Problème 1 : Étude d’un microscope

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3 : optique géométrique

Problème 1 : Étude d’un microscope

Un microscope est constitué :

• d’un objectifL1modélisé par une lentille mince convergente de centreO1 et de distance focale imagef₁⁰,

• d’un oculaireL₂ modélisé également par une lentille mince convergente de centreO2et de dis- tance focale imagef₂⁰,

comme représenté sur la figure ci-contre. On désigne parF_i⁰(resp.Fi) le foyer image (resp. objet) de la len- tilleL_i.

+ + +

b

O1

L1

b

F′ 1

b

F1

b

A0

r1

b

O2

L2

b

F′ 2

b

F2

∆

r2

b

On désigne par∆la mesure algébriqueF₁⁰F2, positive dans le dispositif considéré.

I Caractéristiques

I.1. On considère un objet situé en un pointA0de l’axe optique. On désigne parA1son image par l’ob- jectifL1. DéterminerF1A0pour queA1soit enF2. Quel intérêt présente cette configuration pour un observateur plaçant son œil après l’oculaireL₂? On considérera un œil emmétrope.

I.2. On considère un objetA0B0d’imageA1B1parL1placé dans la position précédemment déterminée : A1est donc enF2.

(a) Déterminer sur la feuille jointe l’objetA0B0dont l’image parL1estA1B1. Vérifier l’accord avec la réponse à la question précédente.

(b) Déterminer l’expression du grandissement transversal de l’objectifγ_ob = ^A1B1

A₀B₀ en fonction des données du problème.

(c) En déduire la puissancePdu microscope définie parP = ^α0

A₀B₀, avecα⁰l’angle sous lequel est vue par l’observateur l’image deA1B1par l’oculaire. On l’exprimera en fonction de∆,f₁⁰ etf₂⁰. CalculerPpour∆ =18·10⁻²m,f₁⁰ =1,0·10⁻²m,f₂⁰=2,0·10⁻²m.

(d) On désigne parβle pouvoir séparateur de l’œil (iela plus petite séparation angulaire distinguable).

Exprimer la plus petite tailleDd’un objet distinguable par l’observateur utilisant le microscope.

CalculerDpour une valeur raisonnable deβ. Commenter.

II Mise au point

II.1. Le microscope est utilisé par un observateur myope. Justifier qualitativement dans quel sens on doit déplacer l’oculaire pour lui permettre une vision nette sans accomoder.

II.2. (a) L’observateur est à présent emmétrope et peut accomoder pour voir net entre une distancedmet l’infini. Déterminer la positionAmd’un objet visible par l’œil quand ce dernier est placé enO2et accomode au maximum. On donneraF1Am/F1A0en fonction des données du problème.

(b) Calculer la valeur de|F1A0−F1Am|pour une valeur raisonnable dedm. Commenter.

III Champ d’observation et cercle oculaire

On étudie certains effets dus aux rayons finis des lentilles. On noter1le rayon de l’objectif etr2celui de l’oculaire.

III.1. (a) Tracer sur la figure jointe au moins deux rayons passant par le pointB1et traversant l’objectif et l’oculaire (utiliser une couleur différente des constructions précédentes).

(b) Déterminer l’expression de la taille maximale que peut avoir l’image intermédiaireA1B1pour que le pointB1soit visible. En déduire le rayon du disque centré surA0observable par l’ensemble du dispositif. Calculer ce rayon pourr1=5,0·10⁻³m etr2=1,0·10⁻²m

III.2. (a) Tracer la marche de deux rayons quelconques issus du pointM1de la monture de l’objectif (utiliser une couleur différente des constructions précédentes).

(b) En déduire que tous les rayons émergent de l’oculaire passent dans un même disque centré sur l’axe optique et normal à l’axe optique. On donnera les expressions de la position de son centre Oocet son rayonrocen fonction des données et on calculeraO2Oocetroc.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2018–2019

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+ + +

b

O

L

b

F

1

b

F

r

b

M

b

O

L

b

F

b 2

F

= A

B

r

b

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Correction du problème 1 I Caractéristiques

I.1. D’après la relation de Newton, on doit avoir :F1A0·F₁⁰F2=−f₁⁰², soitF1A0=−f₁⁰²/∆. L’oculaire formera de cet objet une image à l’infini, observable sans accomodation par l’observateur.

I.2. (a) On trace des rayons se propageant dans le sens indirect pour déterminer l’objet connaissant son image. On calculeF1A0=−2²/4 =−1 carreau.

(b) Selon la formule de Newton du grandissement, on a maintenantγ_ob=−F₁⁰F2/f₁⁰=−∆/f₁⁰. (c) On détermineα⁰'tanα⁰=−A1B1/f₂⁰. On en déduit :

α⁰=−A1B1

f₂⁰ =−A1B1

A0B0

| {z }

γ_ob

×A0B0

f₂⁰ d’où:P= α⁰ A0B0

= ∆

f₁⁰f₂⁰ =900δ.

(d) Un objet de tailleDsera juste distinguable siα⁰=β=P D, soitD=β/P =3,2·10⁻⁶m, pour β= 1⁰=2,9·10⁻⁴rad. Cette très faible valeur est de l’ordre de grandeur d’une longueur d’onde dans le domaine de visible. La diffraction limitera davantage le pouvoir séparateur du microscope.

II Mise au point

II.1. Le faisceau issu deB1doit émerger deL2en divergeant puisque l’image deB1parL2doit être au punctum remotum, donc à distance finie pour un œil myope.A1doit donc être en aval deF2, pour cela l’oculaire doit se rapprocher de l’objectif.

II.2. (a) L’image par l’ensemble du dispositif deAmdoit être enA2, avecO2A2 = −dm. On a donc : Amy

L₁A1 y

L₂A2soit, en utilisant les relations de conjugaison de Newton : F1Am·F₁⁰A1=−f^/0₁² F2A1· F₂⁰A2

| {z }

=−(f₂⁰+dm)

=−f₂⁰²

F1Am= −f₁⁰² F₁⁰A1

F2F₁⁰

| {z }

=−∆

+F₁⁰A1= f₂⁰² f₂⁰+dm

.

On obtient finalement : F1Am= −f₁⁰²

∆ + ^f

0 22 f₂⁰+d_m

= −f₁⁰²

∆

| {z }

=F1A0

1 1 + ^f

0 22

∆f₂⁰+dm

: F1Am

F1A0

= 1

1 + ^f

0 22

∆f₂⁰+dm

.

(b) Pourdm=25 cm, on calcule :

|AmA0|= f₁⁰²/∆

1 +_f^∆0 2

1 +^d_f^m0

2

=4,53·10⁻⁶m.

III Champ d’observation et cercle oculaire

III.1. (a) En plus du rayon parallèle à l’axe optique entre l’objectif et l’oculaire, on trace par exemple le rayon qui émerge du bord de l’oculaire (en gras sur le schéma).

(b) Si le pointB1est trop loin de l’axe, aucun rayon passant parB1ne peut atteindre l’oculaire. Dans le cas limite, le pointB1est enB1maxaligné avec les extrémités des lentilles et un seul rayon peut se propager dans le système en passant parB1maxet les extrémités des lentilles. On peut ainsi calculer :

A1B1max=r1+O1F2

O1O2

(r2−r1) =r1+ ∆ +f₁⁰

∆ +f₁⁰+f₂⁰ (r2−r1) = r1f₂⁰+r2 ∆ +f₁⁰

∆ +f₁⁰+f₂⁰ . L’objetA0B0dont l’image parL₁a donc pour taille :

|A0B0|=A1B1max

|γ_ob| =5,29·10⁻⁴m.

III.2. (a) On utilise le rayon parallèle à l’axe optique et celui passant parO2ils émergent sécants enM₁⁰ image deM1parL₂.

(b) Chaque rayon entrant dans l’objectif passe dans un disque de rayonO1M1: ils émergent donc en passant dans l’image de ce disque par le système,iele disque de centreOocimage deO1parL2

et de rayonO_ocM₁⁰. Les relations de Descartes donnent, avecO2O1=− ∆ +f₁⁰+f₂⁰ : 1

O2O_oc− 1 O2O1

= 1

f₂⁰ →O2Ooc=f₂⁰

1 + f₂⁰

∆ +f₁⁰

=2,21·10⁻²m.

On détermine de même le grandissement :

|r_oc r1

|=|O2O_oc O2O1

| →roc= f₂⁰

∆ +f₁⁰r1=5,3·10⁻³m.

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+ + +

b

O

L

b

F

1

b

F

r

b

M

b

O

L

b

F

b 2

F

= A

B

r

b

α

b

B

r

− r

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