Devoir sur table 1S du 15 février.

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Lycée Paul Rey

Devoir sur table 1S du 15 février.

Exercice 1. On considère la série statistiqueX suivante :

xi : valeurs a b 8 ni : effectifs 5 2 3

Partie A Dans cette partie, les valeurs sonta“ ´12 et b“ ´2.

1. Déterminer les valeurs de la moyenne et de l’écart type (à 10^´2 près).

X“ ´4 et σpXq “?

76»8,72 2. On définie la fonctionf sur Rpar :

fpxq “ 1 10

3

ÿ

i“1

n_ipx´x_iq² “ 5px`12q²`2px`2q²`3px´8q² 10

(a) Montrer que :

fpxq “ 5px`12q²`2px`2q²`3px´8q² 10

“ 5px²`24x`144q `2px²`4x`4q `3px²´16x`64q 10

“ 5x²`120x`720`2x²`8x`8`3x²´48x`192 10

“ 10x²`80x`920 10

“x²`8x`92 (b) Dresser le tableau de variation def.

f¹pxq “2x`8“0ôx“ ´4 x

f¹pxq

fpxq

´8 ´4 `8

´ 0 `

`8

76 76

`8

(c) En déduire que f admet un extremum, donner la valeur de cet extrémum et la valeur pour laquelle il est atteint (on noterafpx₀q etx₀ ces deux valeurs). Que représente ces deux valeurs pour la série X

D’après le tableau de variation de f, elle admet un minimum en x “7, Or 7 étant la moyenne on reconnait enfp´4q “ p´4q²´8ˆ4`92“76, la valeur de la variance deX.

Partie B

Déterminer les valeurs de aetbpour que

X“1 et VpXq “28

Premiére S 2018-2019 1

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Lycée Paul Rey

$

’&

’%

X“ 5a`2b`3ˆ8

10 “1

VpXq “ 5a²`2b²`3ˆ8²

10 ´1² “28 ô

"

5a`2b`24“10 5a²`2b²`192´290“0

ô

$

’’

&

’’

%

b“ ´7´ 5 2a 5a²`2

ˆ

´7´5 2a

˙2

´98“0

ô

$

’’

&

’’

%

b“ ´11´5 2a 5a²`2

ˆ

49`35a`25 4 a²

˙

´98“0

ô

$

’&

’%

b“ ´7´5 2a 35

2 a²`70a“0 ô

$

&

%

a“0 et b“ ´7 ou

a“ ´4 et b“3 On obtient donc deux solutions :

S “ tp0,´7q;p´4,3qu

Exercice 2. Un enseignant a prévu un contrôle trop long et il obtient une moyenne de 5 sur 20. La meilleur note est de 12/20. On note X la série des notes. L’écart type de cette série est de 4.

1. Il décide d’augmenter les notes de 50 % puis de rajouter 1 point. On note Y la nouvelle série de note ainsi obtenue.

(a) Expliquer que l’on obtienneY “ p1`0,5q ˆX looooooomooooooon

on augmente les notes de50%

` loomo1on

On ajoute un point

. (b) Déterminer la nouvelle moyenne obtenu pour cette classe, ainsi que son écart type.

Y “1,5X`1“1,5X`1“1,5ˆ5`1“8,5 et σpYq “σp1,5X`1q “1,5σpXq “1,5ˆ4“6 2. Cette fois l’enseignant souhaite trouver une formule qui lui permettrait d’obtenir une moyenne de 10,25 et un écart type de 5. On noteZ la nouvelle série de note et on sait que l’enseignant applique une formule de la formeZ “aX`b à la série X.

(a) Déterminer les valeurs deaetb. Au vu des contraintes on obtient :

"

Z “aX`b“5a`b“10,25 σpZq “aσpXq “4a“5 ô

$

’&

’%

b“10,25´5a“10,25´55 4 “4 a“ 5

4

(b) Déterminer alors la meilleur note de la classe avec cette formule. La meilleur note est : 5

4 ˆ12`4“19

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Exercice 3. 1. Déterminer la mesure principale des angles : (a) 25π

4 “ 24π`π

4 “6π`π 4 “ π

4p2πq (b) ´107π

3 “ ´108π`π

3 “ ´36π` π 3 “ π

3p2πq

(c) 67π

6 “ 72π´5π

6 “12π´5π

6 “ ´5π 6 p2πq (d) ´100π

3 “ ´102π`2π

3 “ ´34π`2π 3 “ 2π

3 p2πq 2. Déterminer la valeur de :

(a) cos ˆ25π

4

˙

“cos

´π 4

¯

“

?2 2 (b) sin

ˆ´107π 3

˙

“sin

´π 3

¯

“

?3 2

(c) sin ˆ67π

6

˙

“sin ˆ´5π

6

˙

“ ´1 2 (d) cos

ˆ´100π 3

˙

“cos ˆ2π

3

˙

“ ´1 2 3. Exprimer les expressions suivante en fonction de cosxou de sinx :

(a) cos

´π 2 `x

¯

“ ´sinx (b) sinpπ`xq “ ´sinx

(c) sin

´π 2 ´x

¯

“cosx (d) sin

ˆ3π 2 `x

˙

“ ´cosx 4. Résoudre les équations suivantes :

(a) sinpxq “

?3 2 “sin

´π 3

¯

x“ π

3p2πq ou x“π´π

3p2πq x“ 2π

3 p2πq DoncS “

"

x“ π

3 `2kπ oux“ 2π

3 `2kπ {kPZ

*

(b) cos

´ 3x`π

3

¯

“

?2

2 “cosπ 4 3x`π

3 “ π

4p2πq ou 3x`π

3 “ ´π 4p2πq 3x“ ´π

12p2πq ou 3x“ ´7π

12 p2πq x“ ´π

36 ˆ2π

3

˙

ou x“ ´7π

36 ˆ2π

3

˙

DoncS “

"

x“ ´π

36 ` 2kπ

3 ou x“ ´7π

36 `2kπ

3 { kPZ

*

Exercice 4. On possède un dé à 6 faces avec

• une face avec "1" ;

• deux faces avec "2".

• trois faces avec "3".

Partie A :

Dans cette partie, l’expérience aléatoire consiste à lancer le dé et à noter le résultat obtenu.

On noteX la variable donnant le résultat.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variableX.

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xi 1 2 3

PpX “x_iq 1 6

2 6 “ 1

3 3 6 “ 1

2 2. Déterminer l’espérance et la variance de la variable X.

EpXq “1ˆ1

6`2ˆ2

6`3ˆ3 6 “ 14

6 “ 7

3 et VpXq “1²ˆ1

6 `2²ˆ2

6 `3²ˆ3 6 ´

ˆ7 3

˙2

“ 5 9 3. Le joueur mise 13 e et gagne 6 fois la valeur obtenue lors du lancé. On note Y le gain algébrique du

joueur. Déterminer l’espérance et la variance de la variable Y.

Y “6X´13 donc EpYq “6EpXq ´13“6ˆ7

3´13“1 et VpYq “6²ˆVpXq “36ˆ5 9 “20 4. On noteZ “ 1

X. Déterminer l’espérance et la variance de la variable Z.

EpZq “ 1 1 ˆ1

6 `1 2ˆ1

3 `1 3 ˆ1

2 “ 1

2 et VpZq “ 1 1² ˆ1

6` 1 2² ˆ1

3 ` 1 3² ˆ1

2 ´1 4 “ 1

18 Partie B :

Dans cette partie, on lance le dé 3 fois et l’on noteRla variable aléatoire qui consiste à déterminer le nombre de fois où l’on obtient la valeur 2.

1. Déterminer la loi de probabilité deR.

r_i 0 1 2 3

PpR“r_iq 8 27

4 9

2 9

1 27 2. Déterminer l’espérance et la variance de la variable R.

EpRq “1 et VpRq “ 2 3 Partie C :

Dans cette partie, on lance le dé 2 fois et l’on noteT la variable aléatoire qui consiste à déterminer la somme des valeurs obtenues lors des deux lancés.

1. Déterminer la loi de probabilité deT.

ti 2 3 4 5 6

PpT “t_iq 1 36

1 9

5 18

1 3

1 4 2. Déterminer l’espérance et la variance de la variable T.

EpTq “ 2`12`40`60`56

36 “ 168

36 “ 14

3 et VpTq “ 4`36`160`300`336

36 ´14²

3² “ 10 9