Minimization of counterexample in SPIN

HAL Id: hal-00147953

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00147953

Submitted on 21 May 2007

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Minimization of counterexample in SPIN

Paul Gastin, Pierre Moro, Marc Zeitoun

To cite this version:

Paul Gastin, Pierre Moro, Marc Zeitoun. Minimization of counterexample in SPIN. 11th SPIN

Work-shop, Mar 2004, Barcelone, Spain. pp.92-108. �hal-00147953�

  !! "#!#$ "!% & # '()*)+,-./012 345.6 7+8469 7:;<+ =>?4@9 AB66.9B+*C7D=D;345.689E9F :D+* 54-@9

{

GHIJKLM NOPO M NQ

}

RSKHTHU VW IIKX W UT P YZ[\]^_\` a9 > 51>1694- 4?b15.cdec1f-E 4@1B-c95C9F4e>?9c161e9 >51>95cg .- 4f-.c96c4c9>51b54e0hd.64?b15.cde .6E95./9E251ei3(jk6 1-9+lBc.cf-E64@1B-c95C9F4e>?9246c95cd4- i3(jE1960 m(- >45c.@B?45 .c6c.??n15o6.- ?.-945c.e90 pq1591/95+.cE196-1c59rB.59 e159e9e15g cd4- i3(j0a92B5cd95>51>1694-1cd954?b15.cdec1@1e>Bc94@1B-c95C 9F4e>?9 12e.-.e4?6.s90)b4.-+cd.64?b15.cde E196-1cB69 e159e9eC 15g cd4- i3(j E196 c1 4>>51F.e4c9 4 e.-.e4? @1B-c95C9F4e>?90 hd9 @16c c1 f-E 4 @1B-c95C9F4e>?9 12 e.-.e4? 6.s9 .6 cd4c 1-9 d46 c1 59C /.6.ce1596c4c96cd4- i3(j0a9>51/.E94- .e>?9e9-c4c.1- 4-E E.6@B66 9F>95.e9-c4?596B?c60 t uvwxyz{|w}yv "#$ ~% %€   $ # ‚!#ƒ %#!! % #„‚!#‚ !  #„ !$…! $ #„~ …! † ‡ˆ ‰   ‚!#!‡  %#!! % #% !!#!  ‡‚#! # ‚!#ƒ$  # #… # %#!! %  ! † ‡ #!  ‚!#‚ !†# Š % %€ $ˆ "#$ % %€ !† ‹Š%# !~ ‹‡‚ „† ‹ %#!%  #„ † ‡ˆŒ ‡‚ ! %# !~ ‹‡‚   ! …Š ##%  $ !$ $ ‹  !!#!ˆŽ %# !~ ‹‡‚ % ‡  Š!%# #„  † ‡ „#!‡ $   ‡#$ ‘  # %#! ’  ƒ !  %“  #… # !   $ $ Š†  %# !~ ‹‡‚ „#$ Š†  ‡#$ ~% %€ !ˆ ”%  !  ‡    $# ‡†   ƒ !† ‡‚#! # %#‡‚ •–—˜˜ %# !~ ‹‡‚  $ † #„ ‡‡  ‘ %  ‚!#‚ !†  #  $ˆ ™  … ~€#…  ƒ !„† …  !    † ‡

M

   šŒš ‚!#‚ !†

ϕ

 “ƒ  #   …  !  ›œ% #‡#

A =

A

M

∩ A

¬ϕ

 # %% ‚ ! … !

A

M

  !‚€ !%! $ %!Š  † ‡ $

A

¬ϕ

  ›œ% #‡# $ %!Š ‹ %#  ƒ#

ϕ

ˆ ™  †   #!† # $  !‡ …  !  ›œ% #‡#     # %% ‚ !ˆ ”%  !  #†   ‡Š ! #„ %% ‚    ‚!#Š ‡  $ $ “ƒ  # $  ! %Š %% ‚  $  ##‚ !#$ ˆ Ž %# !~ ‹‡‚ #

ϕ



M

%   Š ƒ    ‚

ρ = ρ

1

ρ

2

  ›œ% #‡# … !

ρ

1

  ‡‚ ##‚~„! ‘ ‚ „!#‡    #  %% ‚  $

ρ

2

 ‡‚ ##‚ !#$ %% ‚   ž! Ÿ‘ˆ Œ %# !~ ‹‡‚  ƒ  Š† ”™  ! …† #„  „#!‡ˆ ¡! #  # $ #! %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ ! !ƒ ! ‡!€   … % ! $%    #„  %# !~ ‹‡‚ „ … $# #  #  „% 

ρ

1

ρ

2

 `` )- 4@@9>c.-b >4cd .- 4 @d.4Bc1e 4c1- ##‚ ! „!#‡  %% ‚  ˆ % … %#$ ! %# !~ ‹‡‚ #„  „#!‡

ρ = ρ

1

ρ

2

ρ

3

… !

ρ

1

ρ

2

  ‚ „!#‡    #  %% ‚   $

ρ

2

ρ

3

  ‡‚ ##‚ !#$  %% ‚    ž! ‘ˆ Ž ‡‡ %# !~ ‹‡‚ %   Š $  $   ‚ #„  „#!‡%     #„

ρ

 ‡‡ˆ

ρ

1

ρ

2

ρ

3

 `` )- 4@@9>c.-b >4cd .- 4 @d.4Bc1e 4c1-ž$  %# !~ ‹‡‚  ƒ  #„ ‡‡   % #„ %#! Š $#  ‚#†#‡ ‡  ‡‡ ‚ #!‡ Š $ # Š! $ ! !ƒ !~ ˆ#… ƒ !Š! $~!!ƒ !! # … ~ $ # $  % ##‚ˆ"#! ~ #ƒ ! ‡#$ #„ † ‡ „! “ †%#‡ „!#‡  ƒ !%#‡‚# …#!€ %#%!! †$  !  ›œ% #‡# % Š  ˆŒ ! „#! ‡ ‡~ #!†  —˜ • $„#!% … %# #!$ # #!  ‡‡ $% Š …   ‚! #„  ˆ Œ ! „#! … !  ”™  ‚‚!#% $ …   $ ‚ !  !%~€ #!‡ ˆ ‰  ‚‚!#% ! ! %†…# $%  !# # $  %# !~ ‹‡‚    %#$ #  # $  •–—˜˜ %# !~ ‹‡‚  $ $ †  ––—˜  ˆ ”™    #‚# # ! $%   #„ %# !~ ‹‡‚   $ˆ    $#   ‚!#ƒ$  ‡  # $ !  ! ‡ „! “ † ## ! $ $% # ! $ ƒ  …  %#$ ! ‡‚ † ‡ˆ ž#! %  #  !ƒ  ‚!#‚ !†# €€ !‡ ‹%##!‡”™  ‚!#ƒ$  %# !~ ‹‡‚ … Ÿ!#ˆ™  %  #$%#    !!#!#%%!„ !Ÿ ‚ˆ ¡  ! #”™ ##€„#!%# !~ ‹‡‚   ‚ #  %% ‚  „##… $Š  ##‚ !#$   ˆŒ  %#$ ! # ”™ #!‡ „#! ! $%   #„%# !~ ‹‡‚ ‡  # #„  ‡ $ ! „#! „# $  #!  # ˆ¡! %#!Š#  „##…  ‰ ‚!#‚#  #!‡ # $  %# !~ ‹‡‚ #„  ”™  ‚!#!‡   !‡ ˆŒ#!‡  $ !ƒ $ „!#‡ ”™ # Š $  %# !~ ‹‡‚ „ !  ”™  $# ˆ "#! #ƒ !#! #!‡ $#  # ‡#! ‡ ‡#!† ”™ ˆ

   #%  ! %# !~ ‹‡‚  Š  „#$ˆ Œ #!‡ $#  #  ‡#! ‡ ‡#!† ”™  $# … #‚#
…  !† # ! $%   #„ %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ %# … ƒ # ‚† „#! $  #!  %# !~ ‹‡‚  # ! ƒ ‡#!   ”™  $# ˆ  ‰ ƒ ‡‚ ‡  $ƒ !##„ #!‡…# ! ! $ $ ‡%‡ !# ƒ Š†”™ ˆž #!% „#! €€ !#!‡  %† $ Ÿ  %# !~ ‹‡‚ ˆ  ‰ † ‚!#‚# # !‡‚!#ƒ ‡  # ”™  #!‡ˆ Œ ‚‚ !  #! $ „##…ˆ ™ ” %# … $ %!Š  #!‡ # $  ! %# !~ ‹‡‚ $ … ‚!#ƒ  %#!! % ˆ#… ƒ ! !  # !   %# !~ ‹‡‚  #„‡‡  ˆ™ ” %# … ‚!    #!‡ $  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ ˆ ‰ ‹‚   #~ !‡… ‹Š ƒ!# ‚!#Š ‡ ‡† ! …  %#‡‚  %# !~ ‹‡‚ … %!! ”™  #!‡ˆŽ‡‚ ‡ # $ ‹‚ !‡  !  ! $ %!Š $  ” %# ˆ  }vz}v w x w |y{vwx  š 

A = (S, E, s

0

, F )

Š  ›œ% #‡# … !

S

     #„  

E ⊆ S × S

  !# ! #

s

0

∈ S

    $

F ⊆ S

   #„%% ‚ ˆ†!#! Š  $ … %#Š %   Š  ! !!  ƒ „#!  ‡‚  ‚!#Š ‡  † ! #! $   ‚‚ !ˆ™ ‚%!   ‡!€ $… # $ $%% ‚   ! $#Š† %!% $ˆ™„   

k

## !#… ‡Š !  ‡ „!#‡

1

#

k

ˆŒ!#„!#‡   … Š %#$ ! $Š†  #!‡ #!$ ! ƒ  Š†  ! Š ˆ  %   ‚   #‡#    “ % #„  

s

1

s

2

· · · s

k

# $ # $

s

1

, s

2

, . . . , s

k

‘%„#! 

i = 1, . . . , k − 1

 !  !# „!#‡

s

i

#

s

i+1

ˆŒ ‡‚†‚…#!# $ # $ Š†

ε

ˆŽ ##‚ ‚

s

1

s

2

· · · s

k

…

s

k

= s

1

ˆ Ž ‚

s

1

s

2

· · · s

k

 •–˜ „

s

i

6= s

j

„#! 

i 6= j

ˆ Ž ##‚

s

1

s

2

· · · s

k

  ˜ „

s

1

s

2

· · · s

k−1

  ‡‚ ‚ˆ Ž ##‚ ! ‚ˆ %†% ‘  —  „ %#  %% ‚  ˆž†  — —  #„ „#!‡

γ = s

0

· · · s

k

· · · s

k+`

… !

s

0

· · · s

k+`−1

  ‡‚ ‚ $

s

k

· · · s

k+`

  %% ‚ %†% ˆ‰ %

s

0

· · · s

k

  — #„

γ

ˆ  #   %% ‚ ‚ !    ˆ‰ # %   —–˜  %% ‚ ‚ˆ ™   %# … $ %!Š  #!‡ $  ! %# !~ ‹‡‚ ˆ ™  ‡! #    $ ž” $ %!Š $   … …# ‡‚!#ƒ ‡   ! # %#% !  $  %# #„ %% ‚ %†%  $   %#$ # ƒ#$ ! ƒ  % !† #‡  ˆ ›# ‡‚!#ƒ ‡  ! #  „ …  ‡‡   #„  %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ #!‡    %##!# ‡!€   

<

 ˜

<



<

 ˜— ˆ ‰ # ‡!€  ! †Š„#!‡‚„† ‚!##„ˆ ‘Œ %##!#„  % ˜  —• ˆŽ Š   ! … $  #!‡  !"#$  % $ #   

s

0

ˆ

 ! %Š %% ‚  $ # !! $ ž”„!#‡   %% ‚    ‚#‹ #!$ ! … ! ‚ % #  Š ‘ %#ƒ ! ! $  $ Š†  Š ž”ˆ Ž ! $ ž” ! $ !!‚ Š # ‘…  ƒ ! # ‚#‚  %% ‚    Š ž”ˆŽ ! $ ž” #† ƒ Š      ! $† ƒ $ Š†  Š ž”ˆ ‰ … #…  „  ! $ ž”  $ „!#‡  %% ‚ 

r

 !‡  …# $  %# !~ ‹‡‚   #  ! %Š „!#‡

r

‡†Š ‚!#„ %% ‚ ‚ˆ %  %##!#„    ! %Š „!#‡

r

‡† Š   # Š%€ˆŒ  ‚!‚# #„ Š%€ ž”ˆ Œ ž”  $ $    † ‡   %!!  ‚ „!#‡    #  %!!  ˆž #!%#ƒ  % %!! ‚#! $ #Šƒ!Š
ˆ  #  ”™  # #!   %!!  ‚   #Š ƒ!Š ˆ Ž%† # % !†% ‡† Š #Š $ „!#‡  ‹ %# %€…  %# !~ ‹‡‚ „#$ˆ %

s ∈ S

! ‚!   $Š†!%! $ #!‡ #†! “!   „##… $$# $ˆŒ ‹!%##„  $ #†Š„#! %     ‡ %# „#! ”™  #!‡‘ˆ   "   "  † 
$ˆ   "$


† "$ˆŒ $#    %#‡ …  !     #  %!! ‚ˆ ‰  … …!  ""

s

0

_{∈ E(s)}

  #!‡  Ž#!‡ Ÿ‘ … ‡   %% #!

{s

0

_{∈ S | (s, s}

0

_{) ∈ E}}

#„

s

! ! ! $   ‹ $ #!$ ! …%   ‚!%!  ‡   !"#$ $   $ ˆ Œ „%  ‡‚#! „#!  %#!! %  #„ Ž#!‡ Ÿˆ ‰ Š ‡ #†  „##… ƒ!ˆ    ——  !" #$%   ˜—  •— • —  — —  — — —˜˜ •— • — —  ˜ – —  ˜—  •— — —˜•  ˜—  & ——  ' $( — –  ' $( 

r

 

r ∈ F

%   •— — —  ˜ –

r

•—  — —  —)   • — — —  

r

— •   ˜—     •—  * Ÿ‘ !  !"#$ 

s

‘„ … ‹ %  +    %% #! #„

s

! Š%€$  !   % !Š†$%#ˆ #…‡ … ‹ %  ŸŸˆ Œ    $ 

s

‘ … ‹ % $ %#‡‚  † $  %##! #„

s

 ! †ˆ  ‘ …

r = s

‘ … $ $%  #  ! %Š „!#‡

s

 ‚! #„  %% ‚ ‚ˆ  % „ ! ‹ %  !" , 

s

‘ ƒ!   $ˆ  ‘Œ $%‚!ˆž!# …   !   $ 

r

‘ ! ! #! † $…  ‚!#‚ !†  ‘$! %†„!#‡ Ÿ‘ˆ #…$   $ 

s

‘ ƒ! #† % $  Ÿ- …   %##! #„

s

   # ! †ˆ‰  ‹ %   ‡   %% #!#„

s

!  ! Š%€! †#! ! $ˆ #   ! $    % !† #  %!!  ‚ˆ Ž‡   ! ‹ %% ‚ ‚

ρ

# !#

r

$ # Š%€#!! †  ˆ™„

s /

∈ ρ

   ƒ!  #$ „ !    %##! #„

s

# ! †   Ÿ-ˆ Ž‡ #… 

s ∈ ρ

$  

s

0

Š  %% #! #„

s

#  ‚

ρ

ˆ

 Ž ƒ !# #„   $ ž” #!‡ O K  S W X JHJX  ; .  m.0@1?15 l?B9p =


(s

0

_→is



in



cp

^

s

0

_{∈ F )}

\ 9F.c n .cd

cp

· s

0

46@1B-c95C9F4e > ?9  [


s

0

_→

 O S OP

=

!KJX \ "*i  l?B9m

s

0

p
 < > 1>m@>p

s→is



in



cp

:= false

 D


∀s

0

_{∈ E(s), s}

0

_→

 O S OP

=

SH# \ $

s→

 O S OP

:=

SH#

;

7 [


s

∈ F

\ % "*i  59Em

s

p & " *i  l?4@om

s

p ;: 
 O K  P X JHJX  ; >B6d

(cp, s)



s→

KI KL '

:=

J P W X 

s→

 O S OP

:=

P X  = (] ^

s

0

_{∈ E(s)}

( 


`s

0

_→is



in



cp

^ m

s

0

_{∈ F}

(]

s

0

_→

 O S OP

=

S W X

)

´

\ < 9F.cn.cd

cp

· s

0

46@1B-c95C9F4e>?9 D [


s

0

_→

 O S OP

=

S W X \ $ "*i  59Em

s

0

p 7 
 %  (] &  > 1>m@>p

s→

KI KL '   THSIX  ;:

s→

 O S OP

:=

G P X)  *+ + , O JX J!HJ SKLX -. O T  P X KI L O J 'H P J O T J!X HJ W HS HSG OP KJ! N U + / JI ' W P ' O IX KI IK N 'S) J O SH P KT) J!X  OPP XJLXII ' POO TU + 0 !X P XT OP X J!X P X H P X HJ W HSS) O LS) T O W P  O S OP I HI IJHJX KL J!X + XI P K'JK O L H O XU +* O K  SH# JHJX  ;

s→

 O S OP

:=

SH#  = (] ^

s

0

_{∈ E(s)}

( 


s

0

_→

 O S OP

6=

SH# \ " *i  l?4@om

s

0

p 
 <  (]

r

 ‡ %!#

cp(r)

… !

cp(r)

  %!!  ‚ …    $ 

r

‘ … % $ˆŒ  $ #  ‚#‹ #!$ !#„ %   $ 

t

‘„#!

t ∈ F

ˆ ”%

s

0

 ! %Š „!#‡

r

$ % „##…

ρ

…$ #%  %†% „  % !†‘… % ! %  %% ‚  „!#‡

s

0

… $ 

ρ

 Š‚

ρ

0

%# # %% ‚  $ # „!#‡

s

0

# #‡ 

s

00



cp(r)

ˆ # 

s /

∈ ρ

0

%

ρ

 ‡‚ ˆ Œ 

ρ

00

_{= cp(s}

0

_{) · ρ}

0

  %% ‚ ‚ # !#

r

 %# # Š%€ #! ! †  $ % 

s /

∈ ρ

00

ˆ  %  ƒ! #$„ !    %##! #„

s

# ! †  Ÿ-ˆ

u

t

–—  ¡ % ‚!#ƒ  „ %   $

r

‘…

r ∈ F

 !‡ …~ #$ %# !~ ‹‡‚      ! %Š „!#‡

r

! Š%€#!! †ˆ Œ ! „#!   Ÿ- #„   $ 

s

‘… %#$    %##!#„

s

# Š%€ $! %† $ ! ‡#ƒ  ŸŸ  % #  !" , ‘   !"#$ ˆŒ ‡#$%#   „ … ! #†  !  $  $  ! %# !~ ‹‡‚ ˆ› …   %##! #„ #‡ 

s

  # ! †  … $# # €#… …  !

s

 ‚! #„  %# !~ ‹‡‚ #!#ˆ™# ! …#!$# % $ $% ! † %# Š ‚! #„  %# !~ ‹‡‚ #† …   %   $ 

r

‘…

r ∈ F

  !‡ ˆ™ #!$ !# ƒ#$! ƒ  % !† #‡   ‡‡~ # #!‡ ‚!   $  ” %#  %   „%  Š%€  %# Š ‚! #„ %# !~ ‹‡‚ ˆŒ  …† … $# #   ‡#$%#ˆ ”%  #!‡ ƒ    ‡#  ‡  Ž#!‡ Ÿ  !‡ ˆ "#! #ƒ !#     %#!#!†#„š ‡‡ Ÿ  „##…  ‡ ˆ
   —   —–—

A

—–• —   —–˜ )   ˜ – • —   —–˜   

A

      
  
  Œ ! !  †…# $ ! % Š … #!#!‡ $”™ # ˆŒ ! # ”™  $# #‚   Š%€# ƒ#$ % !†! ƒ #„  ˆ "#! ‚! % †  ”™  #!‡    # Ÿ #„  !"#$ ! ! ‚% $…

s ∈ F

 $

r := s

’   $ 

s

‘’ $ 
… !

r

  #Š ƒ!Š  $ # ‡ ‡#!  #! #„  ! $ ž”ˆ Œ# !  Š   #„ Š%€  %#$ ! #‡# Š #…ˆ %   !# Š  $%  …% #!$ ! %% #! ! %#$ ! $ Š†  ž”ˆ ‰ ”™  #!‡  ! !  ƒ $ …% ˆ Œ ! ƒ  ! $ …  !"# $‘ $   %#$ # …   $  ‘ˆ ‰ #! #!‡ …   !"#$‘  !‡     Š%€ˆ Œ ! „#!  ! … # Š ! ƒ $ Š†   $‘ˆ Ÿ  š! ! … # %% ‚   Ÿ 

 %% ‚  ˆ Œ ‡    ”™  #!‡       #„  !"#$ ! ‚% $ Š† "  $ $       #„   $ ! ‚% $ Š†

s

0

_{= r}

… !

r

 #Šƒ!Š #! #!#„ ! $ž”  Š#ƒ ‘ˆ Ž Š   #„#! ‡ #$  ! $ …  #‡# Š #…ˆ›# #!‡ Š ƒ ‡!†    $ ‘  % $ˆ ‰  %#$ !  %% #!

s

0

_{= 1}

#„

s = 3

 #! #!‡ ‡‡ $ † $  %# !~ ‹‡‚ ˆ ¡  %#!!† ”™  … %   $ Ÿ‘…% ! ƒ  $  ! !‚ Š „#! # #  %% #!  #„ Ÿ $ $  %# !~ ‹‡‚ ˆ Ÿ  š! !‚ … # %% ‚ !  Ÿ  }vz}v  }v}  |y{vwx  Œ# $  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ …   $ ‚ !  !% …% $#  #  % !†#‚…  ! %   ! $†ƒ $ˆ™$ $! %  

s

…  $% #   

s

0

‡ !  „#!  ‚! ƒ# ƒ #„

s

‡†  $ #  #! ! %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ ! „#!   $$# #   $  $  Ž#!‡ Ÿ %      !  $ $
#!  ‡‡ $% „!#‡

s

0

‘  …%

s

 Š    #  %!!  ‚ˆ ™   ! „#!  ‚‚ ! Š#$ #„  $% „!#‡   

s

0

ˆ™! ‡ #   #Š ƒ $$ %#†$ %!  $! #!‡ˆ‰ #  $$#ƒ!Š
$  %€#„ %# ‡‡%# !~ ‹‡‚ „#$#„!ˆ™† ‡‚†ˆ Ž  $ #„  #!‡ … %#  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ #„ …# #‡#ˆ Ž#!‡   …# #‚ ! ‡#$   #!‡ # … !  ƒ ! %! ! % ‡€  #!‡ Š%€!%€$  ‡#! %! „ # … !  ƒ % #† #‚ …   ! %!! ‚##‚#!Š %#‡ # !   #„  ‡‡%# !~ ‹‡‚ „#$ # „!ˆ™ ‡#$  ‡†Š ! ƒ $  ƒ ! ‡   %#! … Ž#!‡ Ÿ … !    ƒ $  ‡#  ‡   %##! …% # Š    # ! $$ † # Š%€‘ˆ Œ %!! #!‡ ‡‚ ‡  $ ”™  # $  ‡%# !~ ‹‡‚ $#  # ! # $  ‡‡ # ˆ Œ #!‡   ƒ!# #„     $~ž” #!‡ ˆ ™ ƒ    ! „    … #! „   „#$ ‡#! “%€†  $!  ‚! ƒ# ƒˆ Œ# % %€   %#$#  ‡„#! %   $% „!#‡  

s

0

ˆ”%  %# !~ ‹‡‚  !  !% $   ##‚ !#$  %% ‚  # %# #‚ #    ‡‡ ‹‡‚ ˆ ›  !  # ! ‚!#Š ‡ … ”™  #!‡ „ ! $  ! %# !~ ‹‡‚  ”™  Š%€!%€ …  ƒ !  ! %    …  ‚# !   #! $ $% #    ˆŒ$ #  „ #    # !‚ …  ƒ !† $  #! ! %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ ! ! …# %  … !   # ‚‚!#‚! $  ‡‡

Š „#!  ‡Š ! # !#$%  …% #!$ !  † ! ƒ $ˆ

s

0

s

3

s

4

s

1

s

2

 Ÿ ‰  #‡# Š#ƒ   ! %# !~ ‹‡‚ „#$ 

s

0

→ s

1

→

s

2

→ s

3

→ s

4

→ s

2

ˆ! ƒ  $ ‚ !  „##…

(s

0

, 0)



(s

1

, 1)



(s

2

, 2)



(s

3

, 3)



(s

4

, 4)

ˆ Œ 

s

3

 ! % $ „!#‡

s

0

… $ ‚ Ÿˆ ”%   ‡ !   ‚! ƒ# $ ‚ #„

s

3

 ƒ %#  #

s

4

…%  ! % $ #…  $ ‚ ˆ Ž   ‡ !   ‚! ƒ# $ ‚ #„

s

4

$  ƒ%# #

s

2

… $ ‚ ˆ› ! ! ‚! ƒ# $ ‚ #„

s

2

$ ”™  #!‡ …#$ Š%€!%€‡  #!  %# !~ ‹‡‚ …% 

s

0

→ s

3

→ s

4

→ s

2

→ s

3

ˆ Œ ‹‡‚ ‹‚ …† … …% #  $ #"‡#$    ŸŸ ~Ÿ #„ Ž#!‡ ˆ

s

0

s

1

s

2

s

3

s

4

Ÿ  Ÿ  Œ  %#$ % …   %% ‚  # %!! ‚ˆŒ  ƒ  „ # $ ‚ … ! $% $ „ !$  !%# !~ ‹‡‚ # #$ ! ƒ ! $†ƒ $  ˆŒ #  ! $   #‡# Š#ƒ ˆŒ ! %# !~ ‹‡‚ „#$ 

s

0

→ s

1

→ s

3

→ s

4

→ s

2

→ s

1

$   $ ‚ !

(s

0

, 0)



(s

1

, 1)



(s

2

, 2)



(s

3

, 2)



(s

4

, 3)

ˆ  #… …  … ! %

s

2

„!#‡

s

3

…  %!!  ‚

s

0

→ s

1

→ s

2

 # $ ‚  Š  ! $% $ $  ”™  #!‡ …#$ Š%€!%€ ‡  #!  %# !~ ‹‡‚ …% 

s

0

→ s

1

→ s

3

→ s

2

→ s

1

ˆ ™  %  !  ƒ    … ! $% $   „!#‡  %% ‚ 

s

3

#

s

2

„!#‡  # Ÿ‘ˆ› % ‡ ‡#!†  ‡#%!%! #!% #‚#Š # #!   „!#‡  # %% ‚  ˆŒ ! „#! … ƒ # ! ƒ   ! $† ƒ $ˆŽ Š#ƒ   ‹‡‚ ‹‚…†… …%#  $ # " ‡#$  ~+#„Ž#!‡ ˆ  %    %% $ ‚~! #!‡  ‚ !   ! !## $

s

0

…# Š!% !  ‡‹‡ƒ „#! ‚! ‹#!$ ! €  Š† %!!  ‚ $!  ‹ %# #„ #!‡ˆ”%  ƒ … #‡ ‡  ‚!#% $ # ! $† ƒ $  #! #!‡ …   !  %†%% ‚ !‚ #„  #‡# #  !    % #%%! # …# ‚! ‹~%#‡‚!Š %!!  ‚„!#‡

s

0

ˆ

… ƒ  ‡ˆ ™ ! !‡     # Š ƒ $ˆ ™  %#$ !‡   ‡#$ †  
"  $ „#! ƒˆ‰  … $  %  #‡ %# !~ ‹‡‚ ‡ Š ‡ $   ‡#$  … …% #  %! „ ‡#$ Š†%  ‚!#% $! …  $ # "   %#$ !‡ ˆŒ ‡#$ %#$ Š ‡‚ ‡  $ …   #Šƒ!Š …% ƒ ‡ ‡#!†ˆ"€   !‡  #„  ‚!#% $! † $ ‡‚ ! ‚!  # #„ #!‡ˆ Ž##€ ‚ ‚!  #‡‚ … $ %!Š  #!‡ !„!#‡ „!  ‚ˆ#… ƒ !# % # ! „!#‡  #‡# ! $† $Š† Ž#!‡ Ÿˆ”% # %# !~ ‹‡‚ % #!# Š%€  #… # Š%€!%€  $ ‚~!  !%  ##   Š%€  ˆ "#! #ƒ ! # % # Š#$   !% Š†  ‚‚ ! Š#$ „#!   #„  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ ‚!#$% $ Š† Ž#!‡ Ÿˆ ™  $ %!‚# #„ Ž#!‡ …   „##… „%# 
 "$ 

 ! !  #„ ‚
ˆ”% … #† …
$
$ !‡ # %‡ ! …##Šƒ!Š   % … ‡† ‡   % ! “! 

O(1)

‡ ˆ   "$ "  $ $



s

 ! !   #$ 

cp

· s

  %% ‚ ‚ ‡ 
 „  # %% ‚‘ˆ Œ# ‡‚ ‡   „%# # %  # ! %€ #„   ! %#!$ „#! % 

s

#„  %!!  ‚
  %% ‚  #„
#% $ Š „#!

s

ˆ ž#! % „  %!!  ‚ 

[s

0

, s

1

, s

2

, s

3

, s

4

, s

5

]

$ #†

s

1

, s

4

! %% ‚    %€%#

[⊥, s

1

, s

1

, s

1

, s

4

, s

4

]

… !

⊥

‡  ! # %% ‚  ‘ˆ Œ „%#
 $

 %   Š ‡‚ ‡  $

•



O(1)

~‡ „… %% ‚# #!  $ ‚ #„ %  #  %!!  ‚ˆ Œ# % %€    %#  %†% %!    %% ‚ %†%  # % %€   $ ‚ #„  ! #%%!! % #  %!!  ‚  ‡ !   $ ‚ #„   %% ‚  #  %!!  ‚ …% … % ! %#ƒ !„!#‡  %€ #„ %% ‚  ‘ˆ

•



O(n)

~‡ # !… … !

n

    #„ %!! ‚ˆ   ƒ~ !    %€ #„ %% ‚    ƒ   „ „#!‡# # ƒ#$ ƒ  %!! ‚ˆž#! % „

s→depth

…% … Š ‡ !   $ ‚ #„

s


‘  ! !   $ ‚ #„   %% ‚  #  %!!  ‚ #!„ !  # %% ‚  # … €#… 

s

$# # %#  %% ‚ ‚ˆ Œ# ‚!#ƒ  %#!! %  #„ Ž#!‡ … !#$%   ‹%#!‚%#!~ $ ! # ‚ ! „!#‡    #„  #‡#ˆ %  „   

k

## !#  † ! Š  $ „!#‡

1

#

k

%%#!$ #  #!$ !  …%  † … Š ‚!#%  $ Š†  #!‡ˆ š 

λ : S × S → N

 # % $  Š ˆ‰ % ‹ $

λ

# ‚ ! 

s

0

Š†  

λ(s

0

) = ε

$

λ(s

0

, s

1

, . . . , s

k

) = λ(s

0

, s

1

)λ(s

1

, s

2

) · · · λ(s

k−1

, s

k

)

ˆ ™„

γ

$

γ

0

! …# ‚ ! 

s

0

 …  

γ

  ‹%#!‚%† ‡ ! 

γ

0

# $

γ ≺



γ

0

„

λ(γ)

 ‹%#!‚%†‡ !

λ(γ

0

₎

…  #!$ ! #ƒ !

N

‘ˆ‰  

γ 



γ

0



γ ≺



γ

0

#!

γ = γ

0

ˆ ”%  #!‡ ! ƒ … !‚!#ƒ  %###‚„#! ƒ !ˆ

O K  /, JHJX IM
OO SXHL NO X ;

s→depth := min(length(cp), s→depth)



= >B6dm

cp, s

p  (] ^

s

0

_{∈ E(s)}

( <


`

mce

= ε

(]

(length(cp) + 1 < length(mce))

´

\ D


s

0

_{∈ cp}

\ $
 S O IXI HX'JKLG m

s

0

p \

mce

:= cp.s

0

_;


 7 [
 me1E9

=

@4592B?(]

s

0

_{∈ F}

p\ %  "*i  q(jm

s

0

+ H P XT W S p & [


s

0

_{→depth = ∞}

\ ;: "*i  q(jm

s

0

+e1E9p ;; [


`(s

0

_{→depth > length(cp) + 1)}

^ e@9

6= ε

´

\ ;= "*i  q(jm

s

0

+@4592B?p ; 
 ;< 
 ;D  (] ;$ >1>m@>p   ˜ – & ••  —  * ž! #Š !ƒ       1 !    %!!  ‚
! ‡ ‡‚ ˆ Œ    … # Š % $ #    …#$ %#  %!!  ‚ˆ ” %#$ % % #   ‡€   %!!  ‚ !  !    ‹%#!‚% #!$ !  

cp

1

= s

0

s

1

· · · s

`

Š  ƒ #„  %!!  ‚ „ !  ‡     %  

(s

`

)

$ %#$ !   ‹ %#   ˆŽ„ ! ‚#‚‚

k ≥ 0

  #!‡ ‚ 

s

0

`−k+1

# %!! ‚ˆ›†$ ##„ !#Š 

λ



s

0

`−k+1

 %% #!#„

s

`−k

% 

λ(s

0

`−k+1

) = λ(s

`−k+1

) + 1

ˆ  %   … ƒ #„


cp

2

=

s

0

s

1

· · · s

`−k

s

0

`−k+1

$ #

λ(cp

2

) > λ(cp

1

)

ˆ ‰ %#%$   #!‡ #‚#†‚ !  ‡Š !#„‡‚ ‚ #‡#
€  ƒ      $ % ! %!ƒ % ‡€  !  !ˆ

u

t

š 

s

Š   $  

γ(s)

Š  ‡‚ ‚ Š … 

s

0

$

s

…%  ‡‡    ‹%#!‚%#!$ !ˆ¡Š !ƒ 

γ(s)

 ‚! ‹#„  Š!% #„ ‚ !   %% $ ‚~!  !% #!‡ˆ    

s

 — •— •    —˜ – ˜

mce

• – 

δ(s)

  —˜     —

cp

— ˜ &   • —˜˜ 

DFS



MIN(s)

  

δ(s) = γ(s)

 * ›† $ # #„

γ(s)

 … ƒ

γ(s) 



δ(s)

ˆ Ž‡ 

γ(s) 6= δ(s)

$  

γ(s) = γ · t · γ

0

… !

γ

  #  ‚! ‹ #„

γ(s)

#! $ #
$!  #!‡ˆ ¡Š !ƒ 

γ(t) = γ · t

ˆ Ž„ ! ‚

s

##


t

 ‹‡ $   %% #!#„   #„

γ

ˆ ”%
$  ‡‚†     %% $ˆ‘ ”%

γ(s)

 ‡‚     1 „#!

s

0

_{= t}

„ˆ›† $ # #„

t

  Š “       ŸŸ‘ ƒ # „ˆ™ ‚!%!

t→depth



t

‚ …  ‹%#!‚%† ‡ ! 

γ · t = γ(t)

  %#!$%# …  $ # #„

γ(t)

ˆ

u

t

š 

S

Š     #„ %% ‚ ‚ˆ”%   ‹%#!‚%#!$ !  #… % $    “ %

(γ

i

)

0≤i≤k

„##…

(

γ

0

= min

≺



S

γ

i+1

= min

≺



{γ ∈ S | |γ| < |γ

i

|}

… !

|γ|

$ #    #„

γ

ˆ›†%#!%#   ‡ 

γ

k

#„ ~ “ %  %% ‚‚#„‡‡ ˆ #   “ %

γ

0

, . . . , γ

k

 %!     ‹%#!‚% #!$ ! $ $ %!    ˆ    

γ = γ

0

_{· s}

  —˜     — — ˜ &  — —˜˜ 

DFS



MIN(s)

— —••– —  —˜– •  — ˜ –   

µ

  —˜ 

mce

— •  ••– —  ••

δ = min

≺



{ρ | ρ =

γρ

0

_{, ρ}

• —  —

|ρ| < |µ|}

  

δ

•    —˜ —••   

mce

 * ”%  #!‡   %! „ ‡#$ „ !  %

DFS



MIN(s)

  ! ~ ‡   ‡#$     # 

s

 # ‚#‚‚ $ „!#‡
ˆ™  ‡#$   ƒ ‚!#% $   !  %!!  ‚ Š %#‡  # ! 
$  ‘#!  %†%  „#$  1‘ˆ ™$ $ „   %#$# ! ‡       …† %% $ˆ‰ % #… %#%$ %   “ % #„ƒ €  Š†
„ ! %
#   ‘  %! ˆ

u

t

   • •• —˜ • —     ——  ˜

mce

     ˜– & —

ε, γ

0

, . . . , γ

k

 *  !†ƒ #„
$ ! %% ‚‚ˆ % „ ! #%# !~ ‹‡‚  #!‡ $ ‚ …  ‡‚† ƒ „#!
$…%  %#!! %ˆ  #% #    !% ! ‡ Š#$ $ Š†    #„  #!  %% ‚ ‚„#$ #„!  ‘ˆ”% # $Š#ƒ  %!! ‚ % #† %!     ‹%#!‚%#!$ !‘ %! %!ƒ %  “ % #„‚ $#
$  % !†Š “ % #„

γ

0

, . . . , γ

k

ˆ‰ #…  #  ‡  #„   “ % % Š ‡ $ˆ Ž‡   ! ‹   # %% ‚ ‚ˆ‰ #…   ! %% ‚‚  ‹%#!‚%#!$ !

γ

0

 !ƒ  $ #
$ $!  ‹ %# #„ Ž#!‡ ˆ š 

γ

0

= δ

0

δ

1

rδ

2

 … !

δ

0

   $ #„

γ

0

 … !

δ

1

rδ

2

  %†%  $ … !

r

   %% ‚  ˆŒ #  $ ‚% $  ž! ˆ ‰ %‡ 

γ(r) = δ

0

δ

1

r

ˆ ™$ $ … ƒ

γ(r) 



δ

0

δ

1

r

Š† $ # #„

γ(r)

ˆ ™„

γ(r) 6= δ

0

δ

1

r

    !

γ(r)

  !% ‚! ‹ #„

δ

0

δ

1

r

 …%  ‡‚#Š %

r

$#  # ‚‚ !

δ

0

δ

1

’#!Š† $ # #„  ‹%#!‚% #!$ !  ! ‹  !#

(x, y)



γ(r)

$

(u, v)



δ

0

δ

1

r

% 

γ(r) = γ · (x, y) · γ

0



δ

0

δ

1

r = γ · (z, t) · δ

0

…

λ(u, v) < λ(z, t)

ˆ ‰ $ $% 

γ(r)δ

2

δ

1

r ≺



δ

0

δ

1

rδ

2

= γ

0

ˆš 

t

Š  !! ‚  $ #

γ(r)δ

2

δ

1

r

ˆ”%

s

0

r

γ(r)

δ

0

δ

1

· r

δ

2

` ` *.-E.-b

γ

0

r

! ‚  $

t

… ~$  $ˆ”%

γ

0

%% ‚‚

δ

2

δ

1

‡‚ # ! #%%!! % #„

t

# Š 

γ(r)

$  %#$ #%%!! % 

δ

2

δ

1

r

ˆ % 

γ(r)δ

2

δ

1

r = γ(r)γtγ

0

… %

γ(r)γt

 %% ‚ ‚ %#!$%#…

γ(r)γt ≺



γ

0

= min

≺



S

ˆ  % 

γ

0

= γ(r)δ

2

δ

1

r

ˆ ”%

γ(r)

  ‡  ‚ „!#‡

s

0

#

r

   ‹%#!‚% #!$ !   ƒ $ Š†  #!‡ Š† š ‡‡ ˆ ”%

r

  #!‡ …%  #  %! „‡#$ $ $%#ƒ !

γ

0

Š† š ‡‡ ˆ Ž‡ #… 
$  Š    %% ƒ † #

γ

0

, . . . , γ

i−1

Š†  #~ !‡ …

i ≤ k

ˆ ‰ #…   #!‡ $

γ

i

   ‹ %# !~ ‹‡‚ ˆ Ž‡ Š† %#!$%#   ! ‹   #

γ

i

…%  # ƒ $ Š† #!‡ $  

t

Š  !#„    

γ

i

= γ

i

0

· t · γ

i

00

 … !
€   ƒ

γ

0

i

$

DFS



MIN(t)

 # % $ „ !  ‡ ˆ ”%
$  # ‡‚† Š†  $%# †‚# 

γ

0

 Š  „#$‘ $

|γ

i

| < |γ

i−1

|

      %% $ #

s

0

_{= t}

ˆ   ‹

t

$# # %#

γ

0

i

#~ !… 

γ

00

i

…#$ Š ‡‚† $
$ …#$ Š ‚$ $ %#!! %†ˆŽ Š “   „ %  ‚!%! ‡#$  # %! „ $

t

… ! $†ƒ $ˆ ™„ $ ‚ #„

t

#

γ

0

i

t

 ‡ !  #! $ $ ‚

t→depth

       ŸŸ …#$ %% $ $

DFS



MIN(t)

…#$ Š % $ˆ  % 

t

…ƒ $ …  $ ‚ ‡ !

|γ

0

i

t|

#  ‚

δ

„!#‡

s

0

#

t

 % 

δ ≺



γ

0

i

· t

$

|δ| < |γ

0

i

· t|

ˆ ‰ $ …# %  %%#!$ …  !

t

Š # #   $ #!#  ##‚ #„

γ

i

  ž!   $ 1‘ˆ

s

0

t

γ

0

i

δ

`
`*.56c@469

t

1- cd9d94E 12

γ

i

™  ! % 

δγ

00

i

  %% ‚ ‚ #„ ‡ ! 

γ

i

  $    ‹%#!‚% #!$ !‘ %#!$%#ˆ  ”%  „##…‡‡ $ † „!#‡  $ # #„

(γ

i

)

i

  !  # %% ‚ ‚ Š# ‡ ! 

γ

i

  $    ‹%#!‚%#!$ !ˆ‘ Œ ! „#! 

t

Š ##  %†% #„

γ

i

 ž! 1‘ˆ™  % 

δ

„##… $ Š†  %†%   ‡ ! 

γ

i

 Š#   ‹%#!‚%#!$ ! $   #!$ !ˆ % „%% ‚‚…   %#!$%#ˆ¡ !… 

s

0

t

γ

00

i

δ

 ` ` i9@1-E @469

t

1- cd9@g@?9 12

γ

i

‡‚  ! #‡  ‚‚ !Š# 

δ

$ ##‚ˆŽ!  „#!  ‚!##„ 

γ

0

 „#$ … $  %% ‚ ‚ ‡ ! 

γ

i

 Š#   ‹%#!‚%#!$ !$  #!$ !…%%#%$  ‚!##„ˆ

u

t

u  vww}yv vz x} vw x {w Œ #!‡ ‚!   $  ” %#   “ %  $ ƒ %   ‡# …%  ƒ … #„  ‡!€ Ÿ‘  #!$ ! # $  ! %# !~ ‹‡‚ ˆ Œ  %#$ #!‡ #  # ! $ $  #!  %# ! ‹‡‚   ‹‚  #„ ! ƒ   ‡% ‡#! #„ ˆ ™  …#! %   ‡ %#‡‚ ‹† ‹‚# ˆ™ #!$ !#   Š  #„ …#… ! …  ! #!‡   ! %# !~ ‹‡‚  „#$ „ †‘ $   …% #   %#$ #!‡ # $  #!  %# !~ ‹‡‚ ˆ ž #!  Š „#! …% #  ‡‡# #!‡ … ƒ # ‚#‚  ‹ %# %€   ! #$ ‘%% ‚   ! % $ˆ ™  ‚!##†‚  $##Š ‹‚ !‡  ! ‚!   $Š #…… %†  $ ”™  #!‡ „#! $  ! %# !~ ‹‡‚  $ #„ #! #!‡ ‚!   $ ” %# ˆŒ  … …% # #! ‡‡# #~ !‡ #„ ” %# ˆŒ ! # ‡#! ~$ ‚ % ƒ # Š %!! $ # # ”™  %#$ # ‡‚ ‡  #! #!‡ #„ ” %#  $ #! ‚!‡!† # … # ‡‡   #„ %# !~ ‹‡‚ ˆ‰ ! %!! † ‡~ ‚ ‡   #!‡ #„” %#  $ %   …† ‡#! %   ”™  # ‡#! ‡‚!#ƒ ‡ % Š ‹‚ % $ˆ ™  †%!# $ ‚!#$% Š …   ‡#$  $  šŒš #‡# Š Š†”™  !  !%  !# Š …  !##„ ‡#$ $ !# #„  šŒš #‡#  1‘ˆ Œ ! „#!  %% ‚ ‚ ! #„ #$$   $ …  ‡‡   #„  %# !~ ‹‡‚ … %    Š#$ # "$ 

$   $ #„ "$ 

$  „#!  !Š!!† ›œ% #‡#ˆŒ!ƒ#‚‡# ‡‚#!„#!#!#!‡ % ‡† ! ƒ  “ #„ ˆ ‰ ƒ %#$% $ ‹‚ !‡  „#! ƒ!# #!‡ $ ‚ %%#ˆ ‹‚ !‡ „#! …%  ‡#$  $# # „† ‚ %%# $ %# !~ ‹‡‚  ‹ !  ! $  ŒŠ Ÿˆ™  % … %#‡‚! #! #!‡ … 
…% !  # ! $%   #„  %# !~ ‹‡‚ ˆ  !† 
$#  # $  #!  %# !~ ‹‡‚ … … ƒ ‚!#ƒ $  ” %#  #!#!‡ $# ˆž #! % ‹‚ !‡ … #… $$# #   #„  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ „#$  ‡Š ! #„     ƒ $ Š† #!‡   #! $‘ˆŒ „#!‡#  ‡% $‘

! ‘ƒ $%# !%! ‡  $ˆŒ ‹ %#‡ …%#$% $ !#†‚!#‚#!## ‡Š !#„ ‡% $ˆ‰   ‹‚ % $ #!#!‡  $# ! ƒ‡#!  ”™  # #!$ !# ! †$  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ ˆ  /,
K  O LJ P X @1B-c95C9F4e>?9 ?9-bcd DD ;& 39c9561- ;6c4c966c159E %: 7D 6c4c96e4c@d9E ;&$% &<$& c.e9 :0::6 :0 :<:6 @1B-c95C9F4e>?9 ?9-bcd  ;& 39c9561- =6c4c966c159E %: %: 6c4c96e4c@d9E ;%& <=<< @1B-c95C9F4e>?9 ?9-bcd ;7 =; "9@oo95 ; 6c4c966c159E D& <;7

6c4c96e4c@d9E <%D&

2.5 ∗ 10

6

c.e9 :e:0=7:6 ;=0%D:6 @1B-c95C9F4e>?9 ?9-bcd &7 ;7 ge4- 6c4c966c159E ;= ;D7 6c4c96e4c@d9E 7%& <:&; ^Z `F>95.e9-c6215 /45.1B64?b15.cde6nd9- 4@1B-c95C9F4e>?9 E1969F.6c Œ ! ! …#ƒ !##„  !#$ €€ !#!‡ˆŒ †#†$ ! Š†  #!$ ! …%  !# ! %#$ ! $ Š† ž” #!‡ˆ‰ #Š $ Š ƒ !#Š† ! #!$ ! Š† $ !##„ šŒš~ #‡ˆŽ… %   ‡‚%# % %† ‡‚#!Š# „#! #! #!‡ $ ”™  # ˆ  yv|{ }yv vz yv xy  Œ ‡ %#!Š# #„  ‚‚ !   #!‡ ‚!   $  ” %#  …% $  #!  %% ‚ ‚   ›œ% #‡#ˆ ™  Š  ‡~ ‚ ‡  $ $  %#‡‚!# … ”™  #!‡ % !† $ ‡#!   ‚ !#!†ˆ‰ # ‚!#‚# $  #!‡ # $  %# !~ ‹‡‚  …# !† # ‡‡  …% ‡#! %   ”™ # ˆ™ ƒ#$  % !† ! ƒ #„   $  % $  %# !~ ‹‡‚ ‡#! “%€†ˆ ™ # $  #! ! %# !~ ‹‡‚ Š %  $#  #  # ƒ  %†% !„!#‡ %% ‚  ˆ‰ ‚# ‡‚ ‡ #!‡ $ # %#‡‚!  ‹‚ !‡ † … ”™ ˆ ž ! ! #!‡ $  %    %# Š ‚!#„ %% ‚ ‚ Š%€  ‘ˆ %     $ #„ ”™  # Š „#!  !% „#!  ‡‡ %# !~ ‹‡‚ #$ ‡‚!#ƒ  ‚ !„#!‡% #„ #!  %#$ #!‡ˆ

! ƒ ‡†‡ ˆŽ   !#„#!‡‚!#ƒ  % %†# $  % ‡#!    $ # Š ! ƒ $ˆ ‹‚ !‡  ƒ #…   #!$ !  …% !# ! %#$ ! $ Š† ž”#!‡ % !#† ‚ !„#!‡% ˆŒ †# ‹‚ˆ Ž‡   šŒš „#!‡  $ %!Š $ Š†  #‡ Š #… …% #† $ ! Š†  #!$ !  …% !# „!#‡  Ÿ … Š %#$ ! $  ž” #!‡ˆ ‰  ! #‡#  …# ‡#$  #„  † ‡ … Š ‹‚#! $ %  ##‚ #  Ÿ  ƒ $ !ˆ ¡  %#!!†   %#$ #‡# ‡† $  %# !~ ‹‡‚ ‡‡ $ †ˆ™ ‡ #!$ ! !##„ šŒš #‡# #  %% ‚  ! ƒ $ ##  ‚#Š ƒ ##$! ˆŒ#$Š „! !ƒ  $$ #‡ $ˆ Ÿ     #$ Ÿ   #$   #$ Ÿ  Ÿ   #$    #$   #$ ž†  …#$ Š  !  # $ …† # ‡‡    #„  %# !~ ‹‡‚ … ! ‚ % #  ‡#$  $  šŒš ‚ %%#ˆ™ $ ‹ #!‡  !% „#! %# !~ ‹‡‚  „#!  ‡#$  $ — •  —–— #% $ …  šŒš ‚ %%#ˆ ™  #„   %   ‚ %% #‡#  # #‚‡ „#! $  #! %# !~ ‹‡‚ „#!  šŒš„#!‡ˆ 
xv|

;0 hd1e46 0 815e9-+ 8?.15E ic9.-+ 1-4?E '0 ./96c+ 4-E 8d45?96 

0 '9.69561-0    0 q@54nC.?? .bd95[email protected]+=::;0

=0 [email protected]+ q045E.+30a1?>95+4-E q04--4o4o.60 q9e15g 9@.9-c4?b1C 5.cde6 215 cd9 /[email protected] 12 c9e > 154? > 51>95c.960 (-     !"#$#%&"'&( )+/1?Be912 *+ , ,-*+- .--,-+ > 4b96=:7/=;%0)e950q4cd0i1@0+351/.E9-@9+(+;&&;0 0 3046c.- 4-E "00EE1BF0 *46c 'h' c1 @d. 4Bc1e4c4c54-6?4c.1-0 (- 0 955g+ 081e1-+4-E )0*.-o9?+9E.c156+1  2  (3 2      4 ! 4 ()+-Bel95=;:= .- '9@c0j1c9681e>[email protected]+>4b96D/$D0 i>5.-b95+=::;0 <0 0 1?se4--0 hd9 e1E9? @d9@o95 6>.-0 555 .-  ,2# 5+ =mDp=7&/=&D+ q4g ;&&70 i>[email protected]? .66B9 1- *15e4?q9cd1E6.- i12cn459 354@c.@90 D0 01?se4--0 . ,1"   %0 )EE.61-Ca96?9g+=::0

$0 01?se4--+"039?9E+4-E q04--4o4o.60 0- -96c9E E9>cd f56c6945@d0 (- 1 -, ,1" 6%+ Bcb956+ 3.6@4c4n4g+ jA+ ;&&$0 )e95.@4- q4cd9e4c.@4? [email protected]

70 01?se4-- 4-E )-B7 3B5.0 ) e.-.e.s9E 4Bc1e4c1- 59>5969-c4c.1- 12 594@d4l?9 6c4c960 ,2# .2 . 8 .2+

=

mp=7:/=7%+j1/9el95;&&&0 %0 39c9561-0 qgcd64l1Bccd9 eBcB4? 9F@?B6.1- >51l?9e0 (- 2-1-9+ ;&%;0

&0 q0045E.4-E30 950)-4Bc1e4c4Ccd9159c.@4>>514@d c14Bc1e4c.@>51b54e /[email protected] (- 1- ( ,8-  9   ,+ >4b96 =/<<+ 84el5.Eb9+AB-9 ;&%$0