D20339. Faisceaux et compagnie
Soit Γ une conique à centre (ellipse ou hyperbole), et deux de ses cercles bitangents, (C1) centré sur le grand axe et tangent à Γ en M etN, et (C2) centré sur l’autre axe et tangent à Γ enP etQ.
Montrer que l’intersection I des droites M N et P Q est un des points de Poncelet du faisceau de cercles défini par (C1) et (C2).
Solution
D’après le théorème de Desargues, toute conique du faisceau défini par Γ et (C1) coupeP Qen deux points en involution, conjugués harmoniques par rapport aux points doubles de cette involution qui sont I (car une conique du faisceau est M N comptée deux fois) et I1, conjugué harmonique de I par rapport àP etQ. De même, le faisceau défini par Γ et (C2) définit sur M N une involution de points doubles I et I2, conjugués harmoniques par rapport àM etN.
Ainsi la droite I1I2 est la polaire de I par rapport à Γ, (C1) et (C2). La perpendiculaire abaissée de I sur I1I2 coupe celle-ci en H, passe par les centres de (C1) et (C2), coupe (C1) enRetS et (C2) enT etU. Si J est le milieu deIH, les divisions harmoniques (I, H, R, S) et (I, H, T, U) donnent J I2 =J R.J S =J T.J U. Cela montre queJ est sur l’axe radical du faisceau de cercles défini par (C1) et (C2), et que I est un des deux cercles-points (ou points de Poncelet) de ce faisceau, l’autre étantH.
Autres solutions
1) SoitAx2+By2−1 = 0 l’équation de la conique. Si les coordonnées deI sont (m, q), les cercles (C1) et (C2) admettent pour équation respectivement (B−A)(x−m)2+Ax2+By2−1 = 0 et (B−A)(y−q)2−Ax2−By2+ 1 = 0.
Par simple addition, l’équation (x−m)2+ (y−q)2 = 0, correspondant au cercle-pointI, est celle d’un des cercles du faisceau.
2) Jean-Nicolas Pasquay en propose une autre solution à base de points conjugués par rapport à une conique, et de faisceau de cercles.
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