1 S’entraîner à déterminer les éléments propres
Exercice1.
Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphismef deR3 canoniquement associé à M =
3 0 0
−5 1 1
−1 0 0
.
Exercice2.
Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphismef deR3 canoniquement associé à M =
3 −1 3
−1 0 3
−1 1 −1
.
Exercice3.
Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphismef deR3 canoniquement associé à M =
−1 1 0
0 1 0
2 −1 1
.
Exercice4.
SoitM =
−1 0 1 0 1 0
−2 0 2
.
1. CalculerM2 et en déduire un polynôme annulateur deM.
2. Déterminer les valeurs propres deM.
3. Montrer queMest diagonalisable.
4. Donner une matrice inversiblePtelle queP−1MPsoit diagonale.
5. Que vautMn pourn∈N∗? Et sin∈Z\N? Exercice5.
SoitM =
1 2 2 0 2 1 0 −1 0
.
1. CalculerM2 en fonction deMet I3. En déduire un polynôme annulateur deM.
2. Déterminer les valeurs propres deM.
3. Étudier siMest diagonalisable.
Exercice 6.
SoitM =
0 1 0 1 2 −1 0 2 0
.
1. Déterminer les valeurs propres deM.
2. Étudier siMest diagonalisable.
3. Le polynôme Y
λ∈Sp(M)
(X−λ)est-il annulateur deM? 4. Vérifier queP = X(X−1)2 est annulateur deM.
5. Pourn∈N∗, déterminer le resteRn de la division euclidienne deXn parP.
6. En déduireMn pour n∈N∗. Exercice 7.
SoitM =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
1. Étudier siMest diagonalisable.
2. CalculerM2.
3. En déduireMn en fonction deMpourn∈N.
4. La formule obtenue est-elle encore valable pourn∈Z? Exercice 8.
SoitM =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
.
1. Étudier siMest diagonalisable.
2. CalculerM2 en fonction deMetI3. En déduire un polynômePannulateur deM.
3. Déterminer le reste de la division euclidienne deXn parP.
4. En déduireMn en fonction deMpourn∈N. Exercice 9.
SoitM =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
.
1. Étudier siMest diagonalisable.
2. CalculerM2.
3. En déduireMn en fonction deMpourn∈N.
4. La formule obtenue est-elle encore valable pourn∈Z?
Exercice10.
Soitf l’endomorphisme de E =R3 canoniquement associé la matrice M =
2 1 1
0 1 −1 0 −1 1
.
1. Déterminer une base deEdans laquelle la matrice def est diagonale.
2. CalculerMn pour n∈N.
3. Mest-elle inversible ? La formule précédente est-elle valable pour tout ndeZ? Exercice11.
SoitM =
2 1 1
0 1 −1 0 −1 1
.
1. CalculerM2 et en déduireMn pour n∈N.
2. Donner un polynôme annulateur deMet en déduire les valeurs propres deM.M est-elle inversible ?
3. Déterminer une matriceP inversible telle queP−1MPsoit diagonale.
Exercice12.
SoitM =
1 −1 0 1 −2 1 1 −4 2
.
1. Déterminer les valeurs propres deMdansRet dansC. 2. Mest-elle diagonalisable dansR? Et dansC?
3. SoitP le polynôme P(X) = X3−X2+ X−1. Montrer que P est un polynôme annulateur deM.
4. Soitn∈N. Déterminer le reste de la division deXn parP(X).
5. En déduireMn pourn∈N. Exercice13.
Soit(un)n∈
N la suite définie par un =n pourn∈[[0 ; 2]]et un+3 = 2un+2+un+1−2un pourn∈N.
1. On poseUn =
un+2
un+1
un
pour n∈N. Montrer qu’il existe une matriceM telle que pour toutndeN,Un+1= MUn.
2. Montrer queMest diagonalisable et qu’il existe trois matricesA,BetCtelles que pour toutn∈N,Mn= A + 2nB + (−1)nC.
3. En déduire l’existence de trois réels tels que pour toutn∈N,un=a+b2n+c(−1)n. Expliciterun en fonction den.
2 Utilisation de la diagonalisation
Exercice 14. Quelques astuces classiques
1. SoitM une matrice deMn(K). Montrer 0 une valeur propre si, et seulement si, Mn’est pas inversible.
Dans ce cas, exprimerdim(E0)en fonction du rang de M.
2. Soit M une matrice de Mn(K). On suppose M diagonalisable. Montrer que
Tr(M) = X
λ∈Sp(M)
λ×dim Eλ.
3. SoitMune matrice deMn(K)dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut s. Montrer quesest une valeur propre en précisant un vecteur propre associé às.
4. Application
Sans utiliser la réduction deM−λI3ni chercher de polynôme annulateur, montrer que pour toutadeR,
M =
1 2 −1
a 1−a 1
1 2 −1
est diagonalisable si, et seulement sia6=−1. Préciser ses valeurs propres.
Exercice 15. Diagonalisabilité d’une matrice à paramètres Soitaet bdeux réels et
M =
1 1 a 1 1 b 0 0 2
.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur aet b pour queM soit diagonalisable.
Dans ce cas, préciser ses éléments propres.
Exercice 16. Endomorphismes nilpotents
SoitEde dimension finienetuun endomorphisme non nul deE. Soitkun entier naturel.
On suppose queuest nilpotent d’ordre k, c’est-à-dire que : uk= 0L(E) etuk−16= 0L(E). 1. a)Montrer que0est l’unique valeur propre deu.
b)uest-il diagonalisable ?
2. a)Soitv un vecteur deEtel queuk−1(v)6= 0.
Montrer que la familleL= (v, u(v), . . . , uk−1(v))est libre.
b)En déduire quek6n.
c) On suppose quek=n. Donner la matrice représentative deudansL.
Exercice17. Endomorphisme de rang 1
SoitEde dimension finienet f un endomorphisme deEde rang 1.
1. Montrerf−idouf+idest bijectif.
2. SoitMreprésentative def dans une base quelconque de E. Montrer que sif est diagonalisable, alors Sp(f) ={0,Tr(M)}.
Exercice18. Rang et trace d’un projecteur
1. SoitEde dimension finien,pun projecteur deEetPune matrice représentative dep.
Montrer que rg(p) =Tr(P).
2. Application aux projecteurs de même rang
SoitEde dimension finie n,B une base de Eet pet q deux endomorphismes de E.
a)On suppose quepetqsont de même rang.
Justifier queMB(p)etMB(q)sont semblables.
En déduire qu’il existe deux endomorphismesf et g de E tels que p=f ◦g et q=g◦f.
b)On suppose qu’il existe deux endomorphismes f et g de E tels quep=f ◦g et q=g◦f.
Justifier que rg(p) =Tr(MB(p)).
Montrer quepetq ont le même rang.
Exercice19. Diagonalisation d’une matrice creuse - I Soitn>3 etAla matrice définie par :
A =
1 . . . 1 1 0 . . . 0 ... ... ... 1 0 . . . 0
, soitai,j =
(1 sii= 1ouj= 1 0 sinon
1. Justifier queAa au plus3valeurs propres distinctes.
2. Pour quelle(s)λnon nul le systèmeAX =λXpossède-t-il des solutions non nulles ? 3. Montrer queAest diagonalisable.
Exercice20. Diagonalisation d’une matrice creuse - II Soitn>3 etBla matrice définie par :
B =
1 . . . 1 1 0 0 ... ... 0 0 ... 1 . . . 1
, soitbi,j =
(1 sii= 1ouj= 1oui=nouj= 1 0 sinon
1. Justifier queBa au plus3 valeurs propres distinctes.
2. Pour quelle(s)λnon nul le systèmeBX =λXpossède-t-il des solutions non nulles ? 3. Montrer queBest diagonalisable.
Exercice 21. Sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable DansE =R3 muni de sa base canoniqueB, on considère l’endomorphismef tel que
M =MB(f) =
−1 2 2
−1 3 3 1 −2 −2
.
1. Calculer M3 puis montrer que f est diagonalisable en précisant ses sous-espaces propres.
2. Les sous-espaces{0}et Esont-ils stables parf?
3. Montrer que les seuls sous-espaces de dimension1 stables par f sont ses 3 sous- espaces propres.
4. Montrer que, siλetµsont deux valeurs propres distinctes def, alorsEλ⊕Eµ est stable parf.
5. a)SoitFun sous-espace stable parf de dimension2. Soitu−1 un vecteur propre de f associé à la valeur propre−1. On suppose queu−16∈F.
i.Fet E−1 sont supplémentaires.
ii.Montrer queu0, puisu1 appartiennent àF.
iii.En déduire que F = E0⊕E1.
b)Déterminer tous les sous-espaces propres de dimension2 stables parf.
6. Combien de sous-espaces deR3 sont-ils stables parf?
Exercice 22. Sous-espaces stables d’un endomorphisme non diagonalisable Soitf l’endomorphisme deR3canoniquement associé à
M =
0 1 1 1 0 1 0 0 1
.
1. Déterminer les éléments propres def et justifier quef n’est pas diagonalisable.
2. Montrer que f admet exactement 1 sous-espace stable de dimension 0, 2 sous- espaces stables de dimension 1 et 1 sous-espace stable de dimension 3 que l’on précisera.
3. On note aussif∗l’endomorphisme canoniquement associé à tM.
On rappelle que siXetYsont les colonnes représentant canoniquement les vecteurs les vecteursxet y deR3, alorshx, yi= tXY.
Montrer que :∀(x, y)∈R3, hf(x), yi=hx, f∗(y)i.
4. SoitF un sous-espace de dimension 2 stable parf (s’il en existe). On munit R3 du produit scalaire canonique et on appelleuun vecteur non nul tel que
F⊥=Vect(u).
a)Justifier l’existence d’un tel vecteur u.
b)Montrer que :∀x∈F, x⊥f∗(u).
c) En déduire que uest un vecteur propre def∗.
5. Soituun vecteur propre def∗. Montrer que Vect(u)⊥
est un sous-espace stable parf de dimension2.
6. Déduire des deux questions précédentes les sous-espaces de R3 de dimension 2 stable parf.
3 Quelques Réponses.
Exercice 1.
Sp(f) ={0; 1; 3}, E0=Vect
0 1
−1
,E1=Vect
0 1 0
etE3=Vect
−3 8 1
,
f diagonalisable.
Exercice 2.
Sp(f) ={−2; 2}, E−2=Vect
1 2
−1
etE2=Vect
−1 2 1
,
f non diagonalisable.
Exercice 3.
Sp(f) ={−1; 1}, E−1=Vect
1 0
−1
etE1=Vect
1 2 0
,
0 0 1
,
f diagonalisable.
Exercice 4.
M2= M,P = X(X−1)annuleM, Sp(M) ={0; 1}, E0=Vect
1 0 1
etE1=Vect
1 0 2
,
0 1 0
,
Mdiagonalisable.
Mn= Mpour n>1etMn n’existe pas pour n6−1.
Exercice 5.
M2= 2M−I3,P = X2−2X + 1 annuleM, Sp(M) ={1}, E1=Vect
1 0 0
0 1
−1
,
Mnon diagonalisable.
Exercice 6.
Sp(M) ={0; 1},
E0=Vect
1 0 1
etE1=Vect
1 1 2
,
Mnon diagonalisable.
M(M−I3)6= 0maisM(M−I3)2= 0.
Rn= (n−1)X2+ (2−n)X. N.B. : on écritXn= X(X−1)2+aX2+bX +c qu’on évalue en0et 1pour obtenirc= 0, a+b= 1. On dériveXn= X(X−1)2+aX2+bX +c et on évalue en1, car1 est racine double deP. On obtient alors2a+b=n.
Mn = Rn(M) = (n−1)M2+ (2−n)M.
Exercice7.
Sp(M) ={0; 3}, E0=Vect
1 0
−1
,
0 1
−1
etE3=Vect
1 1 1
.
Mdiagonalisable.
M2= 3M, pourn>1,Mn= 3n−1Met pourn6−1,Mn n’existe pas.
Exercice8.
Sp(M) ={−1; 2}, E−1=Vect
1 0
−1
,
0 1
−1
etE2=Vect
1 1 1
.
Mdiagonalisable.
M2= M + 2I3, P = X2−X−2 annuleM.
Xn = Q(X)P(X) +anX +bn évaluée en X = −1 et X = 2 donne (−1)n = −a+b et 2n= 2a+b. On en tirean et bn en fonction den.
PuisMn= Q(M)P(M) +anM +bn=anM +bn donne un calcul explicite de Mn. Exercice9.
Sp(M) ={−1; 1}, E−1=Vect
0 1
−1
etE1=Vect
1 0 0
0 1 1
,
Mdiagonalisable.
M2 = I3 donne Minversible avec M−1 = M. Ainsi Mn = Msi n impair etMn = I3 si n pair.
Exercice10.
Sp(M) ={0; 2},
E0=Vect
1 0
−1
,E2=Vect
1 0 0
;
0 1
−1
.
Mdiagonalisable cardim E0+ dim E2= 3etM∈ M3(R).
AvecP =
1 1 0
−1 0 1 1 0 −1
,∀n∈N,Mn= P
0 0 0 0 2n 0 0 0 2n
P−1.
0∈Sp(M)⇒rg(M)<3⇒Mnon inversible : la formule précédente n’a pas de sens pour n <0.
Exercice 11.
Il s’agit de la même matrice que dans le précédent.
M2= 2M, et par récurrence :∀n∈N∗, Mn = 2n−1M.
P = X2−2Xest annulateur deM. Les valeurs propres possibles deMsont0 et2.
rg(M)<3 et rg(M−2I3)<3donc Sp(M) ={0; 2}.
Pde l’exercice précédent convient ! ! ! Exercice 12.
Sp(M)∩R={1} et Sp(M)∩C={1;i;−i}.
E1=Vect
1 0
−1
,dim E1= 1<3 :Mnon diagonalisable dansR.
Ei = Vect
1 1−i 2−i
et E−i = Vect
1 1 +i 2 +i
, M est diagonalisable dans C puisque possédant 3 vp distinctes etM∈ M3(C).
On calculeP(M) = M3−M2+ M−I3=−I3+ M(I3−M(I3−M)))si on veut économiser les multiplications.P(M) = 03.
On poseXn = PQ +aX2+bX +cavec(a, b, c)∈R3. Évaluée en 1,iet−i, cette relation conduit à :
L1:a+b+c= 1 L2:−a+ib+c=in L3:−a−ib+c= (−i)n.
L2−L3: 2ib=in−(−i)n⇒b=eiπn/2−e−iπn/2
2i = sin(πn/2).
Pour n pair : b = 0, L1 et L2 induisent −a+c = (−1)n/2 et a+c = 1, d’où a = (1−(−1)n/2)/2et c= ((−1)n/2+ 1)/2.
Pournimpair :L1et la partie réelle deL2induisent−a+c= 0eta+c= 1, d’oùa= 1/2 etc= 1/2.
En ensuite,Mn= R(M) =aM2+bM +cI3.
Exercice13.
M =
2 1 −2 1 0 0 0 1 0
convient.
Sp(M) ={−1; 1; 2}, etMest diagonalisable (condition suffisante).
Il existe une matrice inversiblePtelle que M = P(E1,1+ 2E2,2−1E3,3)P−1, où j’ai écrit la traditionnelle matricediag(1,2,−1) sous la formeE1,1+ 2E2,2−1E3,3.
AlorsMn= P(E1,1+ 2nE2,2+ (−1)nE3,3)P−1.
Et avecA = PE1,1P−1,B = PE2,2P−1 etC = PE3,3P−1, il vient Mn = A + 2nB + (−1)nC.
Une récurrence fulgurante donneUn= MnU0.
Et commeunest obtenu en calculant la dernière ligne deun, il existea, b, créels indépen- dants dentels que
un=a+ 2nb+ (−1)nc.
On trouvea, b, cà l’aide des valeurs initialesu0,u1etu2, comme pour une suite récurrente linéaire d’ordre2.
Exercice14. Quelques astuces classiques
1. Mnon inversible ssi rg(M)< nssi rg(M−0In)< nssi0∈Sp(M).
Dans ce cas,dim(E0) = dim(Ker(M−0In)) =n−rg(M).
2. Soit Sp(M) ={(λ1, . . . , λp)}. PuisqueMest diagonalisable,Mest semblable à une matricediag(λ1, . . . , λp)où chaque valeur propreλi deMapparaît autant de fois que la dimension du sous-espace propre associé. Or deux matrices semblables ont la même trace, ainsi Tr(M) =
p
X
i=1
λidim(Eλi) = X
λ∈Sp(M)
λ×dim Eλ.
3. SoitMune matrice deMn(K)dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut s. AlorsM
1 ... 1
=
s ... s
=s
1 ... 1
, doncsest une valeur propre et
1
... 1
est un vecteur propre associé às.
4. Application
• Somme des coefficients de chaque ligne est2 :2∈Sp(M) et
1 1 1
∈E2.
• L1= L3 donc rg(M)<3 et0∈Sp(M).
• S’il y a une troisième valeur propreλ, l’égalité des traces donneλ+2+0 = 1−a doncλ=−1−a. Regardons le rang deM−(−1−a)I3.
a+ 2 2 −1
a 2 1
1 2 a
L1←→L3
1 2 a
a 2 1
a+ 2 2 −1
L2−a·L1 −→L2 L3 + (−a−2)·L1 −→L3
1 2 a
0 −2·a+ 2 −a2+ 1 0 −2·a−2 −a2−2·a−1
(a−1)·L3 + (−a−1)·L2 −→L3
1 2 a
0 −2·a+ 2 −a2+ 1
0 0 0
rg(M−(−1−a)I3)<3ce qui prouve que −1−a∈Sp(M).
• Bilan :
(i) si−1−a6= 0et −1−a6= 2, c’est-à-direa6∈ {−1,−3}, alorsMa trois valeurs propres distincte etMest diagonalisable : Sp(M) ={0,2,−1−a}.
(ii) si a = −3 ou a = −1, alors Sp(M) = {0,2} mais en calculant le rang des matricesM−λI3, on obtientdim(E0) = dim(E2) = 1, doncMn’est pas diagona- lisable.
Exercice 15. Diagonalisabilité d’une matrice à paramètres
• Valeurs propres. rg(M) <3 donc0 ∈ Sp(M) et la l’égalité des 2 premières colonnes donne
1
−1 0
∈Ker(M) = E0.
Par la dernière ligne, rg(M−2I3)<3 donc2 est valeur propre.
Comme Tr(M) = 4, siMadmet une troisième valeur propreλdistincte de0 et2, alorsM est diagonalisable et4 = 0 + 2 +λ, doncλ= 2. Finalement,Mn’admet pas d’autre valeur propre que0 et2.
• Diagonalisabilité ? M est diagonalisable si, et seulement si l’un de ses sous-espaces propres est de dimension2.
Mest clairement de rang2 doncdim(E0) = 3−2 = 1quelles que soient les valeurs dea etb.
Calculons le rang deM−2I3= M :
−1 1 a 1 −1 b
0 0 0
L2 + L1 −→L2
−1 1 a 0 0 a+b
0 0 0
Doncdim(E2) = 2⇔rg(M−2I3) = 1⇔a+b= 0⇔b=−a.
Soitaet bdeux réels et
M =
1 1 a 1 1 b 0 0 2
.
M est diagonalisable si, et seulement si, b = −a. Dans ce cas, Sp(M) = {0,2}, E0 =
Vect
1
−1 0
et E2=
y+az
y z
,(y, z)∈R2
= Vect
1 1 0
,
a 0 1
.
Exercice16. Endomorphismes nilpotents
SoitEde dimension finienetuun endomorphisme non nul deE. Soitkun entier naturel.
On suppose queuestnilpotent d’ordre k, c’est-à-dire que : uk = 0L(E) et uk−16= 0L(E).
1. a)Xk étant annulateur deu, la seule valeur propre possible deuest0. Prenonsvun vecteur deE tel que uk−1(v)6= 0. Alorsu(uk−1(v)) = uk(v) = 0 = 0×uk−1(v) avecuk−1(v)6= 0:0 est bien une valeur propre deu.
On peut aussi dire que si 0 n’était pas valeur propre de u, u serait bijectif et uk◦(u−1)k=idE contrediraituk = 0.
Ainsi que0est l’unique valeur propre deu.
b)Si uétait diagonalisable, il existerait une base dans laquelle sa matrice serait la matrice 0×In = 0n, donc u serait l’endomorphisme nul, et nous n’aurions pas uk−16= 0.
2. a)Soitv un vecteur deEtel queuk−1(v)6= 0.
Soit(a0, a1, . . . , ak−1)k scalaires tels que :
k−1
X
i=0
aiui(v) = 0.
En composant paruk−1, on a :a0uk−1(v) = 0 donca0= 0.
Puis en composant paruk−2, on a :a1uk−1(v) = 0 donca1= 0.
Et ainsi de suite,a0=· · ·=ak−1= 0et Lest libre.
b)Commedim(E) =n,Lest libre et Card(L) =k, k6n.
c) Soit M la matrice représentative de u dans L ne contient que des 0 sauf les coefficientsmi+1,iqui vaut1 pour toutide[[1 ;n−1]].
Exercice17. Endomorphisme de rang 1
1. Par le théorème du rang,dim(Ker(f)) =n−1donc0est une valeur propre def etdim(E0) =n−1.
Comme les sous-espaces propres sont en somme directe, la somme de leur dimen- sion ne peut pas dépassern, doncf a au plus une autre valeur propre. Donc1ou
−1 n’est pas valeur propre de f, c’est-à-dire rg(f −id) = n ou rg(f +id) = n, autrement ditf−idouf +idest bijectif.
2. Soitλl’unique valeur propre non nulle def. Mest semblable àdiag(λ,0, . . . ,0) puisque dim(Eλ) = 1. Et comme deux matrices semblables ont la même trace, λ=Tr(M), d’où : Sp(f) ={0,Tr(M)}.
Exercice18. Rang et trace d’un projecteur
1. On sait que p est diagonalisable avec E1⊕E0 = E. Donc P est semblable à la matrice (par bloc)D =
Idim(E1) 0 0 0dim(E0)
.
Alors rg(D) = dim(E1) =Tr(D), et comme deux matrices semblables ont même rang et même trace, rg(p) =Tr(P).
2. Application aux projecteurs de même rang a)Soitrle rang commun depetq.
Alors MB(p) et MB(q) sont toutes les deux semblables à la matrice (par bloc) D =
Ir 0 0 0n−r
, donc sont semblables l’une à l’autre.
Il existeP inversible telle que :MB(p) = P−1MB(q)P.
Soitf l’endomorphisme représenté par la matriceF =MB(f) = P−1MB(q)et g représenté par la matriceG =MB(g) = P.
FG =MB(p)etGF =MB(q), autrement dit p=f◦g etq=g◦f.
b)SoitF =MB(f)etG =MB(g). On sait par 1. que rg(p) =rg(f◦g) =Tr(FG)et rg(q) =rg(g◦f) =Tr(GF). Or Tr(FG) =Tr(GF). Donc rg(p) =rg(q).
Exercice 19. Diagonalisation d’une matrice creuse - I
1. rg(A) = 2donc0est valeur propre etdim(E0) = dim(Ker(A)) =n−2. Comme la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure à la dimensionnde l’espaceMn,1(R) car ils sont en somme directe,A a au plus deux autres valeurs propres autres que0.
2. Avecλ∈R∗ etX =
x1
... xn
,
AX =λX⇔ · · · ⇔
x1(λ2−λ−(n−1)) = 0
∀i∈[[2 ;n]], xi = 1 λx1
Le système a des solutions non nulles si, et seulement si, λ2−λ−(n−1) = 0, ce qui fournit deux valeurs propres non nulle λ1 = 1−p
1 + 4(n−1)
2 et λ2 = 1 +p
1 + 4(n−1)
2 .
3. dim E0+ dim Eλ1+ dim Eλ2 = (n−2) + 1 + 1 =n et A ∈ Mn(R) donc A est diagonalisable.
Exercice 20. Diagonalisation d’une matrice creuse - II
1. rg(B) = 2donc0est valeur propre etdim(E0) = dim(Ker(B)) =n−2. Comme la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure à la dimensionnde
l’espaceMn,1(R)car ils sont en somme directe,Ba au plus deux autres valeurs propres autres que0.
2. Avecλ∈R∗et X =
x1
... xn
,
BX =λX⇔ · · · ⇔
x1
2−λ+ 2n−2 λ
= 0 xn=x1∀i∈[[2 ;n]], xi= 2
λx1
Le système a des solutions non nulles si, et seulement si,λ2−2λ−2(n−2) = 0, ce qui fournit deux valeurs propres non nulleλ1= 1−√
2n−3etλ2= 1 +√ 2n−3.
3. dim E0+ dim Eλ1 + dim Eλ2 = (n−2) + 1 + 1 = n et B ∈ Mn(R) donc B est diagonalisable.
Exercice21. Sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable DansE =R3 muni de sa base canonique B, on considère l’endomorphismef tel que
M =MB(f) =
−1 2 2
−1 3 3 1 −2 −2
.
1. M3 = M doncX3−X = (X + 1)X(X−1) est annulateur de Mdonc de f. Donc Sp(M)⊂ {−1,0,1}. On vérifie que−1,0 et 1sont valeurs propres de Mdonc de f, avecE−1=Vect((1,1,−1)),E0=Vect((0,1,−1))etE1=Vect((1,2,−1)).
2. Commef(0) = 0(comme pour toute application linéaire) {0}est stable parf, et comme∀u∈E, f(u)∈E (endomorphisme...),Eest stable parf.
3. Soit F un sous-espace stable de dimension 1. Soit u un générateur de F : F = Vect(u)avecu6= 0. Commef(u)∈F =Vect(u), il existeλ∈Rtel quef(u) =λu: uest un vecteur propre def, doncFest sous-espace propre def.
4. En notantuλ et uµ des vecteurs propres associés respectivement àλetµ. On a : Eλ=Vect(uλ)etEµ=Vect(uµ).
∀v∈Eλ⊕Eµ,∃(α, β)∈R2, v=αuλ+βuµ. Et alorsf(v) =αλuλ+βµuµ ∈Eλ⊕Eµ
Donc siλetµsont deux valeurs propres distinctes def, alorsEλ⊕Eµest stable parf.
5. a)SoitFun sous-espace stable de dimension2 etu−16∈F.
i.dim(F) + dim(E−1 = dim(R3)et F∩E−1={0} caru−1 6∈F. Fet E−1 sont supplémentaires. ii.• u0 ∈ R3 donc il existe u ∈ F et x ∈ R tels que u0=u+xu−1. En appliquantf à cette égalité,0 =f(u)
| {z }
∈F
+−xu−1
| {z }
∈E−1
= 0
|{z}
∈F
+ 0
|{z}
∈E−1
. Par unicité de la décomposition,xu−1= 0, doncx= 0etu0=u∈F.
• u1∈R3donc il existeu∈Fetx∈Rtels queu1=u+xu−1. En appliquantf à cette égalité,u1=f(u)
| {z }
∈F
+−xu−1
| {z }
∈E−1
= u
|{z}∈F
+xu−1
| {z }
∈E−1
.
Par unicité de la décomposition,−xu−1=xu−1, doncx= 0 etu1=u∈F.
iii.Finalement, (u0, u1)est une famille libre (car de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes) de F de dimension 2, donc une base de F : F = Vect(u0, u1) = E0⊕E1.
b)Comme un sous-espace dimension 2 ne peut pas contenir simultanément une fa- mille de vecteurs propres associés à−1,0et1, les sous-espaces propres de dimen- sion2def sontE0⊕E1,E−1⊕E1et E−1⊕E0.
6. Il existe exactement8sous-espaces deR3stables pasf :{0},E−1,E0,E1,E0⊕E1, E−1⊕E1,E−1⊕E0 etE.
Exercice 22. Sous-espaces stables d’un endomorphisme non diagonalisable
1. Sp(f) = {−1,1}, E−1 = Vect((1,−1,0)) et E1 = Vect((1,1,0)). Et comme dim E−1+ dim E1= 2<dim(R3), f n’est pas diagonalisable.
2. {0}et R3 sont les seuls sous-espaces de dimension0 et3et ils sont stables parf. SiF =Vect(u)est stables parf, alors il existektel quef(u) =ku, doncFest un sous-espace propre def. Donc les seuls sous-espaces stables parf de dimension1 sontE−1 et E1.
3. a)Comme dim(F⊥) = dim(R3)−dim(F) = 3−2 = 1, il existe unon nul tel que F⊥=Vect(u).
b)∀x∈F,hx, f∗(u)i=hf(x), ui= 0carf(x)∈Fpar stabilité et u∈F⊥. Donc :∀x∈F, x⊥f∗(u).
c) D’où on déduit que f∗(u)∈ F⊥. CommeF⊥ =Vect(u), il existe k ∈R tel que f∗(u) =ku:uest un vecteur propre def∗.
4. Vect(u)⊥
est de dimension2. Soitλla valeur propre def∗ associée àu.
∀x∈Vect(u)⊥,hf(x), ui=hx, f∗(u)i=hx, λui=λhx, ui= 0.
Ainsi, ∀x∈ Vect(u)⊥, f(x) ∈Vect(u)⊥, et Vect(u)⊥
est un sous-espace stable parf de dimension2.
5. Des deux questions précédentes on déduit que les sous-espaces de dimension 2 stables par f sont exactement les sous-espaces Vect(u)⊥
où u est un vecteur propre de f∗. Il n’y a plus qu’à déterminer les vecteurs propres de f∗ dont la matrice est tM. On sait déja que Sp(tM) =Sp(M) ={−1,1}. On trouve : SEP(f∗,−1) =Vect((1,−1,0))et SEP(f∗,1) =Vect((0,0,1)).
Les seuls sous-espaces de dimension2 stables parf sont :
Vect((1,−1,0))⊥={(x, y, z)∈R3/x=y} et Vect((0,0,1)) ={(x, y, z)∈R3/z = 0}.
