VADE MECUM
INCERTITUDES
A quoi ça sert ?
- Déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une valeur mesurée, et donc la manière d’arrondir le résultat donné par une calculatrice.
- Estimer la cohérence de deux valeurs d’une même grandeur.
0) DEFINITIONS ... 2
1) SOURCES D’ERREUR – D’INCERTITUDE ... 3
2) LOI DE COMPOSITION DES INCERTITUDES TYPES ... 3
3) CAS D’UN MESURANDE PRESENTANT PLUSIEURS SOURCES D’ERREURS ... 3
4) LOIS USUELLES DE COMPOSITIONS D’INCERTITUDES ... 3
5) CONDITION USUELLE POUR NEGLIGER UNE INCERTITUDE ... 4
6) EVALUATION D’INCERTITUDE ... 4
6.2)INCERTITUDE DE TYPE A ... 5
6.3)INCERTITUDE DE TYPE B ... 5
6.4)INCERTITUDE ASSOCIEE A UNE DONNEE ... 5
6.5)INCERTITUDE COMPOSEE ... 6
7) ECRITURE D’UN RESULTAT – CHIFFRES SIGNIFICATIFS... 6
8) REGLE DU NOMBRE DE CHIFFRES SIGNIFICATIFS CONSERVES DANS UN RESULTAT ... 6
9) COHERENCE ENTRE DEUX VALEURS D’UNE MEME GRANDEUR ... 7
0) Définitions
Chiffre significatif : Ce sont les chiffres conservés dans l’écriture de la valeur d’un mesurande1 compte tenu de l’évaluation de l’incertitude du mesurage2.
Exemple : La mesure de la longueur d’une feuille de format A4 à l’aide d’un triple décimètre gradué en mm donne une valeur donnée au mm près : L = 29,7 cm, ce résultat comprend 3 chiffres significatifs ainsi que 297 mm, 0,297 m, 0,000297 km.
Erreur : C’est la différence entre le résultat d’un mesurage x et la valeur vraie du mesurande X (inaccessible à la mesure).
Incertitude (de mesure) : Paramètre associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande. Cette dispersion est due à la loi de probabilité associée au mesurage. Cette loi de probabilité est en pratique souvent supposée à partir d’un nombre restreint d’informations.
Incertitude type d’un mesurande X : C’est l’écart type de la loi de probabilité permettant d’estimer la dispersion des erreurs aléatoires. Elle est notée uX3.
Incertitude élargie d’un mesurande X (ou incertitude de mesure) : Elle s’obtient en multipliant l’incertitude type uX par un facteur d’élargissement k associé à la fraction choisie de la distribution des valeurs qui pourraient être raisonnablement attribuées à X. Cette fraction est appelée niveau de confiance. On note l’incertitude élargie UX : UX = k.uX
On appelle intervalle de confiance l’intervalle [x - UX ; x + UX].
En physique le niveau de confiance choisi est supérieur ou égal à 95% ;
La valeur de k associée au niveau de confiance choisi dépend de la loi de probabilité de dispersion des valeurs du mesurande.
Le résultat du mesurage s’écrit : X = x ± UX
1 Grandeur soumise au mesurage
2 Ensemble d’opérations ayant pour but de déterminer une valeur d’une grandeur
3 « u » pour uncertainty
1) Sources d’erreur – d’incertitude
On répartit les sources d’erreur en deux catégories que l’on ne décrira pas davantage ici : - Les erreurs aléatoires
- Les erreurs systématiques (ou biais)
Exemple : On illustre ci-dessous le mesurage par un tir répété de fléchettes au centre d’une cible en forme de cœur.
Sans erreurs systématiques Avec erreurs systématiques Erreurs aléatoires
faibles
Erreurs aléatoires fortes
Erreurs aléatoires faibles Erreurs aléatoires fortes
Dans toute la suite, on supposera que les erreurs systématiques ont été corrigées et qu’elles deviennent donc négligeables devant les erreurs aléatoires.
2) Loi de composition des incertitudes types
Dans de très nombreuses situations, on est amené à effectuer un calcul numérique à partir de données mesurées. Ainsi il s’agit de calculer la valeur de Y = f(X1 , X2 , …., Xn) en fonction des valeurs des Xp. Les incertitudes types sur Y et {Xp} sont reliées par :
𝑢 = 𝜕𝑌
𝜕𝑋 . 𝑢
Nota bene : Cette formule ne s’applique qu’à des mesurandes Xp indépendants (non corrélés).
Exemple : L’écart a des fentes d’Young est relié à l’interfrange i, la distance à l’écran D et la longueur d’onde par 𝑎 = . Ainsi 𝑢 = . 𝑢 + . 𝑢 + − . 𝑢
3) Cas d’un mesurande présentant plusieurs sources d’erreurs
Lorsqu’un mesurande X présente plusieurs sources d’erreurs identifiées, l’incertitude type est obtenue par la loi de composition des incertitudes types.
Exemple : L’abscisse x d’une lentille de projection sur un banc d’optique est soumise à l’incertitude type sur la graduation du banc uX,1 et à l’incertitude type due à l’estimation de la netteté de l’image produite sur l’écran uX,2. Ainsi, l’incertitude type sur x est donnée par 𝑢 = 𝑢 , + 𝑢 ,
Soit uX,1 = 1 mm et uX,2 = 3 mm uX = 3,3 mm
4) Lois usuelles de compositions d’incertitudes Cas d’une somme (cas rare)
Exemple : 𝑧 = 𝛼. 𝑥 + 𝛽. 𝑦 où x et y sont les valeurs de grandeurs mesurées d’incertitudes types respectives uX et uY (supposons ici que les coefficients et sont d’incertitudes négligeables) :
𝑢 = (𝛼. 𝑢 ) + (𝛽. 𝑢 )
Cas d’un produit (cas fréquent)
Exemple : 𝑧 = 𝑥 . 𝑦 où x et y sont les valeurs de grandeurs mesurées d’incertitudes types respectives uX et uY (supposons ici que les coefficients et sont d’incertitudes négligeables), alors dans le cas où z ≠0, il est commode de retenir le résultat donnant l’incertitude type relative :
𝑢
|𝑧| = 𝛼.𝑢
𝑥 + 𝛽.𝑢 𝑦
5) Condition usuelle pour négliger une incertitude
Usuellement, on ne garde au maximum que 2 chiffres pour exprimer la valeur de l’incertitude.
Ainsi l’incertitude est définie au mieux à 1% près. Dans l’exemple précédent, les exposants et sont le plus souvent de l’ordre de l’unité. Compte tenu de ces deux indications on pourra appliquer le résultat pratique suivant.
| | est négligeable devant | | si | | ≤ .| |
6) Evaluation d’incertitude Il s’agit dans cette partie de déterminer le facteur d’élargissement k 6.1) Lois de probabilité usuelles
On énumère ici les lois usuelles de répartition des valeurs raisonnablement prises par un mesurande.
* La loi normale (ou loi gaussienne) Cette loi de probabilité est la suivante :
𝑝(𝑧) = 1 𝜎√2𝜋𝑒
où 𝑧 = ̅ et est l’écart type de la distribution de probabilité tel que :
x x 2.p(x).dx
2
Remarque : 95,5% des valeurs x ne s’écartent pas de plus de 2. de leur moyenne x.
* Loi rectangulaire
𝜎 =∆
√
* Loi triangulaire
𝜎 = ∆
√
p (z)
p (x)
x
𝑥̅
p (x)
x
𝑥̅
6.2) Incertitude de type A
On a effectué n mesurages du mesurande X et obtenu n valeurs xk (1 < k < n).
Si n + on montre que les valeurs de x se répartissent selon une loi normale, et l’incertitude type uX
est l’écart type de la loi normale : uX = .
Sinon, l’estimation de la valeur du mesurande X est 𝑥̅ et celle de son incertitude type est :
𝑢 = 1
√𝑛. 1
𝑛 − 1. 𝑥 − 𝑥̅
Le facteur d’élargissement k dépend du nombre de mesures n. La valeur qu’il doit prendre afin d’obtenir un intervalle de confiance de 95,5% est donnée dans le tableau ci-dessous :
n 1 2 3 4 5 8 10 20 30
k 14,0 4,53 3,31 2,87 2,65 2,37 2,28 2,13 2,09 2,00
On pourra retenir qu’à partir d’une dizaine de mesurages du même mesurande réitérés dans les mêmes conditions, le facteur d’élargissement est voisin de 2.
6.3) Incertitude de type B
On a effectué un seul mesurage du mesurande X.
Dans de très nombreuse situations, l’information accessible la plus immédiate sur l’incertitude est donnée par un intervalle raisonnable de valeurs prises par x. On peut illustrer ces situations de mesurage par un réglet gradué. Le résultat du mesurage est repéré par un index.
Ainsi, 100% des valeurs prises par x lors de mesurages répétés s’inscrivent dans un intervalle de largeur correspondant à un niveau de confiance de 100%. Le facteur d’élargissement k dépend maintenant de la loi de probabilité choisie.
Loi de probabilité rectangulaire : k = √3
Loi de probabilité triangulaire : k = √6
Exemple : La mesure de X sur la figure ci-dessus est x = 16 mm et UX = √3. 𝜎 = ∆=0,5 mm en postulant une loi de probabilité rectangulaire.
6.4) Incertitude associée à une donnée
Dans la grande majorité des situations rencontrées, une donnée n’est accompagnée d’aucune incertitude explicite.
On considère qu’à une donnée numérique est associée la loi de probabilité rectangulaire de largeur valant une unité du chiffre significatif de plus faible poids. Ainsi, l’incertitude au niveau de confiance 100%
est ∆ 2.
Exemple : L’incertitude associée à la vitesse de la lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 est Uc = 0,005.108 m.s-1
index
6.5) Incertitude composée
* Si les lois de probabilités associées aux incertitudes types des différents mesurandes composés sont identiques le facteur d’élargissement k est le même pour chaque incertitude, ainsi :
𝑈 = 𝜕𝑌
𝜕𝑋 . 𝑘. 𝑢 = 𝜕𝑌
𝜕𝑋 . 𝑈 = 𝑘. 𝜕𝑌
𝜕𝑋 . 𝑢 = 𝑘. 𝑢
* Si les lois des probabilités associées aux incertitudes types des différents mesurandes composés sont différentes, on admet que la loi de probabilité associée à l’incertitude composée est normale. Le facteur d’élargissement associé à intervalle de confiance de 95,5% est k = 2.
𝑈 = 2. 𝜕𝑌
𝜕𝑋 . 𝑢
7) Ecriture d’un résultat – Chiffres significatifs
L’incertitude une fois calculée porte sur le chiffres (ou les deux chiffres) de plus faible(s) poids conservé(s) dans l’écriture de la valeur du mesurande. Tous les chiffres de cette valeur sont alors significatifs.
Exemple 1 : La température mesurée du fond diffus cosmologique est de 2,725 K avec une incertitude UT = 2 mK. Le résultat du mesurande température est T = (2,725 0,002) K ou T = (2725 2) mK. La
valeur de T comporte ici 4 chiffres significatifs.
Exemple 2 : La longueur d’onde de la radiation rouge du laser He-Ne est de 633 nm. D’après 6.4), U = 0,5 nm. Le résultat s’écrit = (633,0 0,5) nm. La valeur de comporte 4 chiffres significatifs.
Exemple 3 : La mesure de la longueur d’une feuille A4 à l’aide d’un triple décimètre millimétré est donnée par la différence d’abscisses d = x2 – x1 = 29,7 cm entre les extrémités de la feuille. L’incertitude sur
chaque mesurage d’abscisse est selon 6.3) en associant une loi de probabilité rectangulaire Ux = √3𝑢 = 0,5 mm.
Ainsi, après calcul de l’incertitude combinée : 𝑈 = √3𝑢 + √3𝑢 = √2. 𝑈 = 0,7 𝑚𝑚 Le résultat s’écrit : d = (297,0 0,7) mm.
8) Règle du nombre de chiffres significatifs conservés dans un résultat
Dans l’immense majorité des cas, un résultat dépendant de plusieurs données s’exprime sous forme d’un produit. Considérons le cas : 𝑧 = 𝑥 . 𝑦 où x et y sont des données et les exposants et sont de l’ordre de 100.
* Considérons que la donnée de x comporte deux chiffres significatifs ainsi : 1,0 < |𝑥| < 9,9 Ainsi son incertitude relative | | appartient à l’intervalle : 5.10-3 < | | < 5.10-2
* Considérons que la donnée de y comporte trois chiffres significatifs ainsi : 1,00 < |𝑦| < 9,99 Ainsi son incertitude relative | | appartient à l’intervalle : 5.10-4 < | | < 5.10-3
D’après 4) et 6.5) : | | = 𝛼.| | + 𝛽.| | . On remarque que dans la plupart des cas | | >> | | Donc | | = |𝛼|.| | ce qui justifie de ne garder dans le résultat de z qu’un nombre de chiffres significatifs égal à celui de x. On gardera donc comme usage :
Dans un résultat numérique calculé à partir de données dont les incertitudes n’ont pas été évaluées, on gardera un nombre de chiffres significatifs égal à celui de la donnée qui en possède le moins.
9) Cohérence entre deux valeurs d’une même grandeur
Deux valeurs d’un même mesurande sont cohérentes si leurs intervalles de confiance ont une intersection non nulle.
On sous-entend ici que les niveaux de confiance sont suffisamment élevés. En physique, on utilise le plus souvent un niveau de confiance supérieur ou égal à 95% ce qui permet cette définition.
Illustration de deux résultats cohérents d’un même mesurande Intervalle de confiance 1
Intervalle de confiance 2
