Ondes & spectres

1 Ondes & spectres

1.1 Avant-propos

S’il est un concept particulièrement riche en avancées scientifiques et en applications pratiques, c’est bien celui des ondes. Quand on y réfléchit un peu, elles nous entourent. Ondes sonores lorsque l’on dis- cute, électromagnétiques lorsque l’on regarde un objet, mécanique si l’on joue de la guitare. . . bref, elles sont partout !

Ce chapitre a pour objectif de poser quelques bases de compréhension des ondes.

1.2 Qu’est-ce qu’une onde ?

1.2.1 Définitions

Comme tout concept très général, définir une onde n’est pas simple, mais on peut proposer : Onde

On appelleonde la propagation d’une grandeur physique produisant sur son passage une variation des propriétés physiques locales du milieu.

Elle se déplace avec une vitesse déterminée qui dépend des caractéristiques du milieu traversé.

On retrouvera cette notion dans bon nombre de chapitre de physique (ondes mécanique, acoustique, thermique, électromagnétique, voire statistique).

Remarque Les ondes peuvent avoir des propriétés très variables :

– certaines nécessitent un support pour se propager (ondes mécanique ou acoustique par exemple), d’autres non (ondes électromagnétique ou statistique) ;

– certaines vibrent et se propagent dans le même sens (comme les ondes acoustiques, on parle alors d’ondes longitudinales), d’autres vibrent perpendiculairement à leur sens de propagation (comme les ondes électromagnétiques, on parle d’ondes transversales) ;

– certaines sont scalaires (comme l’onde mécanique d’une vague), d’autres vectorielles (comme l’onde électromagnétique de la lumière).

Nous allons donc essayer ici de dégager des modèles applicables à la plupart des ondes rencontrées en classes préparatoires.

1. Ondes & spectres 1.2. Qu’est-ce qu’une onde ?

1.2.2 Les ondes périodiques

Une onde, notéesétant une grandeur qui se propage dans l’espace et produit une variation locale des grandeurs physiques d’un milieu, elle est à la fois une fonction de l’espace et du temps : s=s(t, x, y, z).

– une image de l’onde, figée à un instant t, nous donne un aperçu des ses variations spatiales ; – un enregistrement par un capteur, en un lieu fixe, nous donne un aperçu des variations temporelles.

Les ondes que nous allons étudier ont souvent un caractère périodique aussi bien en temps qu’en espace. Lorsque l’on accède à une « image » figée à un instanttde l’onde, on peut y mesurer ses propriétés de périodicité spatiale :

Longueur d’onde, fréquence spatiale et nombre d’onde

On appelle longueur d’onde d’une onde, notée s(t, x, y, z) se propageant dans la direction Ox, l’intervalle de longueur minimumλ, exprimé en ms, tel que :

s(t, x+λ, y, z) =s(t, x, y, z)

On appellefréquence spatiale de l’onde, la grandeur σ, exprimée en m⁻¹, telle que : σ= 1

λ

On appellenombre d’onde, la grandeurk exprimée en rad·m⁻¹, telle que : k= 2πσ = 2π

λ

À l’inverse, si un capteur positionné en un point M de coordonnées x_M, y_M, z_M enregistre l’onde au cours du temps (on parle parfois de signal dans ce cas), on accède aux propriétés de périodicité temporelle :

Période, fréquence et pulsation

On appelle période de l’onde, notée s(t, x, y, z), l’intervalle de temps minimum T , exprimé en s, tel que :

s(t+T, x, y, z) =s(t, x, y, z)

On appellefréquence de l’onde, la grandeur f, exprimée en Hz, telle que : f = 1

T

On appellepulsation de l’onde, la grandeur ω exprimée en rad·s⁻¹, telle que : ω = 2πf = 2π

T

Comme pour tout phénomène périodique, on peut également qualifier l’amplitude de variation de la grandeur qui se propage :

Amplitude crête à crête

On appelle amplitude crête à crête la différence entre la valeur maximale et minimale d’une onde mesurée en un pointM(x0, y0, z0) donné :

1. Ondes & spectres 1.2. Qu’est-ce qu’une onde ?

On verra, notamment en optique, qu’il est parfois nécessaire de calculer la valeur moyenne de cette onde en un pointM :

Valeur moyenne

On appellevaleur moyenne d’une ondes(t, M) la grandeur notée hsi, homogène às, telle que : hsi_T

c = 1

T_c ˆ _Tc

t=0

s(t, M)dt

où Tc est la durée d’acquisition de l’onde par le capteur placé enM.

On peut alors définir correctement la notion d’amplitude qui nous servira pour les ondes sinusoïdales : Amplitude

On appelleamplitude la différence, en valeur absolu, entre la valeur maximale et la valeur moyenne de l’onde en un pointM(x0, y0, z0) donné :

S= max (s(t, x₀, y₀, z₀))− hsi On remarquera que pour une onde sinusoïdale :

S = S_cc 2 Remarque On notera les résultats mathématiques suivants :

– sis(t, M) =s0cos (ωt+φ(M)) et que Tc=n^2π_ω avec n∈N, où que Tc ^2π_ω alors : hsi_T

c = 0

– sis(t, M) =s0cos²(ωt+φ(M)) et queTc=n^2π_ω avec n∈N, où que Tc ^2π_ω alors : hsi_T

c = s0

2

Une onde périodique n’est qu’un objet mathématique sans réalité physique : par définition il n’a ni début, ni fin. Mais c’est un outil extrêmement puissant pour décrire et étudier les ondes, dont nous ferons un très large usage.

L’étude des ondes périodiques est par ailleurs considérablement simplifiée par le théorème suivant : Théorème de Fourier

Tout signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut se décomposer en une somme de signaux harmoniques de fréquences multiples de f :

s(t, M) =

+∞

X

k=0

A_kcos (2πkf t+φ_k(M))

On va donc par la suite étudier uniquement les ondes harmoniques, puisqu’elles servent de briques élémentaires à la reconstruction de toute onde périodique.

1. Ondes & spectres 1.3. Le modèle de l’onde plane progressive sinusoïdale

1.3 Le modèle de l’onde plane progressive sinusoïdale

1.3.1 Notations

Le théorème de Fourier permet de se focaliser sur l’étude de la catégorie la plus simple des ondes : les ondes planes progressives et sinusoïdales (ou harmonique), que l’on notera en abrégé OPPS (ou OPPH).

Onde plane progressive sinusoïdale

On appelle OPPS (ou OPPH) se propageant selon l’axe Oxune ondes(M, t) de pulsationω et de nombre d’onde ktelle que :

s(M, t) =s₀cos (ωt±kx+φ₀)

où s₀ est l’amplitude de l’onde etφ₀ la phase à l’origine exprimée en rad.

Remarque

– La grandeur φ(M, t) =ωt±kx+φ₀ est la phase de l’onde ; – l’axeOx est appelé direction de propagation ;

– dans un milieu non dispersif c= ^ω_k est la célérité (vitesse) de l’onde ;

– une onde se propageant dans le sens des x croissants a pour phase φ(M, t) =ωt−kx+φ₀, si elle se propage dans le sens des x décroissants, sa phase devientφ(M, t) =ωt+kx+φ₀.

1.3.2 Spectre associé à une onde Spectre d’une onde

On appelle spectre d’une onde s(M, t) la représentation graphique montrant les variations de l’amplitude associée à chacune des fréquences présentes dans sa décomposition selon le théorème de Fourier.

Exemple

La figure ci-dessous représente les spectres des signaux mesurés enM =M0 tels que : – s₁(M₀, t) =A₀cos (2πf₀t−kx₀+φ₀) ;

– s₂(M₀, t) =A₁cos (2πf₁t−kx₀+φ₀) +A₂cos (2πf₂t−kx₀+φ₀).

avec, par exemple,A2= ^A₂¹ = ^A₄⁰, ainsi que f0= 10 Hz, f1 = 100 Hz et f2= 200 Hz.

0 50 100 150 200

0 1 2 3 4

f en Hz

A(f)enUSI

s₁ s2

1. Ondes & spectres 1.4. Ondes & phénomènes physiques

1.4 Ondes & phénomènes physiques

1.4.1 Diffraction

Les ondes présentent certaines propriétés très particulières, parmi lesquelles la diffraction n’est pas la moins intéressante.

Diffraction

On appelle diffraction l’étalement du front d’onde qui se produit lorsqu’une onde de longueur d’onde λ est contrainte de passer à travers un obstacle d’une taille caractéristique dsimilaire ou plus petite.

λ < d: pas de diffraction λ'd: diffraction

Ce phénomène joue un rôle fondamental dans la production d’interférences par division du front d’onde comme nous le verrons en optique ondulatoire plus tard.

1.4.2 Interférences

Par ailleurs, la superposition de deux ondes de même amplitude et fréquence donne des résultats remarquables :

S₁•

•M

S₂•

#”k¹

#”k²

Les expressions des ondes sont les suivantes : s₁(t, M) = s₀cos (ωt+φ₁), avec φ₁ = k₁S₁M +φ0,1, et s₂(t, M) =s₀cos (ωt+φ₂), avecφ₂ =k₂S₂M+φ_0,2.

Ainsi leur superposition en un pointM quelconque de l’espace, conduit à l’obtention d’une nouvelle forme d’onde :

s(t, M) = 2Acos

φ1−φ2

2

| {z }

indépendant det

cos

ωt−φ1+φ2

2

L’amplitude de cette onde est donc modulée par la valeur de la différence de phaseφ1−φ2.

1. Ondes & spectres 1.4. Ondes & phénomènes physiques

Interférences constructives & destructives

On appelleinterférences constructivesles lieux où les deux ondes de même fréquence sont en phase.

Les ondes ont donc une différence de phase telle que :

∆φ=φ₂−φ₁ = 2nπ, avec n∈Z

On appelleinterférences destructives les lieux où les deux ondes de même fréquence sont en oppo- sition de phase. Les ondes ont donc une différence de phase telle que :

∆φ=φ2−φ1 = (2n+ 1)π, avec n∈Z

1.4.3 Ondes stationnaires

De manière identique, supposons que deux ondes de même fréquence et amplitude se propagent l’une vers l’autre le long d’un axeOx :

L

S₁•

•M •

S₂ k#”₁

k#”2 =−#”

k1

En remarquant quek2S2M =k1S2M =k1(L−S1M), l’expression de l’onde résultante devient : s(t, M) = 2Acos

ωt+k1L

2 +φ1,0+φ2,0

2

| {z }

indépendant dex

cos

k1

x−L

2

+φ1,0−φ2,0

2

| {z }

indépendant det

Onde stationnaire

On appelleonde stationnaire, une onde qui oscille sur place. Elles sont le résultat de la somme de deux ondes progressives de mêmes pulsation et nombre d’onde qui se propagent en sens inverse.

Les dépendances spatiale et temporelle d’une onde harmonique stationnaire sont séparées dans deux fonctions sinusoïdales :

s(t, M) =Acos (ωt+φ) cos (kx+ψ) On représente ci-dessous une onde stationnaire à divers instants :

−1 0 1 2

ventre•

ventre•

ventre•

ventre•

ventre• nœud• •

nœud •

nœud • s nœud

t= 0 t= ₁₂^T

t= ^T₆ t= ^T₃ t= ^T₂

1. Ondes & spectres 1.4. Ondes & phénomènes physiques

Le tracé met en évidence l’existence de points où l’amplitude est maximale et d’autres où l’amplitude est nulle.

Nœuds & ventres

On appellenœuds de vibration les points où l’amplitude de l’onde stationnaire est toujours nulle.

On appelleventres de vibration les points où l’amplitude est maximale.

Les ondes stationnaires s’obtiennent facilement en piégeant une onde entre deux conditions aux limites strictes. Par exemple, on obtient une onde mécanique stationnaire en faisant vibrer une corde coincée entre deux plots immobiles (corde de guitare, mais aussi onde électromagnétique dans une cavité de Laser).

Si on notex= 0 etx=Lles coordonnées des pointsS₁ etS₂ immobiles, la relation écrite précédemment se voit imposer également :

– s(t, M =S1) = 0 =Acos (ωt+φ) cos (ψ) ce qui imposeψ= ^π₂ [π], soits(t, M) = 0 =Acos (ωt+φ) sin (kx) ; – s(t, M =S₂) = 0 =Acos (ωt+φ) sin (kL) ce qui imposekL=π[π], soit k_n= ^nπ_L.

Cette dernière relation peut aussi s’écrire

λn= 2L n où encore, si le milieu est non dispersif :

ω_n= nπc L

Il faut donc exciter la corde avec un ensemble de pulsation bien défini pour obtenir une onde stationnaire dans les conditions décrites ici.

Modes propres d’une onde stationnaire

On appellemodes propres d’une onde stationnaire, les ondes stationnaires harmoniques compatibles avec les conditions aux limites qui lui sont imposées.

Ces modes propres donnent un ensemble quantifié de pulsations propres, fréquences propres et longueurs d’onde propres qui permettent de décrire toute onde qui se propage.