’équation y′ =sin

( )

xy est-elle linéaire ?

Exercice 3 - QCM

1) L’équation différentielle y’ – xy = 5 est :

linéaire homogène à coefficient constant du second ordre 2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ?

xyy′=0 y′ − =xy x2 2y′ = y2 y x

′ + =y 0 3) L’équation différentielle y′′−x y2 ′+ + =y 1 0 est :

homogène du premier ordre

à variables

séparables linéaire 4) Parmi les fonctions proposées, laquelle est une solution de xy′ + =y 1 ?

y= +1 x y= −1 x y 1 1

= + x 1

1 y= −x

Exercice 4 -

Trouver la solution des équations différentielles qui vérifie les conditions données : . y′ + y=

a 3 0 et f (0) = 2 . 1y′ + y=

b 3 0

2 et f (0) = 1

Exercice 5 -

Population microbienne. La vitesse d’augmentation d’une population microbienne est à chaque instant proportionnelle – d’un facteur k – à la quantité de microbes vivants. Combien de temps faut-il pour dou- bler cette population ?

Exercice 6 -

Dans cet exercice, les températures sont exprimées en degrés celcius et le temps en heures.

La vitesse de refroidissement de la surface d’un matériau est proportionnelle à sa différence de tempéra- ture avec l’air ambiant (maintenu ici à 20°C). Si on note T(t) la température de la surface au bout d’un temps t, alors on a :

ordre linéaire linéaire ho- mogène

coefs cons- tants yy′ − =x2 0

xy '

′′ + y1 = 0 xy′ − =y

2 4

y ′ − = y sin x 2

y ′′ − + y ′ 2 y + = x 0

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(E) : T’(t) = –a(T(t) – 20) : ED linéaire non homogène où a est une constante réelle positive.

1) En notant y(t) = T(t) – 20, montrer que la fonction y vérifie : y’ = –ay.

2) Donner la solution générale y(t) et en déduire l’expression de T(t).

3) On constate que T(0) = 100 et T(0,25) = 60. Trouver les valeurs des constantes présentes dans l’ex- pression trouvée en question 3 puis écrire l’expression définitive T(t).

Exercice 7 -

La vitesse ( ) d’un objet relié à un parachute suit l’équation différentielle :

’( ) + ( ) =

où est la masse totale du système et est le coefficient d’accélération de la pesanteur.

1) Montrer qu’il existe une fonction constante solution particulière de cette équation différentielle.

2) Déterminer l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.

3) Donner la solution de l’équation différentielle si on suppose la vitesse initiale nulle : (0) = 0.

4) Calculer la vitesse limite du système, c’est-à-dire lim

( ).

5) Au bout de temps le système atteindra-t-il 90% de sa vitesse limite ?

Exercice 8 -

Résoudre les équations proposées en effectuant une séparation des variables détaillée ou en appliquant la formule directe. Ensuite, déterminer la solution vérifiant y

( )

1 =1.

1) x²y’ + y = 0 2) y′ +2xy=0 3) y′ − =xy 0 4) xy′ −2y=0

Exercice 9 -

1) Résoudre l’équation y′costysint=0.

2) Vérifier que ses solutions ne sont pas définies en , t= + π ∈ℤ2π k k . 3) Déterminer la solution telle que y

( )

π =1.

Exercice 10 -

Soit l'équation différentielle 2xyy′ +y2 =0

( )

E .

1) On décide d’utiliser le changement de variable u=y2.

a. Montrer alors que l’équation

( )

E peut se traduire en xu′ + =u 0

( )

Eu .

b. Résoudre alors l’équation différentielle linéaire

( )

Eu .

c. En déduire les solutions de l’équation

( )

E .

2) On décide de réécrire

( )

E : y

(

2xy′ +y

)

=0. Résoudre

( )

E sous cette forme (on pourra discuter de la comparaison des solutions avec celles trouvées dans la question précédente).

Exercice 11 -

1) On verse une quantité Q0 d’une substance chimique solide dans un réservoir d’eau. On admet qu’à chaque instant t (exprimé en minutes) la vitesse instantanée de dissolution dans l’eau (exprimée en kilogrammes par minute) est proportionnelle à la quantité non encore dissoute Q(t) (exprimée en ki- logrammes).

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La quantité non encore dissoute vérifie alors l’équation différentielle : dQ/dt + kQ = 0.

a. Donner la forme générale des solutions de cette équation.

b. Déterminer la valeur de k (à 0,0001 près) sachant qu’il ne reste que 5% de la quantité initiale au bout de 10 minutes.

2) Dans cette partie, la substance chimique est versée progressivement dans le réservoir. On admet alors que la quantité dissoute vérifie, pour t ∈ [0 ; +∞[, l’équation différentielle :

Q’(t) + 0,3Q(t) = 15e-0,1t (E)

a. Chercher une solution particulière de cette équation de la forme Q(t) = A.e-0,1t où A est une constante réelle qu'on déterminera.

b. Donner alors la forme générale des solutions de l’équation (E).

c. Donner Q(t) sachant que le réservoir contient initialement 50kg de substance solide.

Exercice 12 -

Résoudre en utilisant l’identification :

; . cos ; . sin cos ; .

a. y+ =yx2 b 2y′+ =y x c y′+3y=4 x+ x d y′+ =y xex

Exercice 13 -

Résoudre l’équation différentielle suivante : xy′ −2y=x3ex

Exercice 14 -

1) Résoudre en utilisant la formule de Lagrange : x y2 ′ + =y 1

2) Parmi les solutions, déterminer l’expression exacte de celle qui vérifie y

( )

1 = −1.

3) Déterminer alors pour quelle(s) valeur(s) exacte(s) de x cette fonction s’annule.

Exercice 15 -

Résoudre l’équation ycostysint=sin

( )

2t .

Exercice 16 -

On donne l’équation différentielle suivante : x y3 ′+ =xy ex1 (E).

1) a. Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (sans second membre) associée.

On raisonnera par séparation des variables.

b. Donner une solution particulière de (E).

c. Donner alors l’écriture générale des solutions de (E).

2) On recherche ici une de ces solutions qui soit conforme à une condition particulière : si x = 1, y doit valoir e.

Ajuster ainsi la valeur de la constante présente dans l’expression trouvée à la question 1)c et don- ner l’expression de la fonction correspondant à cette condition particulière.

Exercice 17 -

Résoudre en utilisant la variation de la constante ou la formule de Lagrange :

; ) cos ; ) sin cos

y+ =yx2 y′+ =y x y′+ y= x+ x

a) b 2 c 3 4

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Exercice 18 -

Soit à résoudre l’équation différentielle suivante : x x

(

21

)

y+2y= −x 2

( )

E où y désigne une fonc- tion de variable x, définie sur ]1 ; +∞[.

1) Résoudre l'équation homogène associée ; on aura besoin de transformer l'écriture

(

22 1

)

x x

− en une forme a bx

x +x

2 1 où a et b sont des coefficients réels à déterminer.

2) Déterminer une solution particulière de

( )

E sous la forme

( )

2

P 2

1 C x x y = x

− où il s'agit de déterminer l’expression C x

( )

.

3) Donner alors la forme générale des solutions de

( )

E .

Exercice 19 -

Résoudre l'équation différentielle suivante : y 6

(

x 1

)

y x 1

x

′− + = + .

Exercice 20 -

1) Résoudre l’équation différentielle suivante : 2 3 2 1

( )

x y′ + =y x +x +2x E .

On en cherchera une solution particulière par identification à un polynôme du second degré.

2) Parmi ces solutions, laquelle prend la valeur 0 lorsque x = 1 ?

Exercice 21 -

Résoudre l’équation différentielle linéaire suivante : xy′ − =y lnx

Exercice 22 -

On veut déterminer les fonctions f telles que : f

( ) ( )

x + f x +

01f t

( )

.dt=0.

a. L’intégrale donnée en énoncé est en fait un nombre réel, que l’on peut noter λ. Résoudre l’équation différentielle f

( ) ( )

x + f x + =λ 0.

b. En utilisant la forme générale des solutions de cette équation, effectuer un calcul de

01f t

( )

.dt, dont

le résultat dépendra lui-même de λ.

c. En déduire alors une valeur de λ (dans laquelle apparaitra la constante arbitraire présente dans f ).

d. Donner enfin l’écriture générale des solutions de l’équation différentielle initialement posée.

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