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2 Dynamique du syst` eme

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Syst` eme form´ e de deux points mat´ eriels

Table des mati` eres

1 El´´ ements cin´etiques 1

1.1 El´ements cin´etiques dans´ R . . . 1

1.2 Centre de masse . . . 1

1.3 R´ef´erentiel barycentrique . . . 2

1.4 El´ements cin´etiques dans´ R . . . 2

1.4.1 Quantit´e de mouvement totale . . . 2

1.4.2 Moment cin´etique total en G . . . 2

1.4.3 Energie cin´etique totale . . . .´ 2

2 Dynamique du syst`eme 3 2.1 Forces int´erieures et forces ext´erieures . . . 3

2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement . . . 3

2.3 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . 3

2.4 Etude ´energ´etique . . . .´ 3

2.4.1 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . 3

2.4.2 Puissance des forces int´erieures . . . 4

2.4.3 Energie potentielle - ´´ Energie m´ecanique . . . 4

3 Syst`eme isol´e de deux points mat´eriels 4 3.1 Lois de conservation . . . 4

3.1.1 Conservation de la quantit´e de mouvement . . . 4

3.1.2 Conservation du moment cin´etique . . . 4

3.1.3 Conservation de l’´energie m´ecanique . . . 4

3.2 R´eduction du probl`eme `a deux corps `a un probl`eme `a un corps . . 5

3.2.1 Mobile fictif - Masse r´eduite . . . 5

3.2.2 El´ements cin´etiques . . . .´ 5

Soit le syst`eme form´e par deux points mat´erielsM1 de masse m1, de vitesse v1, soumis `a des forces de r´esultante F1 etM2 de massem2, de vitessev2, soumis `a des forces de r´esultanteF2. On noteram la sommem1+m2

Par d´efaut, les vitesses et les acc´el´erations sont calcul´ees par rapport `a un r´ef´erentielR galil´een

1 El´ ´ ements cin´ etiques

1.1 El´´ ements cin´etiques dans R

p=X

i

pi=X

i

mivi=m1v1+m2v2

est la quantit´e de mouvement totale ou r´esultante cin´etique du syst`eme dansR

LO=X

i

LO i=X

i

OMi∧mivi =OM1∧m1v1+OM2∧m2v2

est le moment cin´etique totaldu syst`eme en O dansR Ec =X

i

Eci=X

i

1

2miv2i = 1

2m1v12+1 2m2v22

est l’´energie cin´etique totale du syst`eme dans R 1.2 Centre de masse

Le centre de masse du syst`eme (ou encore centre d’inertie, centre de gravit´e, barycentre) est le point Gd´efini par

(m1+m2)OG=m1OM1+m2OM2

O ´etant un point quelconque deR; siO =G m1GM1+m2GM2= 0 Choisissons un pointO fixe dans R

vG= dOG

dt = m1v1+m2v2

m1+m2

est la vitesse du centre de masseG par rapport `aR

(2)

1.3 R´ef´erentiel barycentrique

Le r´ef´erentiel barycentrique ou r´ef´erentiel du centre de masse, not´e R, est le r´ef´erentiel en translation par rapport `a R dans lequel le centre de masse Gest fixe (souvent pris comme origine deR)

Attention : pour que R soit galil´een, il faut bien sˆur que R soit galil´een mais aussi quevG=cte

R ´etant en translation par rapport `a R, on peut d´eriver indiff´eremment par rapport `a Rou R, la composition des vitesses s’´ecrit

v=v+ve=v+vG la composition des acc´el´erations

a=a+ae=a+aG

1.4 El´´ ements cin´etiques dans R 1.4.1 Quantit´e de mouvement totale

p=X

i

pi =X

i

mivi =m1v1+m2v2

p =m1(v1−vG) +m2(v2−vG) = 0

La quantit´e de mouvement totale du syst`eme dansR est nullep = 0

1.4.2 Moment cin´etique total en G

LG=X

i

LG

i =X

i

GMi∧mivi=GM1∧m1v1+GM2∧m2v2

LG = (GO+OM1)∧m1v1+ (GO+OM2)∧m2v2

= GO∧(m1v1+m2v2) +OM1∧m1v1+OM2∧m2v2

= 0 +OM1∧m1(v1−vG) +OM2∧m2(v2−vG)

= OM1∧m1v1+OM2∧m2v2−(m1OM1+m2OM2)∧vG

= LO−OG∧mvG

Cette relation, qui sera ´etudi´ee en 2eann´ee, est appel´ee th´eor`eme de Koenig relatif au moment cin´etique

LO=LG+OG∧mvG

1.4.3 Energie cin´´ etique totale

Ec=X

i

Eci =X

i

1

2mivi2= 1 2m1v1

2+1 2m2v2

2

Ec = 1 2m1v1

2+1 2m2v2

2

= 1

2m1(v1−vG)2+1

2m2(v2−vG)2

= 1

2m1v21+1

2m2v22−(m1v1+m2v2).vG+1

2(m1+m2)vG2

= Ec−mv2G+1 2mvG2

= Ec−1 2mvG2

Cette relation, qui sera ´etudi´ee en 2eann´ee, est appel´ee th´eor`eme de Koenig relatif

`

a l’´energie cin´etique

Ec =Ec+1 2mvG2

(3)

2 Dynamique du syst` eme

2.1 Forces int´erieures et forces ext´erieures

D´ecomposonsF1 enFext→1+F21 o`uFext→1 est la force exerc´ee par l’ext´erieur surM1 et F21 la force exerc´ee par M2 surM1.

De mˆemeF2 =Fext→2+F12

Les forces F21 et F12 s’exer¸cant entre M1 et M2 sont appel´ees forces int´erieures au syst`eme, les autres forces ´etant les forces ext´erieures au syst`eme

2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement

ou th´eor`eme de la r´esultante cin´etique

R ´etant galil´een, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique `a M1

dp1

dt =F1 =Fext→1+F21

et `aM2

dp2

dt =F2 =Fext2+F12

en ajoutant membre `a membre on fait apparaˆıtre la quantit´e de mouvement totale d(p1+p2)

dt =F1+F2 =Fext1+Fext2+F21+F12

en utilisant la 3e loi de Newton ou principe de l’action et de la r´eaction dp

dt =Fext

o`u p est la quantit´e de mouvement totale et Fext la r´esultante des forces ext´erieures qui s’exercent sur le syst`eme

p = m1v1+m2v2 =mvG dp

dt = mdvG

dt =maG=Fext

Le mouvement de G est identique `a celui d’un point mat´eriel de masse m = m1+m2 soumis `a une force ´egale `a la r´esultante des forces ext´erieures

2.3 Th´eor`eme du moment cin´etique

Soit O un point fixe deR galil´een

Appliquons le th´eor`eme du moment cin´etique en O `aM1

dLO1

dt =OM1∧F1 =OM1∧Fext1+OM1∧F21

et `a M2

dLO2

dt =OM2∧F2 =OM2∧Fext2+OM2∧F12

en ajoutant membre `a membre on fait apparaˆıtre le moment cin´etique total d(LO1+LO2)

dt =OM1∧Fext1+OM2∧Fext2+M1M2∧F12

en utilisant la 3e loi de Newton ou principe de l’action et de la r´eaction dLO

dt =MO ext

o`u LO est le moment cin´etique total en O et MO ext le moment r´esultant en O des forces ext´erieures qui s’exercent sur le syst`eme

2.4 Etude ´´ energ´etique

2.4.1 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique

R´etant galil´een, on peut appliquer le th´eor`eme de l’´energie cin´etique `aM1

dEc1

dt =F1.v1 =Fext1.v1+F21.v1

et `a M2

dEc2

dt =F2.v2 =Fext2.v2+F12.v2

(4)

en ajoutant membre `a membre on fait apparaˆıtre l’´energie cin´etique totale d(Ec1+Ec2)

dt =Fext1.v1+Fext2.v2+F21.v1+F12.v2

Contrairement aux deux cas pr´ec´edents, il n’y a, a priori, aucune raison que les termes faisant apparaˆıtre les forces int´erieures disparaissent

dEc

dt =Pext+Pint

o`uEcest l’´energie cin´etique totale,Pextla puissance des forces ext´erieures etPint la puissance des forces int´erieures

2.4.2 Puissance des forces int´erieures

Remarquons que la puissance des forces int´erieures est ind´ependante du r´ef´erentiel Pint=F21.v1+F12.v2=F12.(v2−v1) =F12.(v2−v1)

En particulier, pour un syst`eme rigide,Pint= 0

2.4.3 Energie potentielle - ´´ Energie m´ecanique

Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas dEc

dt =−dEp dt

o`uEp est l’´energie potentielle totale, alors l’´energie m´ecanique totaleE =Ec+Ep

se conserve

3 Syst` eme isol´ e de deux points mat´ eriels

Si le syst`eme est isol´e,Fext1 = 0 etFext2 = 0, alors Fext = 0,MO ext = 0 et Pext= 0

3.1 Lois de conservation

3.1.1 Conservation de la quantit´e de mouvement

dp

dt = 0⇒p=mvG=cte Le r´ef´erentiel barycentrique est donc galil´een

3.1.2 Conservation du moment cin´etique

dLO

dt = 0⇒LO=cte

R etR ´etant en translation l’un par rapport `a l’autre, on peut d´eriver indiff´e- remment ; commeLG=LO−OG∧mvG

dLG

dt = dLO

dt −vG∧mvG−OG∧mdvG

dt = dLO

dt dLG

dt = 0⇒LG=cte

On aurait pu aussi appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique en G (fixe dans R) dansR galil´een

3.1.3 Conservation de l’´energie m´ecanique

dEc

dt =Pint

Dans le cadre du programme les forces int´erieures qui s’exercent entreM1 etM2

sont conservatives (par exemple interaction gravitationnelle ou ´electrostatique) dE

dt = 0⇒E =cte

R etR ´etant en translation l’un par rapport `a l’autre, on peut d´eriver indiff´e- remment ; commeEc =Ec−1

2mv2G dEc

dt = dEc

dt −mvG.dvG

dt = dEc

dt =Pint=Pint =−dEp dt

(5)

dE

dt = 0⇒E =cte

3.2 R´eduction du probl`eme `a deux corps `a un probl`eme `a un corps

3.2.1 Mobile fictif - Masse r´eduite Reprenons

m1a1 =F21 m2a2 =F12

a=a2−a1 = F12

m2

− F21

m1

= F12

m2

+ F12

m1

= F12

µ avec 1

µ = 1 m1

+ 1 m2

,µappel´e masse r´eduite

a=a2−a1 = d2OM2

dt2 −d2OM1

dt2 = d2M1M2

dt2 SoitP appel´emobile fictif et d´efini par

GP=M1M2 =rer

La relation µa = F12 peut donc ˆetre consid´er´ee comme le PFD appliqu´e dans le r´ef´erentiel barycentrique (a =a et d´erivation indiff´erente) `a un mobile

´equivalentP de masseµet soumis `a une forceF12

En g´en´eral, La forceF12 est conservative, port´ee parM1M2 et ne d´epend que de la distance relative entreM1 etM2

F12 =F(r)er

Tout se passe donc comme si le mobile ´equivalent P ressentait la force centrale conservative cr´e´ee par le centre de force fixeG

3.2.2 El´´ ements cin´etiques

La quantit´e de mouvement totale dansR est nulle par d´efinition de R p =m1v1+m2v2= 0

La vitesse du mobile fictif v= dGP

dt = dM1M2

dt = dOM2

dt −dOM1

dt =v2−v1 =v2−v1

d’o`u

v1 =− m2

m1+m2

v v2 = + m1

m1+m2

v

d’autre part, les relations m1GM1+m2GM2 = 0 et GP =M1M2 = GM2 − GM1 conduisent `a

GM1 =− m2

m1+m2

GP GM2= + m1

m1+m2

GP

calculons alors l’´energie cin´etique et le moment cin´etique Ec= 1

2m1

− m2

m1+m2

v 2

+1 2m2

+ m1

m1+m2

v 2

= 1 2µv2

LG = GM1∧m1v1+GM2∧m2v2

= − m2

m1+m2

GP∧m1

− m2

m1+m2

v

+ m1

m1+m2

GP∧m2

m1

m1+m2

v

= GP∧µv

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