D305- Des cubes à bien ranger Solution
Le cube ABCDEFGH dans lequel on range les 12 cubes de dimension unité a pour arête a. Il s’agit de trouver a le plus petit possible.
La bonne méthode de rangement des cubes unité consiste à délimiter dans le cube
ABCDEFGH quatre parallélépipèdes rectangles dont la base est l’une des faces de C et la hauteur est égale à 1 selon les schémas ci-après :
Les quatre parallélépipèdes sont désignés par ABGHH’G’B’A’, CDEFF’E’D’C’,
EFGHH’G’F’E’ et ABCDD’C’B’A’. A l’intérieur de chacun d’eux on va retrouver cinq cubes unité logés de la même manière, sachant bien entendu qu’il y a des redondances entre les quatre parallélépipèdes.
On considère pour commencer le parallélépipède bleu ABGHH’G’B’A’. Les cinq cubes unité vus de face se présentent comme suit :
Le cube n°5 est incliné à 45° par rapport à ses quatre frères. Il est calé contre deux d’entre eux et son arête inférieure horizontale est à une distance unité du plan de la table. La longueur du segment PQ tracé en rouge qui donne l’écartement entre les quatre cubes placés aux quatre coins, est telle que 2+2x = 1+ 2 +(1-x) . D’où x = 2 /3 et a = 2+2 2 /3 = 2,942…
Comment repose le cube n°5 qui donne l’impression de rester en l’air ?
On considère le parallélépipède rouge EFGHH’G’F’E’ qui repose sur la table . Sa configuration vue du dessus rappelle la précédente:
Aux coins G’ et H’ on retrouve les cubes n°3 et 4 contenus dans le parallélépipède bleu. Les cubes n°5 et 6 viennent se loger dans les coins E’ et F’ tandis que le cube n°7 à l’image du cube n°5 précédent vient se caler contre les cubes n°3 et 4. C’est sur ce cube que repose l’arête inférieure horizontale du cube n°5.
On conçoit désormais aisément la manière dont s’organisent les cinq cubes unité dans le parallélépipède violet ABCDD’C’B’A’. Vue du dessus, la face DCBA reproduit le patron de la face ABGH. De la même manière, la face FEDC du parallélépipède vert CDEFF’E’D’C’
vue latéralement reproduit le même patron.
Au total, il y a bien dans le cube d’arête a = 2+2 2 /3, les douze cubes unité : huit placés aux huit coins du cube ABCDEFGH et les quatre (un par parallélépipède) qui sont inclinés à 45°
et dont deux d’entre eux servent de support aux deux autres.
Pour des rangements de n cubes unité (n <34) dans des cubes d’arête minimale, on se reportera utilement au site d’Eric Friedman : http//www.stetson.edu/~efriedman/cubincub/
