MODIA — 1`ere Ann´ee EDO
2020–2021 TD 3
TD – EDO – Probl` emes raides
Exercice 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire suivante (IV P)
® y(t) =˙ λy(t) y(t0) =y0,
o`u λ∈ C, Re(λ) < 0 et y(t) ∈ C. On notera h = (tf −t0)/N, le pas suppos´e constant et on noteraz=λh.
1.1. 1. On consid`ere le sch´ema d’Euler explicite. Montrer que l’on peut ´ecrire yN =R(z)Ny0.
On exprimeraR(z) en fonction de z.
2. On suppose ici quez∈C, visualiser dans le plan complexe l’ensemble |R(z)| ≤1.
1.2. On consid`ere le sch´ema d’Euler implicite.
1. Montrer que l’on peut ´ecrire pourz6= 1
yN =R(z)Ny0. On exprimeraR(z) en fonction de z.
2. On suppose ici quez∈C, visualiser dans le plan complexe l’ensemble |R(z)| ≤1.
1.3. On consid`ere un sch´ema de Runge-Kutta `a s ´etages d´efini par le tableau de Butcher 1.
Montrer que l’on peut ´ecrire, sauf pour quelques valeurs dez, c A
bT
Table 1 – Tableau de Butcher.
yN =R(z)Ny0.
On exprimera R(z) en fonction de z, A, b et du vecteur 1 (le vecteur colonne qui ne contient que des 1).
1.4. 1. Pourquoi d´esire-t-on pour une m´ethode num´erique de Runge-Kutta avoir{z,|R(z)| ≤ 1} ⊂C−={z∈C, Re(z)≤0}?
2. Commentaires sur les m´ethodes d’Euler expicite et implicite.
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EDO TD – EDO – Probl`emes raides
Exercice 2. On consid`ere l’exemple (IV P)1
® y(t) =˙ −50y(t) y(0) = 10
avec [t0 tf] = [0 1.5] et l’exemple de Curtiss & Hirschfelder (IV P)2
® y(t) =˙ −50(y(t)−cos(t)) y(0) = 0
avec [t0 tf] = [0 1.5].
Expliquer le comportement vu en TP sur cet exemple.
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