A351 – Un nombre coriace [*** à main]
Je suis un entier naturel N. On choisit un certain entier p positif plus petit que moi et on me divise par p.La paire d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient q et le reste r, remplace la paire initiale (N,p) que je constitue avec p. On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’une paire devienne nul.
Je suis très coriace car avec la paire initiale (N,p), il faut 13 divisions successives pour obtenir 0. De surcroît, je suis le plus petit des nombres coriaces qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut p ?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Pour déterminer le couple de nombres initial (Dividende, Diviseur), il faut partir de la dernière opération et remonter, en tenant compte du fait que le nombre recherché est le plus petit.
Le dernier couple minimal doit être( 1,1), 1 quotient de la division précédente et 1 le reste.
Le couple minimal dont il est issu doit avoir pour diviseur 2 (nombre strictement supérieur au dernier reste 1), et le dividende doit donc être 2*1 +1 soit 3.
A partir du couple (3,2) recherchons le couple dont il est issu. Le reste étant 2, le diviseur minimal suivant doit être 3, et ce qui correspond au dividende suivant : 3*3 +2 soit 11, soit le couple (11,3)
En remontant la chaîne on obtient le couple initial : 12 454 041 599 et 13.
La liste des couples successifs avec le résultat de la division est donnée ci-dessous : Couple Dividende/Diviseur Couple Quotient/Reste
1 1 1 0
3 2 1 1
11 3 3 2
47 4 11 3
239 5 47 4
1439 6 239 5
10079 7 1439 6
80639 8 10079 7
725759 9 80639 8
7257599 10 725759 9
79833599 11 7257599 10
958003199 12 79833599 11
12454041599 13 958003199 12
