Partiel n°5 -BTS1-GO-2009-2010-Intégrations

Partiel n°4 MATHEMATIQUES BTS 1 GO 2009/2010

Exercice 1 :7 points

1. Calculer : ₀ ^{( 1)}

( ) 0^{x p t}

A x 



e^{ } dt ^; A x¹( )



0^xt e^{ (p 1)t}dt ^et A x²( )



0^xt e^{2  (p 1)t}dt ^{avec p 1 0} En déduire lim ₀^{x (p 1)t}

x e^{ } dt





^; lim 0^{x (p 1)t}

x t e^{ } dt





^et lim 0^{x 2 (p 1)t}

x t e^{ } dt





^.

2. On admet que _x^{lim cos( )}_ ^{x e (p 1)x 0} et _x^{lim sin( )}_ ^{x e (p 1)x 0}, avec ^{p 1 0}. à l’aide d’une intégration par parties .Calculer l’intégrale ^{( 1)} ( ) 0^xsin( ) ^{p t} J x 



t e^{ } dt et en déduire la valeur de ^{( 1)}

( ) 0^xcos( ) ^{p t} I x 



t e^{ } dt^, En déduire l’intégrale ^{( 1)}

0 sin( ) ^{p t}

J 



^ t e^{ } dt et l’intégrale ^{( 1)}

0 cos( ) ^{p t} I 



^ t e^{ } dt

Exercice 2 : 13 points

Soit la fonction f de R^dans R , impaire et périodique de période4telle que ( ) 0 1

( ) 2 1 2

f x x si x

f x x si x

   

    

 1.a. Représenter la courbe de la fonction f sur l’intervalle [ 6; 6 ]

b. Calculer ¹ ₀^{2 ( )}

A4



f x dx, en déduire la valeur de ₀ ^{1 2}₂ ^{( )} a 4 f x dx







2. On suppose désormais que le signal u est une tension appliquée aux bornes d'un circuit électrique.

Le carré de la tension efficaceEf est donnée par la formule : E²f ₂^{1 2}₂f t d^{2( )} t

 





Calculer la valeur efficaceEf _de f sur une période et donner une approximation décimale à 10^ près.

3. On considère la fonction g définie par ( ) ( ) cos g x  f x 2 x

  ^,

Démontrer que la fonction g est impaire et périodique de période 4. 4. Calculer l’intégrale ^{I }



₀^{2g x dx( )} et en déduire la valeur de ^{J }



_²₂^{g x dx( )}

5. on pose ¹ ₀^{2 ( )cos}

4 2

K f x n x dx

  

 



. Démontrer que 2 2 2 2

 

2 2

2 1 1

cos cos

2

K n n

n n n

 

  

 

   

  .

En déduire la valeur de ^{' 1 0}₂ ^{( )cos}

4 2

K f x n x dx



 

  

 



, puis la valeur de ²₂ ^{( )cos}

n 2

a f x n x dx



 

  

 



6. On considère la fonction hdéfinie par ( ) ( )sin 2 h x  f x n x . a. Démontrer que la fonction hest paire et périodique de période 4.

b. Calculer 1 ₀²

( )sin

4 2

F 



f x n x dx . En déduire la valeur de 1 ²₂

( )sin

4 2

n

b f x n x dx



 

  

 



^.

c. Calculer ensuite b_n pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4. d. Calculer b2p ; b2p_1 .

Exercice 1

1. ₀ ^{( 1) ( 1) ( 1)}

0

1 1 1

1 1 1

xe p tdt e p t x e p x

p p p

               



, on sait que lim ^{(p 1)x} 0

x e^{ }

 

Donc _x^lim_



₀^{xe (p 1)tdt}



₀^{e (p 1)tdt} _p¹_1

n peut procéder à une intégration par parties, en posant : ^{u t( )t} et v t'( )e^{ (p 1)t}, on obtient : ^{u t'( ) 1} et ^{v t( ) }_(p¹_1)^{e (p 1)t} d’où ( si ^{p 1 0}).

^{( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)} _{2 2}

0 0

0 0

1 1 1 1

( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)

x x

p t p t p t

xt e p tdt te xe p tdt te e e p x x

p p p p p p p p

     

                       

 

^.

On obtient pour ^p0 : 0 ^{( 1)} 0 ^{( 1)} 2

lim 1

( 1)

x p t p t

x t e dt t e dt

p

    

  

 

 ^puisque

^{lim ( 1)} ₁ ¹ ₂ ^{lim ( 1)} ₁ ^{lim ( 1) 1} ₂ ⁰

( 1) ( 1)

p x p x p x

x x x

x x

e e e

p p p p

     

  

       

   

     

         

    .

^{2 ( 1)}

0

p t

t e dt

  



. On peut procéder à une intégration par parties, en posant : u t( )t² et v t'( )e^{ (p 1)t}, on obtient : ^{u t'( )t} et ^{v t( ) }_(p¹_1)^{e (p 1)t} d’où ( si ^{p 1 0}).

^{2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)}

0 0 0

0 0

2 2

1 1 1 1

x x

p t p t

xt e p tdt t e xte p tdt t e xte p tdt

p p p p

   

           

   

   

   

  

, on remarque que

_x^lim_^{x e2  (p 1)x 0} et ₀ ^{( 1)} ₀ ^{( 1)} 1 ₂

lim ( 1)

x p t p t

x t e dt te dt

p

    

  

 

 ^{d’où :} 0 ^{2 ( 1) 3}

2 ( 1)

p t

t e dt

p

   



 ^.

2. ₀ ^{( 1) ( 1)} ₀ ^{( 1)}

( ) ^xsin( ) ^{p t} cos( ) ^{p t} 0^x ( 1) cos( )^{x p t} J x 



t e^{ } dt  t e^{ }   p



t e^{ } dt^.

( 1) ( 1)

( ) cos( ) ^{p x} 1 ( 1) cos( )0^{x p t}

J x   x e^{ }   p



t e^{ } dt

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0 0 0 0

( ) ^xcos( ) ^{p t} sin( ) ^{p t x} ( 1) sin( )^{x p t} sin( ) ^{p x} ( 1) sin( )^{x p t} I x 



t e^{ } dt t e^{ }   p



t e^{ } dt x e^{ }  p



t e^{ } dt

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0^xcos( )t e^{ p t}dtsin( )x e^{ p x} (p1)cos( )x e^{ p x}  1 (p1) cos( )0^x t e^{ p t}dt

 



^{1 ( p1)2}

 _

₀^{xcos( )t e (p 1)tdtsin( )x e (p 1)x(p1)cos( )x e (p 1)x(p1)}

 

( 1) ( 1) ( 1)

0 2

cos( ) sin( ) ( 1)cos( ) 1 1

( 1) 1

x t e p tdt x e p x p x e p x p

p

           

 



^.

 

( 1) ( 1) ( 1)

0 0 2

lim cos( ) cos( ) lim sin( ) ( 1)cos( ) 1 1

( 1) 1

x pt p t p x p x

x t e dt t e dt x x e p x e p

p

       

 

        

   









Or _x^{lim sin( )}_



^{x epx}



^{0 et} _x^lim_



^{pcos( )x epx}



^{0. Donc} 0 ^{( 1)}

^{ }

^{2 2}

1 1

cos( ) 1

( 1) 1 ( 1) 1

p t p

t e dt p

p p

       

   



Soient ^p0. l’égalité lim ( ) 0 cos( ) ^{(p 1)t} lim sin( )



^{(p 1)x}



( 1) 0 sin( ) ^{(p 1)t}

x I x ^ t e^{ } dt x x e^{ } p ^ t e^{ } dt

 



   



donc

0^cos( )t e^ptdt p 0^sin( )t e^ptdt

 

, on en déduit :

( 1)

2 2

0

1 1 1

sin( )

1 ( 1) 1 ( 1) 1

p t p

t e dt

p p p

   

  

    



Exercice 2

Sur l'intervalle [0,2], on obtient le graphique suivant:

Puisque f est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine O. On obtient donc le graphique suivant sur [-2,2].

La longueur de cet intervalle est 4 et puisque la période de f est 4, nous avons dessiné le graphe de f sur une période. Pour obtenir le graphe complet, il suffit de reproduire cette portion indéfiniment.

2.Pour un calcul efficace, nous utilisons les propriétés de la fonction.. Pour plus de facilité dans l'écriture, posons: ^{( ) ( )cos}

2

g x  f x x. Cette fonction est périodique de période 4 car

( 4) ( 4)cos ( 4) ( )cos 2 ( )cos ( )

2 2 2

g x  f x ^ x ^ f x ^ x ^f x ^ x^g x

La fonction g est impaire car ^{( ) ( )cos ( ) ( )cos ( )}

2 2

g x  f x  x  f x  x g x .

(car f est impaire et le cosinus de deux angles opposés est égal). Par conséquent, vu l'interprétation géométrique de l'intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle, on obtient:

2 0 2 0 2 0 2 2 2

2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

I g x dx g x dx g x dx g t dt g x dx g t dt g x dx g t dt g x dx

 













  















 









1 2

2 2

2 1 2 1 2

0 0 1 0 1

0 1

1 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) (2 ) 2 4 2 2

4 4 4 2 2 4 2 2 4

x x

A f x dx f x dx f x dx xdx x dx x

      

     













 







               

2 0 2 0 2 2 2

0 2 2 0 2 0 0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

4 4 4 4

a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

     





 







 



  



  







 ^.

2. ^{2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2}

2 0 0 1 0 1

2 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) (2 )

f 2 f t dt f t dt f t dt f t dt t dt t dt

E        

























^{3 1}

 

^{3 2}

 

0 2

1

1 1 1 1 2

/ 3 2 / 3 1

3 3 3

f t t

E            ; ²

f 3 E 



4. ¹ ₀^{2 ( )cos 1} ₀^{1 ( )cos} ₁^{2 ( )cos 1} ₀^{1 cos} ₁^{2(2 )cos}

4 2 4 2 2 4 2 2

n n n n n

K f x  x dx ^ f x  x dx f x  x dx ^{ } x  x dx x  x dx ^





   



  



   



  



   

1 1

1 1

0 0 2 2

0 0

1

2 2 2 2

0

2 2 2 4

cos sin sin sin cos

2 2 2 2 2

2 4 4

cos sin cos

2 2 2

n x n n n n

x x dx x x dx x

n n n n

n n n

x x dx

n n n

    

   

  

  

   

         

     

         

           

     

  

     

     

 



 

2 2

2 2

1 1 2 2

1 1

2

2 2 2 2

1

2(2 ) 2 2 4

(2 )cos sin sin sin cos

2 2 2 2 2

2 4 4

(2 )cos sin cos cos

2 2 2

n x n n n n

x x dx x x dx x

n n n n

n n n

x x dx n

n n n

    

   

   

  

   

          

                

           

     

         

     

 



 

2

2 2 2 2 2 2 2 2

0

1 1 2 4 4 2 4 4

( )cos sin cos sin cos cos

4 2 4 2 2 2 2

n n n n n

K f x x dx n

n n n n n n

     

     

 

         





             

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

2

-1 -2

0 1

1

x y