Séquence 5 : Les fractions
Plan de la séquence :
I- Rappels :
Définition d’une fraction
II- Les différentes représentations d’une fraction : 1- Exprimée comme une proportion
2- Exprimée comme un quotient
III- Plusieurs écritures d’une fraction 1- Fractions égales
2- Simplifier des fractions 3- Division décimale
IV- Comparer des fractions V- Egalité des produits en croix
Séquence 5 : Les fractions
Faire l’activité découpage distribuée en classeI- Rappels :
Définition d’une fraction :
Ecriture décimale d’un nombre : avec une virgule
Ecriture fractionnaire d’un nombre : avec une barre : 𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝐷é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟
Si a et b sont deux nombres entiers (b≠0), on dit que 𝑎
𝑏 est une fraction 3
7est une fraction mais 2,5
4 n’est pas écrit sous forme d’une fraction car 2,5 n’est pas entier.
II- Les différentes représentations d’une fraction :
1) Exprimée comme un quotient :La fraction 𝑎
𝑏 = a ÷ b
La fraction 4
5 est aussi un nombre décimal. Comment le trouver ? On fait
:
4
5
= 5 : 4
Poser la division !
1-
4
5
= 1,25
Attention : On ne peut jamais diviser par zéro
Exemples : Donner une écriture fractionnaire des nombres suivants : 2,8 ; 3,65 ; 4,001
10 8 28 , 2
100 65 365 ,
3
1000 001 4001 ,
4
Remarque : Certaines fractions n’admettent pas d’écriture décimale.
Ex : 2
7 ≈ 0,286 (arrondi au millième) Dividende
Diviseur
a et b sont deux nombres (b≠0), le quotient de a sur b est le nombre, qui multiplié par b donne a : on le note 𝒂
𝒃
Faire l’exercice 1 P50 37, 38 P 53
2) Comme expression d'une proportion
:
a) Ce gâteau est partagé en 4 parts EGALES.
Je mange 3 parts sur 4 les 3 quarts les
34
du gâteau.
b) Pour représenter la fraction
45
il vaut mieux passer à une représentation linéaire sur une droite graduée :
8 3
4 3
8 9 5
4
2
3 4 8
0 1 2 3
Placer sur cet axe gradué, les fractions suivantes :
8
;9 8
;3 2
; 3 4
;8 4 3
Une proportion peut s’exprimer sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
Exemple :
Dans la classe de 5ème, il y a 18 filles sur un total de 30 élèves. On dit que la proportion de fille dans cette classe est égale à : 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′é𝑙è𝑣𝑒𝑠= 18
30
On dit aussi que cette proportion est de 0,6 car 18
30= 0,6 Comme 0,6 =60
100 , on dit aussi que cette proportion est de 60
100 ou 60%.
Faire les exercices de 2 à 5 P50/ 34, 35 P 53
Faire les questions flash (24, 25) P109 et 28 P 109 indigo Faire l’activité 2 P 104 indigo
III- Plusieurs écritures d’une fraction.
1) Fractions égales :
3 4
=
68
=
912
Propriété :
Un quotient ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur PAR UN MEME NOMBRE non nul.
a, b et k désignent trois nombres (b ≠0 et k ≠ 0)
𝑎
𝑏 = 𝑎 × 𝑘
𝑏 × 𝑘 𝑒𝑡 𝑎
𝑏 = 𝑎 ÷ 𝑘 𝑏 ÷ 𝑘
Exemple : 2,5
3 = 2,5 × 2 3 × 2 =5
6 24
30= 24 ÷ 3 30 ÷ 3= 8
10
Faire les exercices : 10, 11, 12, 13 P50 et 46 P54.
×2
×2
×3
×3
2) Simplifier des fractions :
Simplifier une fraction consiste à écrire une fraction qui lui est égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Pour cela, on utilise les critères de divisibilité.
Rappels : Critères de divisibilité :
Un nombre est divisible par : 0 : Jamais !
1 : Toujours !
2 : si le chiffre des unités est pair
3 : si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 9 : si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 5 : si le chiffre des unités est 0 ou 5
10 : si le chiffre des unités est 0
6 : si et seulement si il est divisible par 2 et par 3
4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
Ex : 00 ; 04 ; 08 ; 12 ; … ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96Exemple :
Simplifier la fraction 36 15
* 36 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est égale à 9 et le nombre 9 est divisible par 3.
* 15 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est égale à 6 et le nombre 6 est divisible par 3.
36
15= 36 ÷ 3 15 ÷ 3= 12
5
Remarque :
Si le dénominateur d’une fraction est 10, 100, 1000, …… on dit que cette fraction est décimale.
Simplifications utiles à connaître : 1)
22
=
3 3=
44
=…=1 2)
41
= 4,
61
= 6,
71
= 7, … Faire les exercices : 6, 7, 8, P 50 et 42, 43, 44, 45 P 53
Etudier le savoir-faire P 51 puis faire les exercices 14 à 22 P51 51, 52, 55, 56 P 54
3) La division décimale :
Pour diviser un nombre par nombre décimal, on peut multiplier le dividende et le diviseur par 10,
100, 1000,….. pour rendre le diviseur entier.
Exemple :
8÷1,25 =
81,25= 8×100
1,25×100= 800
125
0,36÷1,2 =
0,361,2 = 0,36×10
1,2×10 = 3,6
12
On pose la division : On pose la division
8÷1,25 = 6,4 0,36÷1,2 = 0,3
Faire les exercices : 24, 26, 28 P 52.
IV- Comparer des fractions.
a, b et c désignent trois nombres (c > 0)
Si deux quotients ont le même dénominateur, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
Si a < b alors 𝑎
𝑐 < 𝑏
𝑐
Exemple : 3
7 < 5
7 car 3 < 5
Méthode : Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on peut les réduire au même dénominateur
Exemple : Comparer: 7
3 𝑒𝑡 13
6. On peut écrire 7
3 = 2×7
2×3= 14
6
Or 14 > 13 donc 14
6 > 13
6
a et b désignent deux nombres (b > 0) Si a > b, alors 𝑎
𝑏> 1. Si a < b, alors 𝑎
𝑏 < 1. Si a = b, alors 𝑎
𝑏= 1.
Exemple :
Comparer les nombres suivants : 1 ; 3
4 ; 15
12 3
4< 1 car 3 < 4.
15
12> 1 car 15 > 12
On a donc 3
4< 1 < 15
12
Faire les questions flash P109 indigo 21, 22, 23 P109 indigo.
Faire l’activité 4 P 59 Myriade
V- Egalité des produits en croix.
Propriété : Dire que a b= c
d revient à dire que
a´ d = b´ c
.Remarque : Cette propriété porte le nom de produit en croix car elle consiste à faire des produits en croix sur les deux fractions égales.
Exemple :
On a : 4 x 9 = 36 et 6 x 6 = 36
Méthode : Appliquer les produits en croix
1) Prouver que les fractions 28 35 et
36
45 sont égales.
2) Déterminer une fraction de dénominateur 60 égale aux deux autres.
1) 28 x 45 = 1260 et 35 x 36 = 1260
L’égalité des produits en croix est vérifiée alors 28 35 =
36 45.
2) On cherche un numérateur x tel que x 60 =
36
45 par exemple.
D’après l’égalité des produits en croix, on a :
x ´ 45 = 60 ´ 36
Soit :
x ´ 45 = 2160
et donc :x = 2160 : 45 = 48
.La fraction cherchée est donc :48 60.
Faire les exercices 30, 32, 33 P 66 Myriade Faire la tâche complexe 56 P 113 indigo
