B A C C A L A U R É A T G É N É R A L
SESSION 2018
MATHÉMATIQUES – Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures. – COEFFICIENT : 7
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).
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Exercice 3 (6 points) Commun à tous les candidats
Dans une entreprise, 60 % des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement 7,5 % ont un trajet d’une durée inférieure à 30 minutes. Parmi les employés qui n’utilisent pas les transports en commun, 28,5 % ont un trajet d’une durée inférieure à 30 minutes.
Pour tout événement 𝐸, on note 𝐸� l’événement contraire de 𝐸 et 𝑃(𝐸) sa probabilité. Pour tout événement 𝐹 de probabilité non nulle, on note 𝑃𝐹(𝐸) la probabilité de 𝐸 sachant que 𝐹 est réalisé.
On interroge au hasard un employé de l’entreprise et on considère les événements suivants :
• 𝐶 : « l’employé utilise les transports en commun » ;
• 𝑅 : « le trajet de l’employé a une durée inférieure à 30 minutes ».
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
Partie A
1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation et le compléter.
2. a) Calculer 𝑃(𝐶 ∩ 𝑅) et interpréter le résultat obtenu.
b) Montrer que 𝑃(𝑅) = 0,159.
3. On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à 30 minutes. Calculer la probabilité qu’il utilise les transports en commun.
Partie B
Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d’un employé peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi normale d’espérance 𝜇= 40 et d’écart type 𝜎= 10.
1. Déterminer 𝑃(𝑋 ≤30). Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse.
2. Déterminer 𝑃(20≤ 𝑋 ≤60) et en déduire 𝑃(𝑋> 60).
3. Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier 𝑎 tel que 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎)≃0,008.
a) On admet que lorsque la valeur de 𝑎 augmente, la valeur de 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) diminue.
On considère l’algorithme ci-dessous, où 𝑋 est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance 𝜇= 40 et d’écart type 𝜎= 10.
Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il permette de répondre à la question.
b) On exécute cet algorithme.
Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire.
𝑎 60 61 62
𝑌 0,023 0,018 0,014
4. Donner la valeur de 𝑎 obtenue après exécution de l’algorithme.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
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Y ← 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) Fin Tant que
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