D1850- Les trois compères
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Soit un cercle (Γ) de diamètre AB. À partir d’un point courant C de ce cercle, on trace dans le sens horaire la corde CD de longueur fixe L. Les droites AC et BD se coupent en P, les droites AD et BC en Q et les droites CD et PQ en R.
Déterminer les lieux des trois compères P, Q et R quand C parcourt le cercle (Γ).
Solution par Patrick Gordon
On prendra pour unité le rayon du cercle (Γ).
Notons l'angle au centre (en valeur absolue) qui intercepte la corde de longueur L.
Notons cos et sinles coordonnées du point courant C.
Lieux de P et Q
Dans les conditions de la figure, on a pour valeur des angles : PAB = /2
DAB = (/2 DBA = /2 − (/2 HBP = DBA
APB = HBP – PAB =/2 − (/2 − /2 =/2 − /2.
Cet angle APB est fixe. Le lieu de P est donc un arc de cercle passant par A et B. On vérifie aisément qu'avec une autre figure, le lieu de P est l'arc de cercle complémentaire. Le lieu de P est donc un cercle passant par A et B.
Le même raisonnement donne pour lieu de Q le cercle symétrique du précédent par rapport à AB.
Lieu de R
ABCDPQ est un quadrilatère complet.
Notons K et H les points où le diamètre AB coupe respectivement DC et PQ. K et H sont conjugués harmoniques par rapport à A et B au titre du faisceau harmonique de droites. Ils le sont donc aussi au titre du cercle (Γ) et PQ est donc la polaire de K par rapport à ce cercle.
Notons O le centre du cercle (Γ). On a OK. OH = R² = 1.
Par ailleurs, la droite CD est à une distance fixe r de O définie par r² + (L/2)² = R² = 1, donc tangente au milieu I de CD à un cercle de rayon r.
Notons t l'angle KOI. L'équation de CD est : x cost + y sint = r
Le point K correspond à y = 0, donc : OK = r/cost et par conséquent OH (abscisse de R) = cost/r.
Le point R est donc défini par la combinaison des deux équations :
x cost + y sint = r x = cost/r
En les combinant, il vient : cos²t/r + y sint = r d'où :
y sint = r(1 − x²) d'où :
cos² t = r²x²
sin²t = r²(1 − x²)² / y² d'où l'équation du lieu de R :
(r²x² − 1) y² + r²(1 − x²)² = 0
En traçant (pour r = 0,5, pour fixer les idées) la courbe : y = r (1 − x²) / √(1 – r²x²)
on obtient :
et la courbe symétrique par rapport à l'axe des x.
-2 0 2 4 6
-4 -2 0 2 4
