Fonctions Sinus et Cosinus
I) PARITE ET PERIODICITE :GENERALITES
Dans tout ce qui suit, on note 𝒇 une fonction définie sur une ensemble D f et C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (𝑶 ; 𝒊⃗ , 𝒋⃗) et 𝑻 un réel strictement positif.
METHODES
Pour étudier la parité d’une fonction 𝑓 voici comment procéder :
- On vérifie que son ensemble de définition est centré en 0, c'est-à-dire que si 𝒙 ∈ D f alors (−𝒙) ∈ D f .
o Si D f n’est pas centré en 0 alors la fonction n’est ni paire, ni impaire.
o Si D f est centré en 0 alors aller au point suivant.
- On calcule rapidement 𝑓(1) et 𝑓(−1) afin de savoir si la fonction 𝑓 est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
o Si 𝑓(1) ≠ 𝑓(−1) alors on peut en conclure que la fonction n’est ni paire, ni impaire.
o Si 𝑓(1) = 𝑓(−1) ou 𝑓(1) = −𝑓(−1) alors aller au point suivant.
- On cherche alors à exprimer 𝒇(−𝒙) en fonction de 𝒇(𝒙), pour savoir si 𝒇 est paire ou impaire.
• 𝒇 est une fonction PAIRE lorsque D f est centré en 𝟎 et pour tout réel 𝒙 de D f
𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙).
• 𝒇 est une fonction IMPAIRE lorsque D f est centré en 𝟎 et pour tout réel 𝒙 de D f, 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙).
• 𝒇 est une fonction PERIODIQUE de période 𝑻 lorsque, pour tout réel 𝒙 de D f, 𝒙 + 𝑻 ∈ D f
et 𝒇(𝒙 + 𝑻) = 𝒇(𝒙).
On dit aussi que 𝒇 est 𝑻 – périodique.
DEFINITIONS
• Si 𝒇 est une fonction paire, alors C f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Si 𝒇 est impaire, alors C f est symétrique par rapport à l’origine du repère.
• Si 𝒇 est 𝑻 – périodique, alors C f est invariante par translation de vecteur 𝑻 𝒊⃗. PROPRIETES (ADMISES)
EXERCICES
Étudier la parité des fonctions suivantes :
𝑓(𝑥) = 4𝑥3− 8𝑥2+ 7 𝑔(𝑥) = 5𝑥4 − 7𝑥2 + 5
ℎ(𝑥) =4𝑥 − 2
𝑥 − 3 𝑖(𝑥) = 7𝑥 𝑥2+ 16
EXERCICES
Montrer que si 𝑓 est paire sur ℝ, périodique de période 5 et strictement décroissante sur [0,5 ; 2], alors 𝑓 est strictement croissante sur [3 ; 4,5].
II) FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
DEFINITION
A tout réel 𝑥, on associe un point unique M du cercle trigonométrique de centre O dont les coordonnées sont
𝑴(𝐜𝐨𝐬 𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒙).
Les fonctions 𝑥 ⟼ cos 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ⟼ sin 𝑥 sont ainsi définies sur ℝ
• Si 𝒇 est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur ℝ+∩ D f ou ℝ−∩ D f .
• Si 𝒇 est une fonction périodique de période 𝑻, alors il suffit de l’étudier sur l’intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude 𝑻 avec D f .
• Si une fonction définie sur ℝ est paire (ou impaire) et périodique de période 𝑻, alors il suffit de l’étudier sur [𝟎 ;𝑻
𝟐].
PROPRIETES
• ∀ 𝓍 ∈ ℝ, cos(−𝓍) = cos 𝑥 donc la fonction cosinus est paire d’où sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• ∀ 𝓍 ∈ ℝ, sin (−𝓍) = − sin 𝑥 donc la fonction sinus est impaire d’où sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
THEOREME
• D’après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, on a :
𝔁⟶𝟎𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒙 = 𝟏 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦
𝔁⟶𝟎
𝒄𝒐𝒔 𝔁 − 𝟏
𝒙 = 𝟎
CONSEQUENCE : on étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2 𝜋, par exemple : ] − 𝝅 ; 𝝅]
•RESOLUTION D’EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
→ cos 𝑥 = cos 𝑎 ⟺ 𝑥 = 𝑎 + 2𝑘 𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 + 2𝑘 𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ.
→ sin 𝑥 = sin 𝑎 ⟺ 𝑥 = 𝑎 + 2𝑘 𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − 𝑎 + 2𝑘 𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 ∈ ℤ.
EXERCICES
1) Résoudre dans ℝ l’équation (𝐸) : cos 𝑥 = −0,5.
2) Résoudre sur [−𝜋 ; 𝜋] l’inéquation cos 𝑥 ≤ −0,5.
•DERIVATION
THEOREME
THEOREME
DEMONSTRATION
On revient à la définition du nombre dérivé en 0.
• (sin 0)′= lim
𝓍⟶0
sin 𝑥 − sin 0
𝑥 = lim
𝓍⟶0
sin 𝑥 𝑥 Or on sait que (sin 0)′= cos 0 = 1 donc lim
𝓍⟶0
sin 𝓍 𝓍 = 1 De même, on a
• (cos 0)′= lim
𝓍⟶0
cos 𝑥 − cos 0
𝑥 = lim
𝓍⟶0
cos 𝑥 − 1 𝑥 Or on sait que (cos 0)′= −sin 0 = 0 donc lim
𝓍⟶0
cos 𝓍 − 1
𝓍 = 0
• Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et on a
(𝐬𝐢𝐧 𝒙)′= 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒆𝒕 (𝐜𝐨𝐬 𝒙)′ = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙
• ∀ 𝓍 ∈ ℝ, cos(𝓍 + 2 𝜋) = cos 𝑥 donc la fonction cosinus est 𝟐 𝝅 – périodique.
• ∀ 𝓍 ∈ ℝ, sin (𝓍 + 2 𝜋) = sin 𝑥 donc la fonction sinus est 𝟐 𝝅 – périodique.
THEOREME
•COURBES REPRESENTATIVES
Fonction Cosinus
Fonction Sinus
•EXERCICES :
1) Étudier une fonction trigonométrique.
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par
𝑓(𝓍) = cos(2 𝓍) −1 2 1) Etudier la parité de 𝑓.
2) Démontrer que la fonction 𝑓 est périodique de période 𝜋.
3) Etudier les variations de 𝑓.
4) Représenter graphiquement la fonction 𝑓.
𝝅 𝟐
𝝅
−𝝅 𝟐
−𝝅
−𝟐𝝅 𝟐𝝅
𝒑é𝒓𝒊𝒐𝒅𝒆 𝟐𝝅
𝝅 𝟐
−𝝅 𝝅 𝟐
−𝝅 𝟐𝝅
−𝟐𝝅
𝒑é𝒓𝒊𝒐𝒅𝒆 𝟐𝝅
2) Étudier la fonction tangente.
3)
4)
5)
