(1)BTS FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES 1

BTS FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES

1. RELATIONS FONCTIONNELLES ln(ab) = lna+ lnb, oùa >0et b >0 exp (a+b) = expa×expb

a^t =e^tlna , oùa >0 t^α=e^αlnt , oùt >0

cos (a+b) = cosacosb−sinasinb sin (a+b) = sinacosb+ cosasinb

cos (2t) = 2 cos²t−1 = 1−2 sin²t sin (2t) = 2 sintcost

e^it= cost+isint cost=1

2 e^it+e^−it sint= 1

2i e^it−e^−it

e^at=e^αt(cos(βt) +isin(βt)), oùa=α+βi

2. CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL a) Limites usuelles

Comportement à l’infini Comportement à l’origine

t→+∞lim lnt= +∞; lim

t→0lnt=−∞

t→+∞lim e^t = +∞; Si α >0, lim

t→0t^α= 0; si α <0, lim

t→0t^α= +∞

t→−∞lim e^t= 0; Si α >0, lim

t→0t^αlnt= 0.

Si α >0, lim

t→+∞t^α= +∞; siα <0, lim

t→+∞t^α= 0 Croissances comparées à l’infini

Si α >0, lim

t→+∞

e^t t^α = +∞ Si α >0, lim

t→+∞

lnt t^α = 0

Formulaire de mathématiques BTS groupement D

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b) Dérivées et primitives Fonctions usuelles

f(t) f⁰(t) f(t) f⁰(t)

lnt 1

t tant 1

cos²t = 1 + tan²t

e^t e^t arcsint 1

√1−t²

t^α(α∈R) αt^α−1

sint cost arctant 1

1 +t²

cost −sint e^at(a∈ ) ae^at

Opérations

(u+v)⁰ =u⁰+v⁰ (v◦u)⁰= (v⁰◦u)u⁰

(ku)⁰=ku⁰ (e^u)⁰ =e^uu⁰

(uv)⁰ =u⁰v+uv⁰ (lnu)⁰ =u⁰

u ,uà valeurs strictement positives 1

u ⁰

=−u⁰

u² (u^a)⁰ =αu^a−1u⁰

u v

⁰

=u⁰v−uv⁰ u² c) Calcul intégral

Valeur moyenne def sur[a, b]: Intégration par parties : 1

b−a Z b

a

f(t)dt

Z b

a

u(t)v⁰(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u⁰(t)v(t)dt d) Développements limités

e^t = 1 + t 1!+t²

2!+· · ·+tⁿ

n! +tⁿε(t) 1

1 +t = 1−t+t²+· · ·+ (−1)ⁿtⁿ+tⁿε(t) ln(1 +t) = t−t²

2 +t³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹tⁿ

n +tⁿε(t) sint = t

1! − t³ 3! + t⁵

5! +· · ·+ (−1)^p t^2p+1 (2p+ 1)! +

t^2p+1ε(t) cost = 1−t²

2!+t⁴

4!+· · ·+ (−1)^p t^2p

(2p)!+t^2pε(t) (1 +t)^α = 1 − α

1!t + α(α−1)

2! t² + . . . + α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! tⁿ+tⁿε(t)

e) Equations différentielles

Equations Solutions sur intervalleI

a(t)x⁰+b(t)x= 0 f(t) =ke^−G(t) oùGest une primitive det7−→ b(t) a(t)

ax⁰⁰+bx⁰+cx= 0 Si∆>0,f(t) =λe^r1t+µe^r2t oùr₁ etr₂sont les racines de l’éq. caractéristique équation caractéristique : Si∆ = 0,f(t) = (λt+µ)e^rtoùrest la racine double de l’éq. caractéristique ar²+br+c= 0 Si∆<0,f(t) = [λcos(βt) +µsin(βt)]e^αtoùr1=α+iβetr2=α−iβ sont de discriminant∆ les racines complexes conjuguées de l’éq. caractéristique

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