TRANSPORT ET DISTRIBUTION D'ÉNERGIE : Calcul des lignes de transport d'énergie électrique à établir en pays de montagne

176 L A H O U I L L E B L A N C H E

TRANSPORT ET DISTRIBUTION D'ENERGIE

Calcul des lignes de transport d'énergie électrique à établir en pays de montagne

par le C o m m a n d a n t D E V U L F (1), ancien élève de l'Ecole Polytechnique et de VI. E. G.

On a l ' h a b i t u d e , p o u r le calcul m é c a n i q u e des portées incli- nées des lignes de t r a n s p o r t d'énergie, d'utiliser les a b a q u e s de M. Blondel, d a n s lesquelles on entre, alors, non plus avec la projection horizontale de la portée, m a i s avec la distance oblique e n t r e les points d ' a t t a c h e . L a flèche lue diffère très peu de la

T⁰ flèche réelle t a n t que la portée est faible p a r r a p p o r t à — (2).

L o r s q u e ces d e u x q u a n t i t é s d e v i e n n e n t du m ê m e ordre (grande p o r t é e avec faible tension) ce procédé n'est plus applicable. La m é t h o d e exposée ci-après donne, d a n s ce cas, des r é s u l t a t s abso- l u m e n t exacts ; elle nécessite, il est v r a i , p o u r c h a q u e portée particulière, une construction g r a p h i q u e et quelques calculs.

Afin que son m é c a n i s m e puisse être j u g é p a r les praticiens, je t r a i t e r a i d ' a b o r d un exemple, r e n v o y a n t à un p r o c h a i n article l'exposé des considérations théoriques sur lesquelles elle est basée.

1. — Chaînette de référence.

Il faut disposer d ' u n g r a p h i q u e de c h a î n e t t e , lequel, une fois établi, servira p o u r le calcul de t o u s les câbles similaires. Ainsi, pour t o u s les gros câbles en a l u m i n i u m utilisés avec coefficient de sécurité « 10 », la c h a î n e t t e de référence à employer sera celle d o n t le m o d u l e est :

S = l L p= : 2 8 1 m , 6 9

P o u r c e t t e v a l e u r de « s » calculer t r è s e x a c t e m e n t les fonc- tions

X _ x

z — e , z — e

en faisant varier x de 0 à 300. Construire :

y = | ( z + z ' - 2 )

avec, c o m m e échelle horizontale : 1 m m . p a r m è t r e ; comme échelle verticale : 1 cm. p a r 4 m è t r e s .

P a r suite de l'inégalité des échelles, la courbe obtenue ainsi n ' e s t plus une c h a î n e t t e , je l'appellerai « c h a î n e t t e de référence t r a n s f o r m é e ».

2. — Construction graphique préliminaire.

Soit à d é t e r m i n e r , d a n s le cas du t a u x de sécurité « 10 » (qui d o n n e une tension de 2 kg. p a r m m²) , le g r a p h i q u e de pose d ' u n câble en aluminium de 20 % de d i a m è t r e pour une

(1) Le C o m m a n d a n t Dewulf est l'auteur de l'article sur le calcul des Accus, p a r u dans le numéro de mars-avril 1925.

(2) Voir R. G. E. du 10 m a i 1924.

p o r t é e d o n t la projection horizontale est 2 4 ( )^m e t la projec- t i o n verticale l ( ) 0^m.

P o u r les h y p o t h è s e s de surcharge de la législation française, r. est à remplacer par (1)

cas (a) : z '^a = 2,36 t. cas (b) : = 1,13. ^T. Calculer :

Y

=

X

b =

X

= 1558

~ a ~h

et

m^a = m . = 226,56

m^h = 240 . ^{0 , 8}

^

= -108,48

Sur la feuille de la c h a î n e t t e de référence t r a n s f o r m é e cons- t r u i r e les directions x x — ¡ 3 ' ^r{l— M N c o m m e il est indiqué fig. ( 1 , l a , \b).

R e c h e r c h e r sur la c h a î n e t t e do référence transformée deux cordes A A ' , R B ' parallèles à M ' N et telles que : A a é t a n t parallèle à x x, 13 P é t a n t parallèle à fi' ¡3', on ait (fig. 2) :

x a --- m., g b' — m^b

Cette construction exige quelques t â t o n n e m e n t s , mais peut ê t r e faite avec une g r a n d e précision, car les intersections sont t r è s franches.

Mesurer les projections p, q, des cordes, on t r o u v e : pz=zaa = 351 q = b b' = 130,5.

Si le câble est calculé en p a r t a n t de l ' h y p o t h è s e (a), il forme,

(1) Voir Les Conducteurs d'Electricité en aluminium, par M. D"^- saugey, p . 57.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1925031

LA H O U I L L E B L A N C H E 177

à la t e m p é r a t u r e de 10° et avec un v e n t c o r r e s p o n d a n t à la charge %'^a, un s e g m e n t de c h a î n e t t e de m o d u l e :

_ 0 , 8 240

*^{a —} t. - m

Si, au contraire, il est calculé en p a r t a n t de l'hypothèse (b),

il réalise, à la t e m p é r a t u r e de — 25°, et avec un v e n t ( ^rrespon- dant à la charge t'^h, un s e g m e n t de c h a î n e t t e de m o d u l e :

0,8 240

su = '

r. * 1.10,5

3. — Véri/icalion, par le calcul, de la précision graphique.

Vérifions que, p o u r chacun des segments de c h a î n e t t e ainsi réolisés, on a u r a bien, au p o i n t le plus h a u t , une tension de 2 kg.

L'ordonnée du p o i n t A, mesurée sur la c h a î n e t t e de référence transformée, est :

y? = 386,3 Celle du p o i n t B est :

^"•> = 146

Les tensions à vérifier, T^"¹ sont données p a r :

T( . , Cas (a) :

Cas (b)

386,3 ,

- 2 7 T ^{+ s}

TT

240

351 TS"

1M1999

146

240

130,5

d'où : TT = 2k,007

Les chiffres o b t e n u s différant e x t r ê m e m e n t peu de 2 kg, ten- sion m a x i m a fixée, on p e u t considérer la construction graphique précédente c o m m e suffisante.

4. — Calcul de la longueur du câble.

Lors de la pose du câble, la longueur de câble à employer ne sera pas la m ê m e s u i v a n t q u ' o n v o u d r a réaliser, ou la chaînette

«S,, » avec charge ^ '^a, ou la c h a î n e t t e « s^b » avec charge I : '^B ; pour s'en rendre c o m p t e , calculer les longueurs L^a, L^b ,de ces deux segments. Elles s o n t données p a r les formules :

L, 240

lq, sont les longueurs des portées horizontales de la chaînette

de référence correspondant a u x valeurs de z et z' (voir § 1) o b t e n u e s par :

_ _ _ 3 5 J _ _ _ _ 1 3 0 , 5 _ x^{a Q}y , x'h — g ; elles sont à calculer p a r les formules :

lp = s ( z^a— f^a) lq = s (z^b —z'^b) on t r o u v e :

lp = 187^,07596 lq = 6 5^m, 8 3 5 3 1 9 d'où :

L^a = 274^,67975 L^b = 261^,987.

Les deux longueurs L^a L^b différant de plus de 12 mètres, il est fort probable, à priori, q u e l'hypothèse (a) est la plus désavan- tageuse.

5. — Calcul des tensions et détermination graphique de l'hypothèse de surcharge la plus défavorable.

L a tension m o y e n n e T d'un segment de c h a î n e t t e P P ' (fig. 3) de m o d u l e « s' » est donnée par :

T' , 1

—r = s .

Cos

/oo

B40

D a n s les cas (a) et (b), les valeurs du m o d u l e ont été calculées au § 2 ; elles d o n n e n t , comme valeur de T' :

T^{( a )} = lk,3962 T^{( b )} = 1 * 8 0 1 .

Sur la c h a î n e t t e de référence, la tension au p o i n t de contact de la t a n g e n t e de direction y est :

J

T' ' ' = ⁰'^S- C o^S = 0k,806

Appelons T la tension m o y e n n e , après pose, sans surcharge.

T y . . _ 240 '

x

et 2 ,r le r a p p o r t -jr 240, ce qui revient à poser : T = Ty . ~- L a longueur d ' u n segment P P ' (fig. 3) de tension m o y e n n e T, e s t :

L

avec :

V

f(2x) = S(z — r')

z = e z = e

P o u r la t e m p é r a t u r e G, dans le cas où la longueur de pose est choisie en v u e de réaliser la longueur L^a dans l ' h y p o t h è s e (a), x est donné p a r la formule :

2 30958

c>3 ¹⁰- 6 (^{l o}8 - • L — l o g . L^a) ^:6 — 10 + 1

5 , 4 . 2 3 . 10 - ³'

178

28.10-«

La

, / 2 4 0 . \ . / 2 4 0 .

= 6 — 10 + 8,0515 ( ^ - l S 3 9 o ) c'est-à-dire :

(1) 80843 \ l o g ( z — z') — l o g . x + 2,1 ¿11 + 8,0515

•tk,ri06 — ^ ) = e — 10

Si, au contraire, la longueur de pose est. choisie de m a n i è r e à réaliser la longueur L^b dans l ' h y p o t h è s e {b), x est d o n n é p a r la formule :

2 3 . 1 0 -⁶

. / 2 4 0 . \ . / 240

l°g-[ W^. Z(2.x) )—log{ - r ^ p lq

= o + 25° + 8,0515 — 1^801

Hx

104

L A H O U I L L E BLAN

7° - _{30 _}

60 _ _ so .

/0 _ O _ 30

.'O - 20 -

/0 _ .30 - 0 .

.40 _ ./0 .

348 3*9 3SO 35/ 3S2 3S3 354 /es /30 /3£ /34 /36 /38 /40 /42

c'est-à-dire :

(2) 85526 [ l o g . ( z — z') — l o g . x + 2,1448629] + 8,0515 ( lk,801 — — ) = 6 + 25«

P o u r c h a q u e valeur de x satisfaisant a u x équations (1) ou (2) la tension m o y e n n e de pose à la t e m p é r a t u r e G sera donnée p a r :

6. — Résolution graphique des équations (1) et (2).

P o u r 2 x = 348 le 1^{e r} m e m b r e de (1) p r e n d la valeur y = _ 34,03.

P o u r 2 x = 353, le 1e r m e m b r e de (1) p r e n d la valeur y = 33,68.

P o u r 2 x = 128 le 1^{e r} m e m b r e de (2) p r e n d la valeur y = — 11,28.

P o u r 2 x = 134 le 1^{e r} m e m b r e de (2) p r e n d la valeur y = 19,84,

Ce g r a p h i q u e m o n t r e q u e l ' h y p o t h è s e de surcharge (a) est, beaucoup,, plus défavorable q u e l ' h y p o t h è s e (b) ; les flèches pose s o n t donc à d é t e r m i n e r s e u l e m e n t p o u r le 1^{e r} cas.

F a i r e le g r a p h i q u e de T p o u r le cas de l'hypothèse (a);i la ligne T de la fig. 4 ; l'échelle verticale à a d o p t e r est : 1.

p o u r 1 g r a m m e .

7. ,— Détermination graphique des flèches de post Marquer, s u r une feuille q u a d r i l l é e au % , un point A repi' t a n t « A » de la figure 2. L'abscisse du p o i n t A de la chaînett référence t r a n s f o r m é e est 283 (1). L'abscisse du point h'(H est donc 351 — 283 = 68.

, .(1) On a vérifié au p a r a g r a p h e 3 l'exactitude de l'ordonnée point. L a formule y — | (z — z ' ) permet de vérifier l'exact!, de l'abscisse 283.

qui se r a m è n e , avec u n e a p p r o x i m a t i o n suffisante, à : 2,30258 l i p . m \

Ces valeurs d'à: et d'y d é t e r m i n e n t q u a t r e p o i n t s A, A^a,B, sur un g r a p h i q u e à g r a n d e échelle (fig. 4).

J o i n d r e Aj A², B¹ B² p a r deux lignes droites.

P o u r la première, — 34,03 correspond à :

+ 10o _ 34o,03 = 24o,03.

P o u r la première, + 33,68 correspond à : -1- 10° + 33068 = 43o 68.

P o u r la seconde, — 11,28 correspond à :

; - - 25o — 110,28 = — 360,28.

P o u r la seconde, + 19,84 correspond à :

— 25° -f 19,81 = 5o,16.

E n p r o l o n g e a n t ces droites, on o b t i e n t les valeurs des pro m e m b r e s c o r r e s p o n d a n t à t o u t e s les t e m p é r a t u r e s de

+ 45°. Voir é q u a t i o n s (1) et (2).

Elles p e r m e t t e n t de. lire la valeur de ,r correspondant à cli t e m p é r a t u r e , d'où l'on conclut la .tension m o y e n n e de p c e t t e t e m p é r a t u r e . Voir é q u a t i o n (3).

L A H O U I L L E B L A N C H E

P r e n d r e (fig 5), sur la feuille quadrillée au % , ad

= 12".

à l'échelle de 2 cm, 5 p a r m è t r e .

_ , 1 100

Aa = o m e t r e s = .

_1_ 240

1 0 ' 2

Sur u n e horizontale, figurer d e u x g r a d u a t i o n s en m è t r e s : 65, 66, 67, 68, 69, 70

279, 280, 2 8 1 , 282, 283, 284

Û\ m Î83 Ùh às Ùè Fig. 5

A c h a c u n e de ces valeurs d'abscisse correspond, sur la chaî- n e t t e de référence, u n e t a n g e n t e de coefficient angulaire :

dx —

2

Les directions ainsi déterminées p e r m e t t e n t de dessiner sur la figure (5) de proche en proche, les p o r t i o n s de la c h a î n e t t e de référence c o n s i d é r a b l e m e n t agrandies avoisinant A et A' de la figure (2). Sur l'ordonnée d ' u n p o i n t quelconque N de la corde a' A m a r q u e r des p o i n t s suffisamment voisins. Soient n² n³, leurs intervalles p a r r a p p o r t à N. P a r chacun d ' e u x faire passer u n e d r o i t e inclinée à ^ . Ces droites coupent les segments A et « ' e n :

Ai A² A³ a\ u\ a\

L i r e sur la g r a d u a t i o n de g a u c h e de l'axe horizontal le chiffre c o r r e s p o n d a n t a u x points a\ a\ a'³ ; sur la g r a d u a t i o n de droite, lire ceux c o r r e s p o n d a n t s a u x points A^x A² A³. . .

P o u r c h a q u e droite A¹ a\, A² a\, A^za\, etc., faire la différence des chiffres lus sur les g r a d u a t i o n s horizontales.

On a ainsi les mesures p¹ p² p³ des projections horizon-

tales des cordes de la c h a î n e t t e de référence voisines d (fig. 2) et parallèles à elle.

L a flèche des arcs de la c h a î n e t t e de référence sous-te p a r ces cordes se calcule comme il suit.

L ' o r d o n n é e du p o i n t de c o n t a c t de la t a n g e n t e parallèle • (fig. 2) e s t :

( — s ) 2 , 0 : ;J8,0/U

Celle valeur d ' o r d o n n é e correspond, sur la c h a î n e t t e de rence transformée, à une abscisse 113,7. D ' a u t r e p a r t , l'ord de AA' (fig. 2), pour x = 113,7 est 209,7.

La flèche de l'arc AA' est donc :

209,7 — 58,475

= 60

,6(i

Les flèches des arcs sous-tendus, d a n s la c h a î n e t t e de réféi p a r des cordes successives parallèles à AA' espacées e n t r comme A^}a'^v A²a '², A³a '³ seront :

6 0^m, 6 6 + n^v 6 0^m, 6 6 + n.², 6 0^m, 6 6 + /),. . . . etc 6 ( )^m, 66 — /7³, 6 0^m, 6 6 — n^e, 6 0^m, 6 6 — n⁷ etc Calculer :

240 240

/ ; = — ( 6 o ™ , 6 G + n , ) , / ; = — (t)0m,o(; + n.,)

"40 140

) . . .

P-, ' P c , Sur la figure (4), m a r q u e r les abeisses de valeurs p¹ p² sur la verticale de chacune d'elles, p o r t e r les valeurs /^{l 5} / déterminées ci-dessus ; on o b t i e n t ainsi le g r a p h i q u e flèches F .

8. Graphique de pose.

L a figure 4 renferme m a i n t e n a n t tous les éléments suff pour la d é t e r m i n a t i o n du g r a p h i q u e de pose.

P o u r 30°, par exemple, l'horizontale H donne un point A, A².

L a verLicalc & coupe F et T a u x points :

/ = 41 ",59 T = 0^,5908.

Ce s o n t les flèches et la tension m o y e n n e de pose à la t é n t u r e 30°. L a tension de pose au p o i n t le plus h a u t est, peu de chose près (1).

T^s = T + * / + - . 5 0 = 0^k, 8 5 0 9 . F i n a l e m e n t , le t a b l e a u de pose sera :

—10° 0° 10° 20° 30°

f 41>,24 - 41 » 3 3 4 1^m, 4 1 5 .41'",50 41^I",59 T^s 0^k, 8 5 5 0^k, 8 5 4 0^,853 0^k, 8 5 2 0^k, 8 5 1

41 0^k, (1) On pourrait la déterminer d'une façon absolument exa m e s u r a n t l'intervalle mm' entre le milieu de AA' e t l e point m

m m^J sin y

240