Chapitre 8

Chapitre 8 – RUISSELLEMENT URBAIN

8.1 Les pertes au ruissellement 8.2 Modèles de débit de pointe

8.3 Modèles empiriques de ruissellement 8.4 Les modèles rationnels

8.5 Modèles systémiques ou conceptuels 8.6 Modèles d’écoulement en réseau 8.7 Pollution du ruissellement pluvial 8.8 Modèles de pollution du ruissellement Bibliographie

L'étude des phénomènes hydrologiques en milieu urbanisé (ou hydrologie urbaine) se différencie assez nettement de l'hydrologie des zones naturelle. Si elle a bénéficié, parce que d'origine beaucoup plus récente, des recherches de cette dernière, elle connaît aujourd'hui des développements parallèles dans l'étude des diverses composantes du cycle de l'eau, qu'il s'agisse de la pluie (pluie de projet, abattement, etc…, voir le Chapitre 3 – Précipitations), du ruissellement objet de ce chapitre, ou de l'écoulement en réseau (voir également le Chapitre 9 - Rivières).

Le ruissellement sur des surfaces urbaines se différencie du ruissellement sur les zones naturelles par son aspect beaucoup plus déterministe. Ce dernier résulte d'une moindre variabilité spatiale des paramètres ou variables régissant la transformation de la pluie en débit.

Cette moindre variabilité est due principalement à la nature artificielle des surfaces réceptrices, au rôle qui leur est dévolu (toitures, voiries, stationnement des véhicules, etc … ) et à la structure non moins artificielle de leurs réseaux de drainage (caniveaux, égoûts, etc …). Les surfaces naturelles jouent également un rôle négligeable dans la formation des débits de pointe du ruissellement urbain, tout du moins pour les urbanismes denses de type européen.

Outre son aspect plus déterministe, le ruissellement urbain est étudié à des échelles de temps et d'espace beaucoup plus réduites, allant de la minute à quelques minutes pour les temps et de l'hectare à quelques dizaines (voire centaines) d'hectares pour les surfaces. A de telles échelles de temps, les phénomènes hydrologiques (pluie, ruissellement, écoulement …) apparaissent comme beaucoup plus transitoires. Ce dernier point est en particulier à l'origine d'approches assez différentes de celle rencontrées en hydrologie classique.

Enfin, l'existence de réseaux de drainage artificiels très denses fait que le ruissellement urbain est généralement considéré comme la résultante de l'écoulement superficiel proprement dit et de l'écoulement dans un réseau plus ou moins structuré. Cette dualité est cependant assez mal définie dans la mesure où l'importance de la part de l'écoulement en

réseau ne l'est pas davantage. Cette dernière incertitude est à l'origine d'approches et de modélisations variées du phénomène.

8.1 Les pertes au ruissellement

Comme il l'a été dit plus haut, la contribution des surfaces naturelles à la formation des débits de pointe du ruissellement urbain est généralement négligée. Cette hypothèse repose sur le fait que dans les zones urbaines denses, les surfaces "naturelles" sont généralement isolées des réseaux d'écoulement, ont des coefficients volumétriques d'apport beaucoup plus faibles et surtout des temps de réponse beaucoup plus importants (vitesses de ruissellement plus faibles). Dans certains cas particuliers (urbanisme ouvert avec grandes zones naturelles drainées artificiellement, fonte de neige sur sol gelé, calcul de bassins de retenue des eaux pluviales, etc … ), cette hypothèse peut être prise en défaut et le lecteur devra se reporter au chapitre 7 ci-dessus pour déterminer la contribution des surfaces naturelles et juger de son importance relative selon le problème posé.

Si l'on ne s'intéresse qu'au ruissellement sur les surfaces artificielles, les pertes (passage de la pluie brute à la pluie nette) sont relativement très faibles, comparées à celles des zones naturelles (Chapitre 6). Elles comprennent les pertes initiales et les pertes continues.

Les premières sont essentiellement constituées par le stockage de l'eau dans les dépressions du sol. Suivant la qualité des revêtements, elles varient de 0,2 à 3 mm ; elles varient également avec la pente d'écoulement et peuvent être considérées comme négligeables lorsque cette dernière excède 2 % (Desbordes, 1971). Les secondes comprennent l'infiltration et les ruissellements superficiels non drainés par le réseau d'écoulement. La première composante est généralement faible et dépend de la nature et de l'état de vétusté des revêtements. Certains auteurs citent des valeurs allant de 0,2 à 5 mm/h. La seconde composante est beaucoup plus variable ; elle peut être nulle (surfaces totalement drainées par le réseau) ou égaler la quasi totalité de la pluie (toitures reliées à des surfaces perméables, des puisards sans communication avec: le réseau, etc … ). Il s'agira donc de cas particuliers échappant à une quantification préalable.

Certains auteurs ont proposé des modélisations de ces pertes malgré leur faiblesse relative, en particulier lors de vérifications expérimentales précises de la qualité ou adéquation de modèles de ruissellement qu'ils avaient mis au point (Desbordes, 1974). Ces modélisations des pertes sont généralement assez sommaires. Deux types peuvent être proposés. Le premier, le plus simple, comprend une perte initiale PI et une perte continue iPC, constante pendant la durée de la pluie efficace (figure 8.2). La perte initiale peut être évaluée forfaitairement (voir figure 8.1 par exemple). Dans le cas de bassins versants jaugés, elle peut être évaluée par la fraction de pluie tombée i(t) avant l'apparition du ruissellement R(t). La précision de cette évaluation sera fonction du synchronisme des enregistrements de pluie et de débit, de la sensibilité des débimètres utilisés, etc … En outre, cette évaluation ne serait correcte que si le bassin était homogène, la pluie uniforme dans l'espace, et le transfert de la pluie à l'exutoire instantané. De telles conditions ne sont approximativement rencontrées que dans les cas de bassins versant de très petites dimensions et dont les temps de réponse sont inférieurs à la durée t0 au bout de laquelle se manifeste le ruissellement (figure 8.2). Si l'occupation des sols du bassin est homogène, le temps t0 peut être considéré comme la durée moyenne de remplissage des dépressions des surfaces de ruissellement. La perte continue constante iPC pourra être déterminée à partir du bilan volumétrique général ; soit VP le volume total de pluie tombée sur la durée tp, VR le volume ruisselé, il vient :

𝑖𝑃𝐶 = (𝑉𝑃 − 𝑃𝐼 − 𝑉𝑅) (𝑡⁄ _𝑝− 𝑡₀) (8.1)

Le second schéma comprend également une perte initiale PI, identique à celle du précédent, et une perte continue iPC(t) proportionnelle à l'intensité de la pluie brute. Le hyétogramme de pluie brute i(t) étant discrétisé au pas de temps dt, la perte continue iPC(ndt) au même pas de temps s'écrit :

𝑖𝑃𝐶(𝑛𝑑𝑡) = 𝑖(𝑛𝑑𝑡)(1 − 𝑉𝑅 (𝑉𝑃 − 𝑃𝐼)⁄ ) (8.2)

pour ndt > t0. Un dernier schéma est constitué par une perte continue iPC(t), à décroissance exponentielle avec le temps, à la manière des pertes par infiltration dans les sols naturels selon les équations de type Horton (voir chapitre 6). Certains auteurs ont proposé des méthodes d’estimation des trois paramètres donnant iPC(t) ; elles sont essentiellement empiriques et reflètent les caractères particuliers des modes d’urbanisation (Kidd, 1978).

Dans la grande majorité des modèles de ruissellement urbain, et en particulier dans ceux qui sont utilisés par les techniciens de l’assainissement, les pertes au ruissellement sont implicitement englobées dans un seul paramètre appelé coefficient de ruissellement. Cette dénomination correspond, sauf précision complémentaire, au coefficient volumétrique de ruissellement c'est-à-dire, pour une unité hydrologique donnée, au rapport du volume ruisselé au volume de pluie précipitée sur cette unité. Sa détermination expérimentale n'est pas aussi aisée qu'il pourrait y paraître car outre les problèmes de précision des appareils de mesure de pluie et de débit, elle comporte celui de l'interprétation de la distribution spatiale des averses (cas des bassins versants expérimentaux de taille importante). La majorité des chercheurs s'est cependant efforcée d'en donner de formulations plus ou moins complexes rappelant le caractère déterministe du ruissellement urbain. Dans de nombreux pays il s'agira de valeurs plus ou moins forfaitaire ou empiriques selon la nature des surfaces urbaines (voiries, toitures, etc …) ou même des modes d'occupation des sols (résidentiel discontinu, industriel, urbain dense, commercial, etc …) (A.S.C.E., 1970). Pour les conditions d'urbanisation rencontrées en Amérique du Nord, l'American Society of Civil Engineers a ainsi proposé de telles valeurs, présentées dans le tableau 8.1 (A.S.C.E., 1970). En France, depuis quelques années, mais également dans d'autres pays d'Europe, le coefficient volumétrique de ruissellement est déterminé par le rapport des surfaces imperméables raccordées au réseau d'écoulement, à la surface totale. Cette définition est valable lorsque la valeur du rapport est supérieure à 0,2.

Certains chercheurs ont donné des formulations empiriques plus complexes, intégrant les paramètres de variation du coefficient du ruissellement. Elles doivent être employées avec prudence hors de leur domaine expérimental. Ainsi, a-t-on pu proposer· (Shaake et al., 1967) :

𝐶 = 0,0066 𝐼𝑀𝑃 + 0,015 𝑝 + 0,2 (8.3)

C étant le coefficient du ruissellement, IMP le pourcentage de surface imperméable, p le pourcentage de pente (limité supérieurement à 6 %), et plus récemment (Packman et Kidd, 1980) :

𝐶 = 0,0083 𝐼𝑀𝑃 + 0,25 𝐼𝑆 + 7,8 10⁻⁴ 𝐼𝐴𝑃 − 0,21 (8.4) IS est un indice caractérisant les sols naturels ; il est constant pour un bassin donné.

IAP est un indice d'antécédent pluviométrique.

8.2 Modèles de débit de pointe

L'évaluation du ruissellement urbain a été initialement nécessitée par l'assainissement pluvial des agglomérations. Ce dernier reposait sur l'idée d'une évacuation gravitaire rapide vers les milieux récepteurs. Les collecteurs d'assainissement ont donc été, et sont toujours, déterminés pour l'évacuation d'un débit maximum de probabilité donnée. Ces ouvrages ne pouvant assurer, pour des raisons économiques, un niveau de protection absolu, sont en effet nécessairement calculés pour un certain risque de défaillance. Par suite, un très grand nombre de modèles, ne donnant que le seul débit maximal du ruissellement, de fréquence donnée, ont vu le jour dans les pays industrialisés dès la fin du XIX^ème siècle. Ils constituent aujourd'hui encore la très grande majorité des outils de calcul des réseaux d'assainissement et, ne serait-ce qu'à ce titre, méritent d'être présentés.

La plupart de ces modèles dérivent de la célèbre méthode rationnelle qui aurait été énoncée pour la première fois vers 1850. Elle repose sur le concept de temps de concentration, tc, (voir le chapitre 7). Sa formulation générale est la suivante :

𝑄_𝑝(𝐹) = 𝑘  𝐶  𝑖̅(𝑡_𝑐, 𝐹)  𝐴 (8.5)

Qp(F) est le débit de pointe de fréquence F à l'exutoire d'un bassin versant de surface A, et d'urbanisation homogène caractérisée par le coefficient de ruissellement C. Le coefficient k tient compte des unités choisies mais aussi de certains phénomènes comme la distribution spatiale de la pluie ou son amortissement en raison de la capacité de stockage des surfaces et voies d'écoulement. Quant à la variable 𝑖̅(𝑡_𝑐, 𝐹), il s'agit de l'intensité moyenne de la pluie, de fréquence F, sur la durée du temps de concentration des bassins. La formule rationnelle repose sur l'hypothèse d'une linéarité de la transformation de la pluie en débit. C'est également une expression particulière du modèle hydraulique d'onde cinématique à célérité constante (paragraphe 8.4). Son caractère déterministe apparaît dans l'égalité des fréquences du débit de pointe et de l'intensité qui le provoque. Elle ne saurait donc être utilisée, sans erreur grossière, pour le calcul des débits maximaux, de fréquence donnée, de bassins versants naturels.

Les modalités d'application de la méthode rationnelle, sous la formulation 8.5, sont les suivantes :

- Découpage de l'unité hydrologique en éléments d'occupation des sols homogène, drainés en un point de calcul du réseau. Un tel découpage est présenté sur la figure 8.3 : les points 1 à 6 correspondent à des "points d'entrée" du ruissellement dans les collecteurs. Le débit évalué en un point sert au calcul des dimensions du tronçon de collecteur joignant le prochain point de calcul à l'aval (tronçon 1-2, 2-3, etc …). Le point 1 est un point de jonction des apports des éléments A1, A2, A3 d'une part et A5, A6 d'autre part. Le point 7 est l'exutoire du réseau. Dans les cas de bassins versants de très petite taille, les points de calcul des débits correspondent aux points réels d'entrée du ruissellement superficiel dans le réseau des collecteurs: le découpage en éléments de ruissellement superficiel peut être alors relativement fin, les distances séparant deux entrées successives variant d'une cinquantaine de mètres à quelques centaines de mètres, pour la grande majorité des réseaux. Pour des bassins versants de plus grande taille, les "points d'entrée" sont déterminés de façon plus ou moins arbitraire. En supposant un drainage uniformément réparti le long du tronçon de collecteur traversant un élément (tronçon 1 - a, pour l'élément 2 par exemple) une méthode consiste à placer "le point d'entrée" à la moitié du tronçon (Fouquet, 1978). On notera

que l'homogénéité d'un élément de ruissellement concerne non seulement l'occupation des sols (ou le coefficient de ruissellement), mais également la distribution des pentes des surfaces de ruissellement de l'élément (Desbordes, 1976).

- Calcul des surfaces Ai des divers éléments et évaluation de leurs coefficients de ruissellement Ci. Quel que soit le mode d'évaluation des Ci (tableau 8.1), formules empiriques du type 8.3 ou 8.4, pourcentage de surfaces imperméables directement raccordées au réseau, etc … ), on ne saurait échapper à une certaine subjectivité dès que la taille des éléments homogènes excède quelques milliers de m², ou dans les cas de projets de réseaux pour lesquels l'urbanisation n'est généralement pas définie de façon très précise.

- Calcul des pentes superficielles moyennes pi des éléments homogènes et des pentes moyennes pcij des tronçons de collecteurs. Dans les cas de projets de réseaux, les pentes des tronçons sont évaluées, en première approximation, par la pente superficielle moyenne le long du tracé des tronçons.

- Calcul des temps de concentrations tci au point d'évaluation des débits. Les temps de concentration répondent à :

𝑡_𝑐𝑖 = 𝑡_𝑠𝑖+ 𝑡_𝑐𝑙𝑖 (8.6)

avec tsi temps de ruissellement superficiel au point i et tcli temps d'écoulement dans les collecteurs. Les temps de ruissellement superficiel sont déterminés soit de façon forfaitaire (en général 5 minutes < tsi < 15 minutes), soit à l'aide de formules empiriques. Citons à titre d'exemple la formule de la Federal Aviation Agency (Kibler, 1982) :

𝑡_𝑠𝑖= 3,26(1,1 − 𝐶)√𝑙_𝑠𝑖⁄³√𝑝_𝑖 (8.7)

C étant le coefficient de ruissellement de l'élément, lsi étant la longueur du ruissellement superficiel en mètres et pi la pente de l'élément, exprimée en pourcentage. L'évaluation du temps de parcours tcli dans les tronçons de collecteurs à l'amont du point de calcul i est faite par:

𝑡_𝑐𝑙𝑖 = ∑ 𝑙_𝑐𝑗⁄𝑉̅_𝑗

𝑖

𝑗=1

(8.8)

1cj étant la longueur du tronçon j à l'amont du point i et 𝑉̅_𝑗 la vitesse moyenne de l'écoulement dans ce tronçon. Cette vitesse moyenne est en réalité fonction du débit dans le tronçon résultant de l'intensité critique 𝑖̅(𝑡_𝑐𝑖, 𝐹) au point de calcul, elle même fonction du temps de concentration tci en ce point. Elle est donc inconnue et la suite des calculs devrait donc suivre théoriquement une procédure itérative. Illustrons cette remarque à l'aide du schéma de la figure 8.3 ; au point n°1 le temps de concentration tc1 se réduit au seul ts1 évalué forfaitairement ou à l'aide d'une relation du type 8.7. Pour une fréquence donnée, i(tci,F) sera estimé à l'aide d'une courbe intensité-durée-fréquence appropriée (voir chapitre 3). Le débit critique 𝑄_𝑝𝑖sera alors obtenu par application de la relation générale (8.5). Le diamètre du tronçon 1-2 sera calculé en supposant un écoulement à surface libre à pleine section (utilisation d'une formule de régime uniforme du type Manning-Strickler par exemple). Au point n°2, le temps de concentration tc2, à retenir, pour le calcul du tronçon 2-3, sera la plus

grande valeur de temps d'écoulement du couple (ts2, ts1 + tcl2). Qr la valeur de tcl2 dépendra de 1'intensité critique i, 𝑖̅(𝑡𝑐₂, 𝐹) que 1'on ne connaît pas. Une procédure itérative consisterait par exemple à supposer une valeur tcl2,0, calculer tc2 et 𝑖̅(𝑡𝑐_2,0, 𝐹), calculer le débit Q1,0 au point 1 résultant de cette intensité (par exemple en supposant la transformation linéaire et en écrivant:

𝑄_1,0 = 𝑄_𝑝1[𝑖̅(𝑡_𝐶2,0, 𝐹) 𝑖̅(𝑡⁄ _𝐶1, 𝐹)]

calculer la vitesse d'écoulement V1,0 connaissant le diamètre du collecteur 1-2, déterminé à l'étape précédente: puis déterminer finalement le temps d'écoulement tcl2,1, le comparer à la valeur tcl2,0 de départ et procéder à une nouvelle itération. Une telle procédure n'est concevable que sous forme informatisée, car elle devient rapidement inextricable pour des calculs manuels. Aussi la pratique la plus courante consiste-t-elle à conserver les valeurs des temps de parcours en collecteurs, calculées aux étapes précédentes. On n'échappe cependant pas au choix du plus longtemps de concentration. Cette dernière opération devient également manuellement fastidieuse au bout d'un nombre réduit d'assemblages d'éléments.

- Détermination de l'intensité critique, de fréquence donnée F, 𝑖̅(𝑡_𝐶𝑖, 𝐹)à l'aide des classiques courbes intensité-durée-fréquence locales ou régionalisées.

- Calcul du débit de pointe 𝑄_𝑝𝑖(𝐹) à l'aide de la relation (8.5) dans laquelle Ci est le coefficient de ruissellement moyen des surfaces à l'amont du point i du calcul, soit :

𝐶_𝑖 = ∑ 𝐶_𝑗𝐴_𝑗

𝑖

𝑗=1

∑ 𝐴_𝑗

𝐼

𝑗=1

⁄ (8.9)

et Ai la surface totale drainée au point de calcul.

- Calcul de la section d'écoulement du collecteur à l'aval du point i, à l'aide d'une relation du régime uniforme (type Manning-Strickler) pour un écoulement à pleine section.

La procédure décrite ci-dessus, en usage dans les pays anglo-saxons, est fondée sur l'utilisation en chaque point du plus long temps d'écoulement, pour le calcul du temps de concentration tci, donnant lieu a l'intensité critique. Cette recherche du plus long temps d'écoulement peut être fastidieuse lorsqu'elle est conduite manuellement. Aussi, certains chercheurs ont-ils proposé des formulations explicites de la relation (8.5) Elles reposent sur des expressions empiriques des temps de concentration des bassins urbanisés et des courbes intensité-durée-fréquence. C'est le cas du modèle de Caquot utilisé en France (Desbordes, 1971) et dont l'expression générale est :

𝑄_𝑝(𝐹) = 𝐾(𝐹)𝐼^𝑢(𝐹)𝐶^𝑣(𝐹)𝐴^𝑤(𝐹) (8.10)

I est ici la pente moyenne du réseau d'écoulement, correspondant au temps de concentration;

K(F) dépend des unités choisies mais traduit également l'effet capacitif du réseau; les exposants u, v et w des variables I, C et A sont déterminés empiriquement et dépendent implicitement des expressions du temps de concentration, de l'intensité moyenne, ou de phénomènes comme l'abattement spatial de la pluie (voir chapitre 3).

Quelle que soit la formulation implicite (relation 8.5) ou explicite (relation 8.10) la méthode rationnelle intègre dans sa globalité toute la complexité de la transformation de la pluie en débit, qu'elle traduit par de nombreux paramètres d'ajustement expérimentaux. Elle ne saurait donc approcher la réalité que dans les cas de petits bassins versants urbains, d'occupation des sols et de distribution spatiale des pentes d'écoulement homogènes. En cas d'hétérogénéités marquées, des incohérences se manifestent rapidement dans le calcul des débits de pointe. Elles se traduisent en général par des réductions des débits de 1'amont vers l'aval, ou des majorations excessives aux jonctions de branches de réseau. Quelques adaptations à des bassins hétérogènes ont été proposées (Desbordes, 1976). Comme la version classique de la méthode rationnelle, ces équations restent limitées à des unités de taille modeste (quelques dizaines d'hectares en Grande-Bretagne, 200 hectares en France, quelques centaines d'hectares aux Etats-Unis, etc … ) et à des réseaux ramifiés simples ne comportant pas d'ouvrages hydraulique spéciaux (bassins de retenue des eaux pluviales, siphons, systèmes de régulation des débits, etc … ). Malgré ses limitations, la formule rationnelle et ses dérivées reste l'outil le plus largement utilisé par les techniciens de l'assainissement pour le calcul du ruissellement pluvial urbain.

8.3 Modèles empiriques de ruissellement

Nous citerons très brièvement cette catégorie de modèles laissant au lecteur le soin de consulter, pour plus de détail, les références bibliographiques ci-après. Ils se distinguent des précédents, qui sont eux-mêmes pour partie empiriques, en ce qu'ils ne s'intéressent qu'au ruissellement proprement dit, dont ils permettent en outre la détermination de l'hydrogramme complet résultant d'une averse donnée. Leur élaboration s'appuie sur de très nombreuses mesures réalisées sur divers éléments de surfaces réceptrices, de pentes et de rugosités variées (Hicks, 1944; Izzard, 1946). Ils entrent dans la composition de certains programmes complets de simulation des écoulements mis au point par les services municipaux de villes comme Los Angeles ou Chicago (Tholin et Kiefel, 1960).

Le modèle empirique proposé par Izzard, s'appuyant sur les considérations théoriques de Keulegan fut sans doute le plus utilisé. Il a d'ailleurs reçu de nombreuses vérifications expérimentales (Chow, 1963). Il est fondé sur deux constatations principales :

- l'existence d'un seul hydrogramme de ruissellement sans dimension, donnant l'évolution, sous une pluie nette constante i, du rapport du débit de ruissellement par unité de largeur q(tl) à l'instant t après le début de l'averse, au débit là l'équilibre qe en fonction du rapport du temps t au temps d'équilibre te (figure 8.4). Le temps te est défini arbitrairement comme l'instant au bout duquel q = 0,97 qe. En outre, on a trouvé expérimentalement que :

𝑡_𝑒 = 2𝐷_𝑒⁄60𝑞_𝑒 (8.11)

te étant exprimé en minutes, De étant le volume stocké sur la surface de ruissellement, en m³ par unité de largeur, et qe étant exprimé en m³/s par unité de largeur.

- Une relation empirique:

𝐷_𝑒 = 4,39 10⁻³  (2,76 10⁻⁵𝑖 + 𝑐)  𝐿^{4 3⁄}  √𝑖³  𝑝^{−1 3⁄} (8.12)

dans laquelle De est en m³/s, i est l'intensité en mm/h, L la longueur du ruissellement en mètres, p la pente de la surface de ruissellement en m/m. Le paramètre c est fonction de la

nature de la surface et varie de 7 10^-3 pour un revêtement d'asphalte très lisse, à 0,06 pour une couverture d'herbe dense (Chow, 1963). La relation 8.12 a été testée en outre pour des pentes inférieures à 0,04 m/m.

L'utilisation du modèle de Izzard est cependant peu pratique dans les cas de pluies d'intensités variables, discrétisées à un pas de temps dt donné. On peut bien sûr utiliser le principe de superposition pour chaque période de durée dt au cours de laquelle l'intensité reste constante. Mais l'on doit également utiliser une formulation pour la phase de décrue de l'hydrogramme correspondant à une pluie de durée finie, dt. Sachant que le débit à l'équilibre qe répond à :

𝑞_𝑒 = 2,778 10⁻⁷ 𝑖  𝐿 (8.13)

La phase de montée de l'hydrogramme, q(t), pour une intensité i constante au cours de la durée dt est déduite de la figure 8.1 dont l'expression générale est :

𝑞(𝑡) = 𝑞_𝑒  [𝑡 𝑡⁄ ] = 𝑞_{𝑒 𝑒}  𝑓 [30 𝑞_𝑒 𝑡

𝐷_𝑒 ] (8.14)

qe et De étant donnés par les relations (8.12) et (8.13). A la fin de la période de pluie dt, la quantité d'eau stockée en surface D0 est égale à :

𝐷₀ = 1,6710⁻⁵  𝑖  𝐿  𝑑𝑡 − ∫ 𝑞(𝑢)𝑑𝑢^𝑑𝑡

0

(8.15)

si dt est exprimé en minutes. Soit tr le temps, en minutes écoulé depuis la fin de la période d'intensité constate de durée dt, et soit qd le débit de décrue à cet instant, en appelant r=qd/qe, on montre que :

𝑡_𝑟 = 0,5 𝐷₀ (𝑟^{−2 3⁄} − 1) 60 𝑞⁄ _𝑒 (8.16)

Les équations (8.15) et (8.16) permettent donc de déterminer la phase de décrue de l'hydrogramme de ruissellement, pour la période de durée dt, au cours de laquelle l'intensité i est restée constante. On procède aux mêmes calculs pour les autres périodes d'intensités constantes, en sommant les hydrogrammes correspondant selon le principe de superposition (linéarité de la transformation de la pluie en ruissellement).

D'autres modèles empiriques ont été proposés, notamment à partir d'expériences conduites sur des modèles réduits de surfaces de ruissellement. Leur utilisation est plus ou moins complexe et ils ne sauraient être utilisés sans discernement hors de leurs domaines de vérification expérimentale.

8.4 Les modèles rationnels

Nous rangerons sous cette définition les modèles de type mécaniste (ou hydraulique) s'appuyant sur les équations des mouvements des fluides et les théories dont elles découlent.

Le ruissellement sur une surface plane de rugosité homogène et de pente constante α est parfaitement défini si l'on connaît à tout instant t et à toute abscisse x, dans la direction générale de l'écoulement la vitesse V (x,t) et la profondeur h (x,t) de l'écoulement.

L'application à un élément de volume liquide en mouvement du principe fondamental de la

dynamique et du principe de conservation de la masse liquide à tout instant conduit à un système d'équations aux dérivées partielles que l'on doit généralement résoudre par des techniques numériques (chapitre 9).

Sous sa forme à deux dimensions d'espace (c'est-à-dire si l'on ne néglige pas les accélérations verticales) ce système comprend trois équations: deux correspondent aux projections de l'équation dynamique sur l'axe x d'écoulement et sur un axe perpendiculaire y, la dernière est l’équation de continuité (Eagleson, 1970).

Sur l'axe des x :

−𝜌𝑔 𝑐𝑜𝑠²𝛼 𝛿ℎ

𝛿𝑥+ 𝜌𝑔ℎ 𝑠𝑖𝑛𝛼 − ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛿𝑃

𝛿𝑥 − 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝛼𝛿ℎ

𝛿𝑥+ 2 𝑃 𝑡𝑎𝑛𝛼 − 𝜏 = 𝑃 (ℎ 𝛿𝑉

𝛿𝑡 + 𝑉 𝛿ℎ

𝛿𝑥+ 𝜂𝑉²+ 𝜂𝑉ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛿𝑉

𝛿𝑥) (8.17) Sur l'axe des y :

− 𝜌𝑔ℎ

𝑐𝑜𝑠𝛼+ 𝜌𝑔ℎ 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛿ℎ

𝛿𝑥+ 𝜌𝑔ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + ℎ 𝑠𝑖𝑛𝛼𝛿𝑃

𝛿𝑥 + 𝑃 𝑠𝑖𝑛𝛼𝛿ℎ

𝛿𝑥 + 2𝑃 + 𝜏 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

−𝜌 (ℎ 𝑡𝑎𝑛𝛼𝛿𝑉

𝛿𝑡 + 𝑉 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝛿ℎ

𝛿𝑡+ 𝜂𝑉² 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝛿ℎ

𝛿𝑥+ 𝜂𝑉ℎ 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝛿𝑉

𝛿𝑥− 𝑖𝑤) (8.18) Equation de continuité :

1 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝛿ℎ

𝛿𝑡+𝛿(𝑉ℎ)

𝛿𝑥 = 𝑖 (8.19)

Dans les équations 8.17 à 8.19, ρ est la masse spécifique du liquide, g l'accélération de la pesanteur, τ la contrainte de frottement à la paroi, η le coefficient d'inégale répartition des vitesses. P est un terme de pression dynamique (ou complémentaire) prenant en compte l'accélération verticale. C'est une inconnue au même titre que V ou h. Enfin, i est l'intensité de la pluie nette et w sa vitesse de chute.

Sous sa forme la plus générale ci-dessus, la résolution du système est complexe.

L'introduction de certaines hypothèses permet de le réduire à deux équations en éliminant les inconnues P et ^𝛿𝑃

𝛿𝑥 entre les équations 8.17et 8.18. On néglige également les forces iw d'inertie de la pluie (Eskenazi, 1976), en négligeant successivement les accélérations verticales (P = 0) et les termes d'inertie (situés au second membre des équations 8.17 et 8.18), on obtient des systèmes simplifiés d'un emploi courant dans l'étude de la propagation des ondes de crue en cours d'eau ou en réseau (voir le chapitre 9). Ce sont essentiellement:

- Le modèle diffusant obtenu en ne conservant dans l'équation dynamique que les dérivées en δh/δx.

- Le modèle d'onde cinématique, simplification ultime du système initial, et dans lequel l'équation dynamique se résume à l'équation du mouvement des fluides en régime uniforme.

Ce dernier modèle a été utilisé avec succès dans le domaine des ruissellements superficiels.

Woolhiser et Ligget (1967) considèrent qu'il reproduit parfaitement ces écoulements lorsque le nombre de Froude F est inférieur à 2 et que le rapport αL/hF² est supérieur à 10 (α étant la pente d'écoulement et L la longueur d'écoulement). La résolution de ces modèles simplifiés sera réalisée au moyen de méthodes numériques (différences finies, éléments finis, etc …), des conditions initiales et aux limites étant associées aux équations générales (voir chpaitre 8).

Dans des cas très simples, il peut être possible de trouver une solution analytique. Ainsi, pour un élément plan rectangulaire, de largeur unité, de longueur de ruissellement L et de pente α, le système d'onde cinématique peut se résumer à :

𝛿ℎ 𝛿𝑥+𝛿𝑞

𝛿𝑥 = 𝑖 (8.20) et

𝑞 =1

𝜂ℎ^{5 3⁄} 𝛼^𝐾 (8.21)

l'équation (8.21) est celle du régime uniforme, q étant le débit par unité de largeur, n le coefficient de rugosité de Manning. Une solution analytique simple peut être trouvée si l'on suppose que l'intensité i est constante et que h = q = 0 à l'instant t = 0.

La résolution par des méthodes numériques d'intégration (différences finies, éléments finis, caractéristiques, etc …) de systèmes d'équations, tels que ceux constitués par les relations 8.17 à 8.19, ou 8.20 et 8.21, associées à des conditions aux limites particulières, est généralement assez lourde et nécessite des calculateurs électroniques puissants. Aussi, pour les applications pratiques, utilise-t-on généralement des modèles semi-empiriques déduits des précédents par simulations numériques des systèmes d'équations, pour une gamme étendue des variables et paramètres. Ainsi dans la version lV du Storm Water Management Model (SWMM), le ruissellement superficiel est-il calculé à partir d'une relation semi-empirique, dérivée du modèle général de l'onde cinématique, représenté par les équations 8.20 et 8.21 (Viessman et al., 1977).

Les équations de base sont les suivantes:

a)

𝐷_𝑒 = 7,3021  10⁻⁵  𝑖^0,6  𝐿^1,6  𝜂^0,6  𝑝^−0,3 (8.22)

De étant le volume stocké en surface à l'équilibre par mètre de largeur de ruissellement (en m³/m), i l'intensité de la pluie (en mm/h), L la longueur du ruissellement (en m), p la pente du ruissellement (en m/m), η étant le coefficient de rugosité de Manning dont quelques valeurs sont indiquées au tableau 8.2. L'équation 8.22 peut être déduite du système d'équations 8.20 et 8.21. Le rapport R De de l'équation empirique 8.12 à l'équation 8.22 s'écrit

𝑅 𝐷_𝑒 = 60,12 (2,76 10⁻⁵ 𝑖 + 𝑐)𝑖𝐿^−0,267  𝜂^−0,6  𝑝^−0,033 (8.23)

Pour les surfaces artificielles rencontrées en milieu urbain (0,007 < c < 0,012 et 0,012 < n <

0,015) et le domaine de variation défini par (0,0001 < p < 0,05; 50 m < L < 300 m; 5 mm/h <

i < 100 mm/h), le rapport R De évolue entre 0,8 et 1,9.

b)

𝑞 = (𝐷 𝐿⁄ )^{5 3⁄}  (𝑝^0,5⁄ )  [1 + 0,6 (𝐷 𝐷𝜂 ⁄ _𝑒)³]^{5 3⁄} (8.24)

q étant le débit par unité de largeur à l'instant t suivant le début de l'averse (en m³/s x m), et D le stockage temporaire (ou stock "moteur") au même instant t (en m3/m). L'équation 8.21 est semi-empirique et résulte de simulations du système d'équation 8.20 et 8.21.

c)

𝑑𝐷

𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡)  𝐿 − 𝑞(𝑡) (8.25)

La relation 8.25 est l'équation de continuité.

La mise en œuvre pratique du système constitué par les équations (8.22), (8.24) et (8.25) est réalisée comme suit. Le hyétogramme de pluie nette est discrétisé au pas de temps Δt,. L'équation de continuité est approximée par :

𝐷(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝐷(𝑡)

𝛥𝑡 =𝐿

2[𝑖(𝑖 + 𝛥𝑡) − 𝑖(𝑡)] −1

2[𝑞(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑞(𝑡)] (8.26)

Utilisant les indices 1 pour le temps t et 2 pour t + dt, les équations 8.21et 8.26 peuvent se lettre sous la forme :

2𝐷₂− 60 {(𝐷₂ 𝐿)

5

3[1 + 0,6 (𝐷₂ 𝐷_𝑒2)

3

]

5 3

(√𝑝 𝜂 )} 𝛥𝑡

= 1,67 10⁻³(𝑖₁+ 𝑖₂) 𝐿 𝛥𝑡 − 60 𝑞₁ 𝛥𝑡 + 2𝐷₁ (8.27)

Δt étant en minutes, i en mm/h, D en m³/m, q en m³/s x m, 𝐷_𝑒2 étant donné par l’équation 8.22 pour i= i2. L'équation (8.27) se présente sous la forme :

𝐹(𝐷₂) = 𝑘 (8.28)

Sa résolution fournira D2, l'équation (8.24) donnant alors q2. Le cycle est répété pour chaque pas de temps Δt. Lorsque la pluie cesse (i2 = 0), l'équation (8.27) est encore utilisée en supposant que D2/𝐷_𝑒2 = 1 (Viessman et al., 1977). En réalité, afin de limiter les erreurs numériques introduites par des pas de temps importants et l'approximation du débit moyen de ruissellement par la moyenne arithmétique (q1 + q2)/2 des débits au début et en fin de chaque intervalle de temps, il est possible de considérer que D2/𝐷_𝑒2 = 1 dès que D2 > 𝐷_𝑒2. Dans ces conditions, les équations 8.24 et 8.27 deviennent :

𝑞 = 2,19  (𝑝^0,5⁄ )  (𝐷 𝐿𝑛 ⁄ )^{5 3⁄} (8.29)

2𝐷₂− 131,4[(𝐷₂⁄ )𝐿 ^{5 3⁄} (𝑝^0,5⁄ )]𝛥𝑡 = 1,67 10𝑛 ⁻³(𝑖₁+ 𝑖₂)𝐿𝛥𝑡 − 60𝑞₁𝛥𝑡 + 2𝐷₁ (8.30)

La figure 8.5 montre les effets des erreurs numériques dans un cas particulier correspondant à L = 100 m, n = 0,014 et p = 0,001, ainsi que la correction de ces erreurs par le schéma (8.29), (8.30) dès que D2 > 𝐷_𝑒2 pour un pas de discrétisation Δt de 2 minutes.

La limitation des erreurs numériques peut également être réalisée en déterminant un débit moyen d'écoulement 𝑞̅ durant un pas de temps dt par:

𝑞̅ = [(𝐷₁+ 𝐷₂) 2𝐿⁄ ]^{5 3⁄}  [𝑝^0,5⁄ ]  [1 + 0,6 (𝑛 𝐷₁+ 𝐷₂ 𝐷_𝑒1+𝐷_𝑒2 )

3

]

5 3⁄

(8.31)

L'équation de continuité devient alors:

𝐷₂+ 60 𝑞 ̅ 𝛥𝑡 = 8,333 10⁻⁴(𝑖₁+ 𝑖₂) 𝛥𝑡 + 𝐷₁ (8.32)

Comme précédemment, on suppose (D2 + D1 / 𝐷_𝑒2 + 𝐷_𝑒1) = 1 dès que D2 + D1 >

𝐷_𝑒2 + 𝐷_𝑒1. La courbe 𝑞̅correspondant au cas particulier étudié a également été portée sur la figure 8.5.

En hydrologie urbaine, l'utilisation de ces modèles d'un point de vue strictement hydraulique conduit à des subdivisions très fines des bassins versants en éléments de ruissellement plans, de rugosité homogène. Ils n'ont donc guère connu d'application que dans des cas très particuliers comme le drainage des autoroutes ou des pistes d'aéroport (Jeuffroy et Prunieras, 1968). Ils doivent en outre être associés à des modèles de propagation des hydrogrammes de ruissellement sur les éléments plans de base, dans le réseau d'écoulement (caniveaux de surface, égoûts souterrains, etc …). Leur emploi reste en outre soumis à la connaissance de la rugosité équivalente de ces éléments plans, elle est généralement déterminée de façon expéritentale en supposant parfaite l'adéquation du modèle. On a pu constater à ce propos que l'énergie de la pluie influait notablement sur la valeur de cette rugosité équivalente.

8.5 Modèles systémiques ou conceptuels

A l'inverse des précédents, dont le point de départ est un élément infiniment petit du problème, les modèles systémiques ou conceptuels procèdent d'une vision beaucoup plus globale des phénomènes. Un bassin versant urbain est considéré comme un système de transformation de la pluie en débit; le modèle est représenté par un opérateur de transformation auquel sont adjointes des équations traduisant certains principes fondamentaux comme celui de la conservation de la masse. La mise en œuvre de ces modèles repose sur un important support expérimental. Le modèle sera de type systémique lorsque l'opérateur de transformation sera identifié expérimentalement grâce aux techniques propres de l'analyse des systèmes (transformation de Laplace, de Fourier, polynômes orthogonaux, etc …). Cependant, la qualité des mesures hydrologiques et la limitation des techniques d'identification au domaine des systèmes linéaires font que cette voie n'est que rarement abordée. On lui préfère en général l'approche conceptuelle. Dans cette dernière, l'opérateur de transformation est défini préalablement à partir de concepts sur la nature des phénomènes. Les paramètres de l’opérateur sont ensuite ajustés expérimentalement. Qu'ils soient systémiques ou conceptuels, ces modèles présentent l'avantage d'être applicables à des unités hydrologiques beaucoup plus importantes. Ces dernières peuvent donc comprendre, outre le ruissellement proprement dit, l'écoulement dans un réseau plus ou moins développé.

La grande majorité des modèles conceptuels étudiés au cours des dix dernières années repose sur l'idée que la transformation de la pluie en débit peut être décomposée en un ensemble de transformations élémentaires mettant en jeu des translations et des stockages

(Desbordes, 1971). La méthode rationnelle, le modèle d'onde cinématique s’apparentent à des modèles de translation pure. Ces derniers se résument à la connaissance d'un temps de transfert (temps de concentration, de réponse, etc …) traduisant le décalage des ondes de pluie et de débit. Ces temps ont déterminés expérimentalement en fonction des caractéristiques des bassins, du débit, etc … (Exemple : la méthode rationnelle généralisée ou méthode des courbes isochrones, etc …). Les modèles de stockage sont les classiques modèles à réservoir dont l'équation générale s'écrit :

𝑆(𝑡) = ∑ 𝐴_𝑛

𝑛=𝑁

𝑛=0

𝑑^𝑛𝑄(𝑡)

𝑑𝑡^𝑛 + ∑ 𝐵_𝑚

𝑚=𝑀

==0

𝑑^𝑚𝑖(𝑡)

𝑑𝑡^𝑚 (8.33)

S(t) étant le stock dans le système à l'instant t , Q(t) le débit à l'exutoire. Les coefficients An et Bm peuvent être constants ou ne dépendre que des variables indépendantes d'espace et de temps; les modèles sont alors linéaire s. S'ils sont fonction de i et/ou de Q et/ou de leurs dérivées, les modèles sont non linéaires. L'équation 8.33 peut s'appliquer à un seul réservoir, ou à plusieurs réservoirs en parallèle ou en série (modèles classiques de Nash, Diskin, Overton, etc … ). Enfin, il peut être possible de combiner les deux effets de translation et de stockage pour obtenir une gamme illimitée de modèles.

Si l'élaboration de modèles conceptuels est théoriquement illimitée, les possibilités de vérification, de calage et encore plus d'extrapolation sont par contre beaucoup plus réduites.

Elles décroissent très rapidement avec le nombre de paramètres introduits et à cause de l'impossibilité de relier les équations obtenues à la réalité des phénomènes physiques, ou à des concepts simples s'y rattachant. Aussi, les résultats les plus intéressants ont-ils été atteints jusqu'ici avec des modèles très simples comme :

- Le modèle linéaire à un réservoir (Desbordes, 1971) 𝑆(𝑡) = 𝐾 𝑄(𝑡) (8.34) - Le modèle non linéaire à un réservoir (Thibault,1979)

𝑆(𝑡) = 𝐾 𝑄^𝑑(𝑡) (8.35) - Le modèle de Muskingum (Chapitre 9)

𝑆(𝑡) = 𝐾[𝑋 𝑄(𝑡) + (1 − 𝑋)𝑖(𝑡)] (8.36)

Un modèle sera constitué par l'association de l'équation de continuité (8.25) et de l'une des équations ci-dessus (ou dérivant de l'équation générale 8.33).

Le problème principal posé par l'emploi de modèles systémiques ou conceptuels est celui de leur application à des bassins versants non jaugés. Aussi les chercheurs se sont-ils efforcés de traduire les paramètres de ces modèles en termes de caractéristiques des bassins, de la pluie, du ruissellement etc … Ces opérations sont conduites à l'aide de techniques d'analyse multivariable (fiche G) à partir de données obtenues sur de nombreux bassins versants expérimentaux. La qualité des équations établies dépend de nombreux facteurs comme l'adéquation des modèles, les erreurs de mesure mais aussi le nombre de paramètres des modèles et de données expérimentales. Ainsi, pour le modèle de stockage le plus simple

a-t-on pu déterminer (Desbordes, 1974).

𝐾 = 5,1  𝐴^0,18  𝑝^−0,36(1 + 𝐼𝑀𝑃 100⁄ )^−1,9  𝑇_𝑒^0,21  𝐿^0,15  𝐻_𝑝^−0,07 (8.37)

K est le paramètre de l'équation 8.34, c'est un temps exprimé en minutes ; A est la surface du bassin en hectares, p le pourcentage de pente le long du réseau principal d'écoulement de longueur L en mètres ; IMP est le pourcentage de surface imperméable du bassin ; Te la durée en minutes de la période intense de pluie ; Hp la hauteur de pluie en millimètres sur cette durée. L'équation ci-dessus a été obtenue à partir d'un échantillon de 21 bassins expérimentaux avec un coefficient de régression multiple de 0,95. Elle a en outre depuis son élaboration reçu de nombreuses vérifications expérimentales.

Une règle très générale semble se dégager aujourd'hui des recherches actuelles : les problèmes posés par la qualité et l'interprétation des mesures de pluie et de débit sur des bassins versants urbains expérimentaux rendent plus ou moins sans effet les discussions d'écoles sur l'adéquation de modèles de plus en plus complexes.

La mise en œuvre des modèles conceptuels est généralement assez simple. Examinons à titre d'exemple celle du "réservoir linéaire". L'équation (8.34) associée à l'équation de continuité conduit à la relation différentielle du premier ordre :

𝐾𝑑𝑄(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝑄(𝑡) − 𝑖(𝑡) = 0 (8.38)

dans laquelle Q(t) et i(t) sont exprimés en intensités (mm/s), K étant homogène à un temps est exprimé en secondes. La solution générale de l'équation (8.38) est :

𝑄(𝑡) = 𝑄(𝑡₀) 𝑒^{−(𝑡−𝑡0) 𝐾⁄} + 1

𝐾∫ 𝑖(𝑢) 𝑒^{−(𝑡−𝑢) 𝐾⁄} 𝑑𝑢

𝑡 𝑡₀

+ 𝑄_𝑏 (8.39)

Q(t0) étant le débit résultant d'une perturbation précédente à t = t0 début du signal de pluie i(t), Qb étant un débit permanent (débit de base par exemple, débit d'eaux usées en système d'assainissement unitaire). L'opérateur de transformation ou hydrogramme unitaire instantané h(t) est :

ℎ(𝑡) = 1

𝐾𝑒^{−𝑡 𝐾⁄} (8.40)

Si à t0 = 0, q (t0) = 0, la discrétisation de i(t) au pas de temps Δt permet d'écrire l'équation (8.39) sous la forme explicite très simple :

𝑄̅(𝑛 𝛥𝑡) = 𝑒^{−1 𝐾⁄} 𝑄̅[(𝑛 − 1) 𝛥𝑡] + (1 − 𝑒^{−1 𝐾⁄} ) 𝑖̅(𝑛 𝛥𝑡) (8.41)

dans laquelle K est exprimé en unités de pas de temps d'intégration, 𝑄̅ et 𝑖̅ étant les débits et intensités moyennes sur chaque pas de temps. Considérons le hyétogramme i(t) de la figure (8.6), avec un pas de temps Δt de deux minutes et une valeur de K de 14 minutes, soit sept unités de pas de temps, l'équation (8.41) s'écrit :

𝑄̅(𝑛 𝛥𝑡) = 0,8669 𝑄̅[(𝑛 − 1) 𝛥𝑡] + 0,1331 𝑖̅(𝑛 𝛥𝑡) (8.42)

La figure (8.6) montre la transformation du hyétogramme en hydrogramme discrétisé, Q(n Δt) à l'exutoire d'un bassin versant urbanisé dont le paramètre K serait égal à 14 minutes (équation 8.27). L'intensité moyenne 𝑖̅(𝑡) est approximée par la moyenne arithmétique des valeurs de i(t) au début et à la fin du nième pas de temps.

𝑄̅(𝑛 𝛥𝑡) est exprimé en mm/h, le débit à l'exutoire en m³/s serait obtenu par : 𝑄̅(𝑛 𝛥𝑡) (𝑚^"⁄ ) =𝑠 𝑄̅(𝑛 𝛥𝑡) (𝑚𝑚 ℎ⁄ )  𝐶  𝐴  2,78 10⁻⁴ (8.43)

L'expérience a montré que la méthode du réservoir linéaire donne des résultats satisfaisants (en particulier pour les projets de réseaux d'évacuation des eaux pluviales) pour des bassins relativement urbanisés (IMP > 0,2), homogènes, dont la taille varie de quelques hectares à quelques centaines d'hectares. Son utilisation permet de s'affranchir du découpage assez fin imposé par les modèles exposés au paragraphe 8.4 précédent. Le paramètre K s'identifie au décalage dans le temps des centres de gravité du hyétograme et de l'hydrogramme résultant. Il est analogue à un temps de réponse du bassin versant. Lors de calcul de réseaux d'évacuation des eaux pluviales, utilisant la technique des pluies de projet ( voir chapitre 3), la durée Te de "l'averse critique" (équation 8.37) n'est pas connue. Cette durée est voisine de la valeur de K. On procède généralement par tâtonnements pour la déterminer, en retenant celle qui conduit au débit maximal, par exemple. On peut également utiliser la formule 8.37 en remplaçant Te par K, Hp (K) étant donné par les pluies de projet.

La mise en œuvre des modèles conceptuels repose donc sur la résolution des équations différentielles traduisant les transformations qu'ils sont supposés opérer. Cette résolution peut être conduite numériquement à partir des équations intégrales lorsqu'elles peuvent être définies (équation 8.39) du réservoir linéaire par exemple, c'est-à-dire pour les modèles linéaires essentiellement. Elle peut également être conduite numériquement à partir des équations différentielles elles-mêmes par des techniques d'approximation des dérivées (différences finies, éléments finis, etc … ). Cette dernière voie, outre le fait qu'elle rend délicates les études générales de sensibilité des modèles, peut conduire à des erreurs par l'emploi des schémas numériques d'intégration mal adaptée à la nature des équations différentielles (voir paragraphe 8.4 et chapitre 9). Elle reste cependant la seule voie possible pour la majorité des modèles linéaires.

Les modèles systémiques ont fait (et peuvent faire) l'objet d'un grand nombre de

"raffinements". Les plus fréquents consistent à envisager des variations de leurs paramètres dans le temps ou (et) dans l'espace (modèles spatialement distribués). Ainsi, avec le réservoir

"linéaire" peut-on imaginer que le paramètre K soit égal à une fonction implicite du temps, f(t). Ou bien peut-on imaginer ce même paramètre soit égal à une fonction implicite du temps par l'intermédiaire d'une ou plusieurs des variables S(t), i(t), Q(t); une relation du type K=f(S(t)) par exemple signifierait que la nature de la transformation évolue suivant le niveau du stockage (on est alors ramené à l'étude d'un réservoir non linéaire). Une variation du paramètre K dans l'espace pourrait être envisagée pour traduire les hétérogénéités de certaines variables (coefficients d'imperméabilisation, pentes d'écoulement, etc … ). Ces "raffinements"

restent cependant du domaine des jeux intellectuels au regard des incertitudes associées à la qualité et à l'interprétation des mesures réalisées jusqu'à ce jour sur les bassins versants expérimentaux.

8.6 Modèles d'écoulement en réseau

Les modèles décrits au paragraphe précédent intègrent des éléments de réseau plus ou moins importants suivant la taille des bassins auxquels ils sont appliqués. Elle peut atteindre plusieurs centaines d'hectares dans les cas de bassins présentant une urbanisation homogène et dotés de réseaux classiques en écoulements à surface libre, sans ouvrages spéciaux importants.

C'est d'ailleurs l'un des avantages majeurs des modèles systémiques sur les modèles rationnels pour l'étude de cas concrets. Ces derniers modèles nécessitent en effet un découpage beaucoup plus fin de l'espace. Pour des unités de grande taille ou des réseaux munis d'ouvrages spéciaux ou de conditions particulières d'écoulement, on doit adjoindre aux modèles de ruissellement des modèles de propagation des hydrogrammes qu'ils génèrent. Ces derniers modèles sont généralement de type rationnel et sont décrits dans les ouvrages classiques d'hydraulique ou de mécanique des fluides. Ils sont également développés dans le chapitre 9 dans le cas d'écoulement à surface libre.

8.7 Pollution du ruissellement pluvial

Les recherches dans le domaine sont relativement très récentes. La Seconde conférence internationale en hydrologie urbaine qui s'est tenue à Urbana (U.S.A.) en juin 1981 (Yen ed., 1981) a fait le point des résultats mondiaux. Il en ressort que la pollution des eaux pluviales est une nuisance réelle non négligeable, que ses origines sont nombreuses et souvent mal différenciées, qu'elle est essentiellement diffuse et rencontrée par les systèmes traditionnels d'assainissements et que sa mesure est délicate et coûteuse. Enfin, sa modélisation est malaisée et se heurte à de nombreuses difficultés essentiellement liées aux conditions expérimentales. Elle est fonction des objectifs visés par les recherches.

Les mécanismes intervenant à l'amont des rejets dans le milieu récepteur peuvent se résumer aux éléments suivants : lessivage de l'atmosphère par les pluies; lessivage des surfaces urbaines sur lesquelles s'est accumulée la pollution; érosion de cette dernière et transport par le ruissellement; évacuation dans les réseaux de collecte avec éventuellement remise en suspension des dépôts qui pourraient s'y trouver. La pollution accumulée en surface a des origines diverses (Desbordes et Ribstein, 1978): atmosphère, revêtement des surfaces, fondants hivernaux, trafic urbain, déchets divers … Son importance dépend de nombreux facteurs comme le mode d'occupation des sols, les pratiques locales de nettoyage, le mode d'assainissement (unitaire ou séparatif), la nature des surfaces, la climatologie, etc … La pollution mesurée en un point de réseau et également fonction de la nature de ce dernier, de ces conditions de fonctionnement hydraulique, de son entretien, etc …

Il ressort de l'expérience mondiale que la pollution mesurée est généralement élevée (Desbordes et Ribstein, 1978). Sur une base de temps annuelle, des eaux de ruissellement pluvial présentent des charges égales à 80 à 100 % de celles des eaux usées pour les M.E.S., 30 à 60 % pour la D.C.O., 10 à 30 % pour la D.B.O. A l'échelle d'une averse, les rapports sont totalement inversés, les charges des eaux pluviales pouvant être 10 à 20 fois supérieures à celles des eaux usées pour les M.E.S., 2 à 5 fois pour la D.C.O., etc ... Ces charges peuvent entraîner des effets de choc sur certains milieux récepteurs fragiles. Ainsi, a-t-on pu noter des concentrations moyennes de 400 à 500 mg/1 en M.E.S. avec des maxima à plusieurs grammes par litre (les concentrations limites des rejets de stations d'épuration des eaux usées sont évaluées à 30 mg/1 par le Ministère de l'environnement en France). De même, mesure-t-on, au cours des averses, des concentrations moyennes de 50 à 350 mg/1 de oD.C.O. avec des maxima excédent 1500 mg/1, etc … Si la pollution du ruissellement urbain semble

essentiellement inorganique, elle n'en comporte pas moins de nombreux éléments nocifs pour les milieux récepteurs (métaux lourds, micropolluants, hydrocarbures, etc … ). On peut retenir des valeurs moyennes de 0,5 à 5 mg/1 de phosphore total , 0,1 à 0,8 mg/1 de plomb, 0,3 à 0,8 mg/l de zinc, etc …

8.8 Modèles de pollution du ruissellement

Les quelques observations très sommairement développées ci-dessus montrent la complexité relative des phénomènes. Leur modélisation est délicate ne serait-ce qu'en raison du très grand nombre de variables et paramètres mis en jeu. Elle ne peut s'appuyer que sur une expérimentation d'autant plus lourde que la description des phénomènes se veut plus fine.

Cette expérimentation doit être conduite avec énormément de soins et répondre aux objectifs de recherche poursuivis (Desbordes et al., 1980). Malgré cela, la construction de modèles semble avoir été l'objectif principal des chercheurs au cours des dix dernières années. Ces outils sont aujourd'hui relativement nombreux mais leurs performances ne peuvent être comparées tant les conditions expérimentales sont diverses ou mal définies (Hémain, 1980).

Leur classification s'avère délicate, plusieurs critères pouvant être retenus. A notre avis, le plus intéressant fait référence à la nature des équations employées. Nous distinguons les modèles empiriques (ou statistiques) et les modèles conceptuels (ou analytiques).

Les premiers découlent de l'analyse statistique de résultats de mesures effectuées sur un ou plusieurs bassins expérimentaux. Elle s'appuie sur des techniques classiques d'analyses multivariables pour relier les concentrations, flux ou masses de polluants observés à des facteurs explicatifs comme les caractéristiques de la pluviométrie, du ruissellement, des bassins versants, etc … On peut citer quelques-unes des très nombreuses relations établies (Le lecteur trouvera dans les documents cités dans les références bibliographiques des informations plus détaillées) ;

𝐶𝑀𝐸𝑆 = 464 𝑇_𝑠^0,22  𝑇_𝑝^−0,345  𝑖^−0,33 (8.44) 𝑀𝐷𝐵𝑂5 = 0,63 𝑄_𝑝^−0,78 (8.45)

𝐶𝐷𝐶𝑂 = 68 𝑄(𝑡)^0,11  𝑡^−0,28 (8.46)

C est la concentration moyenne (mg/1) au cours d'un événement; C(t) est la concentration instantanée (mg/1); M est la masse totale (kg) entraînée au cours d'un événement. Ts est la durée de temps secs (jours) écoulée depuis la pluie précédente; Tp la durée de la pluie (heures); Qp le débit de pointe (m³/h); Q(t) le débit instantané (m³/h); t le temps (h). De tels modèles sont difficilement extrapolables, mais pour des conditions expérimentales parfaitement connues, peuvent être d'une certaine utilité pour juger de l'importance relative des pollutions. Ainsi, par exemple, une étude de synthèse conduite par l'Université de Floride pour le compte de l'U.S. Environmental Protection Agency portant sur l'étude statistique de 248 secteurs urbains, a-t-elle conduit à définir des relations générales donnant les charges annuelles des eaux pluviales des réseaux séparatifs et unitaires par unité de surface (Kibler, 1982). Ces relations sont du type :

𝑀_𝑖𝑗 = 𝛼(𝑖, 𝑗)  𝑃  𝑓_𝑖(𝑑_𝑝)  𝛾 (8.47)

Mij étant la masse annuelle par unité de surface d'un polluant j, pour un mode d'occupation des sols i, P étant la pluviométrie annuelle, fi (dp) une fonction de la densité de

population dp (exprimée en nombre d'habitants par unité de surface) et γ étant un paramètre traduisant l'efficacité du nettoyage des rues. Les valeurs du paramètre α (i, j) ont pu être obtenues à partir de l'étude de synthèse mentionnée ci-dessus. Cinq polluants j classiques sont considérés : DB05, MES, solides volatiles, phosphates (PO4) et azote (N), ainsi que quatre types d'occupation des sols i : résidentiel, commercial, industriel, autres pour lesquels dp = 0.

Les fonctions de densité de population fi (dp) dépendent du mode d'occupation des sols; il s'agit de formulations empiriques. Ainsi propose-t-o n :

- pour les zones résidentielles :

𝑓_𝑖(𝑑_𝑝)= 0,142 + 0,134 𝑑_𝑝^0,54 (8.48)

dp étant la densité de population (en habitants par hectare) - pour les zones commerciales et industrielles :

𝑓_𝑖(𝑑_𝑝)= 1 (8.49)

- pour les autres zones inhabitées (parcs, cimetières, etc …) : 𝑓_𝑖(𝑑_𝑝)= 0,142 (8.50)

De même, le paramètre γ d'efficacité du nettoyage des rues est-il donné par une formulation empirique, soit :

𝛾 = 𝑁 20⁄ 0 ≤ 𝑁 ≤ 20 (8.51) 𝛶 = 1 𝑁 > 20 (8.52) N étant la durée, en jours, séparant deux nettoyages successifs.

Les relations (8.47) établies pour des agglomérations nord-américaines ne sauraient être étendues aux agglomérations européennes.

Les modèles conceptuels, quant à eux, sont destinés à être utilisés par les urbanistes ou les gestionnaires de systèmes d'assainissement. La majorité de ces modèles simulent de façon séquentielle plusieurs étapes du cycle de la pollution des eaux drainées par les réseaux de collecte (accumulation, entraînement, transfert, etc … et même traitements). Pour chacune d'elles un ensemble d'équations simples est établi, reposant sur des concepts classiques : accumulation de la pollution proportionnelle au temps sec ou présentent un maximum pour traduire l'effet du vent ou la biodégradabilité, masse entraînée proportionnelle à la masse disponible M(t) à l'instant t, ou ne dépendant que du seul débit Q (t). Soit par exemple :

− 1

𝑀(𝑡)

𝑑𝑀(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑎 𝑄(𝑡) (8.53) concentration à décroissance exponentielle, ou encore

𝑀 = 𝑏 𝑄^𝐶(𝑡) (8.54))

Certaines équations peuvent d'ailleurs relever de théories physiques classiques (diffusion unidirectionnelle pour le transfert en conduite par exemple) et sont adjointes aux équations conceptuelles précédentes. Les différents paramètres de ces relations (ici a, b, c, par exemple) sont déterminés par l'utilisateur à l'issue d'une procédure de calage numérique à des données expérimentales. Les tentatives de donner des expressions empiriques de la valeur numérique des paramètres en fonction de diverses variables explicatives caractérisant la pluie, le débit, la nature de l'occupation des sols, etc … n'ont jusqu'à présent pas abouti.

Qu'il s'agisse de modèles empiriques ou conceptuels, on constate aujourd'hui une très grande disparité d'équations ou de valeurs de paramètres. Elle peut être attribuée à l'adéquation partielle des modèles mais souvent à l'extrême variabilité des conditions expérimentales et aux valeurs encore élevées des erreurs de mesure. Au regard des connaissances actuelles, il ne saurait exister de voie unique de modélisation de la totalité des phénomènes, mais des voies fonction d'objectifs de recherche précis.

Références bibliographiques

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CHOW, V.T. (éditeur) (1963) Handbook of Applied Hydrology, Mc Graw Hill Book Company, New York, section 14, 14-35 / 14-37.

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